Produktregel Wahrscheinlichkeit einfach erklärt

• Es wird „mit Zurücklegen" gezogen. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich also nicht.
• Es gibt insgesamt $3+7=10$ Kugeln.
• Wahrscheinlichkeit für Rot: $P(R) = \frac{3}{10}$
• Wahrscheinlichkeit für Blau: $P(B) = \frac{7}{10}$

Wir zeichnen ein Baumdiagramm mit zwei Stufen. Die Wahrscheinlichkeiten sind auf beiden Stufen gleich.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für „zweimal rot". Das ist der Pfad Rot – Rot.

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des markierten Pfades.

$P(\text{Rot, dann Rot}) = P(R) \cdot P(R)$

$= \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10}$

$= \frac{9}{100} = 0{,}09$

• Jede Drehung ist unabhängig von der vorigen. Das ist wie „mit Zurücklegen".
• Es gibt 4 gleich große Sektoren, also ist die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe $\frac{1}{4}$.
• $P(R) = \frac{1}{4}$, $P(G) = \frac{1}{4}$, $P(Y) = \frac{1}{4}$, $P(B) = \frac{1}{4}$.

Ein Baumdiagramm hätte 3 Stufen mit jeweils 4 Ästen. Zur Vereinfachung stellen wir uns nur den relevanten Pfad vor.

Der gesuchte Pfad ist Rot – Rot – Blau.

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse in der Kette.

$P(\text{Rot, Rot, Blau}) = P(R) \cdot P(R) \cdot P(B)$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{64}$

• Zwei Würfe sind unabhängige Ereignisse, also wie „mit Zurücklegen".
• Ereignis A: „Zahl kleiner als 3". Die günstigen Ergebnisse sind {1, 2}. Es gibt 2 günstige Ergebnisse.
  • $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• Ereignis B: „eine 5 würfeln". Das günstige Ergebnis ist {5}. Es gibt 1 günstiges Ergebnis.
  • $P(B) = \frac{1}{6}$

Wir können uns den relevanten Teil des Baumdiagramms vorstellen: Ein Ast für Ereignis A im ersten Wurf und ein Ast für Ereignis B im zweiten Wurf.

Der gesuchte Pfad ist Ereignis A – Ereignis B.

$P(A, \text{ dann } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

$= \frac{1}{18}$

• Das Raten bei beiden Fragen sind unabhängige Ereignisse (wie „mit Zurücklegen").
• Pro Frage gibt es 1 richtige und 3 falsche Antworten.
• Wahrscheinlichkeit für „richtig": $P(R) = \frac{1}{4}$
• Wahrscheinlichkeit für „falsch": $P(F) = \frac{3}{4}$

Das Baumdiagramm hat zwei Stufen (für jede Frage eine) mit den Ästen „Richtig" und „Falsch".

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für „zweimal falsch". Das ist der Pfad Falsch – Falsch.

$P(\text{Falsch, dann Falsch}) = P(F) \cdot P(F)$

$= \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$

$= \frac{9}{16}$

• Man geht davon aus, dass die Würfe voneinander unabhängig sind. Die Trefferquote bleibt also gleich.
• Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: $P(T) = 80\% = 0{,}8$
• Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf: $P(F) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

Wir stellen uns ein Baumdiagramm mit zwei Stufen (für jeden Wurf) und den Ästen „Treffer" und „Fehlwurf" vor.

Gesucht ist der Pfad Treffer – Treffer.

$P(\text{Treffer, dann Treffer}) = P(T) \cdot P(T)$

$= 0{,}8 \cdot 0{,}8$

$= 0{,}64$

• Es wird „ohne Zurücklegen" gezogen.
• Anfangs sind es $5+3=8$ Socken insgesamt.

• 1. Stufe:
  • $P(\text{1. Socke schwarz}) = \frac{5}{8}$
  • $P(\text{1. Socke weiß}) = \frac{3}{8}$
• 2. Stufe (nachdem eine schwarze Socke gezogen wurde):
  • Es sind nur noch 7 Socken übrig.
  • Es sind nur noch 4 schwarze Socken übrig.
  • $P(\text{2. Socke schwarz | 1. war schwarz}) = \frac{4}{7}$

Wir suchen den Pfad Schwarz – Schwarz.

$P(\text{Schwarz, dann Schwarz}) = P(\text{1. Socke schwarz}) \cdot P(\text{2. Socke schwarz | 1. war schwarz})$

$= \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}$

$= \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

• „Ohne zurückzulegen" ist explizit genannt.
• Anfangs sind es 32 Karten, davon 4 Asse.

• 1. Stufe:
  • $P(\text{1. Karte ist Ass}) = \frac{4}{32}$
• 2. Stufe (nachdem ein Ass gezogen wurde):
  • Es sind nur noch 31 Karten im Spiel.
  • Es sind nur noch 3 Asse im Spiel.
  • $P(\text{2. Karte ist Ass | 1. war Ass}) = \frac{3}{31}$

Der gesuchte Pfad ist Ass – Ass.

$P(\text{Ass, dann Ass}) = P(\text{1. Ass}) \cdot P(\text{2. Ass | 1. war Ass})$

$= \frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31}$

$= \frac{12}{992} = \frac{3}{248}$

• Wenn eine Person ausgewählt ist, kann sie nicht nochmal ausgewählt werden. Das ist „ohne Zurücklegen".
• Anfangs sind es $12+8=20$ Schüler.

• 1. Stufe:
  • $P(\text{1. Schüler ist Junge}) = \frac{8}{20}$
• 2. Stufe (nachdem ein Junge ausgewählt wurde):
  • Es sind nur noch 19 Schüler übrig.
  • Es sind nur noch 7 Jungen übrig.
  • $P(\text{2. Schüler ist Junge | 1. war Junge}) = \frac{7}{19}$

Der gesuchte Pfad ist Junge – Junge.

$P(\text{Junge, dann Junge}) = P(\text{1. Junge}) \cdot P(\text{2. Junge | 1. war Junge})$

$= \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19}$

$= \frac{56}{380} = \frac{14}{95}$

• „Essen" bedeutet „ohne Zurücklegen".
• Anfangs sind es $4+2=6$ Gummibärchen.

• 1. Stufe:
  • $P(\text{1. ist rot}) = \frac{4}{6}$
• 2. Stufe (nachdem ein rotes gegessen wurde):
  • Es sind nur noch 5 Gummibärchen übrig.
  • Die Anzahl der grünen Gummibärchen ist immer noch 2.
  • $P(\text{2. ist grün | 1. war rot}) = \frac{2}{5}$

Der gesuchte Pfad ist Rot – Grün.

$P(\text{Rot, dann Grün}) = P(\text{1. Rot}) \cdot P(\text{2. Grün | 1. war Rot})$

$= \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}$

$= \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

• Gezogene Lose werden nicht zurückgelegt.
• Anfangs sind es 100 Lose, davon $100-10=90$ Nieten.

• 1. Stufe:
  • $P(\text{1. Los ist Niete}) = \frac{90}{100}$
• 2. Stufe (nachdem eine Niete gezogen wurde):
  • Es sind nur noch 99 Lose im Topf.
  • Es sind nur noch 89 Nieten im Topf.
  • $P(\text{2. Los ist Niete | 1. war Niete}) = \frac{89}{99}$

Der gesuchte Pfad ist Niete – Niete.

$P(\text{Niete, dann Niete}) = P(\text{1. Niete}) \cdot P(\text{2. Niete | 1. war Niete})$

$= \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99}$

$= \frac{9}{10} \cdot \frac{89}{99} = \frac{1}{10} \cdot \frac{89}{11} = \frac{89}{110}$

• Ereignis A: „Der ausgewählte Computer funktioniert."
• Ereignis B: „Der ausgewählte Bildschirm funktioniert."

Die Auswahl des Computers und des Bildschirms sind voneinander unabhängig.

• Für Ereignis A (Computer):

  • Mögliche Ergebnisse: 10 Computer
  • Günstige Ergebnisse: 7 funktionierende Computer
  • $P(A) = \frac{7}{10}$

• Für Ereignis B (Bildschirm):

  • Mögliche Ergebnisse: 15 Bildschirme
  • Günstige Ergebnisse: 12 funktionierende Bildschirme
  • $P(B) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= \frac{7}{10} \cdot \frac{4}{5}$

$= \frac{28}{50} = \frac{14}{25}$

• Ereignis A: „Eine 6 würfeln."
• Ereignis B: „Kopf werfen."

Diese Ereignisse sind unabhängig.

• Für Ereignis A (Würfel):

  • $P(A) = \frac{1}{6}$

• Für Ereignis B (Münze):

  • $P(B) = \frac{1}{2}$

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{12}$

• Ereignis A: „Es regnet am Samstag."
• Ereignis B: „Es regnet am Sonntag."

Die Ereignisse werden als unabhängig angenommen.

• Für Ereignis A (Samstag):

  • $P(A) = 40\% = 0{,}4$

• Für Ereignis B (Sonntag):

  • $P(B) = 70\% = 0{,}7$

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= 0{,}4 \cdot 0{,}7$

$= 0{,}28$

• Ereignis A: „Aus dem ersten Stapel ein Herz ziehen."
• Ereignis B: „Aus dem zweiten Stapel ein Herz ziehen."

Da es zwei verschiedene Stapel sind, sind die Ereignisse unabhängig.

• Für Ereignis A (Stapel 1):

  • $P(A) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

• Für Ereignis B (Stapel 2):

  • $P(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{16}$

• Ereignis A: „Die Lieblingsvorspeise wird gewählt."
• Ereignis B: „Das Lieblingshauptgericht wird gewählt."

Die Wahl der Vorspeise und des Hauptgerichts sind unabhängig.

• Für Ereignis A (Vorspeise):

  • Es gibt 1 günstige aus 3 möglichen.
  • $P(A) = \frac{1}{3}$

• Für Ereignis B (Hauptgericht):

  • Es gibt 1 günstiges aus 5 möglichen.
  • $P(B) = \frac{1}{5}$

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$= \frac{1}{15}$