Was sind trigonometrische Beziehungen und wozu braucht man sie?

Trigonometrische Beziehungen sind Formeln, die Sinus, Kosinus und Tangens miteinander verknüpfen. Die fünf wichtigsten sind: sin²(α) + cos²(α) = 1 , tan(α) = sin(α)/cos(α) sowie die drei Komplementärwinkel-Regeln. Du brauchst sie, um kompliziert aussehende Terme auf einfachere Ausdrücke zu reduzieren – zum Beispiel auf eine Konstante wie 1 oder auf eine einzelne Funktion wie cos(α) .

Wie vereinfachst du einen Term mit sin²(α) + cos²(α)?

Suche im Term nach sin²(α) , cos²(α) oder Kombinationen wie 1 − cos²(α) . Stelle dann den Trigonometrischen Pythagoras passend um: sin²(α) = 1 − cos²(α) oder cos²(α) = 1 − sin²(α) . Ersetze den gefundenen Ausdruck und kürze den Term. Oft vereinfacht sich ein kompletter Bruch zu 1, weil Zähler und Nenner identisch werden.

Wann benutzt du die Formel sin(α) = cos(90° − α)?

Diese Formel nutzt du, wenn im Term ein Ausdruck der Form cos(90° − α) auftaucht. Da sin(α) = cos(90° − α) gilt, kannst du diesen Ausdruck durch sin(α) ersetzen. Das Ziel ist es, im Term nur noch eine einzige trigonometrische Funktion zu haben, sodass du kürzen oder zusammenfassen kannst. Typisch: cos(90° − α) / sin(α) wird zu sin(α) / sin(α) = 1 .

Wie gehst du vor, wenn ein Term tan(α) enthält?

Ersetze tan(α) durch die Definition sin(α)/cos(α) . Das verwandelt den Term in einen Bruch oder Doppelbruch. Löse anschließend den Doppelbruch auf (multipliziere mit dem Kehrwert) und kürze gleiche Faktoren in Zähler und Nenner. Diese Strategie funktioniert fast immer, wenn tan(α) zusammen mit sin(α) oder cos(α) im Term vorkommt.

Was ist der Unterschied zwischen den Komplementärwinkel-Formeln für sin, cos und tan?

Alle drei Formeln gelten für komplementäre Winkel , also für Winkelpaare, die zusammen 90° ergeben. sin(α) = cos(90° − α) ersetzt einen Kosinus-Ausdruck durch Sinus. cos(α) = sin(90° − α) macht das Umgekehrte. tan(90° − α) = 1/tan(α) zeigt, dass der Tangens des Komplementärwinkels der Kehrwert des ursprünglichen Tangens ist. Besonders praktisch: tan(α) · tan(90° − α) = 1 .

Trigonometrische Terme vereinfachen

Terme wie $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$ sehen auf den ersten Blick super kompliziert aus – aber keine Sorge. Die Vereinfachung von Termen mit trigonometrischen Beziehungen ist im Grunde ein reines Logik-Puzzle. Wenn du diese 5 einfachen Formeln kennst, hast du den „Cheat Code", um diese Aufgaben zu knacken. Während andere noch raten, siehst du die Lösung sofort. Es ist wie beim Lösen eines Sudokus: Am Anfang starrst du auf die Zahlen, aber sobald du die Muster kennst, löst es sich fast von selbst. Lass uns diese Muster lernen, damit du bei der nächsten Prüfung die Punkte sicher hast.

Schnellantwort

Beim Vereinfachen von Termen mit trigonometrischen Beziehungen ersetzt du Teilausdrücke mithilfe von fünf Grundformeln durch einfachere Ausdrücke. Die wichtigsten sind: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ , $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ sowie die Komplementärwinkel-Beziehungen $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ und $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$ . Erkenne das Muster im Term, wähle die passende Formel und kürze – fertig.

Vorwissen

Bevor wir die Terme vereinfachen, wiederholen wir kurz die Werkzeuge, die du dafür brauchst:

Brüche kürzen: Wenn im Zähler und Nenner derselbe Faktor steht, kannst du ihn streichen.
- Beispiel: $\frac{5 \cdot x}{5 \cdot y} = \frac{x}{y}$
Doppelbrüche auflösen: Ein Bruch im Nenner wird aufgelöst, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
- Formel: $\frac{a}{\frac{b}{c}} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b}$
- Beispiel: $\frac{2}{\frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
Potenzschreibweise bei sin/cos/tan: Die Schreibweise $\sin^2(\alpha)$ ist eine Abkürzung.
- Bedeutung: $\sin^2(\alpha) = (\sin(\alpha))^2$
- Beispiel: Wenn $\sin(30°) = 0{,}5$ , dann ist $\sin^2(30°) = (0{,}5)^2 = 0{,}25$ .

Aufgabentyp 1: Vereinfachen mit sin²(α) + cos²(α) = 1

Die wichtigste Formel in der Trigonometrie ist der Trigonometrische Pythagoras. Er sagt aus, dass für jeden beliebigen Winkel $\alpha$ gilt:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Diese Formel ist extrem nützlich, weil wir sie umstellen können, um Teile eines Terms zu ersetzen:

Wenn du $\sin^2(\alpha)$ ersetzen willst: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$
Wenn du $\cos^2(\alpha)$ ersetzen willst: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$

Dein Ziel ist es, einen dieser Bausteine in einem Term zu finden und ihn durch die einfachere Seite der Gleichung zu ersetzen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den gegebenen Term und suche nach $\sin^2(\alpha)$ , $\cos^2(\alpha)$ oder Kombinationen wie $1 - \cos^2(\alpha)$ bzw. $1 - \sin^2(\alpha)$ .
Wähle die passende Form des Trigonometrischen Pythagoras: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ , $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ oder $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ .
Ersetze den gefundenen Ausdruck im Term durch die andere Seite der Formel, um den Term einfacher zu machen.
Kürze den Bruch oder fasse den neuen Term so weit wie möglich zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Nenner den Ausdruck $1 - \cos^2(\alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir erinnern uns an die umgestellte Formel: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Nenner $1 - \cos^2(\alpha)$ durch $\sin^2(\alpha)$ .

$\frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Zähler und Nenner sind identisch, also können wir den Bruch zu 1 kürzen.

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 1$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $3 \cdot \sin^2(\beta) + 3 \cdot \cos^2(\beta)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen die Summe von $\sin^2(\beta)$ und $\cos^2(\beta)$ , beide mit dem Faktor 3. Wir können 3 ausklammern.

$3 \cdot \sin^2(\beta) + 3 \cdot \cos^2(\beta) = 3 \cdot (\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta))$
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Der Ausdruck in der Klammer ist genau die Grundformel: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen die gesamte Klammer durch 1.

$3 \cdot (\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)) = 3 \cdot (1)$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
$3 \cdot 1 = 3$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\cos^2(x) \cdot (1 + \tan^2(x))$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Dieser Term sieht komplizierter aus. Wir ersetzen zuerst $\tan^2(x)$ durch $\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ .

$\cos^2(x) \cdot \left(1 + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\right)$

Jetzt multiplizieren wir die Klammer aus:

$\cos^2(x) \cdot 1 + \cos^2(x) \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

Im zweiten Teil kürzt sich $\cos^2(x)$ weg:

$\cos^2(x) + \sin^2(x)$
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir erkennen sofort die Grundformel: $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den gesamten Ausdruck durch 1.
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Das Ergebnis ist 1.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{1 - \sin^2(\gamma)}{\cos(\gamma)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler den Ausdruck $1 - \sin^2(\gamma)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die umgestellte Formel: $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Zähler $1 - \sin^2(\gamma)$ durch $\cos^2(\gamma)$ .

$\frac{1 - \sin^2(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{\cos^2(\gamma)}{\cos(\gamma)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir kürzen den Bruch mit $\cos(\gamma)$ .

$\frac{\cos(\gamma) \cdot \cos(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \cos(\gamma)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\cos(\gamma)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir müssen zuerst die Klammer mit der ersten binomischen Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ auflösen.

$(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

Jetzt setzen wir das in den ursprünglichen Term ein:

$(\sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Die Terme $2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ und $-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Das ist die Grundformel: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Ausdruck durch 1.
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Das Ergebnis ist 1.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Aufgabentyp 2: Vereinfachen mit sin(α) = cos(90° − α)

Für Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $90°$ gibt es eine besondere Beziehung zwischen Sinus und Kosinus. Die Formel lautet:

$\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$

Das bedeutet, der Sinus eines Winkels ist dasselbe wie der Kosinus des „Restwinkels" auf 90°. Zum Beispiel ist $\sin(30°) = \cos(60°)$ .

Diese Regel hilft dir, Terme zu vereinfachen, in denen beide Funktionen mit solchen komplementären Winkeln vorkommen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Term und suche nach Ausdrücken wie $\cos(90° - \alpha)$ .
Wähle die Beziehung $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ , um einen Ausdruck zu ersetzen.
Ersetze $\cos(90° - \alpha)$ durch $\sin(\alpha)$ , um gleiche Funktionen im Term zu haben und kürzen zu können.
Kürze den neuen Term oder fasse ihn zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\cos(90° - \alpha)}{\sin(\alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\cos(90° - \alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\cos(90° - \alpha)$ durch $\sin(\alpha)$ .

$\frac{\cos(90° - \alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Der Bruch wird zu 1 gekürzt.

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\cos(90° - x) \cdot \frac{1}{\sin(x)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Ausdruck $\cos(90° - x)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\sin(x) = \cos(90° - x)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\cos(90° - x)$ durch $\sin(x)$ .

$\cos(90° - x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Das ist dasselbe wie $\frac{\sin(x)}{\sin(x)}$ , was sich zu 1 kürzt.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\cos(90° - \beta)}{\tan(\beta) \cdot \sin(\beta)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\cos(90° - \beta)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\sin(\beta) = \cos(90° - \beta)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\cos(90° - \beta)$ durch $\sin(\beta)$ .

$\frac{\cos(90° - \beta)}{\tan(\beta) \cdot \sin(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\tan(\beta) \cdot \sin(\beta)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir können $\sin(\beta)$ im Zähler und Nenner kürzen.

$\frac{1}{\tan(\beta)}$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{1}{\tan(\beta)}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $1 - 2\cos^2(90° - \alpha)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Ausdruck $\cos^2(90° - \alpha)$ , was $(\cos(90° - \alpha))^2$ bedeutet.
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\cos(90° - \alpha)$ durch $\sin(\alpha)$ .

$1 - 2(\cos(90° - \alpha))^2 = 1 - 2(\sin(\alpha))^2 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Der Term $1 - 2\sin^2(\alpha)$ kann nicht weiter vereinfacht werden, aber er ist eine bekannte Doppelwinkelformel für $\cos(2\alpha)$ . Fürs Erste ist dies die einfachste Form.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1 - 2\sin^2(\alpha)$ .

Aufgabentyp 3: Vereinfachen mit cos(α) = sin(90° − α)

Diese Regel ist die direkte Umkehrung der vorherigen. Sie funktioniert genauso, nur andersherum:

$\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$

Der Kosinus eines Winkels ist also dasselbe wie der Sinus des „Restwinkels" auf 90°. Zum Beispiel ist $\cos(20°) = \sin(70°)$ .

Du verwendest diese Formel, wenn du einen $\sin(90° - \alpha)$ -Term siehst und ihn durch einen einfacheren $\cos(\alpha)$ -Term ersetzen möchtest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Term und suche nach Ausdrücken wie $\sin(90° - \alpha)$ .
Wähle die Beziehung $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$ .
Ersetze $\sin(90° - \alpha)$ durch $\cos(\alpha)$ , um den Term zu vereinheitlichen.
Kürze den neuen Term oder fasse ihn zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\sin(90° - \alpha)}{\cos(\alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler den Ausdruck $\sin(90° - \alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\sin(90° - \alpha)$ durch $\cos(\alpha)$ .

$\frac{\sin(90° - \alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Der Bruch wird zu 1 gekürzt.

$\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\sin(90° - x) \cdot \tan(x)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Ausdruck $\sin(90° - x)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\cos(x) = \sin(90° - x)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\sin(90° - x)$ durch $\cos(x)$ .

$\sin(90° - x) \cdot \tan(x) = \cos(x) \cdot \tan(x)$

Jetzt ersetzen wir $\tan(x)$ durch $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ :

$\cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir kürzen $\cos(x)$ .

$\sin(x)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\sin(x)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\sin^2(90° - \beta) + \sin^2(\beta)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Ausdruck $\sin^2(90° - \beta)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\cos(\beta) = \sin(90° - \beta)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\sin(90° - \beta)$ durch $\cos(\beta)$ . Da der Term quadriert ist, wird auch der Ersatz quadriert.

$(\sin(90° - \beta))^2 + \sin^2(\beta) = (\cos(\beta))^2 + \sin^2(\beta)$

Das ergibt $\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Dieser Ausdruck ist der Trigonometrische Pythagoras, der gleich 1 ist.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\cos^2(\alpha) - 1}{\sin(90° - \alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen zwei mögliche Vereinfachungen: $\cos^2(\alpha) - 1$ im Zähler und $\sin(90° - \alpha)$ im Nenner. Fangen wir mit dem Zähler an. Aus $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$ folgt $\cos^2(\alpha) - 1 = -\sin^2(\alpha)$ .

Der Term wird zu $\frac{-\sin^2(\alpha)}{\sin(90° - \alpha)}$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Jetzt für den Nenner: Wir verwenden $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Nenner $\sin(90° - \alpha)$ durch $\cos(\alpha)$ .

$\frac{-\sin^2(\alpha)}{\sin(90° - \alpha)} = \frac{-\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir können den Term noch umschreiben, indem wir $\sin^2(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$ und $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$ nutzen.

$\frac{-\sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $-\sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $\tan(90° - \gamma) \cdot \sin(90° - \gamma)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir haben zwei Terme mit $(90° - \gamma)$ . Wir können beide ersetzen.
Schritt 2
Passende Formeln auswählen
Wir nutzen $\cos(\gamma) = \sin(90° - \gamma)$ und $\tan(90° - \gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)}$ .
Schritt 3
Terme ersetzen
Wir setzen beide Formeln ein:

$\tan(90° - \gamma) \cdot \sin(90° - \gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)} \cdot \cos(\gamma)$

Jetzt ersetzen wir $\tan(\gamma)$ durch $\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}} \cdot \cos(\gamma)$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Der Doppelbruch wird aufgelöst zu $\frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)}$ .

$\frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} \cdot \cos(\gamma) = \frac{\cos^2(\gamma)}{\sin(\gamma)}$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{\cos^2(\gamma)}{\sin(\gamma)}$ .

Aufgabentyp 4: Vereinfachen mit tan(90° − α) = 1/tan(α)

Auch der Tangens hat eine Beziehung für komplementäre Winkel. Sie lautet:

$\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$

Das bedeutet, der Tangens des „Restwinkels" ist der Kehrwert des Tangens des ursprünglichen Winkels. Zum Beispiel ist $\tan(60°) = \sqrt{3}$ und $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Diese Regel ist besonders nützlich, um Produkte wie $\tan(\alpha) \cdot \tan(90° - \alpha)$ zu vereinfachen, da dieses Produkt immer 1 ergibt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Term und suche nach Ausdrücken wie $\tan(90° - \alpha)$ oder $\frac{1}{\tan(\alpha)}$ .
Wähle die Beziehung $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ .
Ersetze den gefundenen Ausdruck. Oft führt dies zu einem Doppelbruch, der aufgelöst werden muss, oder zu einer Kürzung.
Löse Doppelbrüche auf und kürze den Term.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{1}{\tan(90° - \alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Nenner den Ausdruck $\tan(90° - \alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Nenner:

$\frac{1}{\tan(90° - \alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{\tan(\alpha)}}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir lösen den Doppelbruch auf, indem wir mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

$1 \cdot \frac{\tan(\alpha)}{1} = \tan(\alpha)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\tan(\alpha)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\tan(\alpha) \cdot \tan(90° - \alpha)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen das Produkt von $\tan(\alpha)$ und $\tan(90° - \alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den zweiten Faktor:

$\tan(\alpha) \cdot \tan(90° - \alpha) = \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir können $\tan(\alpha)$ kürzen.

$\frac{\tan(\alpha)}{\tan(\alpha)} = 1$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $1$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert von $\tan(25°) \cdot \tan(65°)$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen, dass $65° = 90° - 25°$ ist. Also können wir $\tan(65°)$ als $\tan(90° - 25°)$ schreiben.
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Formel $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ . Für $\alpha = 25°$ gilt: $\tan(90° - 25°) = \frac{1}{\tan(25°)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\tan(65°)$ im ursprünglichen Term.

$\tan(25°) \cdot \tan(65°) = \tan(25°) \cdot \tan(90° - 25°) = \tan(25°) \cdot \frac{1}{\tan(25°)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Der Term kürzt sich zu 1.

Ergebnis:

Der Wert ist $1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\tan(90° - x)}{\cos(x)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler $\tan(90° - x)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir ersetzen dies mit $\frac{1}{\tan(x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\tan(x)}}{\cos(x)}$

Jetzt ersetzen wir auch $\tan(x)$ durch $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}}{\cos(x)}$
Schritt 3
Term ersetzen und vereinfachen
Der Doppelbruch im Zähler wird zu $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ .

$\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\cos(x)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Das ist dasselbe wie $\frac{\cos(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)}$ . Wir können $\cos(x)$ kürzen.

$\frac{1}{\sin(x)}$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{1}{\sin(x)}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $\sin^2(\alpha) \cdot \tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen das Produkt $\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir wissen aus einem früheren Beispiel, dass $\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha) = 1$ ist.
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen diesen Teil des Produkts durch 1.

$\sin^2(\alpha) \cdot (\tan(90° - \alpha) \cdot \tan(\alpha)) = \sin^2(\alpha) \cdot (1)$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
$\sin^2(\alpha) \cdot 1 = \sin^2(\alpha)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\sin^2(\alpha)$ .

Aufgabentyp 5: Vereinfachen mit tan(α) = sin(α)/cos(α)

Die grundlegende Definition des Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus. Diese Formel ist ein universelles Werkzeug, um Tangens-Terme loszuwerden und sie durch Sinus und Kosinus auszudrücken.

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Immer wenn du einen Tangens in einem Bruch siehst, ist es oft eine gute Strategie, ihn durch diesen Bruch zu ersetzen. Das führt häufig zu Doppelbrüchen, die sich dann aber elegant kürzen lassen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Term und suche nach $\tan(\alpha)$ .
Wähle die Definition $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ .
Ersetze jeden $\tan(\alpha)$ durch den Bruch $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ .
Löse die entstandenen Doppelbrüche auf und kürze den Term so weit wie möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\sin(\beta)}{\tan(\beta)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Nenner den Ausdruck $\tan(\beta)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Definition $\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Nenner:

$\frac{\sin(\beta)}{\tan(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir lösen den Doppelbruch auf.

$\frac{\sin(\beta) \cdot \cos(\beta)}{\sin(\beta)}$

Jetzt kürzen wir $\sin(\beta)$ .

$\cos(\beta)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\cos(\beta)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Faktor $\tan(\alpha)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Definition $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Tangens:

$\cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir kürzen $\cos(\alpha)$ .

$\sin(\alpha)$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\sin(\alpha)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{\tan(x)}{\sin(x)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen im Zähler $\tan(x)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Definition $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen den Zähler:

$\frac{\tan(x)}{\sin(x)} = \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\sin(x)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir lösen den Doppelbruch auf. Das ist dasselbe wie $\frac{\sin(x)}{\cos(x) \cdot \sin(x)}$ .

Wir kürzen $\sin(x)$ .

$\frac{1}{\cos(x)}$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{1}{\cos(x)}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $1 + \tan^2(\gamma)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen den Term $\tan^2(\gamma)$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Definition $\tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}$ . Also ist $\tan^2(\gamma) = \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
$1 + \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Um die Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Wir schreiben 1 als $\frac{\cos^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$ .

$\frac{\cos^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)} + \frac{\sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)} = \frac{\cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma)}{\cos^2(\gamma)}$

Der Zähler ist der Trigonometrische Pythagoras, also 1.

$\frac{1}{\cos^2(\gamma)}$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{1}{\cos^2(\gamma)}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{1 - \tan(\alpha)}{1 + \tan(\alpha)}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Wir sehen $\tan(\alpha)$ im Zähler und Nenner.
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Definition $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ .
Schritt 3
Term ersetzen
Wir ersetzen $\tan(\alpha)$ an beiden Stellen.

$\frac{1 - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen
Wir bringen Zähler und Nenner jeweils auf den Hauptnenner $\cos(\alpha)$ .

$\frac{\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\frac{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$

Jetzt haben wir einen Doppelbruch. Da der Nenner beider inneren Brüche ( $\cos(\alpha)$ ) gleich ist, können wir ihn kürzen.

$\frac{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}$

Dieser Term kann nicht weiter sinnvoll vereinfacht werden.

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $\frac{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Um trigonometrische Terme zu vereinfachen, brauchst du nur diese 5 Formeln. Lerne sie wie Vokabeln, dann werden die Aufgaben zu einfachen Puzzles.

Trigonometrischer Pythagoras: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
Definition Tangens: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Komplementärwinkel Sinus: $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$
Komplementärwinkel Kosinus: $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$
Komplementärwinkel Tangens: $\tan(90° - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$

Trigonometrische Terme vereinfachen – einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Vereinfachen mit sin²(α) + cos²(α) = 1

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Vereinfachen mit sin(α) = cos(90° − α)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Aufgabentyp 3: Vereinfachen mit cos(α) = sin(90° − α)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Vereinfachen mit tan(90° − α) = 1/tan(α)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 5: Vereinfachen mit tan(α) = sin(α)/cos(α)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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