Monotonieverhalten einfach erklärt: Steigen & Fallen

Die erste Ableitung ist bereits gegeben: $g'(x) = \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$.

Wir untersuchen den Zähler und den Nenner des Bruchs getrennt:

• Zähler: Der Zähler ist $e^x$. Wir wissen, dass die e-Funktion immer positiv ist. Also: $e^x > 0$.
• Nenner: Der Nenner ist $(e^x+1)^2$. Der Term in der Klammer, $e^x+1$, ist die Summe aus etwas Positivem ($e^x$) und 1, also ist er definitiv positiv. Wenn man eine positive Zahl quadriert, ist das Ergebnis ebenfalls immer positiv. Also: $(e^x+1)^2 > 0$.

Die gesamte Ableitung ist ein Bruch aus einem positiven Zähler und einem positiven Nenner. Ein Bruch aus zwei positiven Zahlen ist immer positiv.

Wir leiten die Funktion $f(x)$ ab: $f'(x) = -3x^2 - 5$

Wir schauen uns den Term $f'(x) = -3x^2 - 5$ an.

• Der Teil $x^2$ ist immer positiv oder null ($x^2 \geq 0$).
• Multipliziert mit $-3$ wird daraus $-3x^2$, was immer negativ oder null ist ($\leq 0$).
• Davon ziehen wir noch $5$ ab. Das Ergebnis ist also immer negativ.

Zum Beispiel: Wenn $x=0$, ist $f'(0) = -3(0)^2 - 5 = -5$. Wenn $x=2$, ist $f'(2) = -3(2)^2 - 5 = -12 - 5 = -17$.

Wir leiten $h(x)$ mit der Kettenregel ab: $h'(x) = 2 \cdot e^{0{,}5x} \cdot 0{,}5$

$h'(x) = e^{0{,}5x}$

Die Ableitung ist $h'(x) = e^{0{,}5x}$. Die e-Funktion ist per Definition immer positiv, egal was im Exponenten steht.

Wir verwenden die Quotientenregel mit $u(x) = -10$ und $v(x) = x^2+1$. Daraus folgt $u'(x) = 0$ und $v'(x) = 2x$.

$k'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+1) - (-10) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

$k'(x) = \frac{20x}{(x^2+1)^2}$

Diesmal ist das Vorzeichen nicht konstant! Es hängt vom Zähler ab.

• Nenner: $(x^2+1)^2$ ist immer positiv, da $x^2$ nicht negativ ist und das Ganze quadriert wird.
• Zähler: $20x$ ist positiv, wenn $x>0$ ist, und negativ, wenn $x<0$ ist.

Das bedeutet, wir haben hier unterschiedliche Monotoniebereiche.

Wir leiten die Funktion ab. Die Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$. $f'(x) = \frac{1}{x} + 2$

Der Definitionsbereich der Funktion ist $x>0$. Das bedeutet, wir setzen nur positive Zahlen für $x$ ein.

• Der Term $\frac{1}{x}$ ist für $x>0$ immer positiv.
• Wir addieren dazu die positive Zahl $2$.

Die Summe aus zwei positiven Termen ist immer positiv.

Die Ableitung ist bereits gegeben: $f'(x) = (0{,}5x^2+x-2)e^x$.

Wir setzen $f'(x) = 0$: $(0{,}5x^2+x-2) \cdot e^x = 0$

Da $e^x$ niemals Null sein kann, muss der Klammerausdruck Null sein: $0{,}5x^2+x-2 = 0$

Wir lösen dies mit der Mitternachtsformel (abc-Formel): $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{1} = -1 \pm \sqrt{5}$

Das ergibt die Nullstellen $x_1 = -1 - \sqrt{5} \approx -3{,}24$ und $x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1{,}24$.

Laut Aufgabenstellung sollen wir nur den Bereich $x \geq 0$ betrachten. Die Nullstelle $x_1$ liegt außerhalb dieses Bereichs. Nur $x_2 = -1 + \sqrt{5}$ ist relevant. Sie teilt unseren Betrachtungsbereich in zwei Intervalle:

• Intervall 1: $[0; -1+\sqrt{5})$
• Intervall 2: $(-1+\sqrt{5}; \infty)$

• Für Intervall 1: $[0; -1+\sqrt{5})$ (ca. $[0; 1{,}24)$) Wir wählen den Testwert $x=1$. $f'(1) = (0{,}5 \cdot 1^2 + 1 - 2) \cdot e^1 = (0{,}5 - 1) \cdot e = -0{,}5e$ Das Ergebnis ist negativ.

• Für Intervall 2: $(-1+\sqrt{5}; \infty)$ (ca. $(1{,}24; \infty)$) Wir wählen den Testwert $x=2$. $f'(2) = (0{,}5 \cdot 2^2 + 2 - 2) \cdot e^2 = (0{,}5 \cdot 4) \cdot e^2 = 2e^2$ Das Ergebnis ist positiv.

$f'(x) = 3x^2 - 12x$

Wir setzen $f'(x) = 0$: $3x^2 - 12x = 0$

Wir klammern $3x$ aus: $3x(x - 4) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$.

Die Nullstellen teilen die x-Achse in drei Intervalle:

• Intervall 1: $(-\infty; 0)$
• Intervall 2: $(0; 4)$
• Intervall 3: $(4; \infty)$

• Intervall 1: $(-\infty; 0)$ Testwert $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15$. Positiv.

• Intervall 2: $(0; 4)$ Testwert $x=1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9$. Negativ.

• Intervall 3: $(4; \infty)$ Testwert $x=5$: $f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15$. Positiv.

Mit der Quotientenregel ($u=x^2, v=x-1$): $g'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$

Wir setzen den Zähler gleich Null: $x^2 - 2x = 0$ $x(x-2) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$.

Wichtig: Die ursprüngliche Funktion hat eine Definitionslücke bei $x=1$. Diese müssen wir auch als Grenze betrachten! Die Grenzen sind also $0, 1, 2$.

• Intervall 1: $(-\infty; 0)$
• Intervall 2: $(0; 1)$
• Intervall 3: $(1; 2)$
• Intervall 4: $(2; \infty)$

Der Nenner $(x-1)^2$ ist immer positiv. Wir müssen nur das Vorzeichen des Zählers $x(x-2)$ prüfen.

• Intervall 1: $(-\infty; 0)$ (Testwert $x=-1$): $(-1)(-1-2) = 3$. Positiv.
• Intervall 2: $(0; 1)$ (Testwert $x=0{,}5$): $(0{,}5)(0{,}5-2) = -0{,}75$. Negativ.
• Intervall 3: $(1; 2)$ (Testwert $x=1{,}5$): $(1{,}5)(1{,}5-2) = -0{,}75$. Negativ.
• Intervall 4: $(2; \infty)$ (Testwert $x=3$): $(3)(3-2) = 3$. Positiv.

Mit der Produktregel ($u=x+3, v=e^{-x}$): $h'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+3) \cdot (-e^{-x})$ $h'(x) = e^{-x} - (x+3)e^{-x}$

Wir klammern $e^{-x}$ aus: $h'(x) = e^{-x}(1 - (x+3)) = e^{-x}(-x-2)$

Wir setzen $h'(x) = 0$: $e^{-x}(-x-2) = 0$

Da $e^{-x}$ immer positiv ist, muss die Klammer Null sein: $-x-2 = 0 \to x = -2$

Die einzige Nullstelle ist $x = -2$.

• Intervall 1: $(-\infty; -2)$
• Intervall 2: $(-2; \infty)$

Das Vorzeichen von $h'(x)$ hängt nur vom Term $(-x-2)$ ab, da $e^{-x}$ immer positiv ist.

• Intervall 1: $(-\infty; -2)$ (Testwert $x=-3$): $-(-3)-2 = 3-2 = 1$. Positiv.
• Intervall 2: $(-2; \infty)$ (Testwert $x=0$): $-(0)-2 = -2$. Negativ.

$f'(x) = 4x^3 - 4x$

$4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$ $4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 1$.

• Intervall 1: $(-\infty; -1)$
• Intervall 2: $(-1; 0)$
• Intervall 3: $(0; 1)$
• Intervall 4: $(1; \infty)$

Wir testen das Vorzeichen von $f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$.

• Intervall 1: $(-\infty; -1)$ (Testwert $x=-2$): $4(-2)((-2)-1)((-2)+1) = (-8)(-3)(-1) = -24$. Negativ.
• Intervall 2: $(-1; 0)$ (Testwert $x=-0{,}5$): $4(-0{,}5)((-0{,}5)-1)((-0{,}5)+1) = (-2)(-1{,}5)(0{,}5) = 1{,}5$. Positiv.
• Intervall 3: $(0; 1)$ (Testwert $x=0{,}5$): $4(0{,}5)((0{,}5)-1)((0{,}5)+1) = (2)(-0{,}5)(1{,}5) = -1{,}5$. Negativ.
• Intervall 4: $(1; \infty)$ (Testwert $x=2$): $4(2)((2)-1)((2)+1) = (8)(1)(3) = 24$. Positiv.

Der Flächeninhalt wird durch $A(x) = \frac{8}{f(x)}$ beschrieben. Die Zeit wird durch $x$ dargestellt.

Es ist gegeben, dass die Funktion $f(x)$ im Nenner streng monoton fallend ist.

• Die Funktion $A(x)$ ist ein Bruch mit einem konstanten, positiven Zähler (8).
• Da $f(x)$ streng monoton fällt, wird der Wert des Nenners mit zunehmendem $x$ (also mit der Zeit) immer kleiner.
• Wenn man eine feste positive Zahl (8) durch eine immer kleiner werdende positive Zahl teilt, wird das Ergebnis immer größer.

Die Geschwindigkeit wird durch $v(t)$ beschrieben. Wir müssen zeigen, dass $v(t)$ eine steigende Funktion ist.

Wir bilden die erste Ableitung $v'(t)$: $v'(t) = 0 - 5 \cdot e^{-0{,}1t} \cdot (-0{,}1)$ $v'(t) = 0{,}5e^{-0{,}1t}$

Nun analysieren wir das Vorzeichen von $v'(t)$:

• Der Faktor $0{,}5$ ist positiv.
• Der Faktor $e^{-0{,}1t}$ ist als e-Funktion immer positiv.

Das Produkt zweier positiver Terme ist immer positiv.

Da die Ableitung $v'(t)$ immer positiv ist, ist die Funktion $v(t)$ streng monoton steigend.

Die Anzahl der Bienen wird durch $B(t)$ beschrieben. Wir suchen den Zeitraum, in dem $B(t)$ steigt.

Wir bilden die Ableitung: $B'(t) = 500 - 40t$. Wir suchen den Bereich, in dem $B'(t) > 0$ ist. $500 - 40t > 0$ $500 > 40t$ $12{,}5 > t$

Die Ableitung ist positiv, solange $t < 12{,}5$ ist. Das bedeutet, die Funktion $B(t)$ ist für $t < 12{,}5$ streng monoton steigend.

Die Temperatur wird durch $T(h)$ beschrieben. Wir sollen zeigen, dass die Temperatur sinkt, also dass $T(h)$ eine fallende Funktion ist.

Betrachten wir die Funktion im Nenner: $f(h) = h+5$. Da $h$ die Zeit ist und nur zunimmt, ist die Funktion $f(h)$ streng monoton steigend.

• Die Funktion $T(h)$ ist ein Bruch mit einem konstanten, positiven Zähler (100).
• Der Nenner $h+5$ wird mit zunehmender Zeit $h$ immer größer.
• Wenn man eine feste Zahl (100) durch eine immer größer werdende Zahl teilt, wird das Ergebnis immer kleiner.

Die „Wertsteigerung" ist die Steigung des Graphen, also die erste Ableitung $W'(t)$. Wir müssen $W'(1)$ mit $W'(10)$ vergleichen.

Zuerst bilden wir die erste Ableitung $W'(t)$ mit der Kettenregel. Die Ableitung von $\sqrt{t} = t^{0{,}5}$ ist $0{,}5t^{-0{,}5} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$. $W'(t) = 5000 \cdot e^{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{2500 \cdot e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}$

Wir müssen nun das Monotonieverhalten von $W'(t)$ untersuchen. Das ist kompliziert. Einfacher ist es, die Werte direkt zu berechnen. $W'(1) = \frac{2500 \cdot e^{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} = 2500e \approx 6800$ $W'(10) = \frac{2500 \cdot e^{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}} \approx \frac{2500 \cdot 23{,}6}{3{,}16} \approx 18670$

Da $W'(10) > W'(1)$, ist die Steigung im zehnten Jahr größer als im ersten Jahr. Die Wertsteigerung nimmt also zu.