Was ist die Nullstellenform einer Parabel?

Die Nullstellenform einer Parabel lautet f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) . Sie zeigt dir sofort, wo die Parabel die x-Achse schneidet: bei x₁ und x₂ . Der Faktor a ist derselbe Streckfaktor wie in der allgemeinen Form und der Scheitelpunktform. Die Nullstellenform existiert nur dann, wenn die Parabel die x-Achse tatsächlich schneidet oder berührt.

Wie wandelst du die allgemeine Form in die Nullstellenform um?

Gehe in drei Schritten vor: Lies den Streckfaktor a direkt aus der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c ab. Setze f(x) = 0 und berechne die Nullstellen x₁ und x₂ mit der Mitternachtsformel x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) . Setze a , x₁ und x₂ in f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ein. Achte dabei auf die Vorzeichen.

Wann kann eine Parabel nicht in die Nullstellenform umgewandelt werden?

Eine Parabel kann nicht in die Nullstellenform umgewandelt werden, wenn sie keine reellen Nullstellen hat. Das erkennst du daran, dass beim Lösen der Gleichung f(x) = 0 eine negative Zahl unter der Wurzel entsteht — zum Beispiel bei f(x) = (x−2)² + 4 . Im Graphen liegt die Parabel dann vollständig oberhalb oder unterhalb der x-Achse.

Wie findest du den Scheitelpunkt aus der Nullstellenform?

Da eine Parabel symmetrisch ist, liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau in der Mitte der beiden Nullstellen: d = (x₁ + x₂) / 2 . Den y-Wert e erhältst du, indem du d in die Nullstellenform einsetzt: e = f(d) . Damit kannst du direkt die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e aufschreiben.

Was ist der Unterschied zwischen allgemeiner Form, Scheitelpunktform und Nullstellenform?

Alle drei Formen beschreiben dieselbe Parabel, betonen aber unterschiedliche Eigenschaften: Die allgemeine Form ax² + bx + c ist das Standard-Format. Die Scheitelpunktform a(x−d)² + e zeigt sofort den höchsten oder tiefsten Punkt S(d|e) . Die Nullstellenform a(x−x₁)(x−x₂) zeigt direkt, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Der Streckfaktor a ist in allen drei Formen identisch.

Parabelgleichung umwandeln: Nullstellenform

Die Umwandlung der Parabelgleichung ist eine der wichtigsten Fähigkeiten rund um quadratische Funktionen. Stell dir eine Parabel wie einen Charakter in einem Videospiel vor – sie hat verschiedene Outfits, die unterschiedliche Stärken zeigen. Jede Form der Parabelgleichung ist wie ein solches Outfit: Die allgemeine Form ist das Standard-Outfit, nützlich, aber verrät nicht viel auf den ersten Blick. Die Scheitelpunktform ist das „Boss-Mode"-Outfit und zeigt dir sofort den höchsten oder tiefsten Punkt. Die Nullstellenform ist das „Geheimagenten"-Outfit und verrät dir sofort die Nullstellen, also wo die Parabel die x-Achse berührt. Wenn du lernst, zwischen diesen Formen zu wechseln, kannst du die Schwächen und Stärken jeder Parabel sofort erkennen – das ist der ultimative Schlüssel, um quadratische Funktionen komplett zu durchschauen.

Vorwissen

Bevor wir die Formen umwandeln, frischen wir schnell ein paar Grundlagen auf:

Allgemeine Form einer Parabel:
- Formel: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Beispiel: $f(x) = 2x^2 + 5x - 3$ . Hier ist $a=2$ , $b=5$ und $c=-3$ .
Scheitelpunktform einer Parabel:
- Formel: $f(x) = a(x-d)^2 + e$
- Beispiel: $f(x) = 3(x-4)^2 + 1$ . Der Scheitelpunkt ist bei $S(4|1)$ .
Nullstellenform einer Parabel:
- Formel: $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
- Beispiel: $f(x) = -2(x-1)(x+5)$ . Die Nullstellen sind bei $x_1=1$ und $x_2=-5$ .
Mitternachtsformel (a-b-c-Formel): Löst Gleichungen der Form $ax^2 + bx + c = 0$ .
- Formel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
- Beispiel: Für $2x^2 - 8x + 6 = 0$ sind die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=3$ .
Klammern ausmultiplizieren:
- Beispiel 1 (Zahl mal Klammer): $3(x+4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x+12$
- Beispiel 2 (Klammer mal Klammer): $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Aufgabentyp 1: Allgemeine Form in Nullstellenform umwandeln

Um eine Parabel von der allgemeinen Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ in die Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ umzuwandeln, brauchen wir zwei Dinge:

Den Streckfaktor a: Den können wir einfach aus der allgemeinen Form ablesen.
Die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ : Diese berechnen wir, indem wir die Funktion gleich Null setzen ( $f(x)=0$ ) und die Gleichung lösen. Meistens geht das am besten mit der Mitternachtsformel.

Sobald wir diese drei Werte haben ( $a$ , $x_1$ , $x_2$ ), setzen wir sie nur noch in die Nullstellenform ein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies den Streckfaktor $a$ aus der allgemeinen Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ ab.
Setze die Funktion gleich Null: $ax^2 + bx + c = 0$ .
Löse mit der Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , um die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ zu finden.
Setze $a$ , $x_1$ und $x_2$ in die Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ein. Achte auf die Vorzeichen: Wenn $x_2 = -3$ , wird daraus $(x-(-3)) = (x+3)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ lesen wir den Streckfaktor ab:

$a = 2$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=2$ , $b=-4$ , $c=-6$ :

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{4}$

Die beiden Nullstellen sind:

$x_1 = \frac{4+8}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{4-8}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=2$ , $x_1=3$ und $x_2=-1$ in die Form $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ein:

$f(x) = 2(x - 3)(x - (-1))$

$f(x) = 2(x-3)(x+1)$

Parabel f(x)=2x²-4x-6 mit Nullstellen 3 und -1

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = 2(x-3)(x+1)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -x^2 - 2x + 8$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = -1x^2 - 2x + 8$ lesen wir ab:

$a = -1$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$-x^2 - 2x + 8 = 0$

Mitternachtsformel mit $a=-1$ , $b=-2$ , $c=8$ :

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8}}{2 \cdot (-1)}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{-2}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{-2}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{-2}$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = \frac{2+6}{-2} = \frac{8}{-2} = -4$

$x_2 = \frac{2-6}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=-1$ , $x_1=-4$ und $x_2=2$ ein:

$f(x) = -1(x - (-4))(x - 2)$

$f(x) = -(x+4)(x-2)$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = -(x+4)(x-2)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 0.5x^2 - 4x + 6$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 0.5x^2 - 4x + 6$ lesen wir ab:

$a = 0.5$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$0.5x^2 - 4x + 6 = 0$

Mitternachtsformel mit $a=0.5$ , $b=-4$ , $c=6$ :

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot 6}}{2 \cdot 0.5}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}$

$x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{4}$

$x_{1,2} = 4 \pm 2$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = 4 + 2 = 6$

$x_2 = 4 - 2 = 2$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=0.5$ , $x_1=6$ und $x_2=2$ ein:

$f(x) = 0.5(x - 6)(x - 2)$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = 0.5(x-6)(x-2)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 4x^2 - 16$ in die Nullstellenform um. (Tipp: Hier fehlt der bx-Term!)

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 4x^2 + 0x - 16$ lesen wir ab:

$a = 4$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ . Da $b=0$ ist, können wir die Gleichung einfacher lösen:

$4x^2 - 16 = 0 \quad | +16$

$4x^2 = 16 \quad | :4$

$x^2 = 4 \quad | \sqrt{}$

$x = \pm 2$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=4$ , $x_1=2$ und $x_2=-2$ ein:

$f(x) = 4(x - 2)(x - (-2))$

$f(x) = 4(x-2)(x+2)$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = 4(x-2)(x+2)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -2x^2 + 12x - 18$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = -2x^2 + 12x - 18$ lesen wir ab:

$a = -2$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$-2x^2 + 12x - 18 = 0$

Mitternachtsformel mit $a=-2$ , $b=12$ , $c=-18$ :

$x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-18)}}{2 \cdot (-2)}$

$x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 144}}{-4}$

$x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{0}}{-4}$

$x_{1,2} = \frac{-12}{-4} = 3$

Es gibt nur eine (doppelte) Nullstelle:

$x_1 = 3$ und $x_2 = 3$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=-2$ , $x_1=3$ und $x_2=3$ ein:

$f(x) = -2(x - 3)(x - 3)$

$f(x) = -2(x-3)^2$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = -2(x-3)^2$ .

Aufgabentyp 2: Nullstellenform in allgemeine Form umwandeln

Die Umwandlung von der Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ in die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist der einfachste Weg. Du musst einfach nur die Klammern auflösen, also alles ausmultiplizieren.

Der Prozess ist immer gleich: Zuerst die beiden Klammern miteinander multiplizieren und danach das Ergebnis mit dem Streckfaktor $a$ multiplizieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Beginne mit der Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Multipliziere die beiden Klammern $(x-x_1)$ und $(x-x_2)$ miteinander (Regel: „jeder mit jedem"): $(x-x_1)(x-x_2) = x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2$
Fasse zusammen und multipliziere mit dem Streckfaktor $a$ : $f(x) = a(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2)$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 3(x-2)(x-4)$ in die allgemeine Form um.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Klammern ausmultiplizieren
Wir multiplizieren zuerst die beiden Klammern $(x-2)$ und $(x-4)$ :

$(x-2)(x-4) = x \cdot x + x \cdot (-4) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-4)$

$= x^2 - 4x - 2x + 8$

$= x^2 - 6x + 8$
Schritt 2 · Ergebnis
Mit Streckfaktor multiplizieren
Jetzt multiplizieren wir das Ergebnis mit dem Streckfaktor $a=3$ :

$f(x) = 3 \cdot (x^2 - 6x + 8)$

$f(x) = 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-6x) + 3 \cdot 8$

$f(x) = 3x^2 - 18x + 24$

Ergebnis:

Die allgemeine Form lautet $f(x) = 3x^2 - 18x + 24$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -2(x+1)(x-5)$ in die allgemeine Form um.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Klammern ausmultiplizieren
Wir multiplizieren $(x+1)$ und $(x-5)$ :

$(x+1)(x-5) = x^2 - 5x + 1x - 5$

$= x^2 - 4x - 5$
Schritt 2 · Ergebnis
Mit Streckfaktor multiplizieren
Jetzt multiplizieren wir mit dem Streckfaktor $a=-2$ :

$f(x) = -2 \cdot (x^2 - 4x - 5)$

$f(x) = -2x^2 + 8x + 10$

Ergebnis:

Die allgemeine Form lautet $f(x) = -2x^2 + 8x + 10$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 0.5(x+3)(x+2)$ in die allgemeine Form um.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Klammern ausmultiplizieren
Wir multiplizieren $(x+3)$ und $(x+2)$ :

$(x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6$

$= x^2 + 5x + 6$
Schritt 2 · Ergebnis
Mit Streckfaktor multiplizieren
Jetzt multiplizieren wir mit dem Streckfaktor $a=0.5$ :

$f(x) = 0.5 \cdot (x^2 + 5x + 6)$

$f(x) = 0.5x^2 + 2.5x + 3$

Ergebnis:

Die allgemeine Form lautet $f(x) = 0.5x^2 + 2.5x + 3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -(x-6)(x+6)$ in die allgemeine Form um.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Klammern ausmultiplizieren
Hier können wir die 3. binomische Formel $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ verwenden:

$(x-6)(x+6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$
Schritt 2 · Ergebnis
Mit Streckfaktor multiplizieren
Der Streckfaktor ist $a=-1$ :

$f(x) = -1 \cdot (x^2 - 36)$

$f(x) = -x^2 + 36$

Ergebnis:

Die allgemeine Form lautet $f(x) = -x^2 + 36$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 4x(x-3)$ in die allgemeine Form um.

Schritt 1 & 2 kombiniert:

Diese Form $f(x) = 4(x-0)(x-3)$ ist ein Spezialfall der Nullstellenform, bei der eine Nullstelle bei 0 liegt. Wir können hier direkt ausmultiplizieren:

$f(x) = 4x \cdot (x-3)$

$f(x) = 4x \cdot x + 4x \cdot (-3)$

$f(x) = 4x^2 - 12x$

Ergebnis:

Die allgemeine Form lautet $f(x) = 4x^2 - 12x$ .

Aufgabentyp 3: Scheitelpunktform in Nullstellenform umwandeln

Um von der Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ zur Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ zu kommen, ist der Plan sehr ähnlich wie bei der Umwandlung von der allgemeinen Form: Wir brauchen den Streckfaktor a und die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ .

Den Streckfaktor a können wir wieder direkt ablesen.
Die Nullstellen finden wir, indem wir die Funktion gleich Null setzen ( $f(x)=0$ ) und nach $x$ auflösen. Das ist bei der Scheitelpunktform oft einfacher als mit der Mitternachtsformel, weil wir die Wurzel direkt ziehen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies den Streckfaktor $a$ aus der Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ ab.
Setze die Funktion gleich Null: $a(x-d)^2 + e = 0$ und löse nach $x$ auf: Bringe $e$ auf die andere Seite, teile durch $a$ , ziehe die Wurzel (Achtung: $\pm$ nicht vergessen!), bringe $d$ auf die andere Seite.
Setze $a$ , $x_1$ und $x_2$ in die Form $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 2(x-3)^2 - 8$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 2(x-3)^2 - 8$ lesen wir ab:

$a = 2$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ und lösen nach $x$ auf:

$2(x-3)^2 - 8 = 0 \quad | +8$

$2(x-3)^2 = 8 \quad | :2$

$(x-3)^2 = 4 \quad | \sqrt{}$

$x-3 = \pm 2 \quad | +3$

$x = 3 \pm 2$

Die beiden Nullstellen sind:

$x_1 = 3 + 2 = 5$

$x_2 = 3 - 2 = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=2$ , $x_1=5$ und $x_2=1$ ein:

$f(x) = 2(x - 5)(x - 1)$

Parabel f(x)=2(x-3)²-8 mit Nullstellen 1 und 5

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = 2(x-5)(x-1)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -(x+1)^2 + 9$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = -1(x+1)^2 + 9$ lesen wir ab:

$a = -1$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$-(x+1)^2 + 9 = 0 \quad | -9$

$-(x+1)^2 = -9 \quad | \cdot (-1)$

$(x+1)^2 = 9 \quad | \sqrt{}$

$x+1 = \pm 3 \quad | -1$

$x = -1 \pm 3$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = -1 + 3 = 2$

$x_2 = -1 - 3 = -4$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=-1$ , $x_1=2$ und $x_2=-4$ ein:

$f(x) = -1(x - 2)(x - (-4))$

$f(x) = -(x-2)(x+4)$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = -(x-2)(x+4)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 0.25(x-4)^2 - 1$ in die Nullstellenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 0.25(x-4)^2 - 1$ lesen wir ab:

$a = 0.25$
Schritt 2
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$0.25(x-4)^2 - 1 = 0 \quad | +1$

$0.25(x-4)^2 = 1 \quad | :0.25$ (oder $\cdot 4$ )

$(x-4)^2 = 4 \quad | \sqrt{}$

$x-4 = \pm 2 \quad | +4$

$x = 4 \pm 2$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = 4 + 2 = 6$

$x_2 = 4 - 2 = 2$
Schritt 3 · Ergebnis
In Nullstellenform einsetzen
Wir setzen $a=0.25$ , $x_1=6$ und $x_2=2$ ein:

$f(x) = 0.25(x - 6)(x - 2)$

Ergebnis:

Die Nullstellenform lautet $f(x) = 0.25(x-6)(x-2)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Versuche, die Parabelgleichung $f(x) = (x-2)^2 + 4$ in die Nullstellenform umzuwandeln. Was fällt dir auf?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Streckfaktor ablesen
Aus $f(x) = 1(x-2)^2 + 4$ lesen wir ab:

$a = 1$
Schritt 2 · Ergebnis
Nullstellen berechnen
Wir setzen $f(x) = 0$ :

$(x-2)^2 + 4 = 0 \quad | -4$

$(x-2)^2 = -4$

An dieser Stelle stoppen wir. Man kann aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen. Das bedeutet, die Funktion hat keine Nullstellen.

Ergebnis:

Da es keine Nullstellen gibt, kann diese Funktion nicht in die Nullstellenform umgewandelt werden. Die Nullstellenform existiert nur für Parabeln, die die x-Achse schneiden oder berühren.

Aufgabentyp 4: Nullstellenform in Scheitelpunktform umwandeln

Um von der Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ zur Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ zu gelangen, brauchen wir den Streckfaktor a und den Scheitelpunkt S(d|e).

Den Streckfaktor a können wir direkt ablesen.
Den Scheitelpunkt finden wir mit einem Trick: Eine Parabel ist symmetrisch. Der x-Wert des Scheitelpunkts, $d$ , liegt daher genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$ . Den y-Wert, $e$ , finden wir, indem wir $d$ in die Funktionsgleichung einsetzen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies den Streckfaktor $a$ und die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ aus der Nullstellenform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ab.
Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: $d = \frac{x_1 + x_2}{2}$
Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunkts, indem du $d$ in die Funktion einsetzt: $e = f(d)$
Setze $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 2(x-1)(x-5)$ in die Scheitelpunktform um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor und Nullstellen ablesen
Aus $f(x) = 2(x-1)(x-5)$ lesen wir ab:

$a = 2$

$x_1 = 1$

$x_2 = 5$
Schritt 2
x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$d = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Schritt 3
y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
Wir setzen $d=3$ in die Funktion ein:

$e = f(3) = 2(3-1)(3-5)$

$= 2(2)(-2)$

$= -8$

Der Scheitelpunkt ist also $S(3|-8)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
In Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $a=2$ , $d=3$ und $e=-8$ ein:

$f(x) = 2(x - 3)^2 + (-8)$

$f(x) = 2(x-3)^2 - 8$

Parabel f(x)=2(x-1)(x-5) mit Scheitelpunkt S(3|-8)

Ergebnis:

Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = 2(x-3)^2 - 8$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -(x+4)(x-2)$ in die Scheitelpunktform um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor und Nullstellen ablesen
Aus $f(x) = -1(x-(-4))(x-2)$ lesen wir ab:

$a = -1$

$x_1 = -4$

$x_2 = 2$
Schritt 2
x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$d = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Schritt 3
y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
Wir setzen $d=-1$ in die Funktion ein:

$e = f(-1) = -(-1+4)(-1-2)$

$= -(3)(-3)$

$= 9$

Der Scheitelpunkt ist also $S(-1|9)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
In Scheitelpunktform einsetzen
Wir setzen $a=-1$ , $d=-1$ und $e=9$ ein:

$f(x) = -1(x - (-1))^2 + 9$

$f(x) = -(x+1)^2 + 9$

Ergebnis:

Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = -(x+1)^2 + 9$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = 0.5(x-2)(x-6)$ in die Scheitelpunktform um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor und Nullstellen ablesen
$a = 0.5$

$x_1 = 2$

$x_2 = 6$
Schritt 2
x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$d = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Schritt 3
y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$e = f(4) = 0.5(4-2)(4-6)$

$= 0.5(2)(-2)$

$= -2$

Der Scheitelpunkt ist also $S(4|-2)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
In Scheitelpunktform einsetzen
$f(x) = 0.5(x - 4)^2 - 2$

Ergebnis:

Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = 0.5(x-4)^2 - 2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Wandle die Parabelgleichung $f(x) = -2(x-3)^2$ in die Scheitelpunktform um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Streckfaktor und Nullstellen ablesen
Die Form $f(x) = -2(x-3)(x-3)$ hat:

$a = -2$

$x_1 = 3$

$x_2 = 3$
Schritt 2
x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$d = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Schritt 3
y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen
$e = f(3) = -2(3-3)^2$

$= -2(0)^2$

$= 0$

Der Scheitelpunkt ist also $S(3|0)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
In Scheitelpunktform einsetzen
$f(x) = -2(x - 3)^2 + 0$

$f(x) = -2(x-3)^2$

Ergebnis:

Wenn eine Parabel nur eine (doppelte) Nullstelle hat, ist die Nullstellenform identisch mit der Scheitelpunktform, da der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

Wichtige Erkenntnisse

Der Streckfaktor a ist in allen drei Formen (Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Nullstellenform) derselbe.
Um in die Nullstellenform zu kommen, musst du immer die Nullstellen der Funktion berechnen (meist mit der Mitternachtsformel oder durch Wurzelziehen).
Um in die Scheitelpunktform zu kommen, musst du immer den Scheitelpunkt finden. Der x-Wert liegt genau in der Mitte der Nullstellen.
Um in die allgemeine Form zu kommen, musst du einfach nur alle Klammern ausmultiplizieren.
Eine Parabel ohne Nullstellen kann nicht in die Nullstellenform umgewandelt werden.

Parabelgleichung umwandeln: Nullstellenform erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Allgemeine Form in Nullstellenform umwandeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Nullstellenform in allgemeine Form umwandeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Scheitelpunktform in Nullstellenform umwandeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Aufgabentyp 4: Nullstellenform in Scheitelpunktform umwandeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.