Was sind Steckbriefaufgaben in der Mathematik?

Steckbriefaufgaben sind Aufgaben, bei denen eine unbekannte Funktion aus gegebenen Bedingungen rekonstruiert wird. Diese Bedingungen können Punkte, Steigungen oder Extremstellen sein. Jede Bedingung wird in eine mathematische Gleichung übersetzt, sodass ein lineares Gleichungssystem (LGS) entsteht. Steckbriefaufgaben sind ein klassisches Klausurenthema und trainieren das systematische Denken in der Mathematik.

Wie viele Punkte brauche ich, um eine quadratische Funktion eindeutig zu bestimmen?

Eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c hat drei Unbekannte: a , b und c . Du brauchst deshalb genau drei unabhängige Informationen , um sie eindeutig zu bestimmen. Das gilt allgemein: Eine Funktion n-ten Grades benötigt n+1 Informationen. Hast du weniger, erhältst du keine einzelne Funktion, sondern eine Funktionenschar.

Wie übersetze ich einen Extrempunkt in eine mathematische Gleichung?

Ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) an der Stelle x₀ bedeutet, dass die Steigung des Graphen dort gleich null ist. Die mathematische Übersetzung lautet: f'(x₀) = 0 . Liegt außerdem der Punkt (x₀ | y₀) auf dem Graphen, liefert das eine zweite Gleichung: f(x₀) = y₀ . Ein Extrempunkt gibt also zwei Gleichungen auf einmal.

Was ist eine Funktionenschar und wann entsteht sie?

Eine Funktionenschar entsteht, wenn du zu wenige Bedingungen hast, um alle Koeffizienten einer Funktion eindeutig zu bestimmen. Für eine quadratische Funktion reichen dann zum Beispiel nur zwei Punkte: Zwei der drei Koeffizienten lassen sich durch den dritten ausdrücken. Dieser dritte Koeffizient bleibt als freier Parameter (oft a ) stehen. Für jeden Wert von a erhältst du eine andere Parabel aus der Schar.

Wie gehe ich bei einer Steckbriefaufgabe Schritt für Schritt vor?

Gehe in fünf Schritten vor: Funktionstyp und Ableitung aufschreiben. Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren und als Stichpunkte notieren. Jede Bedingung in eine mathematische Gleichung übersetzen (Punkt, Steigung, Extremstelle). Das entstehende LGS lösen und die Koeffizienten bestimmen. Die Funktionsgleichung angeben und einen Antwortsatz formulieren.

Steckbriefaufgaben: Polynome bestimmen

Stell dir vor, du bist ein Detektiv. Dein Fall: eine unbekannte Funktion. Du hast nur ein paar Hinweise – ein paar Punkte, durch die sie verläuft, oder die Steigung an einer bestimmten Stelle. Deine Mission ist es, aus diesen Hinweisen die exakte Täterbeschreibung, also die Funktionsgleichung, zu rekonstruieren. Dieses „Detektivspiel" nennt man in der Mathematik „Steckbriefaufgaben". Es ist wie ein Puzzle: Wenn du die Regeln kennst, kannst du aus wenigen Informationen das ganze Bild zusammensetzen. Polynome bestimmen mithilfe linearer Gleichungssysteme ist nicht nur ein super Gehirnjogging, sondern auch ein echter Punkte-Garant in Klausuren. Lass uns lernen, wie man diese Fälle knackt!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du für dieses Thema brauchst:

Allgemeine Form einer quadratischen Funktion: Sie beschreibt jede Parabel.
- Formel: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Beispiel: $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ ist eine quadratische Funktion mit $a=2$ , $b=-5$ und $c=1$ .
Punktprobe: Prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt.
- Regel: Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen von $f$ , wenn $f(x_0) = y_0$ gilt.
- Beispiel: Liegt $P(2|3)$ auf dem Graphen von $f(x) = x^2 - 1$ ? Wir rechnen: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$ . Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen.
Erste Ableitung als Steigung: Die erste Ableitung gibt die Steigung des Graphen an einer Stelle an.
- Formel: Die Steigung $m$ an der Stelle $x_0$ ist $m = f'(x_0)$ .
- Beispiel: Für $f(x) = x^2$ ist die Ableitung $f'(x) = 2x$ . Die Steigung an der Stelle $x=3$ ist $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$ .
Bedingung für eine Extremstelle (Maximum/Minimum): An einer Extremstelle ist die Steigung immer null.
- Regel: Hat eine Funktion an der Stelle $x_0$ eine Extremstelle, dann gilt $f'(x_0) = 0$ .
- Beispiel: Die Parabel $f(x) = x^2$ hat ihren Tiefpunkt bei $x=0$ . Die Ableitung ist $f'(x) = 2x$ , und tatsächlich ist $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$ .
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Finden von Werten für mehrere Unbekannte.
- Beispiel: Gegeben ist das System: $\text{(I)}: x + y = 5$ $\text{(II)}: 2x - y = 1$ Wir können (I) nach $y$ umstellen: $y = 5 - x$ . Eingesetzt in (II) ergibt das: $2x - (5-x) = 1 \to 3x - 5 = 1 \to 3x = 6 \to x=2$ . Setzen wir $x=2$ wieder in $y = 5-x$ ein, erhalten wir $y=3$ . Die Lösung ist $x=2, y=3$ .

Aufgabentyp 1: Funktion aus drei Punkten bestimmen

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Um sie eindeutig zu bestimmen, brauchen wir drei Informationen, um die drei Unbekannten $a$ , $b$ und $c$ zu finden. Wenn drei Punkte gegeben sind, ist das perfekt!

Jeder Punkt liefert uns eine Gleichung. Wir setzen einfach die x- und y-Koordinaten jedes Punktes in die allgemeine Form ein. Das Ergebnis ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen, das wir dann lösen können.

Grundregel: Eine Funktion n-ten Grades benötigt n+1 Informationen. Für eine quadratische Funktion (Grad 2) brauchen wir also 2+1 = 3 Informationen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben: Notiere $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
Gleichungen für jeden Punkt aufstellen: Setze die Koordinaten jedes Punktes $P(x_p | y_p)$ ein, um $a(x_p)^2 + b(x_p) + c = y_p$ zu erhalten.
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Löse das System der drei Gleichungen mit einem Verfahren deiner Wahl (z.B. Einsetzungs-, Additions- oder Gleichsetzungsverfahren).
Funktionsgleichung angeben: Setze die gefundenen Werte für $a$ , $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte $P(0|5)$ , $Q(1|2)$ und $R(-1|12)$ verläuft.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für jeden Punkt aufstellen
Wir setzen die Koordinaten der drei Punkte ein:
- Für $P(0|5)$ : $f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 5 \quad \to \quad c = 5$
- Für $Q(1|2)$ : $f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 2 \quad \to \quad a + b + c = 2$
- Für $R(-1|12)$ : $f(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 12 \quad \to \quad a - b + c = 12$
3
Schritt 3
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen
Unser LGS lautet: $\text{(I)}: \quad c = 5$ $\text{(II)}: \quad a + b + c = 2$ $\text{(III)}: \quad a - b + c = 12$

Aus (I) wissen wir sofort: $c = 5$ . Das setzen wir in (II) und (III) ein:
- In (II): $a + b + 5 = 2 \quad | -5 \quad \to \quad a + b = -3 \quad \text{(II')}$
- In (III): $a - b + 5 = 12 \quad | -5 \quad \to \quad a - b = 7 \quad \text{(III')}$
Jetzt lösen wir das neue, kleinere System. Wir addieren (II') und (III'): $(a+b) + (a-b) = -3 + 7$ $2a = 4 \quad | \div 2$ $a = 2$

Nun setzen wir $a=2$ in (II') ein, um $b$ zu finden: $2 + b = -3 \quad | -2$ $b = -5$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben
Wir setzen $a=2$ , $b=-5$ und $c=5$ in die allgemeine Form ein:

Ergebnis:

$f(x) = 2x^2 - 5x + 5$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Parabel verläuft durch die Punkte $A(1|0)$ , $B(4|0)$ und $C(0|-4)$ . Bestimme ihre Funktionsgleichung.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für jeden Punkt aufstellen
- Für $A(1|0)$ : $a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \quad \to \quad a + b + c = 0$
- Für $B(4|0)$ : $a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 0 \quad \to \quad 16a + 4b + c = 0$
- Für $C(0|-4)$ : $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -4 \quad \to \quad c = -4$
3
Schritt 3
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen
Das System ist: $\text{(I)}: \quad a + b + c = 0$ $\text{(II)}: \quad 16a + 4b + c = 0$ $\text{(III)}: \quad c = -4$

Wir setzen $c=-4$ aus (III) in (I) und (II) ein:
- In (I): $a + b - 4 = 0 \quad \to \quad a + b = 4 \quad \text{(I')}$
- In (II): $16a + 4b - 4 = 0 \quad \to \quad 16a + 4b = 4 \quad | \div 4 \quad \to \quad 4a + b = 1 \quad \text{(II')}$
Wir stellen (I') nach $b$ um: $b = 4 - a$ . Das setzen wir in (II') ein: $4a + (4 - a) = 1$ $3a + 4 = 1 \quad | -4$ $3a = -3 \quad | \div 3$ $a = -1$

Jetzt setzen wir $a=-1$ in $b = 4 - a$ ein: $b = 4 - (-1) = 5$ $b = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben
Mit $a=-1$ , $b=5$ und $c=-4$ erhalten wir:

Ergebnis:

$f(x) = -x^2 + 5x - 4$

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die quadratische Funktion, deren Graph durch die Punkte $P(-2|18)$ , $Q(1|3)$ und $R(3|11)$ geht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für jeden Punkt aufstellen
- Für $P(-2|18)$ : $a(-2)^2 + b(-2) + c = 18 \quad \to \quad 4a - 2b + c = 18$
- Für $Q(1|3)$ : $a(1)^2 + b(1) + c = 3 \quad \to \quad a + b + c = 3$
- Für $R(3|11)$ : $a(3)^2 + b(3) + c = 11 \quad \to \quad 9a + 3b + c = 11$
3
Schritt 3
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen
$\text{(I)}: \quad 4a - 2b + c = 18$ $\text{(II)}: \quad a + b + c = 3$ $\text{(III)}: \quad 9a + 3b + c = 11$

Wir stellen (II) nach $c$ um: $c = 3 - a - b$ . Das setzen wir in (I) und (III) ein:
- In (I): $4a - 2b + (3 - a - b) = 18 \quad \to \quad 3a - 3b = 15 \quad | \div 3 \quad \to \quad a - b = 5 \quad \text{(I')}$
- In (III): $9a + 3b + (3 - a - b) = 11 \quad \to \quad 8a + 2b = 8 \quad | \div 2 \quad \to \quad 4a + b = 4 \quad \text{(III')}$
Jetzt addieren wir (I') und (III'): $(a - b) + (4a + b) = 5 + 4$ $5a = 9 \quad | \div 5$ $a = 1{,}8$

Wir setzen $a=1{,}8$ in (I') ein: $1{,}8 - b = 5 \quad \to \quad b = 1{,}8 - 5 = -3{,}2$ . $b = -3{,}2$

Zuletzt finden wir $c$ mit $c = 3 - a - b$ : $c = 3 - 1{,}8 - (-3{,}2) = 3 - 1{,}8 + 3{,}2 = 4{,}4$ . $c = 4{,}4$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

$f(x) = 1{,}8x^2 - 3{,}2x + 4{,}4$

Beispiel 4

Aufgabe

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist $S(2|-1)$ und sie verläuft durch den Punkt $P(4|7)$ . Bestimme die Funktionsgleichung. (Hinweis: Der Scheitelpunkt ist auch nur ein Punkt, liefert aber zusätzlich die Information, dass die Steigung dort 0 ist. Hier nutzen wir ihn aber erstmal nur als Punkt.)

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Scheitelpunktform verwenden
Wir haben zwei Punkte $S(2|-1)$ und $P(4|7)$ . Das sind nur zwei Informationen für drei Unbekannte ( $a, b, c$ ). Wir brauchen eine dritte Information. Die Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2+e$ mit Scheitelpunkt $S(d|e)$ ist hier einfacher. Wir setzen $S(2|-1)$ ein: $f(x) = a(x-2)^2 + (-1) = a(x-2)^2 - 1$
Schritt 2
Punkt P einsetzen, um a zu finden
Jetzt setzen wir den Punkt $P(4|7)$ ein, um $a$ zu bestimmen: $f(4) = a(4-2)^2 - 1 = 7$ $a(2)^2 - 1 = 7$ $4a - 1 = 7 \quad | +1$ $4a = 8 \quad | \div 4$ $a = 2$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung in allgemeiner Form angeben
Wir haben $f(x) = 2(x-2)^2 - 1$ . Um die Form $ax^2+bx+c$ zu erhalten, multiplizieren wir aus: $f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) - 1$ $f(x) = 2x^2 - 8x + 8 - 1$ $f(x) = 2x^2 - 8x + 7$

Die Koeffizienten sind also $a=2$ , $b=-8$ und $c=7$ .

Ergebnis:

$f(x) = 2x^2 - 8x + 7$

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Brücke hat einen parabelförmigen Bogen. Die Fahrbahn liegt auf der x-Achse. Die Brückenpfeiler stehen bei $x=-10$ und $x=10$ . In der Mitte ist der Bogen $5\,m$ hoch. Bestimme die Funktionsgleichung des Bogens.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Bedingungen in Punkte übersetzen
Wir übersetzen die Textinformationen in Punkte.
1. Pfeiler bei $x=-10$ auf der Fahrbahn (y=0) $\to P_1(-10|0)$ .
2. Pfeiler bei $x=10$ auf der Fahrbahn (y=0) $\to P_2(10|0)$ .
3. In der Mitte (also bei $x=0$ ) ist die Höhe $5\,m$ . Da der Bogen unter der Fahrbahn ist, ist der y-Wert negativ $\to S(0|-5)$ . Dies ist der Scheitelpunkt.
Schritt 2
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
3
Schritt 3
Gleichungen für jeden Punkt aufstellen
- Für $S(0|-5)$ : $a(0)^2 + b(0) + c = -5 \quad \to \quad c = -5$ .
- Für $P_2(10|0)$ : $a(10)^2 + b(10) + c = 0 \quad \to \quad 100a + 10b + c = 0$ .
- Für $P_1(-10|0)$ : $a(-10)^2 + b(-10) + c = 0 \quad \to \quad 100a - 10b + c = 0$ .
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen
$\text{(I)}: \quad c = -5$ $\text{(II)}: \quad 100a + 10b + c = 0$ $\text{(III)}: \quad 100a - 10b + c = 0$

Wir setzen $c=-5$ in (II) und (III) ein: $\text{(II')}: \quad 100a + 10b - 5 = 0$ $\text{(III')}: \quad 100a - 10b - 5 = 0$

Wir addieren (II') und (III'): $(100a + 10b - 5) + (100a - 10b - 5) = 0$ $200a - 10 = 0 \quad | +10$ $200a = 10 \quad | \div 200$ $a = \frac{10}{200} = \frac{1}{20} = 0{,}05$

Wir setzen $a=0{,}05$ in (II') ein: $100(0{,}05) + 10b - 5 = 0$ $5 + 10b - 5 = 0$ $10b = 0 \quad \to \quad b=0$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben
Mit $a=0{,}05$ , $b=0$ und $c=-5$ erhalten wir:

Ergebnis:

$f(x) = 0{,}05x^2 - 5$

Aufgabentyp 2: Funktionenschar aus zwei Punkten bestimmen

Was passiert, wenn wir für eine quadratische Funktion ( $f(x) = ax^2+bx+c$ ) nur zwei Punkte gegeben haben? Wir erinnern uns: Wir brauchen 3 Informationen für die 3 Unbekannten $a, b, c$ . Mit nur zwei Punkten haben wir eine Information zu wenig.

Das Ergebnis ist keine einzelne Funktion, sondern eine ganze Funktionenschar. Das ist eine Familie von Funktionen, die alle eine gemeinsame Eigenschaft haben – in diesem Fall, dass sie durch die beiden gegebenen Punkte verlaufen.

In der Funktionsgleichung bleibt einer der Koeffizienten als variabler Parameter (oft $a$ oder $k$ ) stehen. Für jeden Wert, den du für diesen Parameter einsetzt, erhältst du eine andere Funktion aus der Schar.

Funktionenschar quadratischer Parabeln durch zwei Punkte

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben: Beginne wieder mit $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen: Setze die Koordinaten der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Form ein.
LGS so weit wie möglich lösen: Drücke zwei der Koeffizienten (z.B. $b$ und $c$ ) in Abhängigkeit vom dritten (z.B. $a$ ) aus. Der Koeffizient $a$ wird zu deinem Scharparameter.
Funktionsschar angeben: Setze die in Schritt 3 gefundenen Ausdrücke für $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein. Die resultierende Funktion hängt vom Parameter $a$ ab und wird oft als $f_a(x)$ geschrieben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Schar aller quadratischen Funktionen, die durch die Punkte $P(0|1)$ und $Q(2|5)$ verlaufen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen
- Für $P(0|1)$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 1 \quad \to \quad c = 1$ .
- Für $Q(2|5)$ : $a(2)^2 + b(2) + c = 5 \quad \to \quad 4a + 2b + c = 5$ .
Schritt 3
LGS so weit wie möglich lösen
Wir haben zwei Gleichungen: $\text{(I)}: \quad c = 1$ $\text{(II)}: \quad 4a + 2b + c = 5$

Wir setzen (I) in (II) ein: $4a + 2b + 1 = 5 \quad | -1$ $4a + 2b = 4 \quad | \div 2$ $2a + b = 2$

Jetzt drücken wir $b$ in Abhängigkeit von $a$ aus: $b = 2 - 2a$

Wir haben also: $c=1$ und $b = 2 - 2a$ . Der Koeffizient $a$ bleibt unser freier Parameter.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsschar angeben
Wir setzen die Ausdrücke für $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein:

Ergebnis:

Die Funktionsschar lautet $f_a(x) = ax^2 + (2-2a)x + 1$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Funktionsschar aller Parabeln, die durch den Ursprung $O(0|0)$ und den Punkt $A(-2|4)$ gehen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen
- Für $O(0|0)$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 0 \quad \to \quad c = 0$ .
- Für $A(-2|4)$ : $a(-2)^2 + b(-2) + c = 4 \quad \to \quad 4a - 2b + c = 4$ .
Schritt 3
LGS so weit wie möglich lösen
Wir setzen $c=0$ in die zweite Gleichung ein: $4a - 2b + 0 = 4$ $4a - 2b = 4 \quad | \div 2$ $2a - b = 2$

Wir lösen nach $b$ auf: $2a - 2 = b$

Unsere Koeffizienten sind: $c=0$ und $b = 2a - 2$ . $a$ ist der Parameter.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsschar angeben

Ergebnis:

Die Funktionsschar lautet $f_a(x) = ax^2 + (2a-2)x$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gesucht ist die Schar aller quadratischen Funktionen, deren Graphen durch $P(1|1)$ und $Q(3|1)$ verlaufen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen
- Für $P(1|1)$ : $a(1)^2 + b(1) + c = 1 \quad \to \quad a + b + c = 1$ .
- Für $Q(3|1)$ : $a(3)^2 + b(3) + c = 1 \quad \to \quad 9a + 3b + c = 1$ .
Schritt 3
LGS so weit wie möglich lösen
$\text{(I)}: \quad a + b + c = 1$ $\text{(II)}: \quad 9a + 3b + c = 1$

Wir können beide Gleichungen nach $c$ auflösen und gleichsetzen: Aus (I): $c = 1 - a - b$ Aus (II): $c = 1 - 9a - 3b$

Gleichsetzen: $1 - a - b = 1 - 9a - 3b \quad | -1$ $-a - b = -9a - 3b \quad | +9a, +b$ $8a = -2b \quad | \div (-2)$ $b = -4a$

Jetzt setzen wir $b=-4a$ in die erste Gleichung für $c$ ein: $c = 1 - a - (-4a) = 1 - a + 4a = 1 + 3a$

Wir haben: $b = -4a$ und $c = 1 + 3a$ . $a$ ist der Parameter.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsschar angeben

Ergebnis:

Die Funktionsschar lautet $f_a(x) = ax^2 - 4ax + 1 + 3a$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Familie von Parabeln geht durch die Punkte $A(2|3)$ und $B(-2|3)$ . Bestimme die Funktionsschar.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen
- Für $A(2|3)$ : $a(2)^2 + b(2) + c = 3 \quad \to \quad 4a + 2b + c = 3$ .
- Für $B(-2|3)$ : $a(-2)^2 + b(-2) + c = 3 \quad \to \quad 4a - 2b + c = 3$ .
Schritt 3
LGS so weit wie möglich lösen
$\text{(I)}: \quad 4a + 2b + c = 3$ $\text{(II)}: \quad 4a - 2b + c = 3$

Wir subtrahieren (II) von (I): $(4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 3 - 3$ $4b = 0 \quad \to \quad b = 0$

Da die Punkte symmetrisch zur y-Achse liegen, war dies zu erwarten. Jetzt setzen wir $b=0$ in (I) ein: $4a + 2(0) + c = 3 \quad \to \quad 4a + c = 3$

Wir lösen nach $c$ auf: $c = 3 - 4a$ .

Wir haben: $b = 0$ und $c = 3 - 4a$ . $a$ ist der Parameter.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsschar angeben

Ergebnis:

Die Funktionsschar lautet $f_a(x) = ax^2 + 3 - 4a$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Schar aller quadratischen Funktionen, die durch $P(0|-2)$ und $Q(1|0)$ verlaufen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben
$f(x) = ax^2 + bx + c$
2
Schritt 2
Gleichungen für die zwei Punkte aufstellen
- Für $P(0|-2)$ : $a(0)^2 + b(0) + c = -2 \quad \to \quad c = -2$ .
- Für $Q(1|0)$ : $a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \to \quad a + b + c = 0$ .
Schritt 3
LGS so weit wie möglich lösen
Wir setzen $c=-2$ in die zweite Gleichung ein: $a + b - 2 = 0 \quad | +2$ $a + b = 2$

Wir lösen nach $b$ auf: $b = 2 - a$

Wir haben: $c=-2$ und $b = 2 - a$ . $a$ ist der Parameter.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsschar angeben

Ergebnis:

Die Funktionsschar lautet $f_a(x) = ax^2 + (2-a)x - 2$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Aufgabentyp 3: Funktion aus gemischten Bedingungen bestimmen (Steckbriefaufgabe)

Jetzt kommt die Königsdisziplin: die klassische Steckbriefaufgabe. Hier sind die Informationen nicht nur als Punkte gegeben, sondern im Text versteckt. Deine Aufgabe als Detektiv ist es, diese Hinweise zu finden und in die Sprache der Mathematik zu übersetzen.

Hier sind die häufigsten Hinweise und ihre Übersetzung:

Punkt: „Die Funktion verläuft durch den Punkt $P(x_0|y_0)$ " oder „Bei $x_0$ hat die Funktion den Wert $y_0$ ".
- Übersetzung: $f(x_0) = y_0$
Steigung: „An der Stelle $x_0$ hat die Funktion die Steigung $m$ ".
- Übersetzung: $f'(x_0) = m$
Extrempunkt (Hoch-/Tiefpunkt): „Bei $x_0$ liegt ein Hochpunkt/Tiefpunkt/Extrempunkt".
- Übersetzung: $f'(x_0) = 0$ (Die Steigung ist dort immer null!)
Berührpunkt/Tangente: „Der Graph berührt die x-Achse bei $x_0$ " oder „Die Tangente bei $x_0$ ist waagerecht".
- Übersetzung: Das ist ein doppelter Hinweis! Der Punkt ist $(x_0|0)$ UND die Steigung ist 0. Also: $f(x_0) = 0$ und $f'(x_0) = 0$ .

Für jede dieser Bedingungen stellst du eine Gleichung auf und löst das resultierende LGS.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionstyp und Ableitung bestimmen: Lies die Aufgabe: Ist eine quadratische, kubische oder andere Funktion gesucht? Schreibe die allgemeine Form (z.B. $f(x) = ax^2+bx+c$ ) und ihre erste Ableitung (z.B. $f'(x) = 2ax+b$ ) auf.
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren: Lies den Text sorgfältig und markiere alle Informationen. Schreibe sie als Stichpunkte auf (z.B. „Punkt bei (2|5)", „Maximum bei x=4").
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen: Verwende die Übersetzungsregeln, um aus jedem Stichpunkt eine Gleichung zu machen (z.B. Punkt $P(2|5) \to f(2) = 5$ ; Maximum bei $x=4 \to f'(4) = 0$ ).
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen: Sammle alle Gleichungen und löse das LGS, um die Koeffizienten $a, b, c, ...$ zu finden.
Funktionsgleichung angeben und Antwort formulieren: Setze die gefundenen Koeffizienten in die allgemeine Form ein und schreibe einen Antwortsatz, der die ursprüngliche Frage beantwortet.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine quadratische Funktion hat bei $x=3$ einen Hochpunkt $H(3|4)$ und schneidet die y-Achse bei $y=1$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionstyp und Ableitung bestimmen
Gesucht ist eine quadratische Funktion. Allgemeine Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Ableitung: $f'(x) = 2ax + b$
2
Schritt 2
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren
1. Hochpunkt bei $H(3|4)$ $H (3∣4)$ . Das sind ZWEI Informationen:
  - Der Graph geht durch den Punkt $(3|4)$ .
  - Bei $x=3$ ist eine Extremstelle (Steigung = 0).
2. Schnittpunkt mit der y-Achse bei $y=1$ . Das bedeutet, der Punkt $(0|1)$ liegt auf dem Graphen.
3
Schritt 3
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen
1. Punkt $(3|4) \to f(3) = 4$
2. Extremstelle bei $x=3 \to f'(3) = 0$
3. Punkt $(0|1) \to f(0) = 1$
4
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen
Wir setzen die Bedingungen in die Formeln ein:
- Aus $f(0) = 1$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 1 \quad \to \quad c = 1$ .
- Aus $f(3) = 4$ : $a(3)^2 + b(3) + c = 4 \quad \to \quad 9a + 3b + c = 4$ .
- Aus $f'(3) = 0$ : $2a(3) + b = 0 \quad \to \quad 6a + b = 0$ .
Das LGS ist: $\text{(I)}: \quad c = 1$ $\text{(II)}: \quad 9a + 3b + c = 4$ $\text{(III)}: \quad 6a + b = 0$

Wir setzen $c=1$ in (II) ein: $9a + 3b + 1 = 4 \to 9a + 3b = 3 \to 3a + b = 1$ (II'). Aus (III) lösen wir nach $b$ auf: $b = -6a$ . Das setzen wir in (II') ein: $3a + (-6a) = 1$ $-3a = 1 \quad \to \quad a = -\frac{1}{3}$

Jetzt finden wir $b$ mit $b = -6a$ : $b = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \quad \to \quad b = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1$

Beispiel 2

Aufgabe

Der Bogen einer Hängebrücke kann durch eine Parabel beschrieben werden. Die beiden Pfeiler sind $100\,m$ voneinander entfernt. Das Halteseil ist am tiefsten Punkt $10\,m$ über der Fahrbahn. Die Aufhängepunkte an den Pfeilern sind $35\,m$ hoch. Bestimme die Funktionsgleichung des Seils, wenn die Fahrbahn die x-Achse ist und der tiefste Punkt auf der y-Achse liegt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionstyp und Ableitung bestimmen
Gesucht ist eine Parabel (quadratische Funktion). Allgemeine Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Ableitung: $f'(x) = 2ax + b$
2
Schritt 2
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren
1. Tiefster Punkt auf der y-Achse, $10\,m$ $10 m$ hoch $\to$ $\to$ Scheitelpunkt $S(0|10)$ $S (0∣10)$ . Das sind zwei Bedingungen:
  - Punkt $(0|10)$ liegt auf dem Graphen.
  - Extremstelle bei $x=0$ .
2. Pfeilerabstand $100\,m$ . Da der Scheitelpunkt bei $x=0$ liegt, stehen die Pfeiler symmetrisch bei $x=-50$ und $x=50$ . Die Höhe dort ist $35\,m$ . Wir brauchen nur einen der beiden Punkte, z.B. $P(50|35)$ .
3
Schritt 3
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen
1. Punkt $(0|10) \to f(0) = 10$
2. Extremstelle bei $x=0 \to f'(0) = 0$
3. Punkt $(50|35) \to f(50) = 35$
4
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen
- Aus $f(0) = 10$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 10 \quad \to \quad c = 10$ .
- Aus $f'(0) = 0$ : $2a(0) + b = 0 \quad \to \quad b = 0$ .
- Aus $f(50) = 35$ : $a(50)^2 + b(50) + c = 35 \quad \to \quad 2500a + 50b + c = 35$ .
Wir setzen $b=0$ und $c=10$ in die dritte Gleichung ein: $2500a + 50(0) + 10 = 35$ $2500a + 10 = 35 \quad | -10$ $2500a = 25 \quad | \div 2500$ $a = \frac{25}{2500} = \frac{1}{100} = 0{,}01$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

Die Funktionsgleichung des Brückenseils lautet $f(x) = 0{,}01x^2 + 10$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine quadratische Funktion geht durch den Punkt $P(1|5)$ und hat an der Stelle $x=2$ die Steigung $m=3$ . Außerdem geht sie durch den Ursprung $(0|0)$ . Bestimme die Funktion.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionstyp und Ableitung bestimmen
Quadratische Funktion: $f(x) = ax^2 + bx + c$ $f'(x) = 2ax + b$
2
Schritt 2
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren
1. Punkt $P(1|5)$ .
2. Steigung $m=3$ bei $x=2$ .
3. Punkt $O(0|0)$ .
3
Schritt 3
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen
1. Punkt $(1|5) \to f(1) = 5$
2. Steigung bei $x=2 \to f'(2) = 3$
3. Punkt $(0|0) \to f(0) = 0$
4
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen
- Aus $f(0) = 0$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 0 \quad \to \quad c = 0$ .
- Aus $f(1) = 5$ : $a(1)^2 + b(1) + c = 5 \quad \to \quad a + b + c = 5$ .
- Aus $f'(2) = 3$ : $2a(2) + b = 3 \quad \to \quad 4a + b = 3$ .
Das LGS ist: $\text{(I)}: \quad c = 0$ $\text{(II)}: \quad a + b + c = 5$ $\text{(III)}: \quad 4a + b = 3$

Wir setzen $c=0$ in (II) ein: $a + b = 5$ (II'). Aus (III) lösen wir nach $b$ auf: $b = 3 - 4a$ . Das setzen wir in (II') ein: $a + (3 - 4a) = 5$ $-3a + 3 = 5 \quad | -3$ $-3a = 2 \quad | \div (-3)$ $a = -\frac{2}{3}$

Jetzt finden wir $b$ mit $b = 3 - 4a$ : $b = 3 - 4(-\frac{2}{3}) = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$ $b = \frac{17}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

$f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{17}{3}x$

Beispiel 4

Aufgabe

Der Graph einer quadratischen Funktion berührt die x-Achse an der Stelle $x=4$ und schneidet die y-Achse bei $y=8$ . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionstyp und Ableitung bestimmen
Quadratische Funktion: $f(x) = ax^2 + bx + c$ $f'(x) = 2ax + b$
2
Schritt 2
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren
1. Berührt die x-Achse bei $x=4$ $x = 4$ . Das sind ZWEI Informationen:
  - Der Punkt $(4|0)$ liegt auf dem Graphen (Berührpunkt).
  - Die Steigung bei $x=4$ ist 0 (waagerechte Tangente).
2. Schneidet die y-Achse bei $y=8$ . Das ist der Punkt $(0|8)$ .
3
Schritt 3
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen
1. Punkt $(4|0) \to f(4) = 0$
2. Steigung bei $x=4 \to f'(4) = 0$
3. Punkt $(0|8) \to f(0) = 8$
4
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen
- Aus $f(0) = 8$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 8 \quad \to \quad c = 8$ .
- Aus $f(4) = 0$ : $a(4)^2 + b(4) + c = 0 \quad \to \quad 16a + 4b + c = 0$ .
- Aus $f'(4) = 0$ : $2a(4) + b = 0 \quad \to \quad 8a + b = 0$ .
Das LGS ist: $\text{(I)}: \quad c = 8$ $\text{(II)}: \quad 16a + 4b + c = 0$ $\text{(III)}: \quad 8a + b = 0$

Aus (III) lösen wir nach $b$ auf: $b = -8a$ . Das und $c=8$ setzen wir in (II) ein: $16a + 4(-8a) + 8 = 0$ $16a - 32a + 8 = 0$ $-16a + 8 = 0 \quad | -8$ $-16a = -8 \quad | \div (-16)$ $a = \frac{8}{16} = 0{,}5$

Jetzt finden wir $b$ mit $b = -8a$ : $b = -8(0{,}5) = -4$ $b = -4$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

$f(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 8$

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Parabel hat die gleiche Steigung wie die Gerade $g(x) = 2x+1$ an der Stelle $x=0$ . An dieser Stelle hat sie auch den gleichen Funktionswert. Zusätzlich hat die Parabel eine Nullstelle bei $x=1$ . Bestimme ihre Gleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionstyp und Ableitung bestimmen
Quadratische Funktion: $f(x) = ax^2 + bx + c$ $f'(x) = 2ax + b$
2
Schritt 2
Alle Bedingungen aus dem Text extrahieren
1. Gleiche Steigung wie $g(x)$ bei $x=0$ . Die Steigung von $g(x)=2x+1$ ist immer 2. Also ist die Steigung der Parabel bei $x=0$ auch 2.
2. Gleicher Funktionswert wie $g(x)$ bei $x=0$ . Wir berechnen $g(0) = 2(0)+1=1$ . Also geht die Parabel durch den Punkt $(0|1)$ .
3. Nullstelle bei $x=1$ . Das ist der Punkt $(1|0)$ .
3
Schritt 3
Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen
1. Steigung bei $x=0 \to f'(0) = 2$
2. Punkt $(0|1) \to f(0) = 1$
3. Punkt $(1|0) \to f(1) = 0$
4
Schritt 4
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und lösen
- Aus $f(0) = 1$ : $a(0)^2 + b(0) + c = 1 \quad \to \quad c = 1$ .
- Aus $f'(0) = 2$ : $2a(0) + b = 2 \quad \to \quad b = 2$ .
- Aus $f(1) = 0$ : $a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \to \quad a + b + c = 0$ .
Wir haben $b$ und $c$ schon direkt gefunden! Wir setzen $b=2$ und $c=1$ in die dritte Gleichung ein: $a + 2 + 1 = 0$ $a + 3 = 0 \quad \to \quad a = -3$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung angeben

Ergebnis:

$f(x) = -3x^2 + 2x + 1$

Wichtige Erkenntnisse

Grad + 1 Regel: Eine Funktion n-ten Grades (z.B. quadratisch = Grad 2) braucht immer n+1 (also 3) unabhängige Informationen für eine eindeutige Lösung.
Übersetzungs-Tabelle: Lerne die wichtigsten Übersetzungen von Text in Mathe auswendig:
- Punkt $P(x_0|y_0) \to f(x_0) = y_0$
- Steigung $m$ bei $x_0 \to f'(x_0) = m$
- Extrempunkt bei $x_0 \to f'(x_0) = 0$
- Nullstelle bei $x_0 \to f(x_0) = 0$
Systematisches Vorgehen: Halte dich immer an das Schema: 1. Funktionstyp & Ableitung, 2. Bedingungen sammeln, 3. Gleichungen aufstellen, 4. LGS lösen, 5. Antwort formulieren.
Funktionenschar: Wenn du zu wenige Informationen hast, ist das Ergebnis keine einzelne Funktion, sondern eine Familie von Funktionen (Funktionenschar), bei der ein Parameter variabel bleibt.

Steckbriefaufgaben einfach erklärt: Polynome bestimmen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Funktion aus drei Punkten bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Funktionenschar aus zwei Punkten bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Funktion aus gemischten Bedingungen bestimmen (Steckbriefaufgabe)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.