Die Fusion aus bester Mathe-KI und Lernplattform
Kläre alle Fragen und Aufgaben mit deinem KI-Nachhilfelehrer
Erkenne Wissenslücken und passe dein Lernen individuell an
Erstelle deinen lückenlosen Klausurlernplan
Übe mit über 5.000 interaktiven Aufgaben
Wendepunkte einfach erklärt
Wendepunkte werden oft in der Schule benötigt und wirken kompliziert. Lies diesen Artikel und lerne, wie du Wendepunkte sicher bestimmen kannst!
Definition
Erklärung
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich die Krümmung ändert. An diesem Punkt ist die Krümmung gleich null und die zweite Ableitung der Funktion wechselt ihr Vorzeichen. Um Wendepunkte zu bestimmen, setzt man die zweite Ableitung der Funktion gleich null und überprüft anschließend den Vorzeichenwechsel oder nutzt die dritte Ableitung.
Die allgemeine Formel zur Bestimmung der Wendepunkte lautet:
f''(x) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x) \neq 0
Schema
Vorgehen
Um Wendepunkte zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
1. Berechne die erste Ableitung f'(x).
2. Berechne die zweite Ableitung f''(x).
3. Setze die zweite Ableitung gleich null und löse nach x auf.
4. Prüfe mit der dritten Ableitung f'''(x), ob diese an den gefundenen Stellen ungleich null ist. Ist die dritte Ableitung gleich null, liegt kein Wendepunkt vor.
Alternativ kannst du auch den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung überprüfen.
f''(x) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x) \neq 0
Beispiele
- Bestimme den Wendepunkt der Funktion f(x) = x^3.
- 1. Ableitungen bestimmen: f'(x)=3x^2, f''(x)=6x, f'''(x)=6.
2. Zweite Ableitung gleich null setzen: 6x=0 ⇒ x=0.
3. Dritte Ableitung prüfen: f'''(0)=6\neq0 ⇒ Wendepunkt bei x=0.
4. y-Wert berechnen: f(0)=0^3=0 ⇒ Wendepunkt (0|0).
- Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x)=x^4-4x^3.
- 1. Ableitungen bestimmen: f'(x)=4x^3-12x^2, f''(x)=12x^2-24x, f'''(x)=24x-24.
2. Zweite Ableitung gleich null setzen: 12x^2-24x=0 ⇒ 12x(x-2)=0 ⇒ x_1=0, x_2=2.
3. Dritte Ableitung prüfen: f'''(0)=-24\neq0, f'''(2)=24\neq0 ⇒ Wendepunkte bei x=0 und x=2.
4. y-Werte berechnen: f(0)=0^4-4\cdot0^3=0, f(2)=16-32=-16 ⇒ Wendepunkte (0|0) und (2|-16).
Zusammenfassung
Merkkasten
- Wendepunkte liegen dort, wo die Krümmung gleich null ist und die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.
- Die dritte Ableitung darf an einem Wendepunkt nicht gleich null sein.
Üben
Aufgaben
- Bestimme den Wendepunkt der Funktion f(x)=x^3-3x.
- f'(x)=3x^2-3, f''(x)=6x, f'''(x)=6.
6x=0 ⇒ x=0, f'''(0)=6\neq0 ⇒ Wendepunkt bei x=0.
f(0)=0^3-3\cdot0=0 ⇒ Wendepunkt (0|0).
- Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x)=x^3-6x^2+9x.
- f'(x)=3x^2-12x+9, f''(x)=6x-12, f'''(x)=6.
6x-12=0 ⇒ x=2, f'''(2)=6\neq0 ⇒ Wendepunkt bei x=2.
f(2)=8-24+18=2 ⇒ Wendepunkt (2|2).
- Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x)=x^5-5x^4.
- f'(x)=5x^4-20x^3, f''(x)=20x^3-60x^2, f'''(x)=60x^2-120x.
20x^2(x-3)=0 ⇒ x_1=0, x_2=3.
f'''(0)=0 ⇒ kein Wendepunkt bei x=0, f'''(3)=60\cdot9-120\cdot3=540-360=180\neq0 ⇒ Wendepunkt bei x=3.
f(3)=243-405=-162 ⇒ Wendepunkt (3|-162).
Starte jetzt & verbessere deine Mathenoten! 🚀