Was ist eine Normalparabel und wie verschiebt man sie?

Eine Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion f(x) = x² mit dem Scheitelpunkt im Ursprung (0|0) . Um sie zu verschieben, passt du die Formel gezielt an: Für eine Verschiebung nach links oder rechts schreibst du g(x) = (x − d)² , für eine Verschiebung nach oben oder unten schreibst du g(x) = x² + e . Beide Verschiebungen lassen sich auch kombinieren: f(x) = (x − d)² + e .

Wie verschiebt du eine Normalparabel nach rechts oder links?

Für eine horizontale Verschiebung gilt die Formel g(x) = (x − d)² . Dabei gilt die „Verkehrte-Welt-Regel": Eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts ergibt d = 3 und die Formel g(x) = (x − 3)² — also ein Minus in der Klammer. Eine Verschiebung um 5 Einheiten nach links ergibt d = −5 und die Formel g(x) = (x + 5)² — also ein Plus in der Klammer.

Wie verschiebt du eine Normalparabel nach oben oder unten?

Für eine vertikale Verschiebung gilt die Formel g(x) = x² + e . Hier ist die Regel direkt logisch: Eine Verschiebung nach oben um 10 Einheiten ergibt e = 10 und die Formel g(x) = x² + 10 . Eine Verschiebung nach unten um 4 Einheiten ergibt e = −4 und die Formel g(x) = x² − 4 . Der neue Scheitelpunkt liegt bei S(0|e) .

Was ist der Unterschied zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung einer Parabel?

Bei der horizontalen Verschiebung ( x-Richtung ) ändert sich der x-Wert in der Klammer: g(x) = (x − d)² . Das Vorzeichen in der Klammer ist dabei „verkehrt herum" zur Richtung. Bei der vertikalen Verschiebung ( y-Richtung ) wird außerhalb der Klammer addiert oder subtrahiert: g(x) = x² + e . Hier stimmt das Vorzeichen direkt mit der Richtung überein — nach oben positiv, nach unten negativ.

Wie erkennst du den Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel?

Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel lässt sich direkt aus der Formel ablesen. Bei g(x) = (x − d)² liegt der Scheitelpunkt bei S(d|0) . Bei g(x) = x² + e liegt er bei S(0|e) . Bei der kombinierten Form f(x) = (x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt immer bei S(d|e) — die Koordinaten kannst du also direkt aus der Formel herauslesen.

Normalparabel verschieben einfach erklärt

Hast du dich jemals gefragt, wie in einem Videospiel eine Figur springt? Die Flugbahn ist oft eine Parabel. Wenn die Figur nach links oder rechts läuft und dann springt, verschiebt die Spiel-Engine einfach die Startposition dieser Parabel. Das ist keine Magie, sondern simple Mathematik! Wenn du verstehst, wie man eine Normalparabel verschieben kann, verstehst du die „Geheimsprache" hinter Animationen, Computerspielen und sogar der Flugbahn eines Basketballs. Mit nur zwei einfachen Regeln kannst du jede Parabel im Koordinatensystem platzieren, wo immer du willst.

Vorwissen

Bevor wir Parabeln durch die Gegend schieben, sollten wir uns an zwei Grundlagen erinnern:

Die Normalparabel: Das ist die einfachste quadratische Funktion. Ihr tiefster Punkt, der Scheitelpunkt, liegt genau im Ursprung.
- Formel: $f(x) = x^2$
- Beispiel: Der Punkt $(0|0)$ ist der Scheitelpunkt der Normalparabel.

Normalparabel mit Scheitelpunkt im Ursprung

Das Koordinatensystem: Es hilft uns, die Position von Punkten und Graphen zu beschreiben.
- Bestandteile: Es hat eine horizontale x-Achse (für links/rechts) und eine vertikale y-Achse (für oben/unten).
- Beispiel: Der Punkt $P(3|2)$ liegt 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten oben vom Ursprung $(0|0)$ .

Koordinatensystem mit Punkt P bei 3 und 2

Aufgabentyp 1: Verschiebung in x-Richtung (horizontal)

Wenn wir eine Normalparabel nach links oder rechts verschieben, ändert sich ihr Funktionsterm auf eine ganz bestimmte Weise. Der Trick liegt darin, den x-Wert in der Formel anzupassen.

Die allgemeine Form für eine in x-Richtung verschobene Normalparabel lautet:

$g(x) = (x - d)^2$

Das $d$ gibt die Verschiebung an. Hier musst du aufpassen, es ist ein bisschen wie „Verkehrte Welt":

Verschiebung nach rechts: Wenn du die Parabel um 3 Einheiten nach rechts verschiebst, ist $d = 3$ . Die Formel lautet dann $g(x) = (x - 3)^2$ . Obwohl du nach rechts (in die positive Richtung) gehst, steht in der Klammer ein Minus.
Verschiebung nach links: Wenn du die Parabel um 2 Einheiten nach links verschiebst, ist $d = -2$ . Die Formel lautet dann $g(x) = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$ . Obwohl du nach links (in die negative Richtung) gehst, steht in der Klammer ein Plus.

Der neue Scheitelpunkt liegt bei $S(d|0)$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verschiebung analysieren: Lies aus der Aufgabe ab, um wie viele Einheiten und in welche Richtung (links oder rechts) die Parabel verschoben wird.
Wert für d bestimmen: Denk an die „Verkehrte-Welt-Regel": Verschiebung nach rechts um 5 Einheiten → $d = 5$ . Verschiebung nach links um 5 Einheiten → $d = -5$ .
d in die Scheitelpunktform einsetzen: Setze den Wert für $d$ in die allgemeine Form $g(x) = (x - d)^2$ ein.
Klammer vereinfachen: Falls du eine doppelte negative Zahl hast (wie bei der Linksverschiebung), vereinfache die Klammer. Aus $(x - (-5))$ wird $(x + 5)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um 3 Einheiten nach rechts verschoben wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 3 Einheiten nach rechts.
Schritt 2
Wert für d bestimmen
Eine Verschiebung nach rechts um 3 bedeutet, dass $d = 3$ ist.
Schritt 3
d in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $d=3$ in die Formel $g(x) = (x - d)^2$ ein.

$g(x) = (x - 3)^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer vereinfachen
Die Klammer ist bereits so einfach wie möglich. Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = (x-3)^2$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 3 Einheiten nach rechts verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = (x-3)^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um 5 Einheiten nach links verschoben wurde?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 5 Einheiten nach links.
Schritt 2
Wert für d bestimmen
Eine Verschiebung nach links um 5 bedeutet, dass $d = -5$ ist.
Schritt 3
d in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $d=-5$ in die Formel $g(x) = (x - d)^2$ ein.

$g(x) = (x - (-5))^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer vereinfachen
Minus und Minus ergibt Plus. Wir vereinfachen die Klammer.

$g(x) = (x + 5)^2$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = (x+5)^2$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 5 Einheiten nach links verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = (x+5)^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel liegt bei $S(-2|0)$ . Gib den Funktionsterm an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Der Scheitelpunkt $S(-2|0)$ sagt uns, dass die Parabel vom Ursprung $(0|0)$ um 2 Einheiten nach links verschoben wurde.
Schritt 2
Wert für d bestimmen
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist unser $d$ . Also ist $d = -2$ .
Schritt 3
d in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $d=-2$ in die Formel $g(x) = (x - d)^2$ ein.

$g(x) = (x - (-2))^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer vereinfachen
Wir lösen die Doppelklammer auf.

$g(x) = (x + 2)^2$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = (x+2)^2$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(-2|0)$ lautet $g(x) = (x+2)^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Normalparabel wird so verschoben, dass ihr neuer Scheitelpunkt bei $S(4|0)$ liegt. Wie lautet der Funktionsterm?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Der Scheitelpunkt $S(4|0)$ zeigt eine Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts.
Schritt 2
Wert für d bestimmen
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist $d$ . Also ist $d = 4$ .
Schritt 3
d in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $d=4$ in die Formel $g(x) = (x - d)^2$ ein.

$g(x) = (x - 4)^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer vereinfachen
Die Klammer ist bereits einfach. Der Funktionsterm lautet $g(x) = (x-4)^2$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(4|0)$ lautet $g(x) = (x-4)^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gib den Funktionsterm der Normalparabel an, die um 1,5 Einheiten nach links verschoben wurde.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 1,5 Einheiten nach links.
Schritt 2
Wert für d bestimmen
Eine Verschiebung nach links um 1,5 bedeutet, dass $d = -1{,}5$ ist.
Schritt 3
d in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $d=-1{,}5$ in die Formel $g(x) = (x - d)^2$ ein.

$g(x) = (x - (-1{,}5))^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer vereinfachen
Wir vereinfachen die Klammer.

$g(x) = (x + 1{,}5)^2$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = (x+1{,}5)^2$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 1,5 Einheiten nach links verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = (x+1{,}5)^2$ .

Aufgabentyp 2: Verschiebung in y-Richtung (vertikal)

Eine Verschiebung der Normalparabel nach oben oder unten ist direkter und einfacher zu verstehen. Hier wird einfach eine Zahl am Ende des Funktionsterms addiert oder subtrahiert.

Die allgemeine Form für eine in y-Richtung verschobene Normalparabel lautet:

$g(x) = x^2 + e$

Das $e$ gibt die Verschiebung in y-Richtung an. Hier gilt die Regel ganz logisch:

Verschiebung nach oben: Wenn du die Parabel um 10 Einheiten nach oben verschiebst, ist $e = 10$ . Die Formel lautet dann $g(x) = x^2 + 10$ .
Verschiebung nach unten: Wenn du die Parabel um 4 Einheiten nach unten verschiebst, ist $e = -4$ . Die Formel lautet dann $g(x) = x^2 - 4$ .

Der neue Scheitelpunkt liegt bei $S(0|e)$ .

Normalparabel vertikal verschoben mit neuem Scheitelpunkt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verschiebung analysieren: Lies aus der Aufgabe ab, um wie viele Einheiten und in welche Richtung (oben oder unten) die Parabel verschoben wird.
Wert für e bestimmen: Die Regel ist logisch: Verschiebung nach oben um 10 Einheiten → $e = 10$ . Verschiebung nach unten um 3 Einheiten → $e = -3$ .
e in die Scheitelpunktform einsetzen: Setze den Wert für $e$ in die allgemeine Form $g(x) = x^2 + e$ ein und vereinfache, falls nötig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um 10 Einheiten nach oben verschoben wurde?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 10 Einheiten nach oben.
Schritt 2
Wert für e bestimmen
Eine Verschiebung nach oben um 10 bedeutet, dass $e = 10$ ist.
Schritt 3 · Ergebnis
e in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $e=10$ in die Formel $g(x) = x^2 + e$ ein.

$g(x) = x^2 + 10$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = x^2+10$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 10 Einheiten nach oben verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = x^2+10$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wie lautet der Funktionsterm einer Normalparabel, die um 4 Einheiten nach unten verschoben wurde?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 4 Einheiten nach unten.
Schritt 2
Wert für e bestimmen
Eine Verschiebung nach unten um 4 bedeutet, dass $e = -4$ ist.
Schritt 3 · Ergebnis
e in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $e=-4$ in die Formel $g(x) = x^2 + e$ ein.

$g(x) = x^2 + (-4)$

$g(x) = x^2 - 4$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = x^2-4$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 4 Einheiten nach unten verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = x^2-4$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel liegt bei $S(0|7)$ . Gib den Funktionsterm an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Der Scheitelpunkt $S(0|7)$ sagt uns, dass die Parabel vom Ursprung $(0|0)$ um 7 Einheiten nach oben verschoben wurde.
Schritt 2
Wert für e bestimmen
Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist unser $e$ . Also ist $e = 7$ .
Schritt 3 · Ergebnis
e in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $e=7$ in die Formel $g(x) = x^2 + e$ ein.

$g(x) = x^2 + 7$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = x^2+7$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(0|7)$ lautet $g(x) = x^2+7$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Normalparabel wird so verschoben, dass ihr neuer Scheitelpunkt bei $S(0|-1)$ liegt. Wie lautet der Funktionsterm?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Der Scheitelpunkt $S(0|-1)$ zeigt eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten.
Schritt 2
Wert für e bestimmen
Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist $e$ . Also ist $e = -1$ .
Schritt 3 · Ergebnis
e in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $e=-1$ in die Formel $g(x) = x^2 + e$ ein.

$g(x) = x^2 + (-1)$

$g(x) = x^2 - 1$

Der Funktionsterm lautet $g(x) = x^2-1$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(0|-1)$ lautet $g(x) = x^2-1$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gib den Funktionsterm der Normalparabel an, die um 0,5 Einheiten nach unten verschoben wurde.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Verschiebung analysieren
Die Verschiebung ist um 0,5 Einheiten nach unten.
Schritt 2
Wert für e bestimmen
Eine Verschiebung nach unten um 0,5 bedeutet, dass $e = -0{,}5$ ist.
Schritt 3 · Ergebnis
e in die Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $e=-0{,}5$ in die Formel $g(x) = x^2 + e$ ein.

$g(x) = x^2 - 0{,}5$

Der gesuchte Funktionsterm ist $g(x) = x^2-0{,}5$ .

Ergebnis:

Der Funktionsterm der um 0,5 Einheiten nach unten verschobenen Normalparabel lautet $g(x) = x^2-0{,}5$ .

Wichtige Erkenntnisse

Verschiebung nach links/rechts (x-Richtung): Die Formel ist $g(x) = (x - d)^2$ . Achtung, Falle: Bei Verschiebung nach rechts ist das Vorzeichen in der Klammer minus. Bei Verschiebung nach links ist es plus.
Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung): Die Formel ist $g(x) = x^2 + e$ . Ganz logisch: Bei Verschiebung nach oben wird addiert ( $+$ ), bei Verschiebung nach unten wird subtrahiert ( $-$ ).
Der Scheitelpunkt ist der Schlüssel: Eine verschobene Normalparabel mit der Form $f(x) = (x-d)^2 + e$ hat ihren Scheitelpunkt immer bei $S(d|e)$ .

Normalparabel verschieben einfach erklärt: So geht's

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Verschiebung in x-Richtung (horizontal)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Verschiebung in y-Richtung (vertikal)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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