Was ist eine gestreckte Normalparabel?

Eine gestreckte Normalparabel entsteht, wenn man die Normalparabel f(x) = x² mit einem Faktor a multipliziert, für den |a| > 1 gilt. Die allgemeine Form lautet f(x) = a · x² . Eine gestreckte Parabel ist schmaler als die Normalparabel – je größer |a| , desto steiler und schmaler wird sie. Beispiel: f(x) = 3x² ist um den Faktor 3 gestreckt.

Wie bestimmst du den Faktor a beim Normalparabel strecken?

Gehe in vier Schritten vor: Notiere zunächst die Basis f(x) = x² . Lies dann die Aufgabe und suche nach Schlüsselwörtern wie „gestreckt" , „gestaucht" oder „gespiegelt" . Der Zahlenwert des Faktors a ergibt sich aus dem Streck- oder Stauchfaktor. Das Vorzeichen ist negativ, wenn die Parabel gespiegelt wird, sonst positiv. Zuletzt setzt du a in f(x) = a · x² ein.

Was ist der Unterschied zwischen gestreckt und gestaucht bei einer Parabel?

Eine gestreckte Parabel hat einen Faktor |a| > 1 – sie ist schmaler als die Normalparabel, weil die y-Werte schneller wachsen. Eine gestauchte Parabel hat einen Faktor 0 < |a| < 1 – sie ist breiter , weil die y-Werte langsamer wachsen. Beide Transformationen verändern nur die Form, nicht die Lage des Scheitelpunkts im Ursprung.

Wann ist eine Parabel nach unten geöffnet?

Eine Parabel ist nach unten geöffnet, wenn der Faktor a in f(x) = a · x² negativ ist, also a < 0 gilt. Das entspricht einer Spiegelung an der x-Achse . Beispiele: f(x) = -x² , f(x) = -3x² oder f(x) = -0,25x² öffnen sich alle nach unten. Ist a > 0 , öffnet sich die Parabel nach oben.

Wie lautet der Funktionsterm einer gestreckten und gespiegelten Parabel?

Du kombinierst Streck- und Spiegelungsregel: Der Zahlenwert von a kommt vom Streckfaktor, das negative Vorzeichen von der Spiegelung. Beispiel: Eine um den Faktor 4 gestreckte und an der x-Achse gespiegelte Parabel hat a = -4 . Der Funktionsterm lautet dann f(x) = -4x² . Schema: Zahlenwert × Vorzeichen = a , dann in f(x) = a · x² einsetzen.

Normalparabel strecken erklärt

Q: Wann ist eine Parabel nach unten geöffnet?

Eine Parabel ist nach unten geöffnet, wenn der Faktor a in f(x) = a · x² negativ ist, also a < 0 gilt. Das entspricht einer Spiegelung an der x-Achse . Beispiele: f(x) = -x² , f(x) = -3x² oder f(x) = -0,25x² öffnen sich alle nach unten. Ist a > 0 , öffnet sich die Parabel nach oben.

Hast du dich beim Zocken schon mal gefragt, warum ein Sprung so realistisch aussieht – mal steil, mal flach, mal nach unten fallend? Das Geheimnis dahinter ist keine Magie, sondern Mathematik: das Normalparabel strecken, stauchen und spiegeln. Die Form von fast jedem Wurf oder Sprung ist eine Parabel. Ein Basketball-Wurf ist steil, ein weiter Pass beim Football ist flach. Um diese Unterschiede zu erzeugen, nimmt man eine einfache Standard-Parabel und verändert sie – man streckt oder staucht sie, bis die Bewegung perfekt aussieht. Wenn du das hier verstehst, verstehst du ein Grundprinzip, das in jedem Game-Design und jeder Animation steckt. Lass uns diesen Code knacken!

Schnellantwort

Beim Normalparabel strecken multiplizierst du die Normalparabel $f(x) = x^2$ mit einem Faktor $a$ : Die allgemeine Form lautet $f(x) = a \cdot x^2$ . Ist $|a| > 1$ , wird die Parabel gestreckt (schmaler). Ist $0 < |a| < 1$ , wird sie gestaucht (breiter). Ist $a < 0$ , wird sie zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und öffnet sich nach unten.

Vorwissen

Bevor wir die Parabeln verbiegen, hier eine kurze Auffrischung:

Normalparabel: Das ist die einfachste Parabel. Sie ist immer nach oben geöffnet und hat ihren tiefsten Punkt im Ursprung (0|0).
- Formel: $f(x) = x^2$
- Beispiel: Für $x=3$ ist der y-Wert $f(3) = 3^2 = 9$ . Der Punkt (3|9) liegt auf der Normalparabel.

Normalparabel mit Scheitelpunkt im Ursprung

Koordinatensystem: Ein System mit einer waagerechten x-Achse und einer senkrechten y-Achse, das uns hilft, Punkte und Graphen zu zeichnen.

Aufgabentyp 1: Parabeln strecken, stauchen und spiegeln

Die Normalparabel $f(x) = x^2$ ist unser Ausgangspunkt. Wir können sie verändern, indem wir einen Faktor $a$ hinzufügen. Die allgemeine Form lautet dann:

$f(x) = a \cdot x^2$

Dieser Faktor $a$ hat drei entscheidende Auswirkungen auf die Form der Parabel:

Ist $a$ positiv oder negativ? (Öffnung)
- Wenn $a > 0$ ist (z.B. 2, 3, 0.5), ist die Parabel nach oben geöffnet.
- Wenn $a < 0$ ist (z.B. -2, -3, -0.5), wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet.
Ist der Betrag von $a$ größer oder kleiner als 1? (Form)
- Wenn $|a| > 1$ ist (z.B. 2, -3, 5), wird die Parabel gestreckt.
- Wenn $0 < |a| < 1$ ist (z.B. 0.5, -0.2, 1/3), wird die Parabel gestaucht.
- Wenn $|a| = 1$ ist, haben wir die normale Form (entweder $x^2$ oder $-x^2$ ).

Gestreckte und gestauchte Parabeln im Vergleich

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere die Basis-Funktion: Die Basis ist immer die Normalparabel: $y = x^2$ .
Extrahiere die Informationen aus dem Text: Lies die Aufgabe genau und finde die Anweisungen. Suche nach Schlüsselwörtern wie „gestreckt um den Faktor …", „gestaucht um den Faktor …" oder „an der x-Achse gespiegelt".
Bestimme den Faktor $a$ : Der Zahlenwert von $a$ ist der Streck- oder Stauchfaktor. Das Vorzeichen von $a$ wird durch die Spiegelung bestimmt – wenn die Parabel gespiegelt wird, ist das Vorzeichen negativ, sonst positiv.
Setze den Funktionsterm zusammen: Setze den ermittelten Faktor $a$ in die allgemeine Form ein: $f(x) = a \cdot x^2$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um den Faktor 3 gestreckt wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Basis-Funktion notieren
Die Basis ist $y = x^2$ .
2
Schritt 2
Informationen aus dem Text extrahieren
- Gestreckt um den Faktor 3.
- Keine Spiegelung erwähnt.
3
Schritt 3
Den Faktor $a$ bestimmen
- Der Zahlenwert ist 3.
- Da keine Spiegelung vorliegt, ist das Vorzeichen positiv.
- Also ist $a = 3$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsterm zusammensetzen
Wir setzen $a=3$ in die allgemeine Form ein.

$f(x) = 3 \cdot x^2$

Ergebnis:

Der Funktionsterm lautet $f(x) = 3x^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um den Faktor 0,5 gestaucht wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Basis-Funktion notieren
Die Basis ist $y = x^2$ .
2
Schritt 2
Informationen aus dem Text extrahieren
- Gestaucht um den Faktor 0,5.
- Keine Spiegelung erwähnt.
3
Schritt 3
Den Faktor $a$ bestimmen
- Der Zahlenwert ist 0,5.
- Das Vorzeichen ist positiv.
- Also ist $a = 0{,}5$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsterm zusammensetzen
Wir setzen $a=0{,}5$ in die allgemeine Form ein.

$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2$

Ergebnis:

Der Funktionsterm lautet $f(x) = 0{,}5x^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die an der x-Achse gespiegelt wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Basis-Funktion notieren
Die Basis ist $y = x^2$ .
2
Schritt 2
Informationen aus dem Text extrahieren
- An der x-Achse gespiegelt.
- Keine Streckung oder Stauchung erwähnt (das bedeutet Faktor 1).
3
Schritt 3
Den Faktor $a$ bestimmen
- Der Zahlenwert ist 1 (da keine Formänderung).
- Wegen der Spiegelung ist das Vorzeichen negativ.
- Also ist $a = -1$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsterm zusammensetzen
Wir setzen $a=-1$ in die allgemeine Form ein.

$f(x) = -1 \cdot x^2$

Ergebnis:

Der Funktionsterm lautet $f(x) = -x^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um den Faktor 4 gestreckt und an der x-Achse gespiegelt wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Basis-Funktion notieren
Die Basis ist $y = x^2$ .
2
Schritt 2
Informationen aus dem Text extrahieren
- Gestreckt um den Faktor 4.
- An der x-Achse gespiegelt.
3
Schritt 3
Den Faktor $a$ bestimmen
- Der Zahlenwert durch die Streckung ist 4.
- Das Vorzeichen durch die Spiegelung ist negativ.
- Also ist $a = -4$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsterm zusammensetzen
Wir setzen $a=-4$ in die allgemeine Form ein.

$f(x) = -4 \cdot x^2$

Ergebnis:

Der Funktionsterm lautet $f(x) = -4x^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Parabel ist nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel. Der Stauchfaktor beträgt 0,25. Gib den Funktionsterm an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Basis-Funktion notieren
Die Basis ist $y = x^2$ .
2
Schritt 2
Informationen aus dem Text extrahieren
- „nach unten geöffnet" bedeutet: an der x-Achse gespiegelt.
- „breiter als die Normalparabel" bedeutet: gestaucht.
- Der Stauchfaktor ist 0,25.
3
Schritt 3
Den Faktor $a$ bestimmen
- Der Zahlenwert durch die Stauchung ist 0,25.
- Da sie nach unten geöffnet ist (gespiegelt), ist das Vorzeichen negativ.
- Also ist $a = -0{,}25$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsterm zusammensetzen
Wir setzen $a=-0{,}25$ in die allgemeine Form ein.

$f(x) = -0{,}25 \cdot x^2$

Ergebnis:

Der Funktionsterm lautet $f(x) = -0{,}25x^2$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die allgemeine Form lautet $f(x) = a \cdot x^2$ .
Öffnung: $a > 0$ → nach oben geöffnet. $a < 0$ → nach unten geöffnet (an der x-Achse gespiegelt).
Form: $|a| > 1$ → gestreckt (schmaler). $0 < |a| < 1$ → gestaucht (breiter).

Normalparabel strecken einfach erklärt: So geht's

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Parabeln strecken, stauchen und spiegeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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