Was sind die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen?

Beim Ableiten trigonometrischer Funktionen gelten zwei Grundregeln: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) , und die Ableitung von cos(x) ist −sin(x) . Kombiniert mit der Faktorregel (ein konstanter Faktor bleibt erhalten) und der Summenregel (jeden Term einzeln ableiten) kannst du jede zusammengesetzte Sinus- oder Kosinus-Funktion ableiten.

Wie leitest du die Kosinusfunktion ab?

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion: (cos(x))' = −sin(x) . Das Minuszeichen ist entscheidend – ohne es ist die Antwort falsch. Wenn ein konstanter Faktor vor dem Kosinus steht, bleibt dieser Faktor nach der Faktorregel erhalten, z. B. ist die Ableitung von −2·cos(x) gleich 2·sin(x) .

Was ist der 4er-Zyklus beim Ableiten von Sinus und Kosinus?

Der 4er-Zyklus beschreibt das Muster, das beim wiederholten Ableiten von Sinus entsteht: sin(x) → cos(x) → −sin(x) → −cos(x) → sin(x) → … Nach vier Ableitungsschritten beginnt das Muster von vorne. Das Gleiche gilt für Kosinus. Dank dieses Zyklus musst du nie wirklich 20- oder 42-mal ableiten – du nutzt stattdessen eine einfache Division mit Rest.

Wie findest du schnell die 99. Ableitung von sin(x)?

Teile die gesuchte Ableitungsordnung durch 4 und bestimme den Rest : 99 ÷ 4 = 24 mit Rest 3. Ein Rest von 3 entspricht der 3. Ableitung im Sinus-Zyklus, also −cos(x) . Damit ist f (99) (x) = −cos(x) – ohne auch nur einmal wirklich 99-mal abzuleiten.

Warum ist das Minuszeichen bei der Ableitung von cos(x) so wichtig?

Die Ableitung von sin(x) ist +cos(x) – positiv. Die Ableitung von cos(x) ist dagegen −sin(x) – negativ . Das Minuszeichen wird in Klausuren häufig vergessen und kostet Punkte. Merke dir: Kosinus wechselt das Vorzeichen, Sinus nicht . Überprüfe dein Ergebnis immer, indem du kurz an den Graphen denkst.

Trigonometrische Funktionen ableiten

Hast du dich jemals gefragt, wie dein Handy weiß, welche Töne es abspielen soll, oder wie ein Equalizer in einer Musik-App funktioniert? Dahinter steckt pure Mathematik, genauer gesagt: Wellen. Und die Sprache der Wellen sind die Sinus- und Kosinusfunktionen. Wenn du lernst, trigonometrische Funktionen abzuleiten, verstehst du nicht nur, wie sich eine Welle in jedem Moment ändert – du knackst den Code hinter Sound, Licht und vielen anderen physikalischen Phänomenen. Das ist kein trockenes Rechnen, das ist ein Blick in die „Engine" der Welt um dich herum.

Schnellantwort

Beim Ableiten trigonometrischer Funktionen gelten zwei Grundregeln: Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ , und die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$ . Kombiniert mit Faktor- und Summenregel kannst du damit jede Sinus- oder Kosinus-Funktion ableiten. Für hohe Ableitungsordnungen nutzt du den praktischen 4er-Zyklus.

Vorwissen

Bevor wir in die Welt der Wellen eintauchen, hier eine kurze Auffrischung:

Ableitung: Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt an.
- Beispiel: Für $f(x) = 2x$ ist die Ableitung $f'(x) = 2$ . Die Funktion hat überall die Steigung 2.
Faktorregel: Ein konstanter Faktor vor einer Funktion bleibt beim Ableiten erhalten.
- Formel: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
- Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = 3x^2$ ist $f'(x) = 3 \cdot (2x) = 6x$ .
Summenregel: Eine Summe von Funktionen wird abgeleitet, indem man jeden Summanden einzeln ableitet.
- Formel: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$
- Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = x^2 + 4x$ ist $f'(x) = 2x + 4$ .

Aufgabentyp 1: Die Sinusfunktion ableiten

Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ beschreibt eine Welle, die bei $x=0$ startet und ansteigt. Ihre Ableitung ist eine weitere bekannte Wellenfunktion.

Die Regel lautet: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

In Formelsprache:

$f(x) = \sin(x)$

$f'(x) = \cos(x)$

Man kann sich das grafisch vorstellen: Dort, wo die Sinuskurve am steilsten ansteigt (bei $x=0$ ), hat die Kosinuskurve ihren höchsten Wert (1). Dort, wo die Sinuskurve einen Hochpunkt hat (Steigung 0), hat die Kosinuskurve eine Nullstelle.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion identifizieren: Stelle sicher, dass die abzuleitende Funktion (oder ein Teil davon) $\sin(x)$ ist.
Ableitungsregel anwenden: Ersetze $\sin(x)$ durch seine Ableitung $\cos(x)$ . Beachte dabei die Faktor- und Summenregel, falls die Funktion komplexer ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = \sin(x)$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $f(x) = \sin(x)$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Die Regel für die Ableitung von Sinus lautet: $(\sin(x))' = \cos(x)$ .

$f'(x) = \cos(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f'(x) = \cos(x)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Leite die Funktion $g(x) = 4 \cdot \sin(x)$ ab.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $g(x) = 4 \cdot \sin(x)$ . Wir haben hier die Sinusfunktion mit einem konstanten Faktor 4.
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir wenden die Faktorregel an. Der Faktor 4 bleibt erhalten und wir leiten $\sin(x)$ ab.

$g'(x) = 4 \cdot (\sin(x))'$

$g'(x) = 4 \cdot \cos(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $g(x) = 4 \cdot \sin(x)$ ist $g'(x) = 4 \cdot \cos(x)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Ableitung von $h(x) = x^3 + \sin(x)$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist eine Summe: $h(x) = x^3 + \sin(x)$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir wenden die Summenregel an und leiten jeden Teil einzeln ab.

Die Ableitung von $x^3$ ist $3x^2$ .

Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ .

$h'(x) = 3x^2 + \cos(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $h(x) = x^3 + \sin(x)$ ist $h'(x) = 3x^2 + \cos(x)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Leite $f(x) = -\sin(x) + 5$ ab.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $f(x) = -1 \cdot \sin(x) + 5$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir verwenden die Faktor- und Summenregel. Der Faktor -1 bleibt erhalten. Die Konstante 5 fällt beim Ableiten weg.

$f'(x) = -1 \cdot (\sin(x))' + (5)'$

$f'(x) = -1 \cdot \cos(x) + 0$

$f'(x) = -\cos(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $f(x) = -\sin(x) + 5$ ist $f'(x) = -\cos(x)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Was ist die erste Ableitung von $k(t) = \sin(t) - 10t$ ?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist eine Differenz, die Variable ist $t$ . $k(t) = \sin(t) - 10t$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir leiten beide Teile einzeln ab (Summenregel).

Die Ableitung von $\sin(t)$ ist $\cos(t)$ .

Die Ableitung von $-10t$ ist $-10$ .

$k'(t) = \cos(t) - 10$

Ergebnis:

Die Ableitung von $k(t) = \sin(t) - 10t$ ist $k'(t) = \cos(t) - 10$ .

Aufgabentyp 2: Die Kosinusfunktion ableiten

Auch die Kosinusfunktion $f(x) = \cos(x)$ ist eine Welle. Sie startet bei $x=0$ auf ihrem höchsten Punkt. Ihre Ableitung ist die „umgedrehte" Sinusfunktion.

Die Regel lautet: Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.

In Formelsprache:

$f(x) = \cos(x)$

$f'(x) = -\sin(x)$

Grafisch bedeutet das: Dort, wo die Kosinuskurve einen Hochpunkt hat (Steigung 0), hat die negative Sinuskurve eine Nullstelle. Dort, wo die Kosinuskurve am steilsten fällt (bei $x=\pi/2$ ), hat die negative Sinuskurve ihren tiefsten Wert (-1).

Kosinuskurve und negative Sinuskurve im Vergleich

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion identifizieren: Stelle sicher, dass die abzuleitende Funktion (oder ein Teil davon) $\cos(x)$ ist.
Ableitungsregel anwenden: Ersetze $\cos(x)$ durch seine Ableitung $-\sin(x)$ . Achte auf das Vorzeichen! Wende bei Bedarf die Faktor- und Summenregel an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = \cos(x)$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $f(x) = \cos(x)$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Die Regel für die Ableitung von Kosinus lautet: $(\cos(x))' = -\sin(x)$ .

$f'(x) = -\sin(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $f(x) = \cos(x)$ ist $f'(x) = -\sin(x)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Leite die Funktion $g(x) = -2 \cdot \cos(x)$ ab.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $g(x) = -2 \cdot \cos(x)$ . Wir haben die Kosinusfunktion mit dem Faktor -2.
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir wenden die Faktorregel an. Der Faktor -2 bleibt erhalten.

$g'(x) = -2 \cdot (\cos(x))'$

$g'(x) = -2 \cdot (-\sin(x))$

$g'(x) = 2\sin(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $g(x) = -2 \cdot \cos(x)$ ist $g'(x) = 2\sin(x)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Ableitung von $h(x) = \cos(x) + \sin(x)$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist eine Summe: $h(x) = \cos(x) + \sin(x)$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir leiten jeden Teil einzeln ab.

Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$ .

Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ .

$h'(x) = -\sin(x) + \cos(x)$

Ergebnis:

Die Ableitung von $h(x) = \cos(x) + \sin(x)$ ist $h'(x) = -\sin(x) + \cos(x)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Leite $f(x) = \frac{1}{2} \cos(x) - x^4$ ab.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist $f(x) = \frac{1}{2} \cos(x) - x^4$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir leiten beide Terme einzeln ab.

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\cos(x))' - (x^4)'$

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (-\sin(x)) - 4x^3$

$f'(x) = -\frac{1}{2}\sin(x) - 4x^3$

Ergebnis:

Die Ableitung von $f(x) = \frac{1}{2} \cos(x) - x^4$ ist $f'(x) = -\frac{1}{2}\sin(x) - 4x^3$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Was ist die erste Ableitung von $p(z) = \cos(z) + z$ ?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktion identifizieren
Die Funktion ist eine Summe mit der Variable $z$ : $p(z) = \cos(z) + z$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Ableitungsregel anwenden
Wir leiten beide Teile einzeln ab.

Die Ableitung von $\cos(z)$ ist $-\sin(z)$ .

Die Ableitung von $z$ ist $1$ .

$p'(z) = -\sin(z) + 1$

Ergebnis:

Die Ableitung von $p(z) = \cos(z) + z$ ist $p'(z) = -\sin(z) + 1$ .

Aufgabentyp 3: Höhere Ableitungen und der 4er-Zyklus

Was passiert, wenn wir Sinus oder Kosinus immer weiter ableiten? Es entsteht ein Muster!

Schauen wir uns die Ableitungen von $f(x) = \sin(x)$ an:

$f(x) = \sin(x)$ (Start)
$f'(x) = \cos(x)$ (1. Ableitung)
$f''(x) = -\sin(x)$ (2. Ableitung)
$f'''(x) = -\cos(x)$ (3. Ableitung)
$f^{(4)}(x) = \sin(x)$ (4. Ableitung)

Nach vier Ableitungen sind wir wieder bei der Ausgangsfunktion $\sin(x)$ ! Dieses Muster wiederholt sich unendlich oft. Man nennt das einen 4er-Zyklus. Dasselbe gilt für die Kosinusfunktion.

Um eine hohe Ableitung zu finden (z. B. die 17.), müssen wir nicht 17-mal ableiten. Wir nutzen diesen Zyklus mit einem Trick: Teilen mit Rest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gesuchte Ableitungsordnung $n$ identifizieren: Lies aus der Aufgabe, die wievielte Ableitung (z. B. die 14.) du finden sollst. Das ist dein $n$ .
$n$ durch 4 teilen und den Rest $r$ bestimmen: Da der Zyklus eine Länge von 4 hat, teilst du $n$ durch 4. Der Rest dieser Division ist entscheidend.
Den Rest $r$ interpretieren: Der Rest $r$ sagt dir, welche Ableitung im Zyklus die richtige ist: Rest 1 → 1. Ableitung, Rest 2 → 2. Ableitung, Rest 3 → 3. Ableitung, Rest 0 → 4. Ableitung.
Ergebnis notieren: Schreibe die entsprechende Funktion aus dem Zyklus als Ergebnis auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die 14. und die 17. Ableitung der Funktion $f(x) = \sin(x)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gesuchte Ableitungsordnung für die 14. Ableitung
Der Zyklus ist: $\sin(x) \to \cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \ldots$

$n = 14$ .
Schritt 2
$n$ durch 4 teilen und den Rest bestimmen
$14 \div 4 = 3$ mit Rest 2.
Schritt 3
Den Rest interpretieren
Ein Rest von 2 bedeutet, dass die 14. Ableitung dieselbe ist wie die 2. Ableitung im Zyklus.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis für die 14. Ableitung
Die 2. Ableitung im Sinus-Zyklus ist $-\sin(x)$ .

$f^{(14)}(x) = -\sin(x)$ .

Für die 17. Ableitung: $n = 17$ . $17 \div 4 = 4$ mit Rest 1. Ein Rest von 1 bedeutet, das Ergebnis ist wie die 1. Ableitung. Die 1. Ableitung im Sinus-Zyklus ist $\cos(x)$ .

$f^{(17)}(x) = \cos(x)$ .

Ergebnis:

$f^{(14)}(x) = -\sin(x)$ und $f^{(17)}(x) = \cos(x)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die 20. Ableitung von $g(x) = \cos(x)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gesuchte Ableitungsordnung identifizieren
Der Zyklus für Kosinus ist: $\cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \sin(x) \to \ldots$

$n = 20$ .
Schritt 2
$n$ durch 4 teilen und den Rest bestimmen
$20 \div 4 = 5$ mit Rest 0.
Schritt 3
Den Rest interpretieren
Ein Rest von 0 bedeutet, dass die 20. Ableitung dieselbe ist wie die 4. Ableitung im Zyklus.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Die 4. Ableitung im Kosinus-Zyklus ist $\cos(x)$ .

$g^{(20)}(x) = \cos(x)$ .

Ergebnis:

Die 20. Ableitung von $g(x) = \cos(x)$ ist $g^{(20)}(x) = \cos(x)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Was ist die 99. Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ?

Schritt 1: $n = 99$ .

Der Zyklus ist: $\sin(x) \to \cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \ldots$

Schritt 2: $99 \div 4 = 24$ mit Rest 3. (Denn $24 \cdot 4 = 96$ , und $99-96=3$ )

Schritt 3: Ein Rest von 3 entspricht der 3. Ableitung im Zyklus.

Schritt 4: Die 3. Ableitung ist $-\cos(x)$ .

$f^{(99)}(x) = -\cos(x)$ .

Ergebnis:

Die 99. Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f^{(99)}(x) = -\cos(x)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die 5. Ableitung von $h(x) = 3\cos(x)$ .

Schritt 1: $n = 5$ .

Der Faktor 3 bleibt nach der Faktorregel bei jeder Ableitung erhalten. Wir konzentrieren uns auf $\cos(x)$ .

Der Zyklus für Kosinus ist: $\cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \sin(x) \to \ldots$

Schritt 2: $5 \div 4 = 1$ mit Rest 1.

Schritt 3: Ein Rest von 1 entspricht der 1. Ableitung im Zyklus.

Schritt 4: Die 1. Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$ . Wir fügen den Faktor 3 wieder hinzu.

$h^{(5)}(x) = 3 \cdot (-\sin(x)) = -3\sin(x)$ .

Ergebnis:

Die 5. Ableitung von $h(x) = 3\cos(x)$ ist $h^{(5)}(x) = -3\sin(x)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne die 42. Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ .

Schritt 1: $n = 42$ .

Der Zyklus ist: $\sin(x) \to \cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \ldots$

Schritt 2: $42 \div 4 = 10$ mit Rest 2. (Denn $10 \cdot 4 = 40$ , und $42-40=2$ )

Schritt 3: Ein Rest von 2 entspricht der 2. Ableitung im Zyklus.

Schritt 4: Die 2. Ableitung ist $-\sin(x)$ .

$f^{(42)}(x) = -\sin(x)$ .

Ergebnis:

Die 42. Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f^{(42)}(x) = -\sin(x)$ .

Wichtige Erkenntnisse

Ableitung von Sinus: Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ .
Ableitung von Kosinus: Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$ . (Vorsicht mit dem Minuszeichen!)
Der 4er-Zyklus: Die Ableitungen von Sinus und Kosinus wiederholen sich alle vier Schritte.
Trick für hohe Ableitungen: Teile die Ableitungsordnung (z. B. 17) durch 4 und schaue dir den Rest an. Der Rest verrät dir die Position im Zyklus.

Trigonometrische Funktionen ableiten: Sinus & Kosinus

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Die Sinusfunktion ableiten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Die Kosinusfunktion ableiten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Höhere Ableitungen und der 4er-Zyklus

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.