Vereinfachte Baumdiagramme einfach erklärt

• Anzahl der Stufen: Justin schießt 20 Mal.
• Ergebnisse: Treffer (T) oder Nicht-Treffer ($\bar{T}$).
• Wahrscheinlichkeit pro Stufe: $P(T) = 80\% = 0{,}8$.

Wir interessieren uns nur für den Pfad, bei dem Justin immer trifft. Wir zeichnen also nur den Pfad T-T-T-...

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Da es 20 Stufen sind, multiplizieren wir 0,8 zwanzigmal mit sich selbst.

$P(\text{immer Treffer}) = \underbrace{0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot ... \cdot 0{,}8}_{20\text{-mal}}$

Das schreiben wir als Potenz:

$P(\text{immer Treffer}) = (0{,}8)^{20}$

$P(\text{immer Treffer}) \approx 0{,}0115$

• Anzahl der Stufen: Die Münze wird 10 Mal geworfen.
• Ergebnisse: Kopf (K) oder Zahl (Z).
• Wahrscheinlichkeit pro Stufe: $P(K) = 50\% = 0{,}5$.

Wir zeichnen nur den Pfad für „immer Kopf".

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit 0,5 insgesamt 10 Mal mit sich selbst.

$P(\text{immer Kopf}) = (0{,}5)^{10}$

$P(\text{immer Kopf}) \approx 0{,}000977$

• Anzahl der Stufen: Das Rad wird 8 Mal gedreht.
• Ergebnisse: Rot (R) oder Nicht-Rot ($\bar{R}$).
• Wahrscheinlichkeit pro Stufe: Es gibt 5 Sektoren, einer davon ist rot. $P(R) = \frac{1}{5} = 0{,}2$.

Wir zeichnen den Pfad für „immer Rot".

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit 0,2 insgesamt 8 Mal mit sich selbst.

$P(\text{immer Rot}) = (0{,}2)^{8}$

$P(\text{immer Rot}) = 0{,}00000256$

• Anzahl der Stufen: Es werden 15 Schrauben geprüft.
• Ergebnisse: In Ordnung (O) oder Fehlerhaft (F).
• Wahrscheinlichkeit pro Stufe: $P(F) = 10\% = 0{,}1$. Wir brauchen aber die Wahrscheinlichkeit für „in Ordnung". Das ist das Gegenereignis: $P(O) = 1 - P(F) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$.

Wir zeichnen den Pfad für „immer in Ordnung".

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit 0,9 insgesamt 15 Mal mit sich selbst.

$P(\text{15x in Ordnung}) = (0{,}9)^{15}$

$P(\text{15x in Ordnung}) \approx 0{,}2059$

• Anzahl der Stufen: Es gibt 5 Fragen.
• Ergebnisse: Richtig (R) oder Falsch (F).
• Wahrscheinlichkeit pro Stufe: Bei 4 Optionen ist die Wahrscheinlichkeit, richtig zu raten, $P(R) = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Wir zeichnen den Pfad für „immer richtig".

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit 0,25 insgesamt 5 Mal mit sich selbst.

$P(\text{5x richtig}) = (0{,}25)^{5}$

$P(\text{5x richtig}) \approx 0{,}000977$

Ein Würfel hat 6 Seiten. Ein Baumdiagramm mit 6 Ästen pro Stufe wäre zu unübersichtlich. Das relevante Ergebnis ist „eine 1 würfeln".

• Ereignis E: „Eine 1 wird gewürfelt" (kurz: 1)
• Gegenereignis $\bar{E}$: „Keine 1 wird gewürfelt" (kurz: $\bar{1}$)

• $P(1) = \frac{1}{6}$
• $P(\bar{1}) = 1 - P(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Wir zeichnen ein 4-stufiges Baumdiagramm mit den Ästen „1" und „$\bar{1}$".

Der gesuchte Pfad ist: $\bar{1}$ - $\bar{1}$ - 1 - $\bar{1}$. Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades:

$P(\text{nur im 3. Wurf eine 1}) = P(\bar{1}) \cdot P(\bar{1}) \cdot P(1) \cdot P(\bar{1})$

$P = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}$

$P = \frac{125}{1296} \approx 0{,}096$

Es gibt 3 verschiedene Farben, aber die Frage bezieht sich nur auf „rot" oder „nicht rot".

• Ereignis E: „Kugel ist rot" (R)
• Gegenereignis $\bar{E}$: „Kugel ist nicht rot" ($\bar{R}$)

• Es gibt 1 rote Kugel von insgesamt 10. $P(R) = \frac{1}{10}$
• $P(\bar{R}) = 1 - P(R) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Wir zeichnen ein 3-stufiges Baumdiagramm.

Der gesuchte Pfad ist: R - $\bar{R}$ - $\bar{R}$.

$P(\text{nur erste rot}) = P(R) \cdot P(\bar{R}) \cdot P(\bar{R})$

$P = \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10}$

$P = \frac{81}{1000} = 0{,}081$

Ein Deck hat 32 Karten. Wir interessieren uns nur dafür, ob eine Karte ein Ass ist oder nicht.

• Ereignis E: „Karte ist ein Ass" (A)
• Gegenereignis $\bar{E}$: „Karte ist kein Ass" ($\bar{A}$)

• Es gibt 4 Asse in 32 Karten. $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Wir zeichnen ein 2-stufiges Baumdiagramm.

Der gesuchte Pfad ist: $\bar{A}$ - $\bar{A}$.

$P(\text{kein Ass}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{A})$

$P = \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{8}$

$P = \frac{49}{64} \approx 0{,}766$

Wir haben 3 Tage (Stufen) und für jeden Tag zwei Möglichkeiten: Regen oder kein Regen.

• Ereignis E: „Es regnet" (R)
• Gegenereignis $\bar{E}$: „Es regnet nicht" ($\bar{R}$)

Die Wahrscheinlichkeiten sind hier für jede Stufe unterschiedlich!

• Freitag: $P(R_{Fr}) = 0{,}2 \quad \to \quad P(\bar{R}_{Fr}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$
• Samstag: $P(R_{Sa}) = 0{,}6 \quad \to \quad P(\bar{R}_{Sa}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$
• Sonntag: $P(R_{So}) = 0{,}3 \quad \to \quad P(\bar{R}_{So}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$

Wir zeichnen ein 3-stufiges Baumdiagramm.

Der gesuchte Pfad ist: $\bar{R}_{Fr}$ - $R_{Sa}$ - $\bar{R}_{So}$.

$P(\text{nur Sa Regen}) = P(\bar{R}_{Fr}) \cdot P(R_{Sa}) \cdot P(\bar{R}_{So})$

$P = 0{,}8 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7$

$P = 0{,}336$

Dies ist ein Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nach der ersten Ziehung. Wir interessieren uns nur für Junge/Mädchen.

• Ereignis E: „Schüler ist ein Junge" (J)
• Gegenereignis $\bar{E}$: „Schüler ist ein Mädchen" (M)

• 1. Ziehung: 10 Jungen, 15 Mädchen, 25 Schüler gesamt. $P(J_1) = \frac{10}{25}$ $P(M_1) = \frac{15}{25}$
• 2. Ziehung (nachdem ein Junge gezogen wurde): 9 Jungen, 15 Mädchen, 24 Schüler gesamt. $P(J_2 \text{ nach } J_1) = \frac{9}{24}$ $P(M_2 \text{ nach } J_1) = \frac{15}{24}$

Wir zeichnen ein 2-stufiges Baumdiagramm.

Der gesuchte Pfad ist: $J_1$ - $M_2$.

$P(J_1 \text{ dann } M_2) = P(J_1) \cdot P(M_2 \text{ nach } J_1)$

$P = \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24}$

$P = \frac{150}{600} = \frac{1}{4} = 0{,}25$