Was ist die Scheitelpunktform?

Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Schreibweise für quadratische Funktionen der Form f(x) = a · (x - d)² + e . Sie ist besonders nützlich, weil du an ihr den Scheitelpunkt S(d|e) einer Parabel direkt ablesen kannst.

Wie lese ich den Scheitelpunkt richtig ab?

Um den Scheitelpunkt S(d|e) abzulesen, nimmst du die Zahl e am Ende der Gleichung genau so, wie sie dort steht. Bei der Zahl d in der Klammer musst du das Vorzeichen umdrehen. Aus (x - 4)² wird also d = 4 .

Wofür steht das a in der Scheitelpunktform?

Das a ist der Streckfaktor . Er gibt an, ob die Parabel nach oben (positives a ) oder nach unten (negatives a ) geöffnet ist. Außerdem bestimmt er, wie breit oder schmal die Parabel im Vergleich zur Normalparabel verläuft.

Einführung der Scheitelpunktform

Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in Richtung Korb. Der Ball fliegt in einem Bogen nach oben, erreicht seinen höchsten Punkt und fällt dann wieder nach unten. Diese Bogenform nennen wir in der Mathematik eine Parabel. Bei der Einführung der Scheitelpunktform geht es genau um diese Kurven.

Der höchste (oder bei anderen Parabeln der tiefste) Punkt dieser Kurve ist etwas ganz Besonderes: Er heißt Scheitelpunkt. In diesem Kapitel lernst du eine spezielle Formel kennen, mit der du diesen Punkt sofort ablesen, die Parabel ganz einfach zeichnen und eigene Funktionsgleichungen aufstellen kannst. Lass uns loslegen!

Vorwissen

Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer mit seiner x- und y-Koordinate angegeben: $P(x|y)$ .

Beispiel: Der Punkt $P(3|5)$ liegt $3$ Schritte nach rechts auf der x-Achse und $5$ Schritte nach oben auf der y-Achse.
Quadratische Funktionen: Funktionen mit einem $x^2$ ergeben als Graph immer eine Parabel.

Beispiel: Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel mit $f(x) = x^2$ .

Aufgabentyp 1: Den Scheitelpunkt ablesen

Um den Scheitelpunkt einer Parabel schnell zu finden, nutzen wir die Scheitelpunktform. Sie sieht allgemein so aus:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$

Jeder Buchstabe hat eine bestimmte Bedeutung:

$\textcolor{#53E5D6}{a}$ ist der Streckfaktor. Er bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und wie breit oder schmal sie ist.
$\textcolor{#08BFFF}{d}$ ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
$\textcolor{#9570FF}{e}$ ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.

Der Scheitelpunkt $S$ hat also immer die Koordinaten $S(\textcolor{#08BFFF}{d}|\textcolor{#9570FF}{e})$ .

Achtung beim Vorzeichen!

Das Ablesen von $\textcolor{#9570FF}{e}$ ist einfach: Du nimmst die Zahl am Ende genau so, wie sie dort steht. Beim Ablesen von $\textcolor{#08BFFF}{d}$ musst du jedoch aufpassen, da in der Formel ein Minuszeichen vor dem $d$ steht.

Die einfache Regel lautet: Drehe das Vorzeichen der Zahl in der Klammer immer um!

Schauen wir uns zwei Beispiele an:

Beispiel A: $f(x) = 2 \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{4})^2 + \textcolor{#9570FF}{3}$

In der Klammer steht $-4$ . Wir drehen das Vorzeichen um und erhalten $\textcolor{#08BFFF}{d = 4}$ . Die Zahl am Ende ist $\textcolor{#9570FF}{e = 3}$ . Der Scheitelpunkt ist also $S(\textcolor{#08BFFF}{4}|\textcolor{#9570FF}{3})$ .

Beispiel B: $f(x) = 2 \cdot (x + \textcolor{#08BFFF}{5})^2 - \textcolor{#9570FF}{1}$

In der Klammer steht $+5$ . Wir drehen das Vorzeichen um und erhalten $\textcolor{#08BFFF}{d = -5}$ . Die Zahl am Ende ist $\textcolor{#9570FF}{e = -1}$ . Der Scheitelpunkt ist also $S(\textcolor{#08BFFF}{-5}|\textcolor{#9570FF}{-1})$ .

Warum ist das so? Ein Plus in der Klammer entsteht, wenn man ein negatives $d$ einsetzt: $(x - (-5))^2$ wird zu $(x + 5)^2$ .

Aufgabentyp 2: Eine Parabel zeichnen

Wenn du die Scheitelpunktform hast, kannst du die Parabel ganz leicht in ein Koordinatensystem zeichnen. Dafür brauchst du den Scheitelpunkt und ein paar Hilfspunkte.

Um die Hilfspunkte zu finden, nutzen wir den Streckfaktor $\textcolor{#53E5D6}{a}$ . Wir gehen vom Scheitelpunkt aus eine bestimmte Anzahl an Schritten nach rechts oder links (wir nennen das $l$ ). Um herauszufinden, wie viele Schritte wir nach oben oder unten gehen müssen (wir nennen das $\Delta y$ ), rechnen wir:

$\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot l^2$

Das klingt komplizierter als es ist. Machen wir es konkret für $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{2} \cdot (x - 3)^2 + 1$ :

Scheitelpunkt ablesen: Wir drehen das Vorzeichen in der Klammer um und erhalten $S(3|1)$ . Der Streckfaktor ist $\textcolor{#53E5D6}{a = 2}$ .
Erste Hilfspunkte ( $l=1$ ): Wir gehen vom Scheitelpunkt $1$ Schritt nach rechts und links. Wie weit müssen wir nach oben? Wir rechnen: $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{2} \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$ . Wir gehen also $2$ Schritte nach oben.
Zweite Hilfspunkte ( $l=2$ ): Wir gehen vom Scheitelpunkt $2$ Schritte nach rechts und links. Wie weit nach oben? Wir rechnen: $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{2} \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ . Wir gehen also $8$ Schritte nach oben.

Wenn du diese Punkte in ein Koordinatensystem einträgst, kannst du sie einfach zu einer schönen Kurve verbinden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Nutze diesen Plan, um jede Parabel aus der Scheitelpunktform zu zeichnen:

Lies den Streckfaktor ab und bestimme den Scheitelpunkt durch Umdrehen des Vorzeichens.
Zeichne ein Koordinatensystem und markiere den Scheitelpunkt.
Gehe vom Scheitelpunkt nach rechts/links und berechne die Schritte nach oben/unten.
Verbinde den Scheitelpunkt und die Hilfspunkte in einer weichen Linie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Zeichne die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = -2(x+1)^2+2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Scheitelpunkt und Streckfaktor ablesen
Wir lesen den Streckfaktor ab: $\textcolor{#53E5D6}{a = -2}$ . Für den Scheitelpunkt drehen wir das Vorzeichen in der Klammer um (aus $+1$ wird $-1$ ). Die Zahl am Ende bleibt gleich. Der Scheitelpunkt ist also $S(\textcolor{#08BFFF}{-1}|\textcolor{#9570FF}{2})$ .
Schritt 2
Scheitelpunkt einzeichnen
Wir zeichnen den Punkt $S(-1|2)$ in ein Koordinatensystem ein.

Scheitelpunkt S im Koordinatensystem
Schritt 3
Hilfspunkte berechnen und einzeichnen
Wir berechnen die Hilfspunkte mit $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot l^2$ .

Erstes Paar ( $l=1$ ): Wir gehen von $S$ aus $1$ Schritt nach rechts/links. $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{-2} \cdot 1^2 = -2 \cdot 1 = -2$ Da das Ergebnis negativ ist, gehen wir $2$ Schritte nach unten.

Zweites Paar ( $l=2$ ): Wir gehen von $S$ aus $2$ Schritte nach rechts/links. $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{-2} \cdot 2^2 = -2 \cdot 4 = -8$ Wir gehen $8$ Schritte nach unten.

Wir tragen diese vier neuen Punkte in das Koordinatensystem ein.

Hilfspunkte im Koordinatensystem eingetragen
Schritt 4 · Ergebnis
Parabel zeichnen
Wir verbinden den Scheitelpunkt und die Hilfspunkte zu einer Parabel.

Fertig gezeichnete Parabel

Ergebnis:

Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt, mit dem Scheitelpunkt bei $S(-1|2)$ .

Quiz zu Einführung der Scheitelpunktform: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Einführung der Scheitelpunktform und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Einführung der Scheitelpunktform

Welcher Graph entsteht immer bei einer Funktion mit einem $x^2$ ?

Quizfrage 2 zu Einführung der Scheitelpunktform

Nur mit Account

Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = 2 \cdot (x - 4)^2 + 3$ ?

Übungsaufgabe zu Einführung der Scheitelpunktform

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Aufgabentyp 3: Die Funktionsgleichung aufstellen

Manchmal hast du nur den Scheitelpunkt gegeben und sollst die passende Funktionsgleichung aufstellen. Das ist wie ein Puzzle, bei dem du die Teile einfach in die Formel einsetzt.

Erinnern wir uns an die Formel: $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$

Angenommen, wir haben den Scheitelpunkt $S(\textcolor{#08BFFF}{4}|\textcolor{#9570FF}{5})$ .

Wir setzen die Werte für $\textcolor{#08BFFF}{d}$ und $\textcolor{#9570FF}{e}$ direkt in die Formel ein:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{4})^2 + \textcolor{#9570FF}{5}$

Was machen wir nun mit dem Streckfaktor $\textcolor{#53E5D6}{a}$ ? Wenn in der Aufgabe keine weiteren Informationen gegeben sind, kannst du dir für $\textcolor{#53E5D6}{a}$ einfach eine beliebige Zahl aussuchen (außer der Null).

Wenn wir zum Beispiel $\textcolor{#53E5D6}{a = 1}$ wählen, lautet unsere fertige Gleichung:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{1} \cdot (x - 4)^2 + 5$

Da man die $1$ beim Multiplizieren auch weglassen kann, schreibt man meistens einfach:

$f(x) = (x - 4)^2 + 5$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib die Funktionsterme von drei verschiedenen Parabeln an, die alle ihren Scheitelpunkt bei $S(-3|7)$ haben.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Allgemeine Form notieren
Die Scheitelpunktform lautet: $f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Unser Scheitelpunkt ist $S(\textcolor{#08BFFF}{-3}|\textcolor{#9570FF}{7})$ . Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{d = -3}$ und $\textcolor{#9570FF}{e = 7}$ in die Formel ein.

Achtung beim Vorzeichen: Aus $(x - (-3))^2$ wird $(x + 3)^2$ .

Das ergibt: $f(x) = a \cdot (x + 3)^2 + 7$
3
Schritt 3 · Ergebnis
Streckfaktor wählen
Da kein Streckfaktor vorgegeben ist, können wir uns drei beliebige Zahlen für $a$ aussuchen, um drei verschiedene Parabeln zu erhalten.
- Für $a = 1$ : $f_1(x) = (x + 3)^2 + 7$
- Für $a = 2$ : $f_2(x) = 2 \cdot (x + 3)^2 + 7$
- Für $a = -0{,}5$ : $f_3(x) = -0{,}5 \cdot (x + 3)^2 + 7$

Ergebnis:

Drei mögliche Funktionsterme sind $f_1(x) = (x + 3)^2 + 7$ , $f_2(x) = 2 \cdot (x + 3)^2 + 7$ und $f_3(x) = -0{,}5 \cdot (x + 3)^2 + 7$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die Formel: Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$ .
Der Vorzeichen-Trick: Um die x-Koordinate des Scheitelpunkts ( $d$ ) abzulesen, musst du das Vorzeichen in der Klammer immer umdrehen!
Hilfspunkte berechnen: Um die Parabel zu zeichnen, berechnest du die Schritte nach oben oder unten mit der Formel $\Delta y = a \cdot l^2$ (wobei $l$ die Schritte nach rechts/links sind).

Einführung der Scheitelpunktform einfach erklärt: Parabeln