Was ist ein Baumdiagramm in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung aller möglichen Ausgänge eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Jede Stufe (z. B. jeder Zug oder Wurf) entspricht einer Verzweigung im Baum. An die Äste werden die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten geschrieben. So hast du eine vollständige Übersicht aller Pfade und kannst gezielt die gesuchten Ereignisse identifizieren und berechnen.

Wie wendet man die 1. und 2. Pfadregel beim Baumdiagramm an?

Die 1. Pfadregel (Produktregel) besagt: Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für genau diese Abfolge zu erhalten. Die 2. Pfadregel (Summenregel) besagt: Wenn ein Ereignis durch mehrere Pfade eintreten kann, addierst du die Pfadwahrscheinlichkeiten. Beide Regeln zusammen erlauben dir, jede Aufgabe zum Baumdiagramm systematisch zu lösen.

Was ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen?

Beim Ziehen mit Zurücklegen wird jedes gezogene Objekt vor dem nächsten Zug zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf allen Stufen gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verbleibt das gezogene Objekt außerhalb – die Gesamtzahl sinkt, und die Wahrscheinlichkeiten auf der nächsten Stufe ändern sich entsprechend. Das erkennst du daran, dass Zähler und Nenner im Baumdiagramm kleiner werden.

Wann benutzt du das Gegenereignis beim Baumdiagramm?

Das Gegenereignis ist besonders nützlich, wenn die Aufgabe das Wort „mindestens einmal" enthält. Statt viele günstige Pfade zu addieren, berechnest du nur die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils (z. B. „kein einziges Mal") und ziehst diesen Wert von 1 ab: P(Ereignis) = 1 − P(Gegenereignis) . Das spart erheblich Rechenaufwand.

Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal ein bestimmtes Ergebnis?

Nutze die Formel P(Ereignis) = 1 − P(Gegenereignis) . Das Gegenereignis zu „mindestens einmal" ist „kein einziges Mal". Berechne mit der 1. Pfadregel die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (Multiplikation entlang des Pfades) und ziehe das Ergebnis von 1 ab. So erhältst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit nur einem einzigen Pfad statt vieler.

Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen

Hast du dich jemals gefragt, wie hoch deine Chance ist, bei einem Videospiel eine seltene Belohnung zu bekommen, wenn du drei Kisten hintereinander öffnest? Oder ob es sich lohnt, bei einem Gewinnspiel mitzumachen? Das ist keine reine Glückssache – das ist Mathematik! Baumdiagramme sind wie ein Cheat-Code für die Wahrscheinlichkeit. Sie geben dir eine Landkarte aller möglichen Ausgänge, sodass du deine Chancen beim Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen genau bestimmen kannst. Statt zu raten, kannst du fundierte Entscheidungen treffen. Mit diesem Tool siehst du, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisketten sind, und kannst so deine Strategie in Spielen und sogar im echten Leben verbessern.

Vorwissen

Bevor wir in die Baumdiagramme eintauchen, frischen wir schnell ein paar Grundlagen auf:

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: Das ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse.
- Formel: $P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 mit einem normalen Würfel zu würfeln, ist $\frac{1}{6}$ , da es nur eine günstige Seite (die 6) von insgesamt sechs möglichen Seiten gibt.
Multiplikation von Brüchen und Dezimalzahlen: Um die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu berechnen, musst du sie multiplizieren können.
- Beispiel (Brüche): $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$
- Beispiel (Dezimalzahlen): $0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375$

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit mit Zurücklegen berechnen

Ein Baumdiagramm hilft uns, mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen. Jede Stufe des Experiments ist eine Verzweigung im Baum.

Ziehen mit Zurücklegen bedeutet, dass nach jedem Zug alles wieder so ist wie am Anfang. Wenn du eine Kugel aus einer Urne ziehst und sie dir ansiehst, legst du sie wieder zurück, bevor du die nächste ziehst. Deshalb bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe gleich.

Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses zu berechnen, verwenden wir zwei wichtige Regeln:

1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis (einen kompletten Pfad von der Wurzel bis zur Spitze) erhält man, indem man alle Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multipliziert.
2. Pfadregel (Summenregel): Wenn ein Ereignis durch mehrere verschiedene Pfade eintreten kann, erhält man die Gesamtwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert.

Baumdiagramm mit zwei Stufen und Pfadregeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Baumdiagramm zeichnen: Bestimme die Anzahl der Stufen (z. B. wie oft gezogen wird). Zeichne für jede Stufe die möglichen Ausgänge als Äste. Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die jeweiligen Äste. Bei „mit Zurücklegen" sind die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe identisch.
Relevante Pfade identifizieren: Finde alle Pfade im Baumdiagramm, die zu dem gesuchten Ereignis gehören. Markiere sie farbig, um den Überblick zu behalten.
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Pfadregel): Multipliziere für jeden markierten Pfad die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für genau diesen einen Pfad.
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel): Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller relevanten Pfade, die du in Schritt 3 berechnet hast. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Baumdiagramm zeichnen
Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug: Insgesamt gibt es $3+7=10$ Kugeln. $P(\text{rot}) = \frac{3}{10} = 0{,}3$ $P(\text{blau}) = \frac{7}{10} = 0{,}7$

Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben diese Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug gleich. Das Baumdiagramm hat zwei Stufen:

Baumdiagramm mit roten und blauen Kugeln zwei Stufen
2
Schritt 2
Relevante Pfade identifizieren
Das Ereignis „genau eine rote und eine blaue Kugel" tritt bei zwei Pfaden ein:
1. Zuerst rot, dann blau (R, B)
2. Zuerst blau, dann rot (B, R)
Baumdiagramm mit markierten Pfaden rot blau
Schritt 3
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Pfadregel)
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden Pfade: $P(\text{R, B}) = P(\text{rot}) \cdot P(\text{blau}) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21$

$P(\text{B, R}) = P(\text{blau}) \cdot P(\text{rot}) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel)
Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade: $P(\text{eine rote, eine blaue}) = P(\text{R, B}) + P(\text{B, R})$

$= 0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt 42 %.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Glücksrad ist in 4 gleich große Sektoren unterteilt: 1x rot, 3x grün. Das Rad wird zweimal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander grün zu drehen?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Baumdiagramm zeichnen
Die Wahrscheinlichkeiten für eine Drehung sind: $P(\text{rot}) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ $P(\text{grün}) = \frac{3}{4} = 0{,}75$

Da jede Drehung unabhängig ist, ist dies wie „Ziehen mit Zurücklegen".

Baumdiagramm Glücksrad rot und grün
Schritt 2
Relevante Pfade identifizieren
Wir suchen das Ereignis „zweimal grün". Es gibt nur einen Pfad dafür: grün, dann grün (G, G).

Baumdiagramm Glücksrad markierter Pfad grün grün
Schritt 3
Pfadwahrscheinlichkeit berechnen (1. Pfadregel)
Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades: $P(\text{G, G}) = P(\text{grün}) \cdot P(\text{grün})$

$= 0{,}75 \cdot 0{,}75 = 0{,}5625$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel)
Da es nur einen relevanten Pfad gibt, ist die Berechnung einfach. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dieses einen Pfades.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, zweimal grün zu drehen, beträgt 56,25 %.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 4 beträgt?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Baumdiagramm zeichnen
Jeder Wurf hat 6 mögliche Ausgänge (1, 2, 3, 4, 5, 6), jeder mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ . Ein vollständiges Baumdiagramm wäre riesig (6x6=36 Äste). Wir denken uns das Diagramm und konzentrieren uns auf die relevanten Ergebnisse.
2
Schritt 2
Relevante Pfade identifizieren
Welche Wurfkombinationen ergeben die Summe 4?
1. Erster Wurf 1, zweiter Wurf 3
2. Erster Wurf 2, zweiter Wurf 2
3. Erster Wurf 3, zweiter Wurf 1
Das sind unsere drei „Gewinnerpfade".
Schritt 3
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Pfadregel)
Jeder einzelne Wurf hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ . $P(1, 3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

$P(2, 2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

$P(3, 1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel)
Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten der drei Pfade: $P(\text{Summe 4}) = P(1, 3) + P(2, 2) + P(3, 1)$

$= \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 4 zu würfeln, beträgt $\frac{1}{12}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bei einer Quizshow gibt es bei einer Frage drei Antwortmöglichkeiten (A, B, C), von denen nur eine richtig ist. Ein Kandidat rät bei zwei solchen Fragen rein zufällig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau eine Frage richtig beantwortet?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Baumdiagramm zeichnen
Für jede Frage gibt es zwei Ausgänge: „richtig" (R) oder „falsch" (F). Die Wahrscheinlichkeit für „richtig" ist $\frac{1}{3}$ . Die Wahrscheinlichkeit für „falsch" ist $\frac{2}{3}$ . Da die Fragen unabhängig sind, ist dies ein Experiment „mit Zurücklegen".

Baumdiagramm Quizshow richtig und falsch
2
Schritt 2
Relevante Pfade identifizieren
Das Ereignis „genau eine richtige Antwort" hat zwei Pfade:
1. Erste Frage richtig, zweite falsch (R, F)
2. Erste Frage falsch, zweite richtig (F, R)
Baumdiagramm Quizshow markierte Pfade
Schritt 3
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Pfadregel)
$P(\text{R, F}) = P(R) \cdot P(F) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

$P(\text{F, R}) = P(F) \cdot P(R) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel)
$P(\text{genau eine richtig}) = P(\text{R, F}) + P(\text{F, R})$

$= \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, genau eine Frage richtig zu raten, liegt bei $\frac{4}{9}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurfquote von 80 %. Er wirft zweimal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beide Male nicht trifft?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Baumdiagramm zeichnen
Für jeden Wurf gibt es zwei Ausgänge: „Treffer" (T) oder „Fehlwurf" (F). $P(T) = 80\% = 0{,}8$ $P(F) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ Die Würfe sind voneinander unabhängig.

Baumdiagramm Basketball Treffer und Fehlwurf
Schritt 2
Relevante Pfade identifizieren
Wir suchen das Ereignis „beide Male nicht treffen". Dafür gibt es nur einen Pfad: Fehlwurf, dann Fehlwurf (F, F).

Baumdiagramm Basketball markierter Pfad Fehlwurf
Schritt 3
Pfadwahrscheinlichkeit berechnen (1. Pfadregel)
Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades: $P(\text{F, F}) = P(F) \cdot P(F)$

$= 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen (2. Pfadregel)
Da es nur einen relevanten Pfad gibt, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich der Pfadwahrscheinlichkeit.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass er beide Freiwürfe nicht trifft, beträgt 4 %.

Aufgabentyp 2: Wahrscheinlichkeit mit Gegenereignis berechnen

Manchmal ist es viel einfacher, die Wahrscheinlichkeit von dem zu berechnen, was wir nicht wollen. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn du Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und dem Gegenereignis kombinierst.

Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet, dass sich die Situation nach jedem Zug ändert. Wenn du eine Kugel aus einer Urne ziehst und sie nicht zurücklegst, gibt es danach eine Kugel weniger. Das verändert die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Zug.

Das Gegenereignis ist das genaue Gegenteil von dem Ereignis, das uns interessiert. Zum Beispiel:

Ereignis: „Mindestens eine 6 würfeln"
Gegenereignis: „Keine 6 würfeln"

Der Trick dabei ist eine simple Regel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seines Gegenereignisses ergeben zusammen immer 1 (oder 100 %).

$P(\text{Ereignis}) + P(\text{Gegenereignis}) = 1$

Das können wir umstellen:

$P(\text{Ereignis}) = 1 - P(\text{Gegenereignis})$

Besonders bei Aufgaben mit dem Schlüsselwort „mindestens einmal" ist dieser Weg oft ein riesiger Shortcut. Anstatt viele Pfade zu addieren, berechnest du nur den einen „negativen" Pfad und ziehst das Ergebnis von 1 ab.