Was ist das Anpassen eines Funktionsterms?

Einen Funktionsterm anpassen bedeutet, den algebraischen Ausdruck einer Funktion gezielt zu verändern, um den zugehörigen Graphen zu verschieben, zu strecken, zu stauchen oder zu spiegeln. Statt den Graphen neu zu zeichnen, änderst du einfach den Term – zum Beispiel indem du x ersetzt oder eine Zahl addierst. Diese Technik ist grundlegend für das Verstehen von Funktionen in der Schule.

Wie verschiebst du einen Graphen nach rechts oder links?

Um einen Graphen horizontal zu verschieben , ersetzt du jedes x im Funktionsterm durch einen neuen Ausdruck. Nach rechts um c Einheiten: ersetze x durch (x − c) . Nach links um c Einheiten: ersetze x durch (x + c) . Achtung: Die Vorzeichen wirken umgekehrt, als man zunächst erwartet – das Minus steht für rechts!

Wie verschiebst du einen Graphen nach oben oder unten?

Eine vertikale Verschiebung ist besonders einfach: Du hängst einen Wert an den gesamten Funktionsterm an. Nach oben um d Einheiten: schreibe f(x) + d . Nach unten um d Einheiten: schreibe f(x) − d . Falls am Ende des Terms bereits eine Konstante steht, kannst du beide Zahlen direkt zusammenfassen.

Was ist der Unterschied zwischen Streckung und Stauchung in y-Richtung?

Bei einer Streckung in y-Richtung ist der Faktor c > 1 – der Graph wird steiler. Bei einer Stauchung gilt 0 < c < 1 – der Graph wird flacher. In beiden Fällen multiplizierst du den gesamten Funktionsterm mit dem Faktor c . Ist c negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Wie kombinierst du mehrere Anpassungen des Funktionsterms?

Wenn mehrere Anpassungen gefordert sind, gehst du Schritt für Schritt vor: Zuerst die Verschiebung in x-Richtung, dann Streckung oder Stauchung, zuletzt die Verschiebung in y-Richtung. Das Ergebnis jedes Schritts wird als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt verwendet. So verhinderst du Fehler und behältst den Überblick.

Funktionsterm anpassen erklärt

Q: Wie kombinierst du mehrere Anpassungen des Funktionsterms?

Wenn mehrere Anpassungen gefordert sind, gehst du Schritt für Schritt vor: Zuerst die Verschiebung in x-Richtung, dann Streckung oder Stauchung, zuletzt die Verschiebung in y-Richtung. Das Ergebnis jedes Schritts wird als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt verwendet. So verhinderst du Fehler und behältst den Überblick.

Stell dir vor, du designst ein Level für ein Videospiel oder erstellst einen Filter für eine Foto-App. Du hast eine Grundform – eine coole Kurve für eine Rennstrecke oder eine Welle für einen Soundeffekt – aber sie ist noch nicht perfekt. Sie muss ein bisschen nach rechts, etwas höher und vielleicht steiler sein. Genau das lernst du hier beim Funktionsterm anpassen: Du bekommst die „Regler" und „Schieber" für die Mathematik. Anstatt mühsam alles neu zu zeichnen, lernst du, wie du mit kleinen Änderungen am Funktionsterm den Graphen exakt so verschiebst, streckst und formst, wie du ihn brauchst. Das ist wie ein Cheat-Code, um Graphen zu meistern, ohne jedes Mal bei null anfangen zu müssen.

Vorwissen

Bevor wir die Graphen anpassen, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Funktionsterm: Das ist die „Bauanleitung" für einen Graphen. Er sagt uns, was wir mit einer Zahl $x$ machen sollen, um den y-Wert zu bekommen.
- Beispiel: Bei $f(x) = x^2 + 1$ nehmen wir eine Zahl $x$ , quadrieren sie und addieren 1.
Graph einer Funktion: Das ist die sichtbare Zeichnung des Funktionsterms in einem Koordinatensystem. Jeder Punkt auf dem Graphen erfüllt die Gleichung.
- Beispiel: Der Graph von $f(x) = x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel durch den Ursprung.

Parabel f(x)=x² als Graph im Koordinatensystem

Ausmultiplizieren (Distributivgesetz): Wenn eine Zahl vor einer Klammer steht, wird sie mit jedem Teil in der Klammer multipliziert.
- Formel: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
- Beispiel: $3 \cdot (x - 4) = 3x - 12$

Aufgabentyp 1: Verschieben nach links oder rechts (x-Richtung)

Um einen Graphen horizontal zu verschieben, müssen wir direkt die Variable $x$ im Funktionsterm verändern. Das ist ein bisschen knifflig, weil es genau umgekehrt ist, als man denkt!

Verschiebung nach rechts um $c$ Einheiten: Ersetze jedes $x$ durch $(x - c)$ .
Verschiebung nach links um $c$ Einheiten: Ersetze jedes $x$ durch $(x + c)$ .

Wichtig: Das Minuszeichen $-$ bedeutet eine Verschiebung in die positive (rechte) Richtung, und das Pluszeichen $+$ eine Verschiebung in die negative (linke) Richtung. Denk daran: „x lügt!"

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Richtung und Wert bestimmen: Lies aus der Aufgabe, in welche Richtung (links oder rechts) und um wie viele Einheiten ( $c$ ) der Graph verschoben wird.
Richtigen Ausdruck für x finden: Bei Verschiebung nach rechts um $c$ ist der Ausdruck $(x - c)$ ; bei Verschiebung nach links um $c$ ist es $(x + c)$ .
Jedes x im Funktionsterm ersetzen: Nimm den ursprünglichen Funktionsterm und ersetze jedes einzelne $x$ durch den Ausdruck aus Schritt 2. Setze dabei immer eine Klammer um den Ausdruck!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist der Graph $G_f$ von $f(x)=3x^3+x-1$ . Der Graph wird um 4 Einheiten nach rechts verschoben, sodass ein neuer Graph $G_t$ entsteht. Gib den Funktionsterm $t(x)$ an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 4 Einheiten nach rechts.
Schritt 2
Den richtigen Ausdruck für x finden
Eine Verschiebung nach rechts um $c=4$ bedeutet, wir müssen $x$ durch $(x - 4)$ ersetzen.
Schritt 3 · Ergebnis
Jedes x im Funktionsterm ersetzen
Der ursprüngliche Term lautet: $f(x) = 3x^3 + x - 1$ .

Wir ersetzen jedes $x$ durch $(x-4)$ :

$t(x) = 3(x-4)^3 + (x-4) - 1$

Ergebnis:

Das ist bereits der fertige Funktionsterm: $t(x) = 3(x-4)^3 + (x-4) - 1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph der Funktion $g(x) = x^2 - 5x$ wird um 2 Einheiten nach links verschoben. Wie lautet der neue Funktionsterm $k(x)$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 2 Einheiten nach links.
Schritt 2
Den richtigen Ausdruck für x finden
Eine Verschiebung nach links um $c=2$ bedeutet, wir müssen $x$ durch $(x + 2)$ ersetzen.
Schritt 3 · Ergebnis
Jedes x im Funktionsterm ersetzen
Der ursprüngliche Term lautet: $g(x) = x^2 - 5x$ .

Wir ersetzen jedes $x$ durch $(x+2)$ :

$k(x) = (x+2)^2 - 5(x+2)$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $k(x) = (x+2)^2 - 5(x+2)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die Funktion $h(x) = \frac{1}{x}$ wird um 7 Einheiten nach rechts verschoben. Gib den neuen Funktionsterm $m(x)$ an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 7 Einheiten nach rechts.
Schritt 2
Den richtigen Ausdruck für x finden
Eine Verschiebung nach rechts um $c=7$ bedeutet, wir müssen $x$ durch $(x - 7)$ ersetzen.
Schritt 3 · Ergebnis
Jedes x im Funktionsterm ersetzen
Der ursprüngliche Term lautet: $h(x) = \frac{1}{x}$ .

Wir ersetzen $x$ durch $(x-7)$ :

$m(x) = \frac{1}{x-7}$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $m(x) = \frac{1}{x-7}$ .

Aufgabentyp 2: Verschieben nach oben oder unten (y-Richtung)

Eine vertikale Verschiebung ist viel einfacher und direkter als eine horizontale. Hier gilt genau das, was man erwartet:

Verschiebung nach oben um $d$ Einheiten: Hänge ein $+d$ an den gesamten Funktionsterm an. Die neue Funktion ist $f(x) + d$ .
Verschiebung nach unten um $d$ Einheiten: Hänge ein $-d$ an den gesamten Funktionsterm an. Die neue Funktion ist $f(x) - d$ .

Du veränderst also nicht das $x$ im Inneren, sondern addierst oder subtrahierst einfach eine Zahl am Ende des gesamten Terms.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Richtung und Wert bestimmen: Lies aus der Aufgabe, in welche Richtung (oben oder unten) und um wie viele Einheiten ( $d$ ) der Graph verschoben wird.
Richtige Rechenoperation finden: Bei Verschiebung nach oben: Addition ( $+d$ ); bei Verschiebung nach unten: Subtraktion ( $-d$ ).
Funktionsterm anpassen: Nimm den gesamten ursprünglichen Funktionsterm und schreibe die Rechenoperation mit dem Wert $d$ dahinter.
Vereinfachen: Fasse die Zahlen am Ende des Terms zusammen, falls möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist der Graph $G_h$ von $h(x)=0{,}5 \cdot \frac{3}{x^4+x}+2$ . Verschiebt man $G_h$ um 6 Einheiten nach unten, so entsteht der Graph $G_k$ . Gib den Funktionsterm von $k(x)$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 6 Einheiten nach unten.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Eine Verschiebung nach unten bedeutet, wir müssen 6 subtrahieren.
Schritt 3
Den Funktionsterm anpassen
Der ursprüngliche Term lautet: $h(x) = 0{,}5 \cdot \frac{3}{x^4+x}+2$ .

Wir hängen $-6$ an:

$k(x) = \left(0{,}5 \cdot \frac{3}{x^4+x}+2\right) - 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir fassen die Zahlen am Ende zusammen: $2 - 6 = -4$ .

$k(x) = 0{,}5 \cdot \frac{3}{x^4+x} - 4$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $k(x) = 0{,}5 \cdot \frac{3}{x^4+x} - 4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^2 - 3$ wird um 5 Einheiten nach oben verschoben. Wie lautet der neue Funktionsterm $g(x)$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 5 Einheiten nach oben.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Eine Verschiebung nach oben bedeutet, wir müssen 5 addieren.
Schritt 3
Den Funktionsterm anpassen
Der ursprüngliche Term lautet: $f(x) = 2x^2 - 3$ .

Wir hängen $+5$ an:

$g(x) = (2x^2 - 3) + 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir fassen die Zahlen zusammen: $-3 + 5 = 2$ .

$g(x) = 2x^2 + 2$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $g(x) = 2x^2 + 2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die Funktion $h(x) = \sqrt{x}$ wird um 1 Einheit nach unten verschoben. Gib den neuen Funktionsterm $m(x)$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Richtung und Wert der Verschiebung bestimmen
Die Verschiebung ist um 1 Einheit nach unten.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Eine Verschiebung nach unten bedeutet, wir müssen 1 subtrahieren.
Schritt 3
Den Funktionsterm anpassen
Der ursprüngliche Term lautet: $h(x) = \sqrt{x}$ .

Wir hängen $-1$ an:

$m(x) = \sqrt{x} - 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Hier gibt es nichts weiter zu vereinfachen. Der Term ist fertig.

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $m(x) = \sqrt{x} - 1$ .

Aufgabentyp 3: Strecken oder Stauchen in y-Richtung

Wenn wir einen Graphen in y-Richtung strecken oder stauchen, wird jeder y-Wert mit einem bestimmten Faktor multipliziert. Das macht den Graphen steiler (Streckung) oder flacher (Stauchung).

Die Regel lautet: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit dem Faktor $c$ . Die neue Funktion ist $c \cdot f(x)$ .

Streckung: Wenn der Faktor $c > 1$ ist (z. B. 2, 3, 5,5).
Stauchung (Zusammendrücken): Wenn der Faktor $0 < c < 1$ ist (z. B. 0,5, $\frac{1}{3}$ ).
Spiegelung an der x-Achse: Wenn der Faktor negativ ist (z. B. -1, -2), wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Streckfaktor bestimmen: Lies den Faktor $c$ aus der Aufgabenstellung ab.
Gesamten Funktionsterm in Klammern setzen: Nimm den ursprünglichen Funktionsterm und setze eine große Klammer darum: $(f(x))$ .
Faktor vor die Klammer schreiben: Schreibe den Faktor $c$ direkt vor die Klammer: $c \cdot (f(x))$ .
Ausmultiplizieren (falls nötig): Multipliziere den Faktor $c$ mit jedem einzelnen Teilterm in der Klammer, um die Klammer aufzulösen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist der Graph $G_m$ von $m(x)=1{,}5x^2-0{,}5x+3$ . Der Graph wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, sodass ein neuer Graph $G_n$ entsteht. Gib den Funktionsterm $n(x)$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor bestimmen
Der Streckfaktor ist $c=2$ . Da $2 > 1$ , ist es eine Streckung.
Schritt 2
Den gesamten Funktionsterm in Klammern setzen
Der ursprüngliche Term ist $(1{,}5x^2-0{,}5x+3)$ .
Schritt 3
Faktor vor die Klammer schreiben
Wir schreiben den Faktor $2$ davor:

$n(x) = 2 \cdot (1{,}5x^2-0{,}5x+3)$
Schritt 4 · Ergebnis
Ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die 2 mit jedem Teil in der Klammer:

$n(x) = 2 \cdot 1{,}5x^2 - 2 \cdot 0{,}5x + 2 \cdot 3$

$n(x) = 3x^2 - 1x + 6$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $n(x) = 3x^2 - x + 6$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ wird mit dem Faktor 0,5 in y-Richtung gestaucht. Wie lautet der neue Funktionsterm $g(x)$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor bestimmen
Der Faktor ist $c=0{,}5$ . Da $0 < 0{,}5 < 1$ , ist es eine Stauchung.
Schritt 2
Den gesamten Funktionsterm in Klammern setzen
Der ursprüngliche Term ist $(x^3 - 4x)$ .
Schritt 3
Faktor vor die Klammer schreiben
$g(x) = 0{,}5 \cdot (x^3 - 4x)$
Schritt 4 · Ergebnis
Ausmultiplizieren
$g(x) = 0{,}5 \cdot x^3 - 0{,}5 \cdot 4x$

$g(x) = 0{,}5x^3 - 2x$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $g(x) = 0{,}5x^3 - 2x$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Der Graph der Funktion $h(x) = 2x+4$ wird an der x-Achse gespiegelt. Gib den neuen Funktionsterm $k(x)$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor bestimmen
Eine Spiegelung an der x-Achse entspricht einer Streckung mit dem Faktor $c=-1$ .
Schritt 2
Den gesamten Funktionsterm in Klammern setzen
Der ursprüngliche Term ist $(2x+4)$ .
Schritt 3
Faktor vor die Klammer schreiben
$k(x) = -1 \cdot (2x+4)$
Schritt 4 · Ergebnis
Ausmultiplizieren
$k(x) = -1 \cdot 2x + (-1) \cdot 4$

$k(x) = -2x - 4$

Ergebnis:

Der neue Funktionsterm lautet $k(x) = -2x - 4$ .

Aufgabentyp 4: Mehrere Anpassungen kombinieren

Oft muss man einen Graphen auf mehrere Weisen anpassen, zum Beispiel zuerst verschieben und dann strecken. Dabei geht man einfach Schritt für Schritt vor.

Die Reihenfolge ist wichtig! Die übliche Reihenfolge ist:

Verschiebungen in x-Richtung (links/rechts).
Streckungen/Stauchungen.
Verschiebungen in y-Richtung (oben/unten).

Du nimmst das Ergebnis des ersten Schritts und wendest darauf die zweite Anpassung an.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Alle Anpassungen auflisten: Schreibe alle geforderten Änderungen (z. B. „3 nach rechts", „Faktor 2 strecken", „5 nach unten") untereinander auf.
Erste Anpassung durchführen: Nimm den ursprünglichen Funktionsterm und wende die erste Anpassung (meist die x-Verschiebung) an. Du erhältst einen Zwischenterm.
Zweite Anpassung auf den neuen Term anwenden: Nimm den Zwischenterm aus Schritt 2 und wende die nächste Anpassung (z. B. die Streckung) darauf an. Achte darauf, den gesamten Term zu klammern, wenn du streckst.
Weitere Anpassungen durchführen: Wiederhole den Vorgang, bis alle Anpassungen aus deiner Liste abgearbeitet sind. Vereinfache am Ende den finalen Term.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ wird zuerst um 3 Einheiten nach rechts verschoben und anschließend mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt. Gib den neuen Funktionsterm $g(x)$ an.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alle Anpassungen auflisten
1. Um 3 nach rechts verschieben.
2. Mit Faktor 2 strecken.
Schritt 2
Erste Anpassung durchführen (Verschiebung)
Original: $f(x) = x^2$ . Nach rechts um 3 verschieben bedeutet, $x$ durch $(x-3)$ zu ersetzen. Zwischenterm $f_1(x) = (x-3)^2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Anpassung auf den neuen Term anwenden (Streckung)
Wir nehmen den Zwischenterm $f_1(x)$ und multiplizieren ihn mit dem Faktor $2$ .

$g(x) = 2 \cdot (f_1(x))$

$g(x) = 2 \cdot (x-3)^2$

Ergebnis:

Der finale Term ist $g(x) = 2(x-3)^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph von $f(x) = x$ wird mit dem Faktor 3 gestreckt und dann um 4 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet der neue Funktionsterm $g(x)$ ?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alle Anpassungen auflisten
1. Mit Faktor 3 strecken.
2. Um 4 nach unten verschieben.
Schritt 2
Erste Anpassung durchführen (Streckung)
Original: $f(x) = x$ . Mit Faktor $3$ strecken: Zwischenterm $f_1(x) = 3 \cdot x = 3x$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Anpassung auf den neuen Term anwenden (Verschiebung)
Wir nehmen den Zwischenterm $f_1(x)$ und verschieben ihn um $4$ nach unten, indem wir 4 subtrahieren.

$g(x) = f_1(x) - 4$

$g(x) = 3x - 4$

Ergebnis:

Der finale Term ist $g(x) = 3x - 4$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = x^3$ . Verschiebe den Graphen um 1 Einheit nach links und danach um 5 Einheiten nach oben. Gib den neuen Term $g(x)$ an.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alle Anpassungen auflisten
1. Um 1 nach links verschieben.
2. Um 5 nach oben verschieben.
Schritt 2
Erste Anpassung durchführen (x-Verschiebung)
Original: $f(x) = x^3$ . Nach links um 1 verschieben bedeutet, $x$ durch $(x+1)$ zu ersetzen. Zwischenterm $f_1(x) = (x+1)^3$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Anpassung auf den neuen Term anwenden (y-Verschiebung)
Wir nehmen den Zwischenterm $f_1(x)$ und addieren $5$ .

$g(x) = f_1(x) + 5$

$g(x) = (x+1)^3 + 5$

Ergebnis:

Der finale Term ist $g(x) = (x+1)^3 + 5$ .

Wichtige Erkenntnisse

Verschiebung nach rechts/links (x-Richtung): Ersetze jedes $x$ durch $(x-c)$ (rechts) oder $(x+c)$ (links). Achtung, umgekehrte Logik!
Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung): Hänge $+d$ (oben) oder $-d$ (unten) an den ganzen Term an.
Streckung/Stauchung (y-Richtung): Multipliziere den gesamten Term mit dem Faktor $c$ . Setze den ursprünglichen Term dafür in Klammern.
Kombinationen: Führe die Anpassungen Schritt für Schritt nacheinander durch. Das Ergebnis eines Schritts ist der Ausgangspunkt für den nächsten.

Funktionsterm anpassen: Verschieben, Strecken, Kombinieren

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Verschieben nach links oder rechts (x-Richtung)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 2: Verschieben nach oben oder unten (y-Richtung)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 3: Strecken oder Stauchen in y-Richtung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 4: Mehrere Anpassungen kombinieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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