Funktionsgraphen anpassen einfach erklärt: Verschieben & Strecken

Wenn du in Mathe Funktionsgraphen anpassen möchtest, hilft dir diese Vorstellung: Stell dir vor, du hast eine Schablone aus Plastik, die die Form einer perfekten Kurve hat. Wenn du diese Schablone auf ein Blatt Papier legst, kannst du sie nach links oder rechts schieben, nach oben oder unten bewegen, oder sie sogar ein bisschen in die Länge ziehen.

Genau das machen wir in der Mathematik mit Funktionsgraphen! Anstatt für jede neue Funktion mühsam eine lange Wertetabelle auszurechnen, nehmen wir eine bekannte „Standard-Schablone“ (die Ausgangsfunktion) und lesen direkt aus der Formel ab, wie wir sie verschieben oder strecken müssen. Lass uns anschauen, wie das bei verschiedenen Arten von Funktionen funktioniert!

Vorwissen

• Die Normalparabel: Der Graph der Funktion $g(x) = x^2$. Sie hat ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) genau im Ursprung. Beispiel: Der Punkt $(0|0)$ ist der Scheitelpunkt. Geht man $1$ nach rechts, geht man $1$ nach oben zum Punkt $(1|1)$.
• Die Sinusfunktion: Der Graph der Funktion $g(x) = \sin(x)$. Sie startet im Ursprung und schwingt wellenförmig zwischen $1$ und $-1$. Beispiel: Bei $x=0$ ist der Wert $0$. Danach steigt die Welle an.
• Allgemeine Anpassungen: Wir wissen bereits, dass Zahlen in der Formel den Graphen verändern. Ein Plus oder Minus direkt beim x verschiebt nach links/rechts. Ein Plus oder Minus am Ende verschiebt nach oben/unten. Ein Faktor streckt den Graphen.

Aufgabentyp 1: Skizzieren der kombinierten Anpassung einer ganzrationalen Funktion

Beim Funktionsgraphen anpassen von ganzrationalen Funktionen gehst du systematisch vor. Wenn wir eine ganzrationale Funktion (wie eine Parabel) anpassen, verändern wir ihren Funktionsterm. Um den neuen Graphen zu zeichnen, müssen wir die Formel wie eine Anleitung lesen. Der Trick dabei ist: Wir müssen die mathematische Reihenfolge (Punkt-vor-Strich-Rechnung) beachten!

Schauen wir uns die Standardstruktur an:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot g(x - \textcolor{#08BFFF}{c}) + \textcolor{#9570FF}{d}$

• Schritt 1 (Innen): Die Zahl $\textcolor{#08BFFF}{c}$ direkt beim $x$ verschiebt den Graphen nach links oder rechts. Achtung: Ein Plus bedeutet nach links, ein Minus nach rechts!
• Schritt 2 (Multiplikation): Wegen der Punkt-vor-Strich-Rechnung kommt nun die Zahl $\textcolor{#53E5D6}{a}$. Sie streckt oder staucht den Graphen in die Höhe.
• Schritt 3 (Außen): Die Zahl $\textcolor{#9570FF}{d}$ ganz am Ende verschiebt den Graphen nach oben oder unten.

Manchmal ist die Formel durch zusätzliche Klammern verschachtelt, zum Beispiel so: $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{3} \cdot ((x \textcolor{#08BFFF}{+ 1})^2 \textcolor{#9570FF}{- 2})$. Hier zwingt uns die äußere Klammer dazu, die Verschiebung nach unten ausnahmsweise vor der Streckung durchzuführen. Es gilt immer: Wir arbeiten uns strikt an die mathematischen Vorfahrtsregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Ausgangsfunktion bestimmen: Finde heraus, was die grundlegende „Schablone“ ist (z. B. $g(x) = x^2$). Markiere dir ein paar wichtige Hilfspunkte dieses Graphen (z. B. den Scheitelpunkt).
2. Horizontale Verschiebung (links/rechts): Lies die Verschiebung direkt beim $x$ ab und verschiebe deine Hilfspunkte entsprechend nach links oder rechts.
3. Streckung anwenden: Lies den Streckungsfaktor ab. Multipliziere die $y$-Werte deiner verschobenen Hilfspunkte mit diesem Faktor. (Ausnahme: Steht die vertikale Verschiebung mit in einer Klammer, die gestreckt wird, wende sie wegen der Klammerrechnung vorher an!)
4. Vertikale Verschiebung (oben/unten): Lies die Zahl ganz am Ende der Formel ab und verschiebe die Punkte entsprechend nach oben oder unten.
5. Graphen zeichnen: Verbinde die finalen Hilfspunkte zu einer geschwungenen Kurve.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Durch entsprechende Anpassung geht die Funktion $f$ mit $f(x)=\textcolor{#53E5D6}{3} \cdot \left((x \textcolor{#08BFFF}{+ 1})^2 \textcolor{#9570FF}{- 2} \right)$ aus der Funktion $g$ mit $g(x)=x^2$ hervor. Gegeben ist der Graph von $g$. Skizziere den Graphen der Funktion $f$ freihändig, ohne exakte Werte zu berechnen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Ausgangsfunktion bestimmen

   Die Ausgangsfunktion ist $g(x)=x^2$.

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   Schritt 2 & 4
   Verschiebungen (Sonderfall durch Klammer)

   Wir lesen die Formel unter Beachtung der Klammern von innen nach außen:

   • In der inneren Klammer steht $x \textcolor{#08BFFF}{+ 1}$. Das bedeutet, wir verschieben den Graphen um $1$ Einheit nach links.
   • Noch innerhalb der äußeren Klammer steht $\textcolor{#9570FF}{- 2}$. Das bedeutet, wir verschieben um $2$ Einheiten nach unten. Da dies in der großen Klammer steht, müssen wir das vor der Streckung tun.

   Wir nehmen uns Hilfspunkte (wie den Scheitelpunkt bei $0|0$) und verschieben sie um $1$ nach links und $2$ nach unten. Der neue vorläufige Scheitelpunkt liegt nun bei $(-1|-2)$.

   

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Streckung anwenden

   Ganz außen steht der Faktor $\textcolor{#53E5D6}{3}$. Der verschobene Funktionsterm wird also zusätzlich um den Faktor $3$ in $y$-Richtung gestreckt.

   Wir müssen die $y$-Werte unserer Hilfspunkte mit $3$ multiplizieren:

   • Der Scheitelpunkt war bei $y = -2$. Neu: $-2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{3} = -6$. Der finale Scheitelpunkt ist bei $(-1|-6)$.
   • Ein anderer Hilfspunkt war bei $y = -1$. Neu: $-1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{3} = -3$.

Ergebnis: Wir verbinden die finalen Punkte zu einer Parabel. Dies ist unser gesuchter Graph $f$.

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Aufgabentyp 2: Trigonometrische Funktionen anpassen

Das Prinzip beim Funktionsgraphen anpassen funktioniert bei trigonometrischen Funktionen (wie dem Sinus) ganz genauso! Auch hier lesen wir die Verschiebungen und Streckungen aus der Formel ab.

Bei Wellenfunktionen gibt es jedoch zwei besondere Begriffe, die uns das Zeichnen sehr leicht machen:

• Die Mittellinie: Das ist die unsichtbare waagerechte Linie, um die die Welle schwingt. Normalerweise liegt sie genau auf der $x$-Achse (bei $y=0$). Wenn wir die Funktion nach oben oder unten verschieben (Parameter $\textcolor{#9570FF}{d}$), verschiebt sich diese Mittellinie mit!
• Die Amplitude: Das ist der maximale Ausschlag der Welle nach oben und unten, gemessen von der Mittellinie. Normalerweise ist die Amplitude $1$. Der Streckungsfaktor $\textcolor{#53E5D6}{a}$ vor dem Sinus gibt uns direkt die neue Amplitude an.

Wenn wir also eine Funktion wie $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{3} \cdot \sin(x \textcolor{#08BFFF}{+ 2}) \textcolor{#9570FF}{+ 1}$ haben, verschieben wir zuerst die Welle (und damit die Mittellinie) und zeichnen dann den Ausschlag (die Amplitude) von dieser neuen Mittellinie aus ein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Verschiebung ablesen: Lies ab, wie weit der Graph nach links/rechts und nach oben/unten verschoben wird.
2. Neue Mittellinie und Hilfspunkte markieren: Zeichne in Gedanken (oder leicht mit Bleistift) die neue waagerechte Mittellinie ein. Verschiebe markante Punkte (wie die Nullstellen der Welle) an ihre neue Position auf dieser Mittellinie.
3. Amplitude (Ausschlag) einzeichnen: Lies den Streckungsfaktor ab. Das ist deine neue Amplitude. Gehe von den Punkten auf der Mittellinie entsprechend weit nach oben (für den Hochpunkt) und nach unten (für den Tiefpunkt).
4. Welle zeichnen: Verbinde die Punkte zu einer gleichmäßigen Welle.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Durch entsprechende Anpassung geht die Funktion $f$ mit $f(x)=\textcolor{#53E5D6}{3} \cdot \sin(x \textcolor{#08BFFF}{+ 2}) \textcolor{#9570FF}{+ 1}$ aus der Funktion $g$ mit $g(x)=\sin(x)$ hervor. Gegeben ist der Graph von $g$. Skizziere den Graphen der Funktion $f$ freihändig, ohne exakte Werte zu berechnen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Verschiebung und neue Mittellinie

   Die Ausgangsfunktion ist $g(x)=\sin(x)$. Wir lesen die Verschiebungen ab:

   • $x \textcolor{#08BFFF}{+ 2}$ bedeutet: Verschiebung um $2$ Einheiten nach links.
   • $\textcolor{#9570FF}{+ 1}$ am Ende bedeutet: Verschiebung um $1$ Einheit nach oben.

   Zur Orientierung verschieben wir die Nullstellen des Graphen (z. B. den Startpunkt bei $0|0$) um $2$ nach links und $1$ nach oben. Der neue Startpunkt liegt bei $(-2|1)$. Die neue Mittellinie der Welle liegt nun waagerecht auf der Höhe $y=1$.

   

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Amplitude einzeichnen

   Der Faktor vor dem Sinus ist $\textcolor{#53E5D6}{3}$. Das ist unsere neue Amplitude. Der Ausschlag der Schwingung geht also von der neuen Mittellinie aus um $3$ Einheiten nach oben (bis $y=4$) und um $3$ Einheiten nach unten (bis $y=-2$).

Ergebnis: Wir verbinden die Punkte zu einer gleichmäßigen Welle, die um die Mittellinie schwingt. Dies ist unser gesuchter Graph $f$.

Wichtige Erkenntnisse

• Verschiebung links/rechts: Eine Zahl direkt beim $x$ (in der Klammer). Achtung: Plus bedeutet links, Minus bedeutet rechts!
• Streckung/Amplitude: Ein Faktor, mit dem die Funktion multipliziert wird.
• Verschiebung oben/unten: Eine Zahl ganz am Ende der Formel.
• Die goldene Regel: Beachte immer die mathematische Reihenfolge (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich), um die Anpassungen in der richtigen Reihenfolge durchzuführen.