Sinus- und Kosinussatz einfach erklärt: Dreiecke berechnen

Wir nutzen die Innenwinkelsumme, um $\beta$ zu finden. $\beta = 180° - \alpha - \gamma$ $\beta = 180° - 38° - 75°$ $\beta = 67°$

Wir verwenden den Sinussatz mit dem bekannten Pärchen $b$ und $\beta$. $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Wir setzen die Werte ein: $\frac{a}{\sin(38°)} = \frac{3{,}2}{\sin(67°)}$

Wir lösen nach $a$ auf: $a = \frac{3{,}2}{\sin(67°)} \cdot \sin(38°)$ $a \approx 2{,}14 \text{ cm}$

Wir verwenden erneut den Sinussatz. $\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Wir setzen die Werte ein: $\frac{c}{\sin(75°)} = \frac{3{,}2}{\sin(67°)}$

Wir lösen nach $c$ auf: $c = \frac{3{,}2}{\sin(67°)} \cdot \sin(75°)$ $c \approx 3{,}36 \text{ cm}$

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$ $\gamma = 180° - 45° - 60°$ $\gamma = 75°$

Wir verwenden den Sinussatz mit dem bekannten Pärchen $c$ und $\gamma$. $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ $\frac{a}{\sin(45°)} = \frac{10}{\sin(75°)}$ $a = \frac{10}{\sin(75°)} \cdot \sin(45°)$ $a \approx 7{,}32 \text{ m}$

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ $\frac{b}{\sin(60°)} = \frac{10}{\sin(75°)}$ $b = \frac{10}{\sin(75°)} \cdot \sin(60°)$ $b \approx 8{,}97 \text{ m}$

Der Winkel am Turm, $\gamma$, ist: $\gamma = 180° - \alpha - \beta$ $\gamma = 180° - 70° - 50°$ $\gamma = 60°$

Wir wollen die Entfernung von A nach C, also die Seite $b$, wissen. Wir verwenden den Sinussatz. $\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ $\frac{b}{\sin(50°)} = \frac{100}{\sin(60°)}$ $b = \frac{100}{\sin(60°)} \cdot \sin(50°)$ $b \approx 88{,}45 \text{ m}$

$\alpha = 180° - \beta - \gamma$ $\alpha = 180° - 100° - 30°$ $\alpha = 50°$

Wir verwenden den Sinussatz mit dem bekannten Pärchen $a$ und $\alpha$. $\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$ $\frac{b}{\sin(100°)} = \frac{15}{\sin(50°)}$ $b = \frac{15}{\sin(50°)} \cdot \sin(100°)$ $b \approx 19{,}28 \text{ cm}$

$\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$ $\frac{c}{\sin(30°)} = \frac{15}{\sin(50°)}$ $c = \frac{15}{\sin(50°)} \cdot \sin(30°)$ $c \approx 9{,}79 \text{ cm}$

$\beta = 180° - \alpha - \gamma$ $\beta = 180° - 20° - 110°$ $\beta = 50°$

Wir verwenden den Sinussatz mit dem bekannten Pärchen $b$ und $\beta$. $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$ $\frac{a}{\sin(20°)} = \frac{5{,}5}{\sin(50°)}$ $a = \frac{5{,}5}{\sin(50°)} \cdot \sin(20°)$ $a \approx 2{,}45 \text{ cm}$

$\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$ $\frac{c}{\sin(110°)} = \frac{5{,}5}{\sin(50°)}$ $c = \frac{5{,}5}{\sin(50°)} \cdot \sin(110°)$ $c \approx 6{,}74 \text{ cm}$

Wir verwenden die Formel für $c^2$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Wir setzen die Werte ein: $c^2 = (3{,}3)^2 + (9{,}4)^2 - 2 \cdot 3{,}3 \cdot 9{,}4 \cdot \cos(122°)$ $c^2 = 10{,}89 + 88{,}36 - 62{,}04 \cdot (-0{,}5299...)$ $c^2 \approx 99{,}25 + 32{,}87 = 132{,}12$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $c = \sqrt{132{,}12} \approx 11{,}49 \text{ cm}$

Wir haben jetzt das Pärchen $c$ und $\gamma$. Wir suchen $\beta$. $\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$ $\frac{\sin(\beta)}{9{,}4} = \frac{\sin(122°)}{11{,}49}$ $\sin(\beta) = \frac{\sin(122°)}{11{,}49} \cdot 9{,}4 \approx 0{,}694$ $\beta = \sin^{-1}(0{,}694) \approx 44{,}0°$

$\alpha = 180° - \beta - \gamma$ $\alpha = 180° - 44{,}0° - 122°$ $\alpha = 14{,}0°$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ $c^2 = 24^2 + 20^2 - 2 \cdot 24 \cdot 20 \cdot \cos(40°)$ $c^2 = 576 + 400 - 960 \cdot 0{,}766...$ $c^2 \approx 976 - 735{,}36 = 240{,}64$ $c = \sqrt{240{,}64} \approx 15{,}51 \text{ km}$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$ $b^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$ $b^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0{,}5$ $b^2 = 89 - 40 = 49$ $b = \sqrt{49} = 7 \text{ cm}$

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b}$ $\frac{\sin(\alpha)}{5} = \frac{\sin(60°)}{7}$ $\sin(\alpha) = \frac{\sin(60°)}{7} \cdot 5 \approx 0{,}6186$ $\alpha = \sin^{-1}(0{,}6186) \approx 38{,}21°$

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$ $\gamma = 180° - 38{,}21° - 60°$ $\gamma = 81{,}79°$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ $c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(50°)$ $c^2 = 36 + 81 - 108 \cdot 0{,}6428...$ $c^2 \approx 117 - 69{,}42 = 47{,}58$ $c = \sqrt{47{,}58} \approx 6{,}90 \text{ cm}$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos(30°)$ $a^2 = 144 + 225 - 360 \cdot 0{,}866...$ $a^2 \approx 369 - 311{,}77 = 57{,}23$ $a = \sqrt{57{,}23} \approx 7{,}57$

$\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{a}$ $\frac{\sin(\beta)}{12} = \frac{\sin(30°)}{7{,}57}$ $\sin(\beta) = \frac{\sin(30°)}{7{,}57} \cdot 12 \approx 0{,}7926$ $\beta = \sin^{-1}(0{,}7926) \approx 52{,}43°$

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$ $\gamma = 180° - 30° - 52{,}43°$ $\gamma = 97{,}57°$

Wir wollen $\alpha$ berechnen, also verwenden wir die nach $\cos(\alpha)$ umgestellte Formel: $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Wir setzen die Werte ein: $\cos(\alpha) = \frac{11^2 + 6^2 - 9^2}{2 \cdot 11 \cdot 6}$ $\cos(\alpha) = \frac{121 + 36 - 81}{132}$ $\cos(\alpha) = \frac{76}{132} \approx 0{,}5757...$

Jetzt verwenden wir die Umkehrfunktion: $\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{76}{132}\right) \approx 54{,}86°$

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ $\cos(\gamma) = \frac{7{,}3^2 + 7{,}3^2 - 5{,}1^2}{2 \cdot 7{,}3 \cdot 7{,}3}$ $\cos(\gamma) = \frac{53{,}29 + 53{,}29 - 26{,}01}{106{,}58}$ $\cos(\gamma) = \frac{80{,}57}{106{,}58} \approx 0{,}7559...$ $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{80{,}57}{106{,}58}\right) \approx 40{,}89°$

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ $\cos(\alpha) = \frac{70^2 + 80^2 - 50^2}{2 \cdot 70 \cdot 80}$ $\cos(\alpha) = \frac{4900 + 6400 - 2500}{11200}$ $\cos(\alpha) = \frac{8800}{11200} \approx 0{,}7857$ $\alpha = \cos^{-1}(0{,}7857) \approx 38{,}21°$

Der größte Winkel ($\gamma$) liegt der längsten Seite ($c = 7$) gegenüber. $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ $\cos(\gamma) = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}$ $\cos(\gamma) = \frac{9 + 25 - 49}{30}$ $\cos(\gamma) = \frac{-15}{30} = -0{,}5$ $\gamma = \cos^{-1}(-0{,}5) = 120°$

$\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$ $\frac{\sin(\beta)}{5} = \frac{\sin(120°)}{7}$ $\sin(\beta) = \frac{\sin(120°)}{7} \cdot 5 \approx 0{,}6186$ $\beta = \sin^{-1}(0{,}6186) \approx 38{,}21°$

$\alpha = 180° - \beta - \gamma$ $\alpha = 180° - 38{,}21° - 120°$ $\alpha = 21{,}79°$

Wir berechnen $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ $\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 10^2 - 10^2}{2 \cdot 10 \cdot 10}$ $\cos(\alpha) = \frac{100 + 100 - 100}{200}$ $\cos(\alpha) = \frac{100}{200} = 0{,}5$ $\alpha = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$

Da alle Winkel gleich sind, gilt $\alpha = \beta = \gamma = 60°$. Dies bestätigt die Eigenschaft von gleichseitigen Dreiecken.

Gegeben sind $a$, $b$ und $\beta$. Die Seite $b = 6{,}8$ liegt dem Winkel $\beta$ gegenüber. Wir vergleichen $b$ mit $a$: 6,8 cm > 3,5 cm. Da b > a ist, handelt es sich um den eindeutigen Fall Ssw. Es gibt genau eine Lösung.

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b}$ $\frac{\sin(\alpha)}{3{,}5} = \frac{\sin(67°)}{6{,}8}$ $\sin(\alpha) = \frac{\sin(67°)}{6{,}8} \cdot 3{,}5 \approx 0{,}474$ $\alpha = \sin^{-1}(0{,}474) \approx 28{,}3°$

• Dritter Winkel $\gamma$: $\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 28{,}3° - 67° = 84{,}7°$

• Dritte Seite c: $\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$ $c = \frac{b \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta)} = \frac{6{,}8 \cdot \sin(84{,}7°)}{\sin(67°)} \approx 7{,}36 \text{ cm}$

Gegeben sind $a$, $b$ und $\beta$. Die Seite $b = 3{,}1$ liegt dem Winkel $\beta$ gegenüber. Wir vergleichen $b$ mit $a$: 3,1 cm < 3,8 cm. Da b < a ist, handelt es sich um den zweideutigen Fall sSw. Es könnte 0, 1 oder 2 Lösungen geben.

$\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{3{,}8 \cdot \sin(51°)}{3{,}1} \approx 0{,}952$

Der Wert ist kleiner als 1, also gibt es mindestens eine Lösung.

• Lösung 1: $\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}952) \approx 72{,}2°$
• Lösung 2: $\alpha_2 = 180° - \alpha_1 \approx 180° - 72{,}2° = 107{,}8°$
• Prüfung von Lösung 2: $\alpha_2 + \beta = 107{,}8° + 51° = 158{,}8°$. Das ist kleiner als 180°, also ist auch diese zweite Lösung gültig! Wir müssen zwei Dreiecke berechnen.

Fall 1: mit $\alpha_1 \approx 72{,}2°$

• $\gamma_1 = 180° - 72{,}2° - 51° = 56{,}8°$
• $c_1 = \frac{b \cdot \sin(\gamma_1)}{\sin(\beta)} = \frac{3{,}1 \cdot \sin(56{,}8°)}{\sin(51°)} \approx 3{,}34 \text{ cm}$

Fall 2: mit $\alpha_2 \approx 107{,}8°$

• $\gamma_2 = 180° - 107{,}8° - 51° = 21{,}2°$
• $c_2 = \frac{b \cdot \sin(\gamma_2)}{\sin(\beta)} = \frac{3{,}1 \cdot \sin(21{,}2°)}{\sin(51°)} \approx 1{,}44 \text{ cm}$

Gegeben sind $a$, $b$ und $\beta$. Die Seite $b = 1{,}8$ liegt dem Winkel $\beta$ gegenüber. Wir vergleichen $b$ mit $a$: 1,8 cm < 3,8 cm. Da b < a ist, ist es der Fall sSw.

$\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{3{,}8 \cdot \sin(51°)}{1{,}8} \approx 1{,}64$

Der Wert für $\sin(\alpha)$ ist 1,64. Der Sinuswert eines Winkels kann aber niemals größer als 1 sein.

STOPP! Es gibt keine Lösung. Ein Dreieck mit diesen Maßen kann nicht existieren.

Gegeben sind $a$, $c$ und $\gamma$. Die Seite $c = 12$ liegt dem Winkel $\gamma$ gegenüber. Wir vergleichen $c$ mit $a$: 12 > 10. Da c > a ist, handelt es sich um den eindeutigen Fall Ssw. Es gibt genau eine Lösung.

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$ $\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{10 \cdot \sin(80°)}{12} \approx 0{,}8207$ $\alpha = \sin^{-1}(0{,}8207) \approx 55{,}15°$

• Dritter Winkel $\beta$: $\beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 180° - 55{,}15° - 80° = 44{,}85°$

• Dritte Seite b: $b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{12 \cdot \sin(44{,}85°)}{\sin(80°)} \approx 8{,}59$

Gegeben sind $a$, $b$ und $\alpha$. Die Seite $a = 6$ liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber. Wir vergleichen $a$ mit $b$: 6 < 8. Da a < b ist, ist es der Fall sSw.

$\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{8 \cdot \sin(40°)}{6} \approx 0{,}857$

Der Wert ist kleiner als 1.

• Lösung 1: $\beta_1 = \sin^{-1}(0{,}857) \approx 58{,}99°$
• Lösung 2: $\beta_2 = 180° - 58{,}99° = 121{,}01°$
• Prüfung von Lösung 2: $\beta_2 + \alpha = 121{,}01° + 40° = 161{,}01°$. Das ist kleiner als 180°, also ist auch diese Lösung gültig.

Fall 1: mit $\beta_1 \approx 58{,}99°$

• $\gamma_1 = 180° - 40° - 58{,}99° = 81{,}01°$
• $c_1 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_1)}{\sin(\alpha)} = \frac{6 \cdot \sin(81{,}01°)}{\sin(40°)} \approx 9{,}22$

Fall 2: mit $\beta_2 \approx 121{,}01°$

• $\gamma_2 = 180° - 40° - 121{,}01° = 18{,}99°$
• $c_2 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_2)}{\sin(\alpha)} = \frac{6 \cdot \sin(18{,}99°)}{\sin(40°)} \approx 3{,}04$