Trigonometrische Terme vereinfachen – einfach erklärt

Wir sehen im Nenner den Ausdruck $1 - \cos^2(\alpha)$.

Wir erinnern uns an die umgestellte Formel: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$.

Wir ersetzen den Nenner $1 - \cos^2(\alpha)$ durch $\sin^2(\alpha)$.

$\frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$

Zähler und Nenner sind identisch, also können wir den Bruch zu 1 kürzen.

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 1$

Wir sehen die Summe von $\sin^2(\beta)$ und $\cos^2(\beta)$, beide mit dem Faktor 3. Wir können 3 ausklammern.

$3 \cdot \sin^2(\beta) + 3 \cdot \cos^2(\beta) = 3 \cdot (\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta))$

Der Ausdruck in der Klammer ist genau die Grundformel: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

Wir ersetzen die gesamte Klammer durch 1.

$3 \cdot (\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)) = 3 \cdot (1)$

$3 \cdot 1 = 3$

Dieser Term sieht komplizierter aus. Wir ersetzen zuerst $\tan^2(x)$ durch $\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$.

$\cos^2(x) \cdot \left(1 + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\right)$

Jetzt multiplizieren wir die Klammer aus:

$\cos^2(x) \cdot 1 + \cos^2(x) \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

Im zweiten Teil kürzt sich $\cos^2(x)$ weg:

$\cos^2(x) + \sin^2(x)$

Wir erkennen sofort die Grundformel: $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

Wir ersetzen den gesamten Ausdruck durch 1.

Das Ergebnis ist 1.

Wir sehen im Zähler den Ausdruck $1 - \sin^2(\gamma)$.

Wir verwenden die umgestellte Formel: $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$.

Wir ersetzen den Zähler $1 - \sin^2(\gamma)$ durch $\cos^2(\gamma)$.

$\frac{1 - \sin^2(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{\cos^2(\gamma)}{\cos(\gamma)}$

Wir kürzen den Bruch mit $\cos(\gamma)$.

$\frac{\cos(\gamma) \cdot \cos(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \cos(\gamma)$

Wir müssen zuerst die Klammer mit der ersten binomischen Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ auflösen.

$(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

Jetzt setzen wir das in den ursprünglichen Term ein:

$(\sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Die Terme $2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ und $-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

Das ist die Grundformel: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Wir ersetzen den Ausdruck durch 1.

Das Ergebnis ist 1.

Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\cos(90° - \alpha)$.

Wir verwenden die Formel $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$.

Wir ersetzen $\cos(90° - \alpha)$ durch $\sin(\alpha)$.

$\frac{\cos(90° - \alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Der Bruch wird zu 1 gekürzt.

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1$

Wir sehen den Ausdruck $\cos(90° - x)$.

Wir verwenden die Formel $\sin(x) = \cos(90° - x)$.

Wir ersetzen $\cos(90° - x)$ durch $\sin(x)$.

$\cos(90° - x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)}$

Das ist dasselbe wie $\frac{\sin(x)}{\sin(x)}$, was sich zu 1 kürzt.

Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\cos(90° - \beta)$.

Wir verwenden die Formel $\sin(\beta) = \cos(90° - \beta)$.

Wir ersetzen $\cos(90° - \beta)$ durch $\sin(\beta)$.

$\frac{\cos(90° - \beta)}{\tan(\beta) \cdot \sin(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\tan(\beta) \cdot \sin(\beta)}$

Wir können $\sin(\beta)$ im Zähler und Nenner kürzen.

$\frac{1}{\tan(\beta)}$

Wir sehen den Ausdruck $\cos^2(90° - \alpha)$, was $(\cos(90° - \alpha))^2$ bedeutet.

Wir verwenden die Formel $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$.

Wir ersetzen $\cos(90° - \alpha)$ durch $\sin(\alpha)$.

$1 - 2(\cos(90° - \alpha))^2 = 1 - 2(\sin(\alpha))^2 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

Der Term $1 - 2\sin^2(\alpha)$ kann nicht weiter vereinfacht werden, aber er ist eine bekannte Doppelwinkelformel für $\cos(2\alpha)$. Fürs Erste ist dies die einfachste Form.

Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\sin(90° - \alpha)$.

Wir verwenden die Formel $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$.

Wir ersetzen $\sin(90° - \alpha)$ durch $\cos(\alpha)$.

$\frac{\sin(90° - \alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Der Bruch wird zu 1 gekürzt.

$\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Wir sehen den Ausdruck $\sin(90° - x)$.

Wir verwenden die Formel $\cos(x) = \sin(90° - x)$.

Wir ersetzen $\sin(90° - x)$ durch $\cos(x)$.

$\sin(90° - x) \cdot \tan(x) = \cos(x) \cdot \tan(x)$

Jetzt ersetzen wir $\tan(x)$ durch $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$\cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Wir kürzen $\cos(x)$.

$\sin(x)$

Wir sehen den Ausdruck $\sin^2(90° - \beta)$.

Wir verwenden die Formel $\cos(\beta) = \sin(90° - \beta)$.

Wir ersetzen $\sin(90° - \beta)$ durch $\cos(\beta)$. Da der Term quadriert ist, wird auch der Ersatz quadriert.

$(\sin(90° - \beta))^2 + \sin^2(\beta) = (\cos(\beta))^2 + \sin^2(\beta)$

Das ergibt $\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta)$.

Dieser Ausdruck ist der Trigonometrische Pythagoras, der gleich 1 ist.

Wir sehen zwei mögliche Vereinfachungen: $\cos^2(\alpha) - 1$ im Zähler und $\sin(90° - \alpha)$ im Nenner. Fangen wir mit dem Zähler an. Aus $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$ folgt $\cos^2(\alpha) - 1 = -\sin^2(\alpha)$.

Der Term wird zu $\frac{-\sin^2(\alpha)}{\sin(90° - \alpha)}$.

Jetzt für den Nenner: Wir verwenden $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$.

Wir ersetzen den Nenner $\sin(90° - \alpha)$ durch $\cos(\alpha)$.

$\frac{-\sin^2(\alpha)}{\sin(90° - \alpha)} = \frac{-\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Wir können den Term noch umschreiben, indem wir $\sin^2(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$ und $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$ nutzen.

$\frac{-\sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$

Wir haben zwei Terme mit $(90° - \gamma)$. Wir können beide ersetzen.

Wir nutzen $\cos(\gamma) = \sin(90° - \gamma)$ und $\tan(90° - \gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)}$.

Wir setzen beide Formeln ein:

$\tan(90° - \gamma) \cdot \sin(90° - \gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)} \cdot \cos(\gamma)$

Jetzt ersetzen wir $\tan(\gamma)$ durch $\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}$.

$\frac{1}{\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}} \cdot \cos(\gamma)$

Der Doppelbruch wird aufgelöst zu $\frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)}$.

$\frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} \cdot \cos(\gamma) = \frac{\cos^2(\gamma)}{\sin(\gamma)}$

Wir sehen im Nenner den Ausdruck $\tan(90° - \alpha)$.

Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$.

Wir ersetzen den Nenner:

$\frac{1}{\tan(90° - \alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{\tan(\alpha)}}$

Wir lösen den Doppelbruch auf, indem wir mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

$1 \cdot \frac{\tan(\alpha)}{1} = \tan(\alpha)$

Wir sehen das Produkt von $\tan(\alpha)$ und $\tan(90° - \alpha)$.

Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$.

Wir ersetzen den zweiten Faktor:

$\tan(\alpha) \cdot \tan(90° - \alpha) = \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)}$

Wir können $\tan(\alpha)$ kürzen.

$\frac{\tan(\alpha)}{\tan(\alpha)} = 1$

Wir sehen, dass $65° = 90° - 25°$ ist. Also können wir $\tan(65°)$ als $\tan(90° - 25°)$ schreiben.

Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$. Für $\alpha = 25°$ gilt: $\tan(90° - 25°) = \frac{1}{\tan(25°)}$.

Wir ersetzen $\tan(65°)$ im ursprünglichen Term.

$\tan(25°) \cdot \tan(65°) = \tan(25°) \cdot \tan(90° - 25°) = \tan(25°) \cdot \frac{1}{\tan(25°)}$

Der Term kürzt sich zu 1.

Wir sehen im Zähler $\tan(90° - x)$.

Wir ersetzen dies mit $\frac{1}{\tan(x)}$.

$\frac{\frac{1}{\tan(x)}}{\cos(x)}$

Jetzt ersetzen wir auch $\tan(x)$ durch $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

$\frac{\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}}{\cos(x)}$

Der Doppelbruch im Zähler wird zu $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

$\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\cos(x)}$

Das ist dasselbe wie $\frac{\cos(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)}$. Wir können $\cos(x)$ kürzen.

$\frac{1}{\sin(x)}$

Wir sehen das Produkt $\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha)$.

Wir wissen aus einem früheren Beispiel, dass $\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha) = 1$ ist.

Wir ersetzen diesen Teil des Produkts durch 1.

$\sin^2(\alpha) \cdot (\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha)) = \sin^2(\alpha) \cdot (1)$

$\sin^2(\alpha) \cdot 1 = \sin^2(\alpha)$

Wir sehen im Nenner den Ausdruck $\tan(\beta)$.

Wir verwenden die Definition $\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$.

Wir ersetzen den Nenner:

$\frac{\sin(\beta)}{\tan(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$

Wir lösen den Doppelbruch auf.

$\frac{\sin(\beta) \cdot \cos(\beta)}{\sin(\beta)}$

Jetzt kürzen wir $\sin(\beta)$.

$\cos(\beta)$

Wir sehen den Faktor $\tan(\alpha)$.

Wir verwenden die Definition $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Wir ersetzen den Tangens:

$\cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Wir kürzen $\cos(\alpha)$.

$\sin(\alpha)$

Wir sehen im Zähler $\tan(x)$.

Wir verwenden die Definition $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Wir ersetzen den Zähler:

$\frac{\tan(x)}{\sin(x)} = \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\sin(x)}$

Wir lösen den Doppelbruch auf. Das ist dasselbe wie $\frac{\sin(x)}{\cos(x) \cdot \sin(x)}$.

Wir kürzen $\sin(x)$.

$\frac{1}{\cos(x)}$

Wir sehen den Term $\tan^2(\gamma)$.

Wir verwenden die Definition $\tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}$. Also ist $\tan^2(\gamma) = \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$.

$1 + \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$

Um die Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Wir schreiben 1 als $\frac{\cos^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$.

$\frac{\cos^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)} + \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)} = \frac{\cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$

Der Zähler ist der Trigonometrische Pythagoras, also 1.

$\frac{1}{\cos^2(\gamma)}$

Wir sehen $\tan(\alpha)$ im Zähler und Nenner.

Wir verwenden die Definition $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Wir ersetzen $\tan(\alpha)$ an beiden Stellen.

$\frac{1 - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$

Wir bringen Zähler und Nenner jeweils auf den Hauptnenner $\cos(\alpha)$.

$\frac{\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\frac{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$

Jetzt haben wir einen Doppelbruch. Da der Nenner beider inneren Brüche ($\cos(\alpha)$) gleich ist, können wir ihn kürzen.

$\frac{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}$

Dieser Term kann nicht weiter sinnvoll vereinfacht werden.