Potenzregel einfach erklärt: Ableitungen berechnen

Die Potenzregel ist der schnellste Weg, Ableitungen zu berechnen – für ganze Zahlen, Brüche und Wurzeln. Hier lernst du die Regel Schritt für Schritt mit vielen Beispielen.

📅 Aktualisiert 16. Juni 2026⏱ 21 Min. Lesezeit✍️ Rocket Tutor Redaktion

Die Potenzregel ist der einfachste und schnellste Weg, um Ableitungen zu berechnen – und damit einer der wichtigsten Grundbausteine der höheren Mathematik. Stell dir vor, du spielst ein Rennspiel: Dein Tacho zeigt dir deine Geschwindigkeit an. Aber woher weiß das Spiel, wie schnell du gerade bist? Es berechnet die Ableitung deiner Position! Die Ableitung ist wie ein supergenauer Tacho für absolut alles, was sich verändert – sei es die Position eines Autos, der Preis einer Aktie oder die Temperatur. Die Potenzregel gibt dir eine simple Formel, mit der du in Sekunden die Ableitung von Funktionen der Form f(x)=xnf(x) = x^n findest. In diesem Artikel lernst du, die Potenzregel auf ganze Exponenten, negative Exponenten (Brüche) und gebrochene Exponenten (Wurzeln) anzuwenden.

Schnellantwort

Die Potenzregel besagt: Die Ableitung von f(x)=xnf(x) = x^n ist f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Du ziehst den Exponenten nn als Faktor nach vorne und verringerst den Exponenten anschließend um 1. Diese Regel gilt für alle reellen Exponenten – also auch für negative Zahlen und Brüche, wie sie bei Bruch- und Wurzelfunktionen auftreten.

Vorwissen

Bevor wir mit dem Ableiten starten, frischen wir kurz drei wichtige Potenzgesetze auf:

  • Potenzen mit negativem Exponenten: Ein Bruch kann als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden.

    • Formel: 1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n}
    • Beispiel: 1x3=x−3\frac{1}{x^3} = x^{-3}

  • Wurzeln als Potenzen schreiben: Eine Wurzel kann als Potenz mit einem Bruch im Exponenten geschrieben werden.

    • Formel: xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}
    • Beispiel: x4=x14\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}

  • Brüche subtrahieren: Um eine ganze Zahl von einem Bruch zu subtrahieren, erweiterst du die ganze Zahl auf den gleichen Nenner.

    • Beispiel: 15−1=15−55=−45\frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}

Aufgabentyp 1: Ableiten mit der Potenzregel

Die Potenzregel ist eine grundlegende Regel zum Ableiten von Funktionen der Form f(x)=xnf(x) = x^n. Die Ableitung f′(x)f'(x) gibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt an.

Die Regel ist ganz einfach:

f(x)=xnf(x) = x^n

Die Ableitung lautet:

f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Das bedeutet, du machst zwei simple Schritte:

  1. Exponent vorziehen: Nimm den alten Exponenten nn und schreibe ihn als Faktor vor das x.
  2. Exponent verringern: Verringere den alten Exponenten nn um 1.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Exponenten identifizieren: Schau dir die Funktion f(x)=xnf(x) = x^n an und bestimme den Wert des Exponenten nn.
  2. Exponenten als Faktor nach vorne ziehen: Schreibe den Exponenten nn vor das xx. Das ist der erste Teil der Ableitung.
  3. Exponenten um 1 verringern: Berechne den neuen Exponenten, indem du vom alten Exponenten 1 abziehst: n−1n - 1.
  4. Ableitung zusammensetzen: Füge die Teile zusammen, um die fertige Ableitung f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1} zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x)=x8f(x) = x^8.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Exponenten identifizieren

    Die Funktion lautet f(x)=x8f(x) = x^8. Der Exponent ist n=8n = 8.

  2. Schritt 2
    Exponenten als Faktor nach vorne ziehen

    Wir ziehen die 88 nach vorne:

    f′(x)=8⋅x...f'(x) = 8 \cdot x^{...}

  3. Schritt 3
    Exponenten um 1 verringern

    Wir berechnen den neuen Exponenten:

    8−1=78 - 1 = 7

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Ableitung zusammensetzen

    Die Ableitung lautet:

    f′(x)=8x7f'(x) = 8x^7

Ergebnis:

Die Ableitung von f(x)=x8f(x) = x^8 ist f′(x)=8x7f'(x) = 8x^7.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion g(x)=x100g(x) = x^{100}.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Exponenten identifizieren

    Die Funktion lautet g(x)=x100g(x) = x^{100}. Der Exponent ist n=100n = 100.

  2. Schritt 2
    Exponenten als Faktor nach vorne ziehen

    Wir ziehen die 100100 nach vorne:

    g′(x)=100⋅x...g'(x) = 100 \cdot x^{...}

  3. Schritt 3
    Exponenten um 1 verringern

    Wir berechnen den neuen Exponenten:

    100−1=99100 - 1 = 99

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Ableitung zusammensetzen

    Die Ableitung lautet:

    g′(x)=100x99g'(x) = 100x^{99}

Ergebnis:

Die Ableitung von g(x)=x100g(x) = x^{100} ist g′(x)=100x99g'(x) = 100x^{99}.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion h(x)=x3h(x) = x^3.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Exponenten identifizieren

    Die Funktion lautet h(x)=x3h(x) = x^3. Der Exponent ist n=3n = 3.

  2. Schritt 2
    Exponenten als Faktor nach vorne ziehen

    h′(x)=3⋅x...h'(x) = 3 \cdot x^{...}

  3. Schritt 3
    Exponenten um 1 verringern

    3−1=23 - 1 = 2

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Ableitung zusammensetzen

    h′(x)=3x2h'(x) = 3x^2

Ergebnis:

Die Ableitung von h(x)=x3h(x) = x^3 ist h′(x)=3x2h'(x) = 3x^2.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion k(x)=xk(x) = x.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Exponenten identifizieren

    Die Funktion k(x)=xk(x) = x ist dasselbe wie k(x)=x1k(x) = x^1. Der Exponent ist also n=1n = 1.

  2. Schritt 2
    Exponenten als Faktor nach vorne ziehen

    k′(x)=1⋅x...k'(x) = 1 \cdot x^{...}

  3. Schritt 3
    Exponenten um 1 verringern

    1−1=01 - 1 = 0

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Ableitung zusammensetzen

    k′(x)=1⋅x0k'(x) = 1 \cdot x^0

    Da jede Zahl hoch 0 (außer 0) gleich 1 ist, vereinfacht sich das zu:

    k′(x)=1⋅1=1k'(x) = 1 \cdot 1 = 1

Ergebnis:

Die Ableitung von k(x)=xk(x) = x ist k′(x)=1k'(x) = 1.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion p(x)=x21p(x) = x^{21}.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Exponenten identifizieren

    Die Funktion lautet p(x)=x21p(x) = x^{21}. Der Exponent ist n=21n = 21.

  2. Schritt 2
    Exponenten als Faktor nach vorne ziehen

    p′(x)=21⋅x...p'(x) = 21 \cdot x^{...}

  3. Schritt 3
    Exponenten um 1 verringern

    21−1=2021 - 1 = 20

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Ableitung zusammensetzen

    p′(x)=21x20p'(x) = 21x^{20}

Ergebnis:

Die Ableitung von p(x)=x21p(x) = x^{21} ist p′(x)=21x20p'(x) = 21x^{20}.

Aufgabentyp 2: Brüche mit der Potenzregel ableiten

Die Potenzregel funktioniert auch für negative Exponenten. Das ist super nützlich, um Brüche wie f(x)=1x5f(x) = \frac{1}{x^5} abzuleiten.

Der Trick besteht darin, den Bruch zuerst in eine Potenz mit negativem Exponenten umzuwandeln. Wir nutzen dafür die Regel aus dem Vorwissen:

1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n}

Sobald die Funktion in der Form f(x)=x−nf(x) = x^{-n} geschrieben ist, können wir die Potenzregel genau wie vorher anwenden. Pass nur beim Subtrahieren von 1 auf: −n−1-n - 1 wird eine noch „negativere" Zahl!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Bruch in Potenz umschreiben: Wandle den Bruch mit der Regel 1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n} in eine Potenz um. Aus f(x)=1xnf(x) = \frac{1}{x^n} wird f(x)=x−nf(x) = x^{-n}.
  2. Potenzregel anwenden: Identifiziere den Exponenten (jetzt −n-n) und wende die Potenzregel an: Ziehe −n-n als Faktor nach vorne und verringere den Exponenten um 1: (−n)−1(-n) - 1.
  3. Ergebnis vereinfachen: Fasse die Terme zusammen. Oft ist es hilfreich, das Ergebnis am Ende wieder als Bruch zu schreiben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x)=1x5f(x) = \frac{1}{x^5}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Bruch in Potenz umschreiben

    Wir wandeln den Bruch um:

    f(x)=1x5=x−5f(x) = \frac{1}{x^5} = x^{-5}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=−5n = -5. Wir wenden die Regel f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1} an.

    f′(x)=(−5)⋅x−5−1f'(x) = (-5) \cdot x^{-5-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Wir berechnen den neuen Exponenten:

    −5−1=−6-5 - 1 = -6

    Die Ableitung lautet also:

    f′(x)=−5x−6f'(x) = -5x^{-6}

    Jetzt schreiben wir das Ergebnis wieder als Bruch:

    f′(x)=−5x6f'(x) = -\frac{5}{x^6}

Ergebnis:

Die Ableitung von f(x)=1x5f(x) = \frac{1}{x^5} ist f′(x)=−5x6f'(x) = -\frac{5}{x^6}.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion g(x)=1x2g(x) = \frac{1}{x^2}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Bruch in Potenz umschreiben

    g(x)=1x2=x−2g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=−2n = -2.

    g′(x)=(−2)⋅x−2−1g'(x) = (-2) \cdot x^{-2-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Der neue Exponent ist −2−1=−3-2 - 1 = -3.

    g′(x)=−2x−3g'(x) = -2x^{-3}

    Als Bruch geschrieben:

    g′(x)=−2x3g'(x) = -\frac{2}{x^3}

Ergebnis:

Die Ableitung von g(x)=1x2g(x) = \frac{1}{x^2} ist g′(x)=−2x3g'(x) = -\frac{2}{x^3}.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion h(x)=1xh(x) = \frac{1}{x}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Bruch in Potenz umschreiben

    h(x)=1x=1x1=x−1h(x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{x^1} = x^{-1}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=−1n = -1.

    h′(x)=(−1)⋅x−1−1h'(x) = (-1) \cdot x^{-1-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Der neue Exponent ist −1−1=−2-1 - 1 = -2.

    h′(x)=−1x−2=−x−2h'(x) = -1x^{-2} = -x^{-2}

    Als Bruch geschrieben:

    h′(x)=−1x2h'(x) = -\frac{1}{x^2}

Ergebnis:

Die Ableitung von h(x)=1xh(x) = \frac{1}{x} ist h′(x)=−1x2h'(x) = -\frac{1}{x^2}.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion k(x)=1x10k(x) = \frac{1}{x^{10}}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Bruch in Potenz umschreiben

    k(x)=1x10=x−10k(x) = \frac{1}{x^{10}} = x^{-10}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=−10n = -10.

    k′(x)=(−10)⋅x−10−1k'(x) = (-10) \cdot x^{-10-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Der neue Exponent ist −10−1=−11-10 - 1 = -11.

    k′(x)=−10x−11k'(x) = -10x^{-11}

    Als Bruch geschrieben:

    k′(x)=−10x11k'(x) = -\frac{10}{x^{11}}

Ergebnis:

Die Ableitung von k(x)=1x10k(x) = \frac{1}{x^{10}} ist k′(x)=−10x11k'(x) = -\frac{10}{x^{11}}.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion p(x)=3x4p(x) = \frac{3}{x^4}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Bruch in Potenz umschreiben

    Der Faktor 3 bleibt einfach stehen. Wir schreiben nur den Bruch um:

    p(x)=3⋅1x4=3x−4p(x) = 3 \cdot \frac{1}{x^4} = 3x^{-4}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=−4n = -4. Der Faktor 3 wird mit dem neuen Faktor multipliziert.

    p′(x)=3⋅(−4)⋅x−4−1p'(x) = 3 \cdot (-4) \cdot x^{-4-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    3⋅(−4)=−123 \cdot (-4) = -12

    −4−1=−5-4 - 1 = -5

    Die Ableitung lautet:

    p′(x)=−12x−5p'(x) = -12x^{-5}

    Als Bruch geschrieben:

    p′(x)=−12x5p'(x) = -\frac{12}{x^5}

Ergebnis:

Die Ableitung von p(x)=3x4p(x) = \frac{3}{x^4} ist p′(x)=−12x5p'(x) = -\frac{12}{x^5}.

Aufgabentyp 3: Wurzeln mit der Potenzregel ableiten

Auch Wurzeln wie f(x)=x6f(x) = \sqrt[6]{x} können mit der Potenzregel abgeleitet werden. Die Regel funktioniert nämlich auch für gebrochene Exponenten.

Der erste Schritt ist wieder, die Funktion umzuschreiben. Wir nutzen die Regel:

xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Sobald die Funktion als Potenz f(x)=x1nf(x) = x^{\frac{1}{n}} geschrieben ist, wenden wir die bekannte Potenzregel an. Das Rechnen mit Brüchen im Exponenten erfordert hier besondere Sorgfalt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Wurzel in Potenz umschreiben: Wandle die Wurzel mit der Regel xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} in eine Potenz um. Aus f(x)=xnf(x) = \sqrt[n]{x} wird f(x)=x1nf(x) = x^{\frac{1}{n}}.
  2. Potenzregel anwenden: Identifiziere den Exponenten (jetzt 1n\frac{1}{n}) und wende die Potenzregel an: Ziehe 1n\frac{1}{n} als Faktor nach vorne und verringere den Exponenten um 1: 1n−1\frac{1}{n} - 1.
  3. Ergebnis vereinfachen: Berechne den neuen Exponenten und fasse die Terme zusammen. Es ist üblich, das Endergebnis wieder in der Wurzelschreibweise anzugeben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x)=x6f(x) = \sqrt[6]{x}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Wurzel in Potenz umschreiben

    Wir wandeln die Wurzel um:

    f(x)=x6=x16f(x) = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=16n = \frac{1}{6}. Wir wenden die Regel f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1} an.

    f′(x)=16⋅x16−1f'(x) = \frac{1}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Wir berechnen den neuen Exponenten:

    16−1=16−66=−56\frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6}

    Die Ableitung lautet also:

    f′(x)=16x−56f'(x) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}

    Jetzt schreiben wir das Ergebnis wieder als Wurzel. Zuerst den negativen Exponenten als Bruch, dann den Bruch-Exponenten als Wurzel:

    f′(x)=16⋅1x56=16x56f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}

Ergebnis:

Die Ableitung von f(x)=x6f(x) = \sqrt[6]{x} ist f′(x)=16x56f'(x) = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion g(x)=xg(x) = \sqrt{x}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Wurzel in Potenz umschreiben

    Die normale Quadratwurzel x\sqrt{x} ist dasselbe wie x2\sqrt[2]{x}.

    g(x)=x=x12g(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=12n = \frac{1}{2}.

    g′(x)=12⋅x12−1g'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Neuer Exponent: 12−1=12−22=−12\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}.

    g′(x)=12x−12g'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

    Als Wurzel geschrieben:

    g′(x)=12⋅1x12=12xg'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ergebnis:

Die Ableitung von g(x)=xg(x) = \sqrt{x} ist g′(x)=12xg'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion h(x)=x3h(x) = \sqrt[3]{x}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Wurzel in Potenz umschreiben

    h(x)=x3=x13h(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=13n = \frac{1}{3}.

    h′(x)=13⋅x13−1h'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Neuer Exponent: 13−1=13−33=−23\frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}.

    h′(x)=13x−23h'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}

    Als Wurzel geschrieben:

    h′(x)=13⋅1x23=13x23h'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Ergebnis:

Die Ableitung von h(x)=x3h(x) = \sqrt[3]{x} ist h′(x)=13x23h'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion k(x)=x34k(x) = \sqrt[4]{x^3}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Wurzel in Potenz umschreiben

    Hier nutzen wir die Regel xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}.

    k(x)=x34=x34k(x) = \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=34n = \frac{3}{4}.

    k′(x)=34⋅x34−1k'(x) = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{4}-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    Neuer Exponent: 34−1=34−44=−14\frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}.

    k′(x)=34x−14k'(x) = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}

    Als Wurzel geschrieben:

    k′(x)=34⋅1x14=34x4k'(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}

Ergebnis:

Die Ableitung von k(x)=x34k(x) = \sqrt[4]{x^3} ist k′(x)=34x4k'(x) = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion p(x)=2x5p(x) = 2\sqrt[5]{x}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Wurzel in Potenz umschreiben

    Der Faktor 2 bleibt einfach stehen.

    p(x)=2x5=2x15p(x) = 2\sqrt[5]{x} = 2x^{\frac{1}{5}}

  2. Schritt 2
    Potenzregel anwenden

    Der Exponent ist n=15n = \frac{1}{5}. Der Faktor 2 wird mit dem neuen Faktor multipliziert.

    p′(x)=2⋅15⋅x15−1p'(x) = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot x^{\frac{1}{5}-1}

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Ergebnis vereinfachen

    2⋅15=252 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

    15−1=15−55=−45\frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}

    Die Ableitung lautet:

    p′(x)=25x−45p'(x) = \frac{2}{5}x^{-\frac{4}{5}}

    Als Wurzel geschrieben:

    p′(x)=25⋅1x45=25x45p'(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^4}}

Ergebnis:

Die Ableitung von p(x)=2x5p(x) = 2\sqrt[5]{x} ist p′(x)=25x45p'(x) = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^4}}.

Wichtige Erkenntnisse

  • Die Potenzregel: Die Ableitung von f(x)=xnf(x) = x^n ist f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}.
  • Brüche ableiten: Erst umschreiben! Benutze 1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n} und wende dann die Potenzregel an.
  • Wurzeln ableiten: Erst umschreiben! Benutze xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} und wende dann die Potenzregel an.

Häufige Fragen

Was ist die Potenzregel beim Ableiten?

Die Potenzregel ist eine grundlegende Ableitungsregel für Funktionen der Form f(x) = x^n. Sie besagt: f'(x) = n · x^(n−1). Du ziehst den Exponenten n als Faktor nach vorne und verringerst den Exponenten anschließend um 1. Die Regel gilt für alle reellen Exponenten – also auch für negative Zahlen und Brüche.

Wie wendest du die Potenzregel Schritt für Schritt an?

Gehe in vier Schritten vor:

  1. Bestimme den Exponenten n in f(x) = x^n.
  2. Schreibe n als Faktor vor das x.
  3. Berechne den neuen Exponenten: n − 1.
  4. Setze alles zusammen: f'(x) = n · x^(n−1).

Beispiel: Aus f(x) = x^8 wird f'(x) = 8x^7.

Wie leitest du einen Bruch mit der Potenzregel ab?

Schreibe den Bruch zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um: 1/x^n = x^(−n). Dann wendest du die gewohnte Potenzregel an. Wichtig: Beim Subtrahieren von 1 wird der Exponent noch negativer – aus −n wird −n − 1. Zum Schluss kannst du das Ergebnis wieder als Bruch schreiben, z. B. f'(x) = −5x^(−6) = −5/x^6.

Wie leitest du eine Wurzel mit der Potenzregel ab?

Schreibe die Wurzel zuerst als Potenz mit gebrochenem Exponenten um: ∜x = x^(1/n). Dann wendest du die Potenzregel an. Beim neuen Exponenten musst du einen Bruch von 1 abziehen, z. B. 1/6 − 1 = −5/6. Das Ergebnis kannst du am Ende wieder in Wurzelschreibweise umwandeln, z. B. f'(x) = 1/(6·⁶√(x^5)).

Was ist der Unterschied zwischen negativem und gebrochenem Exponenten?

Ein negativer Exponent entsteht, wenn du einen Bruch wie 1/x^n umschreibst: x^(−n). Er steht für einen Kehrbruch. Ein gebrochener Exponent entsteht, wenn du eine Wurzel umschreibst: ∜x = x^(1/n). Er steht für eine Wurzel. Beide Varianten kannst du mit der Potenzregel ableiten – du musst die Funktion nur zuerst in die passende Potenzform bringen.

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