Was ist die Scheitelpunktform einer Parabel?

Die Scheitelpunktform ist eine besondere Schreibweise für quadratische Funktionen: f(x) = a · (x − d)² + e . Im Vergleich zur Normalform hat sie einen entscheidenden Vorteil – du kannst den Scheitelpunkt S(d|e) sofort ablesen, ohne zu rechnen. Der Faktor a verrät dir zusätzlich, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestreckt oder gestaucht aussieht.

Wie liest du den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab?

Den Scheitelpunkt liest du in zwei Schritten ab. Die x-Koordinate d findest du in der Klammer – aber Achtung : Das Vorzeichen wird umgedreht! Steht dort (x − 3) , ist d = 3 ; steht dort (x + 3) , ist d = −3 . Die y-Koordinate e ist die Zahl am Ende der Formel – ihr Vorzeichen bleibt unverändert. Zusammen ergibt das den Scheitelpunkt S(d|e) .

Was sagt der Streckfaktor a über die Parabel aus?

Der Streckfaktor a bestimmt zweierlei: Erstens die Öffnungsrichtung – ist a > 0 , öffnet die Parabel nach oben; ist a , öffnet sie nach unten. Zweitens die Form – ist |a| > 1 , ist die Parabel gestreckt (schmaler als die Normalparabel); ist |a| , ist sie gestaucht (breiter). Steht vor der Klammer gar keine Zahl, gilt a = 1 ; steht nur ein Minus, gilt a = −1 .

Wie stellst du eine Parabelgleichung aus einem gegebenen Scheitelpunkt auf?

Du setzt die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d|e) direkt in die Formel f(x) = a(x − d)² + e ein. Wichtig: Das Vorzeichen von d wird in der Klammer umgedreht – aus d = 4 wird (x − 4) , aus d = −2 wird (x + 2) . Ist kein Streckfaktor vorgegeben, wähle einen beliebigen Wert ungleich null, zum Beispiel a = 1 .

Was ist der Unterschied zwischen Scheitelpunktform und Normalform?

Die Normalform f(x) = ax² + bx + c zeigt direkt den y-Achsenabschnitt c , aber der Scheitelpunkt ist nicht sofort erkennbar. Die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e zeigt dagegen sofort den Scheitelpunkt S(d|e) . Beide Formen beschreiben dieselbe Parabel – man kann durch quadratische Ergänzung von einer Form in die andere umrechnen.

Scheitelpunktform einfach erklärt

Die Scheitelpunktform ist einer der nützlichsten Tricks in der Algebra: Stell dir vor, du spielst ein Game, bei dem du einen Ball werfen musst, um ein Ziel zu treffen. Die Flugbahn des Balls ist eine Parabel. Wo ist der höchste Punkt des Wurfs? Genau das verrät dir der Scheitelpunkt! Die normale Form einer Parabelgleichung ist unübersichtlich, aber es gibt einen „Cheat Code": die Scheitelpunktform. Mit ihr kannst du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel – den Scheitelpunkt – sofort ablesen, ganz ohne zu rechnen. Das ist ein riesiger Vorteil, um Aufgaben schneller zu lösen und die Form von Parabeln sofort zu verstehen.

Schnellantwort

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet $f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$ . Der Scheitelpunkt der Parabel lässt sich direkt als $S(d|e)$ ablesen – wobei das Vorzeichen von $d$ aus der Klammer umgedreht wird. Der Faktor $a$ bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestreckt oder gestaucht erscheint.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Quadratische Funktion (Parabel): Eine Funktion, deren Graph eine U-förmige Kurve ist, die man Parabel nennt.
- Beispiel: Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$ . Ihr Graph ist die Normalparabel.
Scheitelpunkt: Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Er ist der Wendepunkt der Kurve.
- Beispiel: Der Scheitelpunkt der Normalparabel $f(x) = x^2$ liegt im Ursprung bei $S(0|0)$ .
Koordinatensystem: Ein System mit einer waagerechten x-Achse und einer senkrechten y-Achse, in das wir Punkte und Graphen einzeichnen.
- Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ bedeutet: Gehe 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben.

Aufgabentyp 1: Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen

Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Schreibweise für quadratische Funktionen. Sie sieht so aus:

$f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$

Das Tolle daran ist, dass du den Scheitelpunkt $S$ direkt aus der Formel ablesen kannst. Er hat die Koordinaten:

$S(d|e)$

Hier gibt es einen wichtigen Trick, den du dir merken musst:

Die x-Koordinate d liest du aus der Klammer ab. Du musst dabei immer das Vorzeichen umdrehen. Steht in der Klammer $(x-3)$ , ist $d=3$ . Steht dort $(x+3)$ , ist $d=-3$ .
Die y-Koordinate e liest du von der Zahl ganz am Ende ab. Hier bleibt das Vorzeichen gleich.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schau in die Klammer der Funktion. Nimm die Zahl, die dort steht, und drehe ihr Vorzeichen um. Aus + wird - und aus - wird +.
Schau auf die Zahl ganz am Ende der Formel, die addiert oder subtrahiert wird. Übernimm diese Zahl genau so, wie sie da steht (mit ihrem Vorzeichen).
Notiere den Scheitelpunkt $S(d|e)$ mit den beiden gefundenen Zahlen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = (x - 5)^2 + 2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
x-Koordinate d finden
In der Klammer steht $(x - 5)$ . Wir nehmen die Zahl $-5$ und drehen das Vorzeichen um. Also ist $d = 5$ .
Schritt 2
y-Koordinate e finden
Am Ende steht $+2$ . Wir übernehmen diese Zahl direkt. Also ist $e = 2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Scheitelpunkt S(d|e) notieren
Der Scheitelpunkt ist $S(5|2)$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = (x - 5)^2 + 2$ liegt bei $S(5|2)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $g(x) = 2(x + 7)^2 - 3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
x-Koordinate d finden
In der Klammer steht $(x + 7)$ . Das ist dasselbe wie $(x - (-7))$ . Wir nehmen die Zahl $+7$ und drehen das Vorzeichen um. Also ist $d = -7$ .
Schritt 2
y-Koordinate e finden
Am Ende steht $-3$ . Wir übernehmen diese Zahl direkt. Also ist $e = -3$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Scheitelpunkt S(d|e) notieren
Der Scheitelpunkt ist $S(-7|-3)$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt der Funktion $g(x) = 2(x + 7)^2 - 3$ liegt bei $S(-7|-3)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $h(x) = -x^2 + 4$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
x-Koordinate d finden
In der Klammer steht $(x - 0)$ . Die Zahl ist $0$ . Das Vorzeichen spielt hier keine Rolle. Also ist $d = 0$ .
Schritt 2
y-Koordinate e finden
Am Ende steht $+4$ . Wir übernehmen diese Zahl direkt. Also ist $e = 4$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Scheitelpunkt S(d|e) notieren
Der Scheitelpunkt ist $S(0|4)$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt der Funktion $h(x) = -x^2 + 4$ liegt bei $S(0|4)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $k(x) = 0.5(x - 1)^2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
x-Koordinate d finden
In der Klammer steht $(x - 1)$ . Wir nehmen die Zahl $-1$ und drehen das Vorzeichen um. Also ist $d = 1$ .
Schritt 2
y-Koordinate e finden
Am Ende wird nichts addiert, das ist dasselbe wie $+0$ . Also ist $e = 0$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Scheitelpunkt S(d|e) notieren
Der Scheitelpunkt ist $S(1|0)$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt der Funktion $k(x) = 0.5(x - 1)^2$ liegt bei $S(1|0)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $p(x) = -(x + 1.5)^2 + 0.5$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
x-Koordinate d finden
In der Klammer steht $(x + 1.5)$ . Wir nehmen die Zahl $+1.5$ und drehen das Vorzeichen um. Also ist $d = -1.5$ .
Schritt 2
y-Koordinate e finden
Am Ende steht $+0.5$ . Wir übernehmen diese Zahl direkt. Also ist $e = 0.5$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Scheitelpunkt S(d|e) notieren
Der Scheitelpunkt ist $S(-1.5|0.5)$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt der Funktion $p(x) = -(x + 1.5)^2 + 0.5$ liegt bei $S(-1.5|0.5)$ .

Aufgabentyp 2: Streckfaktor aus der Scheitelpunktform ablesen

Die Scheitelpunktform verrät uns nicht nur den Scheitelpunkt, sondern auch, wie die Parabel geformt ist. Dafür ist der Streckfaktor $a$ zuständig.

$f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$

Der Streckfaktor $a$ ist die Zahl, die ganz am Anfang vor der Klammer steht. Er sagt uns zwei Dinge:

Die Öffnung:
- Ist $a$ positiv (z.B. 2 oder 0.5), ist die Parabel nach oben geöffnet (wie ein lachender Mund).
- Ist $a$ negativ (z.B. -2 oder -0.5), ist die Parabel nach unten geöffnet (wie ein trauriger Mund).
Die Form:
- Ist der Betrag von $a$ größer als 1 (z.B. 3 oder -5), ist die Parabel gestreckt, also schmaler als die Normalparabel.
- Ist der Betrag von $a$ zwischen 0 und 1 (z.B. 0.5 oder -0.2), ist die Parabel gestaucht, also breiter als die Normalparabel.

Wenn vor der Klammer keine Zahl steht, ist $a=1$ . Steht nur ein Minuszeichen davor, ist $a=-1$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Betrachte die gegebene Funktion in der Scheitelpunktform $f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$ .
Finde die Zahl, die mit der Klammer multipliziert wird. Das ist der Streckfaktor $a$ .
Beachte die Sonderfälle: Steht keine Zahl vor der Klammer, ist $a=1$ . Steht nur ein Minuszeichen vor der Klammer, ist $a=-1$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Streckfaktor der Funktion $f(x) = 3(x - 4)^2 + 1$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion ansehen
Die Funktion ist $f(x) = 3(x - 4)^2 + 1$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Zahl vor der Klammer identifizieren
Die Zahl vor der Klammer ist 3.

Ergebnis:

Der Streckfaktor ist $a = 3$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestreckt (schmaler).

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Streckfaktor der Funktion $g(x) = -0.5(x + 2)^2 - 5$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion ansehen
Die Funktion ist $g(x) = -0.5(x + 2)^2 - 5$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Zahl vor der Klammer identifizieren
Die Zahl vor der Klammer ist -0.5.

Ergebnis:

Der Streckfaktor ist $a = -0.5$ . Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht (breiter).

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme den Streckfaktor der Funktion $h(x) = (x - 1)^2 + 6$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion ansehen
Die Funktion ist $h(x) = (x - 1)^2 + 6$ .
Schritt 2
Zahl vor der Klammer identifizieren
Vor der Klammer steht keine sichtbare Zahl. Das bedeutet, die Zahl ist 1.
Schritt 3 · Ergebnis
Sonderfall beachten
Der Streckfaktor ist $a = 1$ . Dies ist die Normalparabel, die verschoben wurde.

Ergebnis:

Der Streckfaktor der Funktion $h(x) = (x - 1)^2 + 6$ ist $a = 1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Streckfaktor der Funktion $k(x) = -(x + 9)^2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion ansehen
Die Funktion ist $k(x) = -(x + 9)^2$ .
Schritt 2
Zahl vor der Klammer identifizieren
Vor der Klammer steht nur ein Minuszeichen.
Schritt 3 · Ergebnis
Sonderfall beachten
Das Minuszeichen bedeutet, die Zahl ist -1. Der Streckfaktor ist $a = -1$ . Dies ist eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel.

Ergebnis:

Der Streckfaktor der Funktion $k(x) = -(x + 9)^2$ ist $a = -1$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme den Streckfaktor der Funktion $p(x) = \frac{1}{4}(x)^2 - 2$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion ansehen
Die Funktion ist $p(x) = \frac{1}{4}(x)^2 - 2$ . Wir können sie auch als $p(x) = \frac{1}{4}(x-0)^2 - 2$ schreiben.
Schritt 2 · Ergebnis
Zahl vor der Klammer identifizieren
Die Zahl vor der Klammer (bzw. vor $x^2$ ) ist $\frac{1}{4}$ .

Ergebnis:

Der Streckfaktor ist $a = \frac{1}{4}$ oder $0.25$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht (breiter).

Aufgabentyp 3: Parabelgleichung aus dem Scheitelpunkt aufstellen

Manchmal hast du den Scheitelpunkt gegeben und sollst daraus die Funktionsgleichung erstellen. Das ist ganz einfach, wenn du die Scheitelpunktform benutzt.

Du startest wieder mit der allgemeinen Form:

$f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$

Wenn du einen Scheitelpunkt $S(d|e)$ gegeben hast, setzt du die Koordinaten einfach an der richtigen Stelle ein.

Die x-Koordinate d kommt in die Klammer. Achtung: Hier musst du wieder das Vorzeichen umdrehen! Aus $d=4$ wird $(x-4)$ . Aus $d=-2$ wird $(x+2)$ .
Die y-Koordinate e kommt ans Ende, mit dem gleichen Vorzeichen.

Der Streckfaktor $a$ ist oft nicht gegeben. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Parabeln mit demselben Scheitelpunkt. Wenn du eine Beispielgleichung angeben sollst, kannst du für $a$ eine beliebige Zahl außer Null einsetzen. Am einfachsten ist es, $a=1$ zu wählen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies die x-Koordinate $d$ und die y-Koordinate $e$ aus dem gegebenen Scheitelpunkt $S(d|e)$ ab.
Setze die Werte in die Formel ein: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ . Denk daran, das Vorzeichen von $d$ in der Klammer zu ändern.
Wähle einen Wert für $a$ : Wenn kein Streckfaktor vorgegeben ist, wähle einen einfachen Wert (z.B. $a=1$ , $a=2$ oder $a=-1$ ) und schreibe die fertige Gleichung auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(4|5)$ an. Wähle $a=1$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Koordinaten d und e identifizieren
Aus $S(4|5)$ lesen wir ab: $d = 4$ und $e = 5$ .
Schritt 2
d und e in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ein.

$f(x) = a(x - 4)^2 + 5$
Schritt 3 · Ergebnis
Einen Wert für a wählen
Die Aufgabe gibt $a=1$ vor. Wir setzen das ein:

$f(x) = 1 \cdot (x - 4)^2 + 5$

Vereinfacht ist das: $f(x) = (x - 4)^2 + 5$

Ergebnis:

Die gesuchte Parabelgleichung lautet $f(x) = (x - 4)^2 + 5$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2|1)$ an. Wähle den Streckfaktor $a=-3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Koordinaten d und e identifizieren
Aus $S(-2|1)$ lesen wir ab: $d = -2$ und $e = 1$ .
Schritt 2
d und e in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ein. Aus $d=-2$ wird in der Klammer $(x - (-2))$ , was zu $(x+2)$ wird.

$f(x) = a(x + 2)^2 + 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Einen Wert für a wählen
Die Aufgabe gibt $a=-3$ vor.

$f(x) = -3(x + 2)^2 + 1$

Ergebnis:

Die gesuchte Parabelgleichung lautet $f(x) = -3(x + 2)^2 + 1$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|-6)$ an. Die Parabel soll gestaucht und nach oben geöffnet sein.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Koordinaten d und e identifizieren
Aus $S(0|-6)$ lesen wir ab: $d = 0$ und $e = -6$ .
Schritt 2
d und e in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ein.

$f(x) = a(x - 0)^2 + (-6)$

$f(x) = a \cdot x^2 - 6$
Schritt 3 · Ergebnis
Einen Wert für a wählen
Die Parabel soll gestaucht sein (also $|a|<1$ ) und nach oben geöffnet ( $a>0$ ). Wir können zum Beispiel $a=0.5$ wählen.

$f(x) = 0.5x^2 - 6$

Ergebnis:

Eine mögliche Parabelgleichung ist $f(x) = 0.5x^2 - 6$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Parabel an, deren tiefster Punkt bei $(7|0)$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Koordinaten d und e identifizieren
Aus $S(7|0)$ lesen wir ab: $d = 7$ und $e = 0$ .
Schritt 2
d und e in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ein.

$f(x) = a(x - 7)^2 + 0$

$f(x) = a(x - 7)^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Einen Wert für a wählen
Da es der tiefste Punkt ist, muss die Parabel nach oben geöffnet sein ( $a>0$ ). Wir wählen den einfachsten Fall: $a=1$ .

$f(x) = (x - 7)^2$

Ergebnis:

Eine mögliche Parabelgleichung ist $f(x) = (x - 7)^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gib drei verschiedene Funktionsgleichungen für Parabeln an, die ihren Scheitelpunkt bei $S(1|-3)$ haben.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Koordinaten d und e identifizieren
Für alle drei Parabeln gilt: $d = 1$ und $e = -3$ .
Schritt 2
d und e in die Formel einsetzen
Die Grundstruktur für alle drei Gleichungen ist:

$f(x) = a(x - 1)^2 - 3$
3
Schritt 3 · Ergebnis
Einen Wert für a wählen
Wir müssen nur drei verschiedene Werte für $a$ wählen. Nehmen wir zum Beispiel $a=1$ , $a=2$ und $a=-1$ .
1. Für $a=1$ : $f_1(x) = (x - 1)^2 - 3$
2. Für $a=2$ : $f_2(x) = 2(x - 1)^2 - 3$
3. Für $a=-1$ : $f_3(x) = -(x - 1)^2 - 3$

Ergebnis:

Drei mögliche Parabelgleichungen mit Scheitelpunkt $S(1|-3)$ sind $f_1(x) = (x-1)^2 - 3$ , $f_2(x) = 2(x-1)^2 - 3$ und $f_3(x) = -(x-1)^2 - 3$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die Scheitelpunktform lautet: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ .
Der Scheitelpunkt ist $S(d|e)$ . Achtung: Das Vorzeichen von $d$ aus der Klammer wird umgedreht!
Der Streckfaktor $a$ $a$ gibt die Form und Öffnung an:
- $a > 0$ : nach oben geöffnet.
- $a < 0$ : nach unten geöffnet.
- $|a| > 1$ : gestreckt (schmal).
- $|a| < 1$ : gestaucht (breit).

Scheitelpunktform einfach erklärt: Parabel auf einen Blick

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Streckfaktor aus der Scheitelpunktform ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Parabelgleichung aus dem Scheitelpunkt aufstellen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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