Funktionsgraphen transformieren einfach erklärt

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x^2$. In der neuen Funktion $g(x) = (x-3)^2$ wurde das $x$ durch $(x-3)$ ersetzt.

Die Form ist $(x - c)$ mit $c=3$. Das bedeutet eine Verschiebung um $3$ Einheiten nach rechts.

Wir nehmen den Scheitelpunkt $S(0|0)$ von $f(x)$. Wir verschieben ihn um 3 nach rechts: $S'(0+3 | 0) = (3|0)$. Ein weiterer Punkt ist $P(1|1)$. Wir verschieben ihn um 3 nach rechts: $P'(1+3 | 1) = (4|1)$. Noch ein Punkt: $Q(-2|4)$. Wir verschieben ihn um 3 nach rechts: $Q'(-2+3 | 4) = (1|4)$.

Wir verbinden die neuen Punkte $S'$, $P'$ und $Q'$ zu einer Parabel.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x^3$. In der neuen Funktion $h(x) = (x+2)^3$ wurde das $x$ durch $(x+2)$ ersetzt.

Die Form ist $(x + c)$ mit $c=2$. Das bedeutet eine Verschiebung um $2$ Einheiten nach links.

Wir nehmen den Wendepunkt $W(0|0)$ von $f(x)$. Verschiebung um 2 nach links: $W'(0-2 | 0) = (-2|0)$. Ein weiterer Punkt ist $P(1|1)$. Verschiebung um 2 nach links: $P'(1-2 | 1) = (-1|1)$. Noch ein Punkt: $Q(-1|-1)$. Verschiebung um 2 nach links: $Q'(-1-2 | -1) = (-3|-1)$.

Wir verbinden die neuen Punkte $W'$, $P'$ und $Q'$ zur neuen kubischen Funktion.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = \frac{1}{x}$. In der neuen Funktion $t(x) = \frac{1}{x+3}$ wurde $x$ durch $(x+3)$ ersetzt.

Die Form ist $(x + c)$ mit $c=3$. Das bedeutet eine Verschiebung um $3$ Einheiten nach links.

Die Funktion $f(x)$ hat eine senkrechte Asymptote bei $x=0$. Wir verschieben sie um 3 nach links, die neue Asymptote ist bei $x=-3$. Wir nehmen den Punkt $P(1|1)$. Verschiebung um 3 nach links: $P'(1-3 | 1) = (-2|1)$. Wir nehmen den Punkt $Q(-1|-1)$. Verschiebung um 3 nach links: $Q'(-1-3 | -1) = (-4|-1)$.

Wir zeichnen die neue Asymptote und die verschobenen Punkte und skizzieren die Hyperbel.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = \sqrt{x}$. In $g(x) = \sqrt{x-1}$ wurde $x$ durch $(x-1)$ ersetzt.

Die Form ist $(x - c)$ mit $c=1$. Das bedeutet eine Verschiebung um $1$ Einheit nach rechts.

Der Startpunkt von $f(x)$ ist $S(0|0)$. Wir verschieben ihn um 1 nach rechts: $S'(0+1 | 0) = (1|0)$. Ein weiterer Punkt ist $P(4|2)$. Wir verschieben ihn um 1 nach rechts: $P'(4+1 | 2) = (5|2)$.

Wir verbinden die neuen Punkte $S'$ und $P'$ zur verschobenen Wurzelfunktion.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = -2x$. In $h(x) = -2(x+1)$ wurde $x$ durch $(x+1)$ ersetzt.

Die Form ist $(x + c)$ mit $c=1$. Das bedeutet eine Verschiebung um $1$ Einheit nach links.

Wir nehmen den Ursprung $P(0|0)$. Verschiebung um 1 nach links: $P'(0-1 | 0) = (-1|0)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(1|-2)$. Verschiebung um 1 nach links: $Q'(1-1 | -2) = (0|-2)$.

Wir zeichnen eine Gerade durch die neuen Punkte $P'$ und $Q'$.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = 2x^2$. Die neue Funktion ist $g(x) = f(x) + 3$.

Es wird die Konstante $d=3$ addiert. Das bedeutet eine Verschiebung um $3$ Einheiten nach oben.

Wir nehmen den Scheitelpunkt $S(0|0)$ von $f(x)$. Wir verschieben ihn um 3 nach oben: $S'(0 | 0+3) = (0|3)$. Ein weiterer Punkt ist $P(1|2)$. Wir verschieben ihn um 3 nach oben: $P'(1 | 2+3) = (1|5)$. Noch ein Punkt: $Q(-1|2)$. Wir verschieben ihn um 3 nach oben: $Q'(-1 | 2+3) = (-1|5)$.

Wir verbinden die neuen Punkte $S'$, $P'$ und $Q'$ zur verschobenen Parabel.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x^3$. Die neue Funktion ist $h(x) = f(x) - 2$.

Es wird die Konstante $d=2$ subtrahiert. Das bedeutet eine Verschiebung um $2$ Einheiten nach unten.

Wir nehmen den Wendepunkt $W(0|0)$ von $f(x)$. Verschiebung um 2 nach unten: $W'(0 | 0-2) = (0|-2)$. Ein weiterer Punkt ist $P(1|1)$. Verschiebung um 2 nach unten: $P'(1 | 1-2) = (1|-1)$. Noch ein Punkt: $Q(-1|-1)$. Verschiebung um 2 nach unten: $Q'(-1 | -1-2) = (-1|-3)$.

Wir verbinden die neuen Punkte $W'$, $P'$ und $Q'$ zur neuen kubischen Funktion.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = 2x^2-3$. Wir können $h(x)$ umschreiben, um $f(x)$ zu verwenden: $h(x) = 2x^2+1 = (2x^2-3) + 4 = f(x) + 4$.

Es wird die Konstante $d=4$ addiert. Das bedeutet eine Verschiebung um $4$ Einheiten nach oben.

Der Scheitelpunkt von $f(x)$ ist $S(0|-3)$. Wir verschieben ihn um 4 nach oben: $S'(0 | -3+4) = (0|1)$. Ein Punkt ist $P(1|-1)$. Verschiebung um 4 nach oben: $P'(1 | -1+4) = (1|3)$. Ein Punkt ist $Q(-2|5)$. Verschiebung um 4 nach oben: $Q'(-2 | 5+4) = (-2|9)$.

Wir verbinden die neuen Punkte zur Parabel von $h(x)$.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = -x$. Die neue Funktion ist $g(x) = f(x) + 5$.

Es wird die Konstante $d=5$ addiert. Das bedeutet eine Verschiebung um $5$ Einheiten nach oben.

Wir nehmen den Ursprung $P(0|0)$. Verschiebung um 5 nach oben: $P'(0 | 0+5) = (0|5)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(2|-2)$. Verschiebung um 5 nach oben: $Q'(2 | -2+5) = (2|3)$.

Wir zeichnen eine Gerade durch die neuen Punkte $P'$ und $Q'$.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = \frac{1}{x}$. Die neue Funktion ist $t(x) = f(x) - 1$.

Es wird die Konstante $d=1$ subtrahiert. Das bedeutet eine Verschiebung um $1$ Einheit nach unten.

Die Funktion $f(x)$ hat eine waagerechte Asymptote bei $y=0$. Wir verschieben sie um 1 nach unten, die neue Asymptote ist bei $y=-1$. Wir nehmen den Punkt $P(1|1)$. Verschiebung um 1 nach unten: $P'(1 | 1-1) = (1|0)$. Wir nehmen den Punkt $Q(-1|-1)$. Verschiebung um 1 nach unten: $Q'(-1 | -1-1) = (-1|-2)$.

Wir zeichnen die neue Asymptote und die verschobenen Punkte und skizzieren die Hyperbel.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x^2$. Die neue Funktion ist $g(x) = 2 \cdot f(x)$. Der Faktor ist $a=2$.

Da $|2| > 1$, handelt es sich um eine Streckung in y-Richtung.

Der Scheitelpunkt $S(0|0)$ bleibt, da $2 \cdot 0 = 0$. Neuer Punkt: $S'(0|0)$. Ein Punkt ist $P(1|1)$. Neuer y-Wert: $2 \cdot 1 = 2$. Neuer Punkt: $P'(1|2)$. Ein Punkt ist $Q(2|4)$. Neuer y-Wert: $2 \cdot 4 = 8$. Neuer Punkt: $Q'(2|8)$.

Wir verbinden die neuen Punkte zu einer schmaleren Parabel.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x^2$. Die neue Funktion ist $h(x) = 0.5 \cdot f(x)$. Der Faktor ist $a=0.5$.

Da $0 < |0.5| < 1$, handelt es sich um eine Stauchung in y-Richtung.

Der Scheitelpunkt $S(0|0)$ bleibt. Neuer Punkt: $S'(0|0)$. Ein Punkt ist $P(1|1)$. Neuer y-Wert: $0.5 \cdot 1 = 0.5$. Neuer Punkt: $P'(1|0.5)$. Ein Punkt ist $Q(2|4)$. Neuer y-Wert: $0.5 \cdot 4 = 2$. Neuer Punkt: $Q'(2|2)$.

Wir verbinden die neuen Punkte zu einer breiteren Parabel.

Wir versuchen, $l(x)$ als Vielfaches von $k(x)$ darzustellen. $l(x) = -x^3+4 = 2 \cdot (-0,5x^3+2) = 2 \cdot k(x)$. Der Faktor ist $a=2$.

Da $|2| > 1$, handelt es sich um eine Streckung in y-Richtung um den Faktor 2.

Wir nehmen Punkte von $k(x)$: $P(0|2)$. Neuer y-Wert: $2 \cdot 2 = 4$. Neuer Punkt: $P'(0|4)$. Ein Punkt ist $Q(2|-2)$. Neuer y-Wert: $2 \cdot (-2) = -4$. Neuer Punkt: $Q'(2|-4)$. Ein Punkt ist $R(-2|6)$. Neuer y-Wert: $2 \cdot 6 = 12$. Neuer Punkt: $R'(-2|12)$.

Wir verbinden die neuen Punkte zum Graphen von $l(x)$.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = x-1$. Die neue Funktion ist $g(x) = -2 \cdot f(x)$. Der Faktor ist $a=-2$.

Da $|-2| > 1$, ist es eine Streckung. Da $a$ negativ ist, ist es zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.

Ein Punkt auf $f(x)$ ist die Nullstelle $N(1|0)$. Neuer y-Wert: $-2 \cdot 0 = 0$. Der Punkt $N'(1|0)$ bleibt fix (da er auf der Spiegelachse liegt). Ein Punkt ist $P(2|1)$. Neuer y-Wert: $-2 \cdot 1 = -2$. Neuer Punkt: $P'(2|-2)$. Ein Punkt ist $Q(0|-1)$. Neuer y-Wert: $-2 \cdot (-1) = 2$. Neuer Punkt: $Q'(0|2)$.

Wir zeichnen eine Gerade durch die neuen Punkte $N'$, $P'$ und $Q'$.

Die Ausgangsfunktion ist $f(x) = \frac{1}{x}$. Die neue Funktion ist $g(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = 3 \cdot f(x)$. Der Faktor ist $a=3$.

Da $|3| > 1$, handelt es sich um eine Streckung in y-Richtung.

Ein Punkt ist $P(1|1)$. Neuer y-Wert: $3 \cdot 1 = 3$. Neuer Punkt: $P'(1|3)$. Ein Punkt ist $Q(3|1/3)$. Neuer y-Wert: $3 \cdot (1/3) = 1$. Neuer Punkt: $Q'(3|1)$. Ein Punkt ist $R(-1|-1)$. Neuer y-Wert: $3 \cdot (-1) = -3$. Neuer Punkt: $R'(-1|-3)$.

Wir verbinden die neuen Punkte zur gestreckten Hyperbel. Sie ist weiter von den Achsen entfernt.

Die Reihenfolge ist vorgegeben: (1) 2 nach rechts, (2) 3 nach oben.

Wir wählen $S(0|0)$, $P(1|1)$ und $Q(-1|1)$ von $f(x)=x^2$.

• $S(0|0) \to S'(0+2|0) = (2|0)$
• $P(1|1) \to P'(1+2|1) = (3|1)$
• $Q(-1|1) \to Q'(-1+2|1) = (1|1)$

Wir nehmen die Hilfspunkte $S'$, $P'$, $Q'$:

• $S'(2|0) \to S''(2|0+3) = (2|3)$
• $P'(3|1) \to P''(3|1+3) = (3|4)$
• $Q'(1|1) \to Q''(1|1+3) = (1|4)$

Wir verbinden die finalen Punkte $S''$, $P''$ und $Q''$ zur neuen Parabel.

Die Reihenfolge ist: (1) Streckung mit Faktor 2, (2) 1 nach unten.

Wir wählen $W(0|0)$, $P(1|1)$ und $Q(-1|-1)$ von $f(x)=x^3$.

• $W(0|0) \to W'(0|2 \cdot 0) = (0|0)$
• $P(1|1) \to P'(1|2 \cdot 1) = (1|2)$
• $Q(-1|-1) \to Q'(-1|2 \cdot (-1)) = (-1|-2)$

Wir nehmen die Hilfspunkte $W'$, $P'$, $Q'$:

• $W'(0|0) \to W''(0|0-1) = (0|-1)$
• $P'(1|2) \to P''(1|2-1) = (1|1)$
• $Q'(-1|-2) \to Q''(-1|-2-1) = (-1|-3)$

Wir verbinden die finalen Punkte $W''$, $P''$ und $Q''$.

Die Reihenfolge ist: (1) 3 hoch, (2) 5 rechts, (3) Streckung mit Faktor 3.

Wir berechnen einige Punkte für $f(x)$: Der Scheitelpunkt ist bei $S(1|-3)$. Weitere Punkte sind $P(0|-4)$ und $Q(2|-4)$.

• $S(1|-3) \to S'(1|-3+3) = (1|0)$
• $P(0|-4) \to P'(0|-4+3) = (0|-1)$
• $Q(2|-4) \to Q'(2|-4+3) = (2|-1)$

• $S'(1|0) \to S''(1+5|0) = (6|0)$
• $P'(0|-1) \to P''(0+5|-1) = (5|-1)$
• $Q'(2|-1) \to Q''(2+5|-1) = (7|-1)$

• $S''(6|0) \to S'''(6|3 \cdot 0) = (6|0)$
• $P''(5|-1) \to P'''(5|3 \cdot (-1)) = (5|-3)$
• $Q''(7|-1) \to Q'''(7|3 \cdot (-1)) = (7|-3)$

Wir verbinden die finalen Punkte $S'''$, $P'''$ und $Q'''$ zur neuen, gestreckten und verschobenen Parabel.

Die Reihenfolge ist: (1) 1 nach links, (2) Spiegelung an der x-Achse (Streckung mit $a=-1$).

Wir wählen $P(1|1)$, $Q(-1|-1)$ und die senkrechte Asymptote $x=0$.

• Asymptote $x=0 \to x'=-1$
• $P(1|1) \to P'(1-1|1) = (0|1)$
• $Q(-1|-1) \to Q'(-1-1|-1) = (-2|-1)$

• Asymptote $x'=-1$ bleibt unverändert.
• $P'(0|1) \to P''(0|-1 \cdot 1) = (0|-1)$
• $Q'(-2|-1) \to Q''(-2|-1 \cdot (-1)) = (-2|1)$

Wir zeichnen die Asymptote bei $x=-1$ und die Hyperbel durch $P''$ und $Q''$.

Reihenfolge: (1) 3 rechts, (2) Stauchung mit 0.5, (3) 1 runter.

Wir wählen die Spitze $S(0|0)$ und die Punkte $P(2|2)$ und $Q(-2|2)$.

• $S(0|0) \to S'(3|0)$
• $P(2|2) \to P'(5|2)$
• $Q(-2|2) \to Q'(1|2)$

• $S'(3|0) \to S''(3|0.5 \cdot 0) = (3|0)$
• $P'(5|2) \to P''(5|0.5 \cdot 2) = (5|1)$
• $Q'(1|2) \to Q''(1|0.5 \cdot 2) = (1|1)$

• $S''(3|0) \to S'''(3|0-1) = (3|-1)$
• $P''(5|1) \to P'''(5|1-1) = (5|0)$
• $Q''(1|1) \to Q'''(1|1-1) = (1|0)$

Wir verbinden die finalen Punkte zu einer flacheren, verschobenen V-Form.