Was sind zwei Winkel mit demselben Sinuswert?

Zwei Winkel mit demselben Sinuswert sind zwei verschiedene Winkel im Bereich $0°$ bis $180°$, für die der Sinus identisch ist. Der Grund liegt in der Symmetrie des Einheitskreises: Der Sinuswert entspricht der Höhe (y-Wert) auf dem Einheitskreis. Eine waagerechte Linie bei einer bestimmten Höhe schneidet den Kreis an zwei Stellen – einmal beim spitzen Winkel $\alpha_1$ und einmal beim stumpfen Winkel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$.

Wie findest du den zweiten Winkel mit demselben Sinuswert?

Den zweiten Winkel berechnest du mit der Symmetrie-Formel : $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ . Zuerst bestimmst du $\alpha_1$ mit der $\sin^{-1}$-Funktion des Taschenrechners. Dann setzt du diesen Wert in die Formel ein. Beispiel: Ist $\alpha_1 = 30°$, dann ist $\alpha_2 = 180° - 30° = 150°$. Beide Winkel haben denselben Sinuswert.

Was bedeutet der Kosinus-Betrag bei der Winkelberechnung?

Die Gleichung $|\cos(\alpha)| = ext{Wert}$ fragt nach Winkeln, bei denen der Kosinus den gegebenen Wert entweder als positive oder negative Zahl annimmt. Da $|\cos(\alpha)| = |\cos(180° - \alpha)|$ gilt, gibt es auch hier zwei Lösungen: einen spitzen Winkel $\alpha_1$ mit positivem Kosinuswert und einen stumpfen Winkel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ mit negativem Kosinuswert.

Wann gibt es nur eine statt zwei Lösungen?

Es gibt nur eine statt zwei Lösungen, wenn beide Winkel zusammenfallen – also wenn $\alpha_1 = \alpha_2$ ist. Das tritt auf, wenn $\alpha_1 = 90°$ herauskommt: $180° - 90° = 90°$. Für den Sinus passiert das bei $\sin(\alpha) = 1$, für den Kosinus-Betrag bei $|\cos(\alpha)| = 0$. In beiden Fällen ist $\alpha = 90°$ die einzige Lösung.

Warum zeigt der Taschenrechner nur einen Winkel an?

Der Taschenrechner ist so programmiert, dass er bei $\sin^{-1}$ immer den kleinsten nicht-negativen Winkel zurückgibt – also einen Wert zwischen $0°$ und $90°$. Das ist die sogenannte Hauptlösung. Die zweite Lösung im Bereich bis $180°$ musst du selbst mit der Formel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ berechnen. Wer das vergisst, verliert in der Prüfung Punkte.

Zwei Winkel mit gleichem Sinus/Kosinus

Dein Taschenrechner verrät dir beim Berechnen von Winkeln mit Sinus oder Kosinus oft nur die halbe Wahrheit. Wenn du zwei Winkel mit demselben Sinuswert oder Kosinusbetrag finden möchtest, reicht ein einfacher Tastendruck nicht aus – du brauchst die richtige Symmetrie-Formel. Sobald du die Regel kennst, findest du auch die zweite, versteckte Lösung, die viele in der Prüfung übersehen. In diesem Artikel erfährst du Schritt für Schritt, wie das geht.

Schnellantwort

Für fast jeden Sinuswert zwischen 0 und 1 gibt es im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ zwei Winkel. Der Taschenrechner liefert dir mit $\sin^{-1}$ oder $\cos^{-1}$ stets nur den spitzen Winkel $\alpha_1$ zwischen $0°$ und $90°$ . Den zweiten, stumpfen Winkel $\alpha_2$ berechnest du mit der Symmetrie-Formel: $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ . Diese Regel gilt sowohl für gleiche Sinuswerte als auch für gleiche Kosinus-Beträge.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Der Einheitskreis: Ein Kreis mit dem Radius 1. Der Sinus eines Winkels $\alpha$ $α$ ist der y-Wert und der Kosinus der x-Wert des Punktes auf dem Kreis.
- Beispiel: Bei $90°$ ist der Punkt ganz oben bei (0, 1). Also ist $\sin(90°) = 1$ und $\cos(90°) = 0$ .

Einheitskreis mit Sinus als y-Wert und Kosinus als x-Wert

Umkehrfunktionen am Taschenrechner (TR): Mit $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ findest du den Winkel zu einem gegebenen Wert.
- Beispiel: Um den Winkel für $\sin(\alpha) = 0{,}5$ zu finden, tippst du in den TR: SHIFT + sin + (0.5) und erhältst $30°$ .
Betrag (Absolutwert): Die Betragsstriche |...| machen jede Zahl positiv.
- Beispiel: $|-5| = 5$ und $|5| = 5$ .

Aufgabentyp 1: Zwei Winkel mit demselben Sinuswert finden

Beim Berechnen von Winkeln mit demselben Sinuswert nutzt du die Symmetrie des Einheitskreises. Für fast jeden Sinuswert zwischen 0 und 1 gibt es im Bereich von $0°$ bis $180°$ zwei Winkel. Warum? Schau dir den Einheitskreis an.

Der Sinuswert ist die Höhe (y-Wert) auf dem Einheitskreis. Wenn du eine waagerechte Linie bei einer bestimmten Höhe ziehst (z. B. bei y = 0,5), schneidet diese Linie den Kreis an zwei Stellen. Es gibt also einen spitzen Winkel $\alpha_1$ und einen stumpfen Winkel $\alpha_2$ , die beide dieselbe Höhe und damit denselben Sinuswert haben.

Die Regel, die sich daraus ergibt, lautet:

$\sin(\alpha_1) = \sin(180° - \alpha_1)$

Das bedeutet, der zweite Winkel $\alpha_2$ ist immer $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .

Einheitskreis mit zwei Winkeln auf gleicher Höhe beim Sinus

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ersten Winkel bestimmen: Wende die $\sin^{-1}$ -Funktion des Taschenrechners auf den gegebenen Wert an, um $\alpha_1$ zu erhalten.
Zweiten Winkel berechnen: Berechne $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ mit der Symmetrie-Formel.
Antwort formulieren: Gib beide Winkel als Lösungsmenge an und überprüfe, ob sie im geforderten Bereich ( $0° \le \alpha \le 180°$ ) liegen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $\sin(\alpha) = 0{,}5$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
Wir lösen die Gleichung nach $\alpha$ auf, indem wir die Umkehrfunktion $\sin^{-1}$ verwenden.

$\sin(\alpha) = 0{,}5 \quad | \quad \sin^{-1}$

$\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}5)$

$\alpha_1 = 30°$
Schritt 2
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
Wir verwenden die Formel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .

$\alpha_2 = 180° - 30°$

$\alpha_2 = 150°$
Schritt 3 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind $30°$ und $150°$ . Beide liegen im geforderten Bereich.

Ergebnis:

$\alpha_1 = 30°$ und $\alpha_2 = 150°$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $\sin(\alpha) = 0{,}8$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
Wir verwenden die $\sin^{-1}$ -Funktion.

$\sin(\alpha) = 0{,}8 \quad | \quad \sin^{-1}$

$\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}8)$

$\alpha_1 \approx 53{,}13°$
Schritt 2
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
Wir verwenden die Formel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .

$\alpha_2 = 180° - 53{,}13°$

$\alpha_2 \approx 126{,}87°$
Schritt 3 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind ca. $53{,}13°$ und $126{,}87°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 \approx 53{,}13°$ und $\alpha_2 \approx 126{,}87°$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $\sin(\alpha) = 1$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
$\sin(\alpha) = 1 \quad | \quad \sin^{-1}$

$\alpha_1 = \sin^{-1}(1)$

$\alpha_1 = 90°$
Schritt 2
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 90°$

$\alpha_2 = 90°$
Schritt 3 · Ergebnis
Antwort formulieren
Beide Winkel sind identisch. Es gibt also nur eine Lösung: $\alpha = 90°$ . Dies ist der höchste Punkt auf dem Einheitskreis.

Ergebnis:

$\alpha = 90°$ (nur eine Lösung).

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $\sin(\alpha) = 0{,}22$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
$\sin(\alpha) = 0{,}22 \quad | \quad \sin^{-1}$

$\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}22)$

$\alpha_1 \approx 12{,}71°$
Schritt 2
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 12{,}71°$

$\alpha_2 \approx 167{,}29°$
Schritt 3 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind ca. $12{,}71°$ und $167{,}29°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 \approx 12{,}71°$ und $\alpha_2 \approx 167{,}29°$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
Der Wert $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ist ca. $0{,}707$ .

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad | \quad \sin^{-1}$

$\alpha_1 = \sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\alpha_1 = 45°$
Schritt 2
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 45°$

$\alpha_2 = 135°$
Schritt 3 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind $45°$ und $135°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 = 45°$ und $\alpha_2 = 135°$ .

Aufgabentyp 2: Zwei Winkel mit demselben Kosinus-Betrag finden

Beim Kosinus ist es ähnlich, aber wir schauen uns den Betrag an, also den Wert ohne Vorzeichen. Die Gleichung $|\cos(\alpha)| = \text{Wert}$ bedeutet, dass $\cos(\alpha)$ entweder positiv oder negativ sein kann.

$\cos(\alpha) = \text{Wert} \quad$ oder $\quad \cos(\alpha) = -\text{Wert}$

Der Kosinuswert ist die Breite (x-Wert) auf dem Einheitskreis. Wenn wir nach dem gleichen Betrag fragen (z. B. $|\cos(\alpha)| = 0{,}5$ ), suchen wir alle Punkte, deren x-Wert entweder $+0{,}5$ oder $-0{,}5$ ist. Das gibt uns zwei senkrechte Linien, die den Kreis (im Bereich $0°$ – $180°$ ) an zwei Stellen schneiden.

Auch hier gibt es eine Symmetrie. Der spitze Winkel $\alpha_1$ hat einen positiven Kosinuswert, und der stumpfe Winkel $\alpha_2$ hat den entsprechenden negativen Kosinuswert.

Die Regel lautet:

$\cos(\alpha_1) = -\cos(180° - \alpha_1)$

Das bedeutet, auch hier finden wir den zweiten Winkel mit $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .

Einheitskreis mit zwei Winkeln gleichen Kosinus-Betrags

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Betragsgleichung auflösen: Erkenne, dass $|\cos(\alpha)| = \text{Wert}$ bedeutet, dass du nach dem Winkel für den positiven Wert suchst. Du kannst das negative Vorzeichen für die Berechnung ignorieren.
Ersten Winkel bestimmen: Benutze die $\cos^{-1}$ -Funktion deines Taschenrechners mit dem positiven Wert, um den ersten (spitzen) Winkel $\alpha_1$ zu berechnen.
Zweiten Winkel berechnen: Verwende die Symmetrie-Formel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ , um den zweiten (stumpfen) Winkel zu finden.
Antwort formulieren: Gib beide Winkel als Lösungsmenge an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $|\cos(\alpha)| = 0{,}9$ gilt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Betragsgleichung auflösen
Die Gleichung $|\cos(\alpha)| = 0{,}9$ bedeutet, wir suchen Winkel, für die $\cos(\alpha) = 0{,}9$ oder $\cos(\alpha) = -0{,}9$ gilt.
Schritt 2
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
Wir nehmen den positiven Wert, um den spitzen Winkel zu finden.

$\cos(\alpha) = 0{,}9 \quad | \quad \cos^{-1}$

$\alpha_1 = \cos^{-1}(0{,}9)$

$\alpha_1 \approx 25{,}84°$
Schritt 3
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
Wir verwenden die Formel $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .

$\alpha_2 = 180° - 25{,}84°$

$\alpha_2 \approx 154{,}16°$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind ca. $25{,}84°$ und $154{,}16°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 \approx 25{,}84°$ und $\alpha_2 \approx 154{,}16°$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $|\cos(\alpha)| = 0{,}5$ gilt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Betragsgleichung auflösen
Wir suchen Winkel, für die $\cos(\alpha) = 0{,}5$ oder $\cos(\alpha) = -0{,}5$ gilt.
Schritt 2
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
$\cos(\alpha) = 0{,}5 \quad | \quad \cos^{-1}$

$\alpha_1 = \cos^{-1}(0{,}5)$

$\alpha_1 = 60°$
Schritt 3
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 60°$

$\alpha_2 = 120°$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind $60°$ und $120°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 = 60°$ und $\alpha_2 = 120°$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $|\cos(\alpha)| = 1$ gilt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Betragsgleichung auflösen
Wir suchen Winkel, für die $\cos(\alpha) = 1$ oder $\cos(\alpha) = -1$ gilt.
Schritt 2
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
Für den positiven Wert:

$\cos(\alpha) = 1 \quad | \quad \cos^{-1}$

$\alpha_1 = \cos^{-1}(1)$

$\alpha_1 = 0°$
Schritt 3
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 0°$

$\alpha_2 = 180°$

Man hätte auch $\cos^{-1}(-1)$ rechnen können, was direkt $180°$ ergibt.
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind $0°$ und $180°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 = 0°$ und $\alpha_2 = 180°$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $|\cos(\alpha)| = 0$ gilt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Betragsgleichung auflösen
Wir suchen Winkel, für die $\cos(\alpha) = 0$ gilt (da $|0| = 0$ ).
Schritt 2
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
$\cos(\alpha) = 0 \quad | \quad \cos^{-1}$

$\alpha_1 = \cos^{-1}(0)$

$\alpha_1 = 90°$
Schritt 3
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 90°$

$\alpha_2 = 90°$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Es gibt nur eine Lösung: $\alpha = 90°$ .

Ergebnis:

$\alpha = 90°$ (nur eine Lösung).

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Winkel $\alpha$ im Bereich $0° \le \alpha \le 180°$ , für die $|\cos(\alpha)| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ gilt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Betragsgleichung auflösen
Wir suchen Winkel, für die $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oder $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ gilt. Der Wert ist ca. $0{,}866$ .
Schritt 2
Ersten Winkel $\alpha_1$ mit dem Taschenrechner finden
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad | \quad \cos^{-1}$

$\alpha_1 = \cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\alpha_1 = 30°$
Schritt 3
Zweiten Winkel $\alpha_2$ mit der Formel berechnen
$\alpha_2 = 180° - 30°$

$\alpha_2 = 150°$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die beiden Winkel sind $30°$ und $150°$ .

Ergebnis:

$\alpha_1 = 30°$ und $\alpha_2 = 150°$ .

Wichtige Erkenntnisse

Dein Taschenrechner gibt dir mit $\sin^{-1}$ oder $\cos^{-1}$ (für positive Werte) immer nur den spitzen Winkel ( $\alpha_1$ ) zwischen $0°$ und $90°$ .
Den zweiten, stumpfen Winkel ( $\alpha_2$ ) findest du fast immer mit der Formel: $\alpha_2 = 180° - \alpha_1$ .
Für Sinus: $\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$ . Zwei Winkel haben dieselbe Höhe im Einheitskreis.
Für Kosinus-Betrag: $|\cos(\alpha)| = |\cos(180° - \alpha)|$ . Zwei Winkel haben dieselbe Breite (nur mit unterschiedlichem Vorzeichen) im Einheitskreis.

Zwei Winkel mit gleichem Sinus/Kosinus finden

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Zwei Winkel mit demselben Sinuswert finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Zwei Winkel mit demselben Kosinus-Betrag finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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