Was ist das Modellieren von quadratischen Gleichungen?

Modellieren von quadratischen Gleichungen bedeutet, eine reale Situation oder gegebene Informationen (wie Punkte, Scheitelpunkte oder Streckfaktoren) in eine quadratische Funktionsgleichung zu übersetzen. Das Ergebnis ist eine Gleichung der Form f(x) = ax² + bx + c oder f(x) = a(x−d)² + e , mit der du z. B. Flugbahnen, Brückenbögen oder Wasserfontänen beschreiben kannst.

Wie stellst du eine quadratische Funktion aus Scheitelpunkt und Punkt auf?

Wenn der Scheitelpunkt S(d|e) und ein weiterer Punkt P(x|y) bekannt sind, nutzt du die Scheitelpunktform f(x) = a(x−d)² + e . Setze zuerst d und e ein. Danach setzt du die Koordinaten von P ein und löst nach dem Streckfaktor a auf. So erhältst du die vollständige Funktionsgleichung in fünf Schritten.

Wie gehst du vor, wenn Streckfaktor und zwei Punkte gegeben sind?

Sind Streckfaktor a und zwei Punkte gegeben, nutzt du die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c . Setze a direkt ein. Dann setzt du beide Punkte nacheinander ein und erhältst zwei Gleichungen. Dieses Lineare Gleichungssystem (LGS) löst du mit dem Einsetzungsverfahren, um b und c zu bestimmen.

Wie löst du Sachaufgaben mit quadratischen Gleichungen?

Bei Sachaufgaben übersetzt du zunächst alle Textangaben in mathematische Konzepte: „maximale Höhe" bedeutet Scheitelpunkt, „landet auf dem Boden" bedeutet Nullstelle, „Starthöhe" ist der y-Achsenabschnitt. Danach stellst du wie gewohnt die Funktionsgleichung auf und berechnest die gefragte Größe. Am Ende formulierst du einen Antwortsatz mit Einheit und prüfst, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Was ist der Unterschied zwischen Scheitelpunktform und allgemeiner Form?

Die Scheitelpunktform f(x) = a(x−d)² + e eignet sich, wenn der höchste oder tiefste Punkt (Scheitelpunkt) bekannt ist – du kannst d und e direkt ablesen. Die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c nutzt du, wenn kein Scheitelpunkt gegeben ist, dafür aber der Streckfaktor und zwei Punkte. Beide Formen beschreiben dieselbe Parabel, nur aus unterschiedlichem Blickwinkel.

Quadratische Gleichungen modellieren

Hast du dich jemals gefragt, wie die perfekte Flugkurve in einem Videospiel wie Angry Birds berechnet wird? Oder wie Ingenieure die Spannweite einer Brücke planen? Die Antwort ist keine Magie, sondern Mathematik – genauer gesagt, quadratische Gleichungen modellieren! Dieses Thema ist dein persönlicher „Cheat Code", um die Welt um dich herum zu verstehen und zu berechnen. Du lernst, wie man aus ein paar Informationen, wie der Höhe eines Wurfs oder der Position eines Objekts, die gesamte Flugbahn vorhersagen kann. Das ist nicht nur für gute Noten wichtig, sondern eine echte Superkraft, um reale Probleme zu lösen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Quadratische Funktion (Allgemeine Form): Beschreibt eine Parabel.
- Formel: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Beispiel: $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.
Quadratische Funktion (Scheitelpunktform): Ideal, wenn der höchste oder tiefste Punkt (Scheitelpunkt) bekannt ist.
- Formel: $f(x) = a(x-d)^2 + e$
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = 3(x-4)^2 + 2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $S(4|2)$ .
Punkt auf einem Graphen: Wenn ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen.
- Beispiel: Liegt der Punkt $P(2|7)$ auf dem Graphen von $f(x) = x^2 + 3$ ? Wir setzen $x=2$ ein: $f(2) = 2^2 + 3 = 4+3 = 7$ . Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da das Ergebnis 7 ist.
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Ein Verfahren, um mehrere Unbekannte (z.B. $b$ und $c$ ) zu finden, wenn man mehrere Gleichungen hat.
- Beispiel: $\text{(I)}: c = 4+b$ $\text{(II)}: 2+b+c = 4$ Wir setzen (I) in (II) ein: $2+b+(4+b) = 4$ , was zu $b=-1$ führt. Dann setzen wir $b=-1$ in (I) ein und erhalten $c=3$ .

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt bestimmen

Sehr oft hast du in einer Aufgabe den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel – den Scheitelpunkt $S(d|e)$ – und einen weiteren Punkt $P(x|y)$ gegeben. Dein Ziel ist es, die vollständige Funktionsgleichung zu finden.

Der beste Weg dafür ist die Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2+e$ .

Die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(d|e)$ kannst du direkt in die Formel einsetzen.
Danach bleibt nur noch der Streckfaktor $a$ als Unbekannte übrig.
Um $a$ zu finden, setzt du die Koordinaten des weiteren Punktes $P(x|y)$ in die Gleichung ein und löst nach $a$ auf.

Parabelgraph mit Scheitelpunkt und weiterem Punkt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere die allgemeine Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2+e$ .
Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(d|e)$ für $d$ und $e$ ein. Achtung: Das Vorzeichen von $d$ in der Klammer dreht sich um!
Setze die Koordinaten des zweiten Punktes $P(x|y)$ für $x$ und $f(x)$ ein.
Löse die Gleichung nach dem Streckfaktor $a$ auf.
Gib die vollständige Funktionsgleichung mit den Werten für $a$ , $d$ und $e$ an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Flugbahn eines Basketballs ist parabelförmig. Der höchste Punkt der Flugbahn ist der Scheitelpunkt $S(4|5)$ . Der Korb befindet sich am Punkt $P(7|3)$ . Bestimme die Funktionsgleichung der Flugbahn.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Scheitelpunktform notieren
$f(x) = a(x-d)^2+e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Der Scheitelpunkt ist $S(4|5)$ . Wir setzen $d=4$ und $e=5$ ein.

$f(x) = a(x-4)^2+5$
Schritt 3
Weiteren Punkt einsetzen
Der Ball fliegt durch den Punkt $P(7|3)$ . Wir setzen $x=7$ und $f(x)=3$ ein.

$3 = a(7-4)^2+5$
Schritt 4
Nach Streckfaktor $a$ auflösen
Jetzt lösen wir die Gleichung nach $a$ auf.

$3 = a(3)^2+5$

$3 = 9a+5 \quad | -5$

$-2 = 9a \quad | \div 9$

$a = -\frac{2}{9}$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a = -\frac{2}{9}$ , $d=4$ und $e=5$ in die Scheitelpunktform ein.

Ergebnis:

$f(x) = -\frac{2}{9}(x-4)^2+5$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Hängebrücke wird von einem parabelförmigen Seil getragen. Der tiefste Punkt des Seils (Scheitelpunkt) liegt bei $S(0|10)$ . Ein Aufhängepunkt befindet sich bei $P(50|35)$ . Finde die Funktionsgleichung, die das Seil beschreibt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Scheitelpunktform notieren
$f(x) = a(x-d)^2+e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Der Scheitelpunkt ist $S(0|10)$ . Wir setzen $d=0$ und $e=10$ ein.

$f(x) = a(x-0)^2+10$

$f(x) = ax^2+10$
Schritt 3
Weiteren Punkt einsetzen
Der Aufhängepunkt ist $P(50|35)$ . Wir setzen $x=50$ und $f(x)=35$ ein.

$35 = a(50)^2+10$
Schritt 4
Nach Streckfaktor $a$ auflösen
$35 = a \cdot 2500 + 10 \quad \mid -10$

$25 = 2500a \quad \mid \div 2500$

$a = \frac{25}{2500} = \frac{1}{100} = 0.01$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a = 0.01$ , $d=0$ und $e=10$ in die Scheitelpunktform ein.

Ergebnis:

$f(x) = 0.01x^2+10$

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Skateboarder fährt in einer Halfpipe. Der tiefste Punkt seiner Bahn ist der Scheitelpunkt $S(3|1)$ . Er erreicht den Rand der Rampe am Punkt $P(7|5)$ . Bestimme die Funktionsgleichung seiner Bahn.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Scheitelpunktform notieren
$f(x) = a(x-d)^2+e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Der Scheitelpunkt ist $S(3|1)$ . Wir setzen $d=3$ und $e=1$ ein.

$f(x) = a(x-3)^2+1$
Schritt 3
Weiteren Punkt einsetzen
Der Rand der Rampe ist bei $P(7|5)$ . Wir setzen $x=7$ und $f(x)=5$ ein.

$5 = a(7-3)^2+1$
Schritt 4
Nach Streckfaktor $a$ auflösen
$5 = a(4)^2+1$

$5 = 16a+1 \quad | -1$

$4 = 16a \quad | \div 16$

$a = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a = 0.25$ , $d=3$ und $e=1$ in die Scheitelpunktform ein.

Ergebnis:

$f(x) = 0.25(x-3)^2+1$

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Delfin springt aus dem Wasser. Seine Flugbahn ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(2|3)$ . Er taucht an der Stelle $P(5|0)$ wieder ins Wasser ein. Wie lautet die Funktionsgleichung der Flugbahn?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Scheitelpunktform notieren
$f(x) = a(x-d)^2+e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Der Scheitelpunkt ist $S(2|3)$ . Wir setzen $d=2$ und $e=3$ ein.

$f(x) = a(x-2)^2+3$
Schritt 3
Weiteren Punkt einsetzen
Der Delfin landet bei $P(5|0)$ . Wir setzen $x=5$ und $f(x)=0$ ein.

$0 = a(5-2)^2+3$
Schritt 4
Nach Streckfaktor $a$ auflösen
$0 = a(3)^2+3$

$0 = 9a+3 \quad | -3$

$-3 = 9a \quad | \div 9$

$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a = -\frac{1}{3}$ , $d=2$ und $e=3$ in die Scheitelpunktform ein.

Ergebnis:

$f(x) = -\frac{1}{3}(x-2)^2+3$

Beispiel 5

Aufgabe

Der Bogen einer steinernen Brücke ist parabelförmig. Der höchste Punkt des Bogens (Scheitelpunkt) liegt bei $S(10|8)$ . Das Fundament des Bogens auf einer Seite ist bei $P(0|0)$ . Bestimme die Funktionsgleichung des Brückenbogens.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Scheitelpunktform notieren
$f(x) = a(x-d)^2+e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Der Scheitelpunkt ist $S(10|8)$ . Wir setzen $d=10$ und $e=8$ ein.

$f(x) = a(x-10)^2+8$
Schritt 3
Weiteren Punkt einsetzen
Das Fundament liegt bei $P(0|0)$ . Wir setzen $x=0$ und $f(x)=0$ ein.

$0 = a(0-10)^2+8$
Schritt 4
Nach Streckfaktor $a$ auflösen
$0 = a(-10)^2+8$

$0 = 100a+8 \quad | -8$

$-8 = 100a \quad | \div 100$

$a = -\frac{8}{100} = -0.08$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a = -0.08$ , $d=10$ und $e=8$ in die Scheitelpunktform ein.

Ergebnis:

$f(x) = -0.08(x-10)^2+8$

Aufgabentyp 2: Funktionsgleichung aus Streckfaktor und zwei Punkten bestimmen

Manchmal kennst du den Scheitelpunkt nicht. Stattdessen sind der Streckfaktor $a$ und zwei Punkte $P_1$ und $P_2$ gegeben. In diesem Fall ist die Allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ dein Werkzeug.

Den Streckfaktor $a$ kannst du direkt in die Formel einsetzen.
Es bleiben die zwei Unbekannten $b$ und $c$ .
Um diese zu finden, setzt du nacheinander die Koordinaten der beiden Punkte ein. Dadurch erhältst du zwei Gleichungen.
Diese beiden Gleichungen bilden ein Lineares Gleichungssystem (LGS), das du lösen musst, um $b$ und $c$ zu bestimmen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere die allgemeine Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
Setze den gegebenen Streckfaktor $a$ in die Gleichung ein.
Stelle das LGS auf: Setze die Koordinaten von $P_1$ ein (Gleichung I) und dann die Koordinaten von $P_2$ (Gleichung II).
Löse das LGS mit dem Einsetzungsverfahren, um $b$ und $c$ zu bestimmen.
Gib die vollständige Funktionsgleichung mit den Werten für $a$ , $b$ und $c$ an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Parabel hat den Streckfaktor $a=3$ und verläuft durch die Punkte $P_1(1|2)$ und $P_2(2|11)$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Schritt 2
Streckfaktor einsetzen
Der Streckfaktor ist $a=3$ .

$f(x) = 3x^2 + bx + c$
Schritt 3
LGS aufstellen
Wir setzen die Punkte $P_1(1|2)$ und $P_2(2|11)$ ein.

Für $P_1$ : $2 = 3(1)^2 + b(1) + c \quad \to \quad 2 = 3 + b + c \quad \to \quad -1 = b+c \quad \text{(I)}$

Für $P_2$ : $11 = 3(2)^2 + b(2) + c \quad \to \quad 11 = 12 + 2b + c \quad \to \quad -1 = 2b+c \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir stellen Gleichung (I) nach $c$ um:

$c = -1 - b$

Jetzt setzen wir dies in Gleichung (II) ein:

$-1 = 2b + (-1-b)$

$-1 = b - 1 \quad | +1$

$b = 0$

Nun setzen wir $b=0$ in die umgestellte Gleichung ein, um $c$ zu finden:

$c = -1 - 0 = -1$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Mit $a=3$ , $b=0$ und $c=-1$ lautet die Gleichung:

Ergebnis:

$f(x) = 3x^2 - 1$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine quadratische Funktion hat den Streckfaktor $a=-1$ und geht durch die Punkte $P_1(-1|5)$ und $P_2(3|1)$ . Finde die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Schritt 2
Streckfaktor einsetzen
$a=-1$ .

$f(x) = -1x^2 + bx + c$
Schritt 3
LGS aufstellen
Wir setzen $P_1(-1|5)$ und $P_2(3|1)$ ein.

Für $P_1$ : $5 = -1(-1)^2 + b(-1) + c \quad \to \quad 5 = -1 - b + c \quad \to \quad 6 = -b+c \quad \text{(I)}$

Für $P_2$ : $1 = -1(3)^2 + b(3) + c \quad \to \quad 1 = -9 + 3b + c \quad \to \quad 10 = 3b+c \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir stellen (I) nach $c$ um: $c = 6 + b$ .

Einsetzen in (II):

$10 = 3b + (6+b)$

$10 = 4b + 6 \quad | -6$

$4 = 4b \quad | \div 4$

$b = 1$

Zurück einsetzen in $c = 6 + b$ :

$c = 6 + 1 = 7$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Mit $a=-1$ , $b=1$ und $c=7$ lautet die Gleichung:

Ergebnis:

$f(x) = -x^2 + x + 7$

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Parabel ist mit $a=0.5$ gestaucht. Sie verläuft durch den Ursprung $P_1(0|0)$ und den Punkt $P_2(4|4)$ . Wie lautet ihre Gleichung?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Schritt 2
Streckfaktor einsetzen
$a=0.5$ .

$f(x) = 0.5x^2 + bx + c$
Schritt 3
LGS aufstellen
Wir setzen $P_1(0|0)$ und $P_2(4|4)$ ein.

Für $P_1$ : $0 = 0.5(0)^2 + b(0) + c \quad \to \quad 0 = 0 + 0 + c \quad \to \quad c=0 \quad \text{(I)}$

Für $P_2$ : $4 = 0.5(4)^2 + b(4) + c \quad \to \quad 4 = 0.5 \cdot 16 + 4b + c \quad \to \quad 4 = 8 + 4b+c \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Aus Gleichung (I) wissen wir direkt, dass $c=0$ . Das können wir in Gleichung (II) einsetzen:

$4 = 8 + 4b + 0 \quad | -8$

$-4 = 4b \quad | \div 4$

$b = -1$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Mit $a=0.5$ , $b=-1$ und $c=0$ lautet die Gleichung:

Ergebnis:

$f(x) = 0.5x^2 - x$

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Gleichung einer Parabel mit dem Streckfaktor $a=2$ , die durch die Punkte $P_1(-2|10)$ und $P_2(1|4)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Schritt 2
Streckfaktor einsetzen
$a=2$ .

$f(x) = 2x^2 + bx + c$
Schritt 3
LGS aufstellen
Wir setzen $P_1(-2|10)$ und $P_2(1|4)$ ein.

Für $P_1$ : $10 = 2(-2)^2 + b(-2) + c \quad \to \quad 10 = 8 - 2b + c \quad \to \quad 2 = -2b+c \quad \text{(I)}$

Für $P_2$ : $4 = 2(1)^2 + b(1) + c \quad \to \quad 4 = 2 + b + c \quad \to \quad 2 = b+c \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir stellen (II) nach $c$ um: $c = 2 - b$ .

Einsetzen in (I):

$2 = -2b + (2-b)$

$2 = -3b + 2 \quad | -2$

$0 = -3b \quad | \div (-3)$

$b = 0$

Zurück einsetzen in $c = 2 - b$ :

$c = 2 - 0 = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Mit $a=2$ , $b=0$ und $c=2$ lautet die Gleichung:

Ergebnis:

$f(x) = 2x^2 + 2$

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Parabel hat den Streckfaktor $a=-0.25$ und verläuft durch $P_1(-4|-5)$ und $P_2(2|-5)$ . Finde die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Schritt 2
Streckfaktor einsetzen
$a=-0.25$ .

$f(x) = -0.25x^2 + bx + c$
Schritt 3
LGS aufstellen
Wir setzen $P_1(-4|-5)$ und $P_2(2|-5)$ ein.

Für $P_1$ : $-5 = -0.25(-4)^2 + b(-4) + c \quad \to \quad -5 = -4 - 4b + c \quad \to \quad -1 = -4b+c \quad \text{(I)}$

Für $P_2$ : $-5 = -0.25(2)^2 + b(2) + c \quad \to \quad -5 = -1 + 2b + c \quad \to \quad -4 = 2b+c \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir stellen (II) nach $c$ um: $c = -4 - 2b$ .

Einsetzen in (I):

$-1 = -4b + (-4-2b)$

$-1 = -6b - 4 \quad | +4$

$3 = -6b \quad | \div (-6)$

$b = -\frac{3}{6} = -0.5$

Zurück einsetzen in $c = -4 - 2b$ :

$c = -4 - 2(-0.5) = -4 + 1 = -3$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktionsgleichung angeben
Mit $a=-0.25$ , $b=-0.5$ und $c=-3$ lautet die Gleichung:

Ergebnis:

$f(x) = -0.25x^2 - 0.5x - 3$

Aufgabentyp 3: Sachaufgaben lösen

Bei Sachaufgaben, oft auch Modellierungsaufgaben genannt, übersetzt du eine reale Situation in die Sprache der Mathematik. Die größte Herausforderung ist, die gegebenen Informationen richtig zu deuten und in mathematische Bedingungen zu übersetzen.

Typische Übersetzungen:

„Höchster/tiefster Punkt", „maximale Höhe" $\to$ Scheitelpunkt
„Starthöhe", „Abschusshöhe" $\to$ y-Achsenabschnitt, also der Punkt $P(0|y)$
„landet auf dem Boden", „trifft auf Wasser" $\to$ Nullstelle, also der Punkt $P(x|0)$
„horizontale Entfernung", „Weite" $\to$ x-Wert

Sobald du die Informationen übersetzt hast, gehst du genauso vor wie in den Aufgabentypen 1 oder 2, um die Funktionsgleichung aufzustellen. Am Ende musst du oft noch eine Frage beantworten, z.B. die Wurfweite berechnen, indem du die Nullstelle findest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Extrahiere alle Informationen aus dem Text und übersetze Begriffe in mathematische Konzepte (Scheitelpunkt, Punkt, Nullstelle etc.). Eine Skizze kann hier extrem hilfreich sein!
Wähle die passende Funktionsform: Scheitelpunktform bei gegebenem Scheitelpunkt, Allgemeine Form bei Streckfaktor und zwei Punkten.
Stelle die Funktionsgleichung auf (wie in Aufgabentyp 1 oder 2).
Berechne die gefragte Größe: Nullstelle, y-Wert für ein bestimmtes $x$ , oder Scheitelpunkt.
Formuliere einen Antwortsatz mit korrekten Einheiten und prüfe, ob das Ergebnis im Kontext Sinn ergibt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Wasserfontäne schießt Wasser in einem parabelförmigen Bogen. Der Wasserstrahl startet bei $P(0|1)$ , erreicht seine maximale Höhe im Scheitelpunkt $S(3|10)$ . Wo trifft der Wasserstrahl wieder auf der Höhe von 1 Meter auf? (z.B. in einem Beckenrand)

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Maximale Höhe: Scheitelpunkt $S(3|10)$ .
- Startpunkt: Ein weiterer Punkt $P(0|1)$ .
- Gesucht: Der x-Wert, bei dem die Höhe wieder $y=1$ ist.
Schritt 2
Passende Form wählen
Da der Scheitelpunkt gegeben ist, verwenden wir die Scheitelpunktform.
Schritt 3
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = a(x-d)^2+e$

Scheitelpunkt $S(3|10)$ einsetzen: $f(x) = a(x-3)^2+10$ .

Punkt $P(0|1)$ einsetzen, um $a$ zu finden:

$1 = a(0-3)^2+10$

$1 = a(-3)^2+10$

$1 = 9a+10 \quad |-10$

$-9 = 9a \quad |\div 9$

$a = -1$

Die Funktionsgleichung lautet: $f(x) = -(x-3)^2+10$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Gefragte Größe berechnen
Wir wollen wissen, bei welchem $x$ die Höhe wieder $1$ ist. Also setzen wir $f(x)=1$ .

$1 = -(x-3)^2+10 \quad |-10$

$-9 = -(x-3)^2 \quad |\cdot(-1)$

$9 = (x-3)^2 \quad |\sqrt{}$

$\pm 3 = x-3$

Wir erhalten zwei Lösungen:

Lösung 1: $3 = x-3 \quad |+3 \quad \to \quad x_1 = 6$

Lösung 2: $-3 = x-3 \quad |+3 \quad \to \quad x_2 = 0$

Die Lösung $x_2=0$ ist unser Startpunkt. Die gesuchte Stelle ist also $x_1=6$ .

Ergebnis:

Der Wasserstrahl trifft nach 6 Metern wieder auf einer Höhe von 1 Meter auf.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Golfball wird abgeschlagen. Nach 20 Metern horizontaler Entfernung erreicht er seine maximale Höhe von 15 Metern. Der Abschlagpunkt liegt bei $(0|0)$ . Wie weit fliegt der Ball, bis er wieder auf dem Boden aufkommt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Maximale Höhe: Scheitelpunkt $S(20|15)$ .
- Abschlagpunkt: Ein weiterer Punkt $P(0|0)$ .
- Gesucht: Die Landeweite, also die zweite Nullstelle.
Schritt 2
Passende Form wählen
Wir verwenden die Scheitelpunktform.
Schritt 3
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = a(x-d)^2+e$

Scheitelpunkt $S(20|15)$ einsetzen: $f(x) = a(x-20)^2+15$ .

Punkt $P(0|0)$ einsetzen:

$0 = a(0-20)^2+15$

$0 = a(-20)^2+15$

$0 = 400a+15 \quad |-15$

$-15 = 400a \quad |\div 400$

$a = -\frac{15}{400} = -\frac{3}{80}$

Die Gleichung ist: $f(x) = -\frac{3}{80}(x-20)^2+15$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Gefragte Größe berechnen
Wir suchen die Nullstelle, also $f(x)=0$ .

$0 = -\frac{3}{80}(x-20)^2+15 \quad |-15$

$-15 = -\frac{3}{80}(x-20)^2 \quad |\cdot(-\frac{80}{3})$

$400 = (x-20)^2 \quad |\sqrt{}$

$\pm 20 = x-20$

Lösung 1: $20 = x-20 \quad |+20 \quad \to \quad x_1 = 40$

Lösung 2: $-20 = x-20 \quad |+20 \quad \to \quad x_2 = 0$

Die Nullstelle $x_2=0$ ist der Abschlagpunkt. Die Landestelle ist also bei $x_1=40$ .

Ergebnis:

Der Golfball fliegt 40 Meter weit.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Kugel wird von einer 5 Meter hohen Klippe gestoßen. Ihr höchster Punkt ist bei $(2|7)$ . Wie weit von der Klippe entfernt landet die Kugel im Wasser (Höhe 0)?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Höchster Punkt: Scheitelpunkt $S(2|7)$ .
- Startpunkt: $x=0$ , Höhe $y=5$ , also der Punkt $P(0|5)$ .
- Gesucht: Die positive Nullstelle.
Schritt 2
Passende Form wählen
Wir verwenden die Scheitelpunktform.
Schritt 3
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = a(x-d)^2+e$

Scheitelpunkt $S(2|7)$ einsetzen: $f(x) = a(x-2)^2+7$ .

Punkt $P(0|5)$ einsetzen:

$5 = a(0-2)^2+7$

$5 = a(-2)^2+7$

$5 = 4a+7 \quad |-7$

$-2 = 4a \quad |\div 4$

$a = -0.5$

Die Gleichung ist: $f(x) = -0.5(x-2)^2+7$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Gefragte Größe berechnen
Wir suchen die Nullstelle, also $f(x)=0$ .

$0 = -0.5(x-2)^2+7 \quad |-7$

$-7 = -0.5(x-2)^2 \quad |\div(-0.5)$

$14 = (x-2)^2 \quad |\sqrt{}$

$\pm \sqrt{14} = x-2$

Lösung 1: $\sqrt{14} = x-2 \quad |+2 \quad \to \quad x_1 = 2+\sqrt{14} \approx 5.74$

Lösung 2: $-\sqrt{14} = x-2 \quad |+2 \quad \to \quad x_2 = 2-\sqrt{14} \approx -1.74$

Eine negative Entfernung macht im Sachkontext keinen Sinn, also ist die richtige Lösung $x_1$ .

Ergebnis:

Die Kugel landet etwa 5,74 Meter von der Klippe entfernt im Wasser.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Bogen des Gateway Arch in St. Louis kann durch eine Parabel angenähert werden. Er ist 192 Meter hoch und 192 Meter breit. Finde die Funktionsgleichung, die den Bogen beschreibt, wenn der Ursprung in der Mitte unter dem Bogen liegt.

Fortschritt

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Schritt 1
Informationen extrahieren
- Höhe: 192 m. Da der Ursprung in der Mitte liegt, ist der Scheitelpunkt bei $S(0|192)$ .
- Breite: 192 m. Da der Ursprung in der Mitte liegt, sind die Füße des Bogens bei $x = -96$ und $x = 96$ . Das sind die Nullstellen. Wir können einen davon als weiteren Punkt nehmen, z.B. $P(96|0)$ .
Schritt 2
Passende Form wählen
Wir verwenden die Scheitelpunktform.
Schritt 3
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = a(x-d)^2+e$

Scheitelpunkt $S(0|192)$ einsetzen: $f(x) = a(x-0)^2+192 = ax^2+192$ .

Punkt $P(96|0)$ einsetzen:

$0 = a(96)^2+192$

$0 = 9216a+192 \quad |-192$

$-192 = 9216a \quad |\div 9216$

$a = -\frac{192}{9216} = -\frac{1}{48}$

Die Gleichung ist: $f(x) = -\frac{1}{48}x^2+192$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Gefragte Größe berechnen
Die Funktionsgleichung war gesucht, wir sind also fertig.

Ergebnis:

Die Funktionsgleichung, die den Bogen beschreibt, lautet $f(x) = -\frac{1}{48}x^2+192$ .

Wichtige Erkenntnisse

Scheitelpunkt + 1 Punkt gegeben? Nutze immer die Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2+e$ .
Streckfaktor + 2 Punkte gegeben? Nutze immer die Allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ und löse das entstehende Lineare Gleichungssystem (LGS).
Sachaufgaben: Übersetze die Wörter sorgfältig in mathematische Konzepte: „maximale Höhe" ist der Scheitelpunkt, „landet auf dem Boden" ist eine Nullstelle.
Skizze machen: Eine einfache Zeichnung hilft enorm, die Informationen aus einer Textaufgabe zu verstehen und zu ordnen.

Quadratische Gleichungen modellieren: Schritt für Schritt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichung aus Scheitelpunkt und Punkt bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Funktionsgleichung aus Streckfaktor und zwei Punkten bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Sachaufgaben lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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