Normalparabel verschieben einfach erklärt: x- und y-Richtung

Möchtest du eine Normalparabel verschieben und fragst dich, wie du den Funktionsterm anpassen musst? Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel mit einer Skateboard-Rampe in Form einer Parabel. Die Rampe hat die perfekte Form, steht aber leider genau in der Mitte des Bildschirms auf dem Startpunkt der Spielfigur. Du musst sie also nach links, rechts, oben oder unten verschieben!

Genau das machen wir in der Mathematik mit der Normalparabel. Wir lernen, wie wir den Funktionsterm anpassen müssen, um die Parabel im Koordinatensystem genau dorthin zu schieben, wo wir sie haben wollen.

Vorwissen

• Die Normalparabel: Die einfachste quadratische Funktion hat den Term $f(x) = x^2$.

  Beispiel: Der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) der Normalparabel liegt genau im Ursprung bei $(0|0)$.

Aufgabentyp 1: Verschieben in x-Richtung (nach links und rechts)

Um eine Normalparabel nach links oder rechts zu verschieben, verändern wir das $x$ direkt in einer Klammer, bevor es quadriert wird.

Hier gibt es eine wichtige Regel, die oft überrascht: Das Rechenzeichen in der Klammer ist genau umgekehrt zu dem, was man auf der x-Achse erwarten würde!

• Verschiebung nach rechts: Wir ziehen eine Zahl ab.

  Um die Parabel um $\textcolor{#08BFFF}{3}$ Einheiten nach rechts zu verschieben, ersetzen wir $x$ durch $(x \textcolor{#08BFFF}{- 3})$. Der neue Term ist $g(x) = (x \textcolor{#08BFFF}{- 3})^2$.

• Verschiebung nach links: Wir addieren eine Zahl.

  Um die Parabel um $\textcolor{#FF7D57}{4}$ Einheiten nach links zu verschieben, ersetzen wir $x$ durch $(x \textcolor{#FF7D57}{+ 4})$. Der neue Term ist $h(x) = (x \textcolor{#FF7D57}{+ 4})^2$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Richtung und Vorzeichen bestimmen: Überlege, in welche Richtung verschoben wird und wähle das umgekehrte Vorzeichen (Nach rechts: Minus, Nach links: Plus).
2. Funktionsterm anpassen: Ersetze das $x$ in der Normalparabel $f(x) = x^2$ durch eine Klammer mit dem passenden Vorzeichen und der Zahl der Verschiebung. Setze das Quadrat hinter die Klammer.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Verschieben in y-Richtung (nach oben und unten)

Das Verschieben nach oben oder unten ist viel intuitiver. Wir verändern nicht das $x$ in einer Klammer, sondern hängen einfach eine Zahl ganz an das Ende des Funktionsterms an.

Hier ist das Vorzeichen genau so, wie man es logischerweise erwartet:

• Verschiebung nach oben: Wir addieren eine Zahl.

  Um die Parabel um $\textcolor{#9570FF}{2}$ Einheiten nach oben zu verschieben, hängen wir ein $\textcolor{#9570FF}{+ 2}$ an. Der neue Term ist $g(x) = x^2 \textcolor{#9570FF}{+ 2}$.

• Verschiebung nach unten: Wir ziehen eine Zahl ab.

  Um die Parabel um $\textcolor{#53E5D6}{5}$ Einheiten nach unten zu verschieben, hängen wir ein $\textcolor{#53E5D6}{- 5}$ an. Der neue Term ist $h(x) = x^2 \textcolor{#53E5D6}{- 5}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Richtung und Vorzeichen bestimmen: Überlege, in welche Richtung verschoben wird. Das Vorzeichen bleibt logisch (Nach oben: Plus, Nach unten: Minus).
2. Funktionsterm anpassen: Nimm die Normalparabel $f(x) = x^2$ und hänge die Zahl mit dem passenden Vorzeichen einfach hinten an.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Links/Rechts (x-Richtung): Das $x$ wird in einer Klammer verändert. Achtung: Das Vorzeichen ist umgekehrt! (Rechts = Minus, Links = Plus). Beispiel: $(x - 3)^2$ ist nach rechts verschoben.
• Oben/Unten (y-Richtung): Die Zahl wird einfach hinten an das $x^2$ angehängt. Das Vorzeichen bleibt logisch! (Oben = Plus, Unten = Minus). Beispiel: $x^2 + 4$ ist nach oben verschoben.