Was sind Transformationen einer Funktion?

Transformationen einer Funktion beschreiben, wie der Graph einer Grundfunktion verändert wird – durch Spiegelung, Streckung, Stauchung oder Verschiebung. Jede dieser Veränderungen lässt sich direkt am Funktionsterm ablesen, ohne einzelne Punkte berechnen zu müssen. Das spart Zeit und vermeidet Fehler bei Klausuraufgaben zur Kurvendiskussion.

Wie erkennst du eine Spiegelung an der x-Achse am Term?

Eine Spiegelung an der x-Achse erkennst du daran, dass ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion steht: Aus g(x) wird −g(x) . Du kannst das testen, indem du −g(x) berechnest und schaust, ob das Ergebnis gleich f(x) ist. Jeder positive y-Wert wird dabei negativ – der Graph wird nach unten geklappt.

Wie erkennst du eine Spiegelung an der y-Achse am Term?

Eine Spiegelung an der y-Achse erkennst du daran, dass das x in der Funktion durch −x ersetzt wurde: Aus g(x) wird g(−x) . Teste, ob g(−x) = f(x) gilt. Bei achsensymmetrischen Funktionen wie cos(x) verändert diese Spiegelung den Graphen nicht, weil cos(−x) = cos(x) ist.

Wie liest du Streckung und Stauchung aus der Funktionsgleichung ab?

Den Faktor a findest du vor der Grundfunktion: f(x) = a · g(x) . Ist |a| > 1 , wird der Graph gestreckt (steiler). Ist 0 < |a| < 1 , wird er gestaucht (flacher). Ein negatives a zeigt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse an. Der Betrag von a gibt den genauen Streck- oder Stauchfaktor an.

Was ist der Unterschied zwischen Verschiebung nach rechts und nach links?

Die Richtung der Verschiebung hängt vom Vorzeichen im Klammer-Term ab: f(x − c) verschiebt den Graphen um c Einheiten nach rechts , f(x + c) um c Einheiten nach links . Das wirkt auf den ersten Blick umgekehrt, erklärt sich aber daraus, dass der Graph den neuen Nullpunkt des inneren Terms annimmt.

Transformationen aus Funktionsgleichung

Q: Was ist der Unterschied zwischen Verschiebung nach rechts und nach links?

Die Richtung der Verschiebung hängt vom Vorzeichen im Klammer-Term ab: f(x − c) verschiebt den Graphen um c Einheiten nach rechts , f(x + c) um c Einheiten nach links . Das wirkt auf den ersten Blick umgekehrt, erklärt sich aber daraus, dass der Graph den neuen Nullpunkt des inneren Terms annimmt.

Transformationen aus einer Funktionsgleichung zu bestimmen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Kurvendiskussion: Wer die Regeln kennt, sieht auf einen Blick, ob ein Graph gespiegelt, gestreckt oder verschoben wurde – ohne jeden Punkt einzeln auszurechnen. Jede Funktion hat einen „Grund-Look", zum Beispiel die einfache Parabel $f(x) = x^2$ . Die Zahlen in der Formel sind wie Regler und Schalter, mit denen du diesen Look veränderst: spiegeln, strecken, verschieben. Wer diese Regeln verinnerlicht hat, löst Transformationsaufgaben deutlich schneller und mit weniger Fehlern.

Schnellantwort

Transformationen aus einer Funktionsgleichung lassen sich direkt am Term ablesen: Ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion erzeugt eine Spiegelung an der x-Achse, ein Minuszeichen nur beim $x$ eine Spiegelung an der y-Achse. Ein Faktor $a$ vor der Funktion streckt oder staucht den Graphen vertikal, und ein Term $(x - c)$ innerhalb der Funktion verschiebt den Graphen horizontal.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Grundfunktionen: Das sind die einfachsten Versionen eines Funktionstyps, sozusagen die „Blaupausen".
- Beispiel: $f(x) = x^2$ (Normalparabel), $g(x) = \sin(x)$ (Sinuskurve), $h(x) = 2^x$ (Exponentialfunktion).
Koordinatensystem: Besteht aus einer horizontalen x-Achse (links/rechts) und einer vertikalen y-Achse (oben/unten).
- Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ liegt 3 Einheiten rechts und 4 Einheiten oben vom Ursprung $(0|0)$ .
Funktionswerte: Der y-Wert, den man erhält, wenn man einen x-Wert in eine Funktion einsetzt.
- Beispiel: Für $f(x) = x^2$ ist der Funktionswert an der Stelle $x=3$ gleich $f(3) = 3^2 = 9$ .

Aufgabentyp 1: Spiegelung an den Koordinatenachsen am Term ablesen

Manchmal wird ein Funktionsgraph einfach nur umgeklappt. Das nennt man Spiegelung. Es gibt zwei Grundtypen, die du direkt am Funktionsterm erkennen kannst.

1. Spiegelung an der x-Achse Der Graph wird nach oben/unten geklappt. Das passiert, wenn die gesamte Funktion mit $-1$ multipliziert wird.

Regel: Aus $g(x)$ wird $-g(x)$ .
Beispiel: Aus $g(x) = x^2$ wird $f(x) = -x^2$ . Jeder positive y-Wert wird negativ.

2. Spiegelung an der y-Achse Der Graph wird nach links/rechts geklappt. Das passiert, wenn jedes $x$ in der Funktion durch $-x$ ersetzt wird.

Regel: Aus $g(x)$ wird $g(-x)$ .
Beispiel: Aus $g(x) = (x-2)^2$ wird $f(x) = (-x-2)^2$ . Der Scheitelpunkt springt von $(2|0)$ zu $(-2|0)$ .

Spiegelung der verschobenen Parabel an der y-Achse

Spezialfall: Symmetrische Funktionen

Achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion): Eine Spiegelung an der y-Achse ändert nichts! Z.B. bei $g(x) = \cos(x)$ , denn $\cos(-x) = \cos(x)$ .
Punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion): Eine Spiegelung an der y-Achse bewirkt dasselbe wie eine Spiegelung an der x-Achse! Z.B. bei $g(x) = x^3$ , denn $(-x)^3 = -x^3$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Teste auf Spiegelung an der x-Achse: Berechne $-g(x)$ und vergleiche mit $f(x)$ .
Teste auf Spiegelung an der y-Achse: Berechne $g(-x)$ und vergleiche mit $f(x)$ .
Formuliere das Ergebnis: Notiere, welche Spiegelung(en) vorliegen. Wenn beide Tests zum Ziel führen, erwähne die Punktsymmetrie. Wenn die y-Spiegelung den Graphen nicht verändert, erwähne die Achsensymmetrie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph von $f(x) = -x^4$ aus dem Graphen von $g(x) = x^4$ durch Spiegelung hervorgeht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Test auf Spiegelung an der x-Achse
Wir berechnen $-g(x)$ :

$-g(x) = -(x^4) = -x^4$

Das Ergebnis ist genau $f(x)$ . Also liegt eine Spiegelung an der x-Achse vor.
Schritt 2
Test auf Spiegelung an der y-Achse
Wir berechnen $g(-x)$ :

$g(-x) = (-x)^4 = x^4$

Das Ergebnis ist $g(x)$ , aber nicht $f(x)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)$ durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.

Ergebnis:

Der Graph von $f(x) = -x^4$ entsteht durch Spiegelung von $g(x) = x^4$ an der x-Achse.

Beispiel 2

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph von $f(x) = \sqrt{-x}$ aus dem Graphen von $g(x) = \sqrt{x}$ durch Spiegelung hervorgeht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Test auf Spiegelung an der x-Achse
Wir berechnen $-g(x)$ :

$-g(x) = -\sqrt{x}$

Das ist nicht dasselbe wie $f(x) = \sqrt{-x}$ .
Schritt 2
Test auf Spiegelung an der y-Achse
Wir berechnen $g(-x)$ :

$g(-x) = \sqrt{-x}$

Das Ergebnis ist genau $f(x)$ . Also liegt eine Spiegelung an der y-Achse vor.
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)$ durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.

Ergebnis:

Der Graph von $f(x) = \sqrt{-x}$ entsteht durch Spiegelung von $g(x) = \sqrt{x}$ an der y-Achse.

Beispiel 3

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph von $f(x) = -x^3 + 2x$ aus dem Graphen von $g(x) = x^3 - 2x$ durch Spiegelung hervorgeht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Test auf Spiegelung an der x-Achse
Wir berechnen $-g(x)$ :

$-g(x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x$

Das Ergebnis ist genau $f(x)$ . Es liegt also eine Spiegelung an der x-Achse vor.
Schritt 2
Test auf Spiegelung an der y-Achse
Wir berechnen $g(-x)$ :

$g(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x$

Dieses Ergebnis ist ebenfalls genau $f(x)$ . Es liegt also auch eine Spiegelung an der y-Achse vor.
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)$ sowohl durch eine Spiegelung an der x-Achse als auch durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor. Das liegt daran, dass die Grundfunktion $g(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Ergebnis:

Beide Spiegelungen erzeugen denselben Graphen, weil $g(x) = x^3 - 2x$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Beispiel 4

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph von $h(x) = \cos(-x)$ aus dem Graphen von $g(x) = \cos(x)$ durch Spiegelung hervorgeht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Test auf Spiegelung an der x-Achse
Wir berechnen $-g(x)$ :

$-g(x) = -\cos(x)$

Das ist nicht dasselbe wie $h(x) = \cos(-x)$ .
Schritt 2
Test auf Spiegelung an der y-Achse
Wir berechnen $g(-x)$ :

$g(-x) = \cos(-x)$

Das Ergebnis ist genau $h(x)$ . Es liegt also eine Spiegelung an der y-Achse vor. Da aber für die Kosinusfunktion $\cos(-x) = \cos(x)$ gilt, ist $h(x)$ identisch mit $g(x)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Graph von $h(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)$ durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor. Da die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, verändert diese Spiegelung den Graphen nicht.

Ergebnis:

Die Spiegelung an der y-Achse lässt den Graphen des Kosinus unverändert – er ist achsensymmetrisch.

Beispiel 5

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph von $f(x) = -\frac{1}{x}$ aus dem Graphen von $g(x) = \frac{1}{x}$ durch Spiegelung hervorgeht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Test auf Spiegelung an der x-Achse
Wir berechnen $-g(x)$ :

$-g(x) = -\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x}$

Das Ergebnis ist genau $f(x)$ . Es liegt eine Spiegelung an der x-Achse vor.
Schritt 2
Test auf Spiegelung an der y-Achse
Wir berechnen $g(-x)$ :

$g(-x) = \frac{1}{(-x)} = -\frac{1}{x}$

Dieses Ergebnis ist ebenfalls genau $f(x)$ . Es liegt auch eine Spiegelung an der y-Achse vor.
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)$ sowohl durch eine Spiegelung an der x-Achse als auch durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor. Die Funktion $g(x) = \frac{1}{x}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ergebnis:

Beide Spiegelungen liefern denselben Graphen, weil $g(x) = \frac{1}{x}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Aufgabentyp 2: Kombinierte Verschiebung, Streckung und Spiegelung am Term ablesen

Funktionen können auf mehrere Arten gleichzeitig verändert werden. Wir schauen uns die Form $f(x) = a \cdot g(x - c)$ an, um die Transformationen zu entschlüsseln.

1. Der Faktor $a$ (außerhalb der Grundfunktion) Dieser Faktor ist für die vertikale Form des Graphen zuständig.

Spiegelung an der x-Achse: Wenn $a$ negativ ist (z.B. $a = -2$ ), wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.
Streckung/Stauchung in y-Richtung: Der Betrag von $a$ $a$ , also $|a|$ $∣ a ∣$ , streckt oder staucht den Graphen.
- Wenn $|a| > 1$ (z.B. $a=3$ oder $a=-3$ ), wird der Graph gestreckt (steiler).
- Wenn $0 < |a| < 1$ (z.B. $a=0.5$ oder $a=-0.5$ ), wird der Graph gestaucht (flacher).

2. Der Wert $c$ (innerhalb der Grundfunktion) Dieser Wert ist für die horizontale Verschiebung zuständig.

Verschiebung in x-Richtung: Der Term $(x - c)$ $(x - c)$ verschiebt den Graphen.
- Steht da $(x - 3)$ , wird der Graph um $3$ nach rechts verschoben.
- Steht da $(x + 2)$ , was dasselbe ist wie $(x - (-2))$ , wird der Graph um $2$ nach links verschoben.

Wichtige Reihenfolge: Man beschreibt die Transformationen am besten in dieser Reihenfolge: 1. Spiegelung, 2. Streckung/Stauchung, 3. Verschiebung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Grundfunktion identifizieren: Finde die einfachste Form der Funktion – was ist die „Blaupause"? (z.B. $x^2$ , $\sin(x)$ , $2^x$ )
Faktor $a$ analysieren: Schau dir die Zahl an, die vor der Grundfunktion multipliziert wird. Ist sie negativ → Spiegelung an der x-Achse. Betrag größer als 1 → Streckung. Betrag zwischen 0 und 1 → Stauchung.
Term in der Klammer analysieren: Steht dort $(x - c)$ → Verschiebung um $c$ nach rechts. Steht dort $(x + c)$ → Verschiebung um $c$ nach links.
Alle Transformationen zusammenfassen: Fasse deine Notizen in der Reihenfolge Spiegelung, Streckung, Verschiebung zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $f(x) = 3 \cdot \sin(x - \pi)$ aus dem Graphen der Grundfunktion $g(x) = \sin(x)$ hervorgeht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfunktion identifizieren
Die Grundfunktion ist $g(x) = \sin(x)$ .
2
Schritt 2
Faktor $a$ analysieren
Der Faktor vor der Sinusfunktion ist $a=3$ .
- Das Vorzeichen ist positiv $\to$ keine Spiegelung.
- Der Betrag ist $|3| = 3$ , was größer als 1 ist $\to$ Streckung in y-Richtung um den Faktor 3.
3
Schritt 3
Term in der Klammer analysieren
Innerhalb der Funktion steht $(x - \pi)$ .
- Das bedeutet eine Verschiebung um $\pi$ Einheiten nach rechts.
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Transformationen zusammenfassen
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)=\sin(x)$ hervor, indem man ihn in y-Richtung um den Faktor 3 streckt und anschließend um $\pi$ Einheiten nach rechts verschiebt.

Ergebnis:

Streckung in y-Richtung um Faktor 3, danach Verschiebung um $\pi$ nach rechts.

Beispiel 2

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $g(x) = -2 \cdot 2^{x-1}$ aus dem Graphen der Grundfunktion $h(x) = 2^x$ hervorgeht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfunktion identifizieren
Die Grundfunktion ist $h(x) = 2^x$ .
2
Schritt 2
Faktor $a$ analysieren
Der Faktor vor der Potenz ist $a=-2$ .
- Das Vorzeichen ist negativ $\to$ Spiegelung an der x-Achse.
- Der Betrag ist $|-2| = 2$ , was größer als 1 ist $\to$ Streckung in y-Richtung um den Faktor 2.
3
Schritt 3
Term im Exponenten analysieren
Im Exponenten steht $(x - 1)$ .
- Das bedeutet eine Verschiebung um $1$ Einheit nach rechts.
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Transformationen zusammenfassen
Der Graph von $g(x)$ geht aus dem Graphen von $h(x)=2^x$ hervor, indem man ihn an der x-Achse spiegelt, in y-Richtung um den Faktor 2 streckt und anschließend um 1 Einheit nach rechts verschiebt.

Ergebnis:

Spiegelung an der x-Achse, Streckung um Faktor 2 in y-Richtung, Verschiebung um 1 nach rechts.

Beispiel 3

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $f(x) = 0.5(x+3)^2$ aus dem Graphen der Grundfunktion $g(x) = x^2$ hervorgeht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfunktion identifizieren
Die Grundfunktion ist die Normalparabel $g(x) = x^2$ .
2
Schritt 2
Faktor $a$ analysieren
Der Faktor vor der Klammer ist $a=0.5$ .
- Das Vorzeichen ist positiv $\to$ keine Spiegelung.
- Der Betrag ist $|0.5| = 0.5$ , was zwischen 0 und 1 liegt $\to$ Stauchung in y-Richtung um den Faktor 0.5.
3
Schritt 3
Term in der Klammer analysieren
Innerhalb der Funktion steht $(x + 3)$ , was wir als $(x - (-3))$ lesen.
- Das bedeutet eine Verschiebung um $3$ Einheiten nach links.
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Transformationen zusammenfassen
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)=x^2$ hervor, indem man ihn in y-Richtung um den Faktor 0.5 staucht (also flacher macht) und anschließend um 3 Einheiten nach links verschiebt.

Ergebnis:

Stauchung in y-Richtung um Faktor 0,5, danach Verschiebung um 3 nach links.

Beispiel 4

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $f(x) = -\sqrt{x-4}$ aus dem Graphen der Grundfunktion $g(x) = \sqrt{x}$ hervorgeht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfunktion identifizieren
Die Grundfunktion ist die Wurzelfunktion $g(x) = \sqrt{x}$ .
2
Schritt 2
Faktor $a$ analysieren
Der Faktor vor der Wurzel ist $a=-1$ .
- Das Vorzeichen ist negativ $\to$ Spiegelung an der x-Achse.
- Der Betrag ist $|-1| = 1$ , also keine Streckung oder Stauchung.
3
Schritt 3
Term unter der Wurzel analysieren
Unter der Wurzel steht $(x - 4)$ .
- Das bedeutet eine Verschiebung um $4$ Einheiten nach rechts.
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Transformationen zusammenfassen
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)=\sqrt{x}$ hervor, indem man ihn an der x-Achse spiegelt und anschließend um 4 Einheiten nach rechts verschiebt.

Ergebnis:

Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts.

Beispiel 5

Aufgabe

Beschreibe, wie der Graph der Funktion $f(x) = 4\cos(x+\frac{\pi}{2})$ aus dem Graphen der Grundfunktion $g(x) = \cos(x)$ hervorgeht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfunktion identifizieren
Die Grundfunktion ist $g(x) = \cos(x)$ .
2
Schritt 2
Faktor $a$ analysieren
Der Faktor vor dem Kosinus ist $a=4$ .
- Das Vorzeichen ist positiv $\to$ keine Spiegelung.
- Der Betrag ist $|4| = 4$ , was größer als 1 ist $\to$ Streckung in y-Richtung um den Faktor 4.
3
Schritt 3
Term in der Klammer analysieren
Innerhalb der Funktion steht $(x + \frac{\pi}{2})$ .
- Das bedeutet eine Verschiebung um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten nach links.
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Transformationen zusammenfassen
Der Graph von $f(x)$ geht aus dem Graphen von $g(x)=\cos(x)$ hervor, indem man ihn in y-Richtung um den Faktor 4 streckt und anschließend um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten nach links verschiebt.

Ergebnis:

Streckung in y-Richtung um Faktor 4, danach Verschiebung um $\frac{\pi}{2}$ nach links.

Wichtige Erkenntnisse

Spiegelung an der x-Achse: Ein Minus vor der ganzen Funktion ( $-f(x)$ ).
Spiegelung an der y-Achse: Ein Minus nur beim x in der Funktion ( $f(-x)$ ).
Streckung/Stauchung (y-Richtung): Ein Faktor $a$ vor der Funktion ( $a \cdot f(x)$ ). $|a| > 1$ : Streckung (steiler). $0 < |a| < 1$ : Stauchung (flacher).
Verschiebung (x-Richtung): Eine Zahl, die vom $x$ in der Funktion abgezogen wird ( $f(x-c)$ ). $f(x - 3)$ : Verschiebung um 3 nach rechts. $f(x + 3)$ : Verschiebung um 3 nach links.

Transformationen aus Funktionsgleichung: Spiegelung & mehr

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Spiegelung an den Koordinatenachsen am Term ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Kombinierte Verschiebung, Streckung und Spiegelung am Term ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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