Was ist die Nullstellenform einer Parabel?

Die Nullstellenform ist eine Schreibweise für quadratische Funktionen der Form f(x) = a · (x − x₁) · (x − x₂) . Dabei sind x₁ und x₂ die Nullstellen der Parabel und a der Streckfaktor, der die Form und Öffnungsrichtung bestimmt. Die Nullstellenform ist besonders praktisch, wenn die Nullstellen bekannt sind und du schnell eine Funktionsgleichung aufstellen möchtest.

Wie stellst du die Nullstellenform aus zwei Nullstellen auf?

Gehe in vier Schritten vor: Schreibe die allgemeine Formel f(x) = a · (x − x₁) · (x − x₂) auf. Setze die beiden Nullstellen für x₁ und x₂ ein – achte auf das Vorzeichen. Wähle einen passenden Streckfaktor a , z. B. a = 1 , wenn keine weiteren Bedingungen gegeben sind. Schreibe den vollständigen Funktionsterm auf.

Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Nullstelle in der Nullstellenform?

Das Minuszeichen in der Formel kehrt das Vorzeichen der Nullstelle um. Eine negative Nullstelle wie x = −3 ergibt (x − (−3)) = (x + 3) . Eine positive Nullstelle x = 5 ergibt (x − 5) . Dieser Vorzeichenwechsel ist eine der häufigsten Fehlerquellen – schreibe die Klammern deshalb immer sorgfältig aus.

Wann gibt es unendlich viele Parabeln durch dieselben Nullstellen?

Wenn nur die beiden Nullstellen bekannt sind, aber kein weiterer Punkt angegeben wird, lässt sich der Streckfaktor a nicht eindeutig bestimmen. Dann gibt es unendlich viele Parabeln, die durch dieselben Nullstellen verlaufen – jede mit einem anderen Wert für a . Erst ein dritter Punkt (z. B. der Scheitelpunkt oder ein weiterer Graphpunkt) legt a eindeutig fest.

Was ist eine doppelte Nullstelle und wie erkennst du sie?

Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn eine Parabel die x-Achse nur berührt , ohne sie zu schneiden. Beide Nullstellen sind dann identisch: x₁ = x₂ . In der Nullstellenform schreibt man das als f(x) = a · (x − x₁)² . Der Berührpunkt ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel.

Nullstellenform aufstellen: Parabel aus Nullstellen

Die Nullstellenform aus Nullstellen aufstellen ist eine der praktischsten Fähigkeiten in der Kurvendiskussion: Statt eine Gleichung zu lösen, wirst du selbst zum Erschaffer von Funktionen. Stell dir vor, du entwirfst die Flugbahn für einen Ball in einem Spiel. Du weißt genau, wo der Ball den Boden verlassen soll (die erste Nullstelle) und wo er wieder landen muss (die zweite Nullstelle). Wie lautet die mathematische Formel für diese perfekte Kurve? Mit diesem Wissen kannst du aus wenigen bekannten Punkten eine komplette Parabel konstruieren – das ist nicht nur für die nächste Prüfung nützlich, sondern auch die Grundlage dafür, wie Computer Grafiken und Animationen erstellen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die wichtigsten Begriffe:

Nullstelle: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. An diesem Punkt ist der y-Wert immer 0.
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = x - 4$ hat eine Nullstelle bei $x=4$ , denn $f(4) = 4 - 4 = 0$ .
Parabel: Der U-förmige Graph einer quadratischen Funktion.
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = x^2$ ergibt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung (0|0).
Streckfaktor (a): Eine Zahl, die bestimmt, wie eine Parabel geformt ist.
- Beispiel: Bei $f(x) = 2x^2$ ist die Parabel gestreckter (schmaler) als die Normalparabel $g(x) = x^2$ . Bei $h(x) = -x^2$ ist die Parabel nach unten geöffnet.

Aufgabentyp 1: Parabelgleichung aus Nullstellen aufstellen

Wenn du die Nullstellen einer Parabel kennst, ist der schnellste Weg zur Funktionsgleichung die Nullstellenform. Sie ist speziell dafür gemacht, mit den Nullstellen zu arbeiten.

Die allgemeine Formel lautet:

$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$

$x_1$ und $x_2$ sind die beiden gegebenen Nullstellen.
$a$ ist der Streckfaktor. Er formt die Parabel. Ist er positiv, öffnet sie sich nach oben. Ist er negativ, nach unten.

Der Clou: Wenn nur die Nullstellen gegeben sind, gibt es unendlich viele Parabeln, die durch diese Punkte gehen! Sie unterscheiden sich nur durch den Streckfaktor $a$ . Wenn in der Aufgabe nichts anderes gesagt wird, können wir für $a$ einen beliebigen Wert (außer 0) wählen.

Parabeln mit gleichen Nullstellen, verschiedene Streckfaktoren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Allgemeine Nullstellenform notieren: Schreibe immer zuerst die Grundformel $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$ auf. Das hilft, nichts zu vergessen.
Gegebene Nullstellen einsetzen: Setze die Werte für $x_1$ und $x_2$ in die Formel ein. Achtung: Das Minuszeichen in der Formel kehrt das Vorzeichen der Nullstelle um! Aus einer Nullstelle bei $x=5$ wird $(x-5)$ , und aus einer Nullstelle bei $x=-3$ wird $(x - (-3))$ , also $(x+3)$ .
Streckfaktor $a$ wählen: Wenn in der Aufgabe kein weiterer Punkt gegeben ist, um $a$ zu berechnen, kannst du einen Wert für $a$ frei wählen. Die einfachsten Wahlen sind $a=1$ oder $a=-1$ . Wenn die Aufgabe nach mehreren Funktionen fragt, wähle einfach verschiedene Werte für $a$ (z. B. $a=1$ , $a=2$ , $a=-1$ ).
Finalen Funktionsterm angeben: Schreibe die vollständige Funktionsgleichung mit den eingesetzten Nullstellen und dem gewählten Streckfaktor auf. Manchmal ist es hilfreich, die Klammern auszumultiplizieren, aber oft ist die Nullstellenform als Antwort ausreichend.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib die Funktionsterme zweier Parabeln an, welche die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=5$ besitzen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Nullstellenform notieren
Wir starten mit der allgemeinen Formel: $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$
Schritt 2
Gegebene Nullstellen einsetzen
Wir setzen $x_1=0$ und $x_2=5$ ein: $f(x) = a \cdot (x - 0) \cdot (x - 5)$

Das können wir vereinfachen zu: $f(x) = a \cdot x \cdot (x - 5)$
3
Schritt 3
Streckfaktor $a$ wählen
Die Aufgabe verlangt zwei verschiedene Parabeln. Also wählen wir zwei verschiedene Werte für $a$ . Am einfachsten sind $a=1$ und $a=2$ .
- Für die erste Parabel wählen wir $a=1$ .
- Für die zweite Parabel wählen wir $a=2$ .
4
Schritt 4 · Ergebnis
Finalen Funktionsterm angeben
Wir setzen die gewählten Werte für $a$ ein und erhalten unsere beiden Funktionen:
1. Funktion mit $a=1$ : $g(x) = 1 \cdot x \cdot (x-5) = x(x-5)$
2. Funktion mit $a=2$ : $h(x) = 2 \cdot x \cdot (x-5) = 2x(x-5)$

Ergebnis:

Zwei mögliche Parabeln sind $g(x) = x(x-5)$ und $h(x) = 2x(x-5)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Gleichung einer Parabel mit den Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Nullstellenform notieren
$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$
Schritt 2
Gegebene Nullstellen einsetzen
Wir setzen $x_1=-2$ und $x_2=3$ ein. Achte auf das Vorzeichen bei $x_1$ ! $f(x) = a \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 3)$

Das vereinfacht sich zu: $f(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$
Schritt 3
Streckfaktor $a$ wählen
Da keine weiteren Angaben gemacht werden, wählen wir den einfachsten Wert für $a$ (außer 0): $a=1$
Schritt 4 · Ergebnis
Finalen Funktionsterm angeben
Wir setzen $a=1$ in unsere Gleichung ein: $f(x) = 1 \cdot (x+2)(x-3) = (x+2)(x-3)$

Ergebnis:

Eine mögliche Parabel ist $f(x) = (x+2)(x-3)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die die x-Achse bei $x_1=-1$ und $x_2=-4$ schneidet.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Nullstellenform notieren
$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$
Schritt 2
Gegebene Nullstellen einsetzen
Wir setzen $x_1=-1$ und $x_2=-4$ ein: $f(x) = a \cdot (x - (-1)) \cdot (x - (-4))$

$f(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 4)$
Schritt 3
Streckfaktor $a$ wählen
Die Parabel soll nach unten geöffnet sein. Das bedeutet, der Streckfaktor $a$ muss negativ sein. Wir wählen den einfachsten negativen Wert: $a=-1$
Schritt 4 · Ergebnis
Finalen Funktionsterm angeben
Wir setzen $a=-1$ ein: $f(x) = -1 \cdot (x+1)(x+4) = -(x+1)(x+4)$

Ergebnis:

Eine passende Parabelgleichung ist $f(x) = -(x+1)(x+4)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Parabel an, die gestreckter ist als die Normalparabel und die Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=6$ hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Nullstellenform notieren
$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$
Schritt 2
Gegebene Nullstellen einsetzen
Wir setzen $x_1=1$ und $x_2=6$ ein: $f(x) = a \cdot (x - 1) \cdot (x - 6)$
Schritt 3
Streckfaktor $a$ wählen
Die Parabel soll gestreckter sein als die Normalparabel (bei der $a=1$ ist). Das bedeutet, der Betrag von $a$ muss größer als 1 sein. Wir können zum Beispiel wählen: $a=3$
Schritt 4 · Ergebnis
Finalen Funktionsterm angeben
Wir setzen $a=3$ ein: $f(x) = 3 \cdot (x-1)(x-6)$

Ergebnis:

Eine mögliche Parabel ist $f(x) = 3(x-1)(x-6)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Parabel berührt die x-Achse nur an einem Punkt, bei $x=4$ . Gib eine mögliche Funktionsgleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Nullstellenform notieren
$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$
Schritt 2
Gegebene Nullstellen einsetzen
Wir haben eine doppelte Nullstelle, also gilt $x_1=4$ und $x_2=4$ . $f(x) = a \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)$

Das lässt sich zusammenfassen zu: $f(x) = a \cdot (x - 4)^2$
Schritt 3
Streckfaktor $a$ wählen
Es sind keine weiteren Bedingungen gegeben, also wählen wir den einfachsten Wert: $a=1$
Schritt 4 · Ergebnis
Finalen Funktionsterm angeben
$f(x) = 1 \cdot (x-4)^2 = (x-4)^2$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktionsgleichung ist $f(x) = (x-4)^2$ . Dies ist die Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt S(4|0).

Wichtige Erkenntnisse

Die Nullstellenform ist das perfekte Werkzeug, wenn du die Nullstellen einer Parabel kennst: $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$ .
Achte auf die Vorzeichen! Eine positive Nullstelle $x=5$ wird zu $(x-5)$ . Eine negative Nullstelle $x=-2$ wird zu $(x+2)$ .
Wenn der Streckfaktor $a$ nicht durch einen weiteren Punkt bestimmt wird, kannst du ihn frei wählen (z. B. $a=1$ ). Das bedeutet, es gibt unendlich viele Parabeln mit denselben Nullstellen.

Nullstellenform aufstellen: Parabel aus Nullstellen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Parabelgleichung aus Nullstellen aufstellen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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