Was sind Funktionstransformationen mit Spiegelung?

Funktionstransformationen mit Spiegelung sind Rechenregeln, mit denen du den Graphen einer Funktion an einer Achse spiegeln, verschieben oder strecken kannst – ohne die Funktion neu zu berechnen. Die Spiegelung ist dabei eine der grundlegenden Transformationen: Sie klappt den Graphen an der x-Achse oder der y-Achse um. Diese Techniken sind zentral in der Oberstufen-Mathematik und helfen dir, komplexe Graphen schnell zu beschreiben und anzupassen.

Wie spiegelst du eine Funktion an der x-Achse?

Um eine Funktion an der x-Achse zu spiegeln , setzt du ein Minuszeichen vor den gesamten Funktionsterm: g(x) = −f(x) . Damit wird jeder y-Wert zum Gegenteil – positive Werte werden negativ und umgekehrt. Beispiel: Aus f(x) = x² − 1 wird g(x) = −x² + 1 . Vergiss nicht, eine Klammer um den gesamten ursprünglichen Term zu setzen, bevor du das Minus davorschreibst.

Wie spiegelst du eine Funktion an der y-Achse?

Um eine Funktion an der y-Achse zu spiegeln , ersetzt du jedes x im Funktionsterm durch (−x) : h(x) = f(−x) . Dabei ist es wichtig, immer Klammern um −x zu setzen. Anschließend vereinfachst du den Term so weit wie möglich, zum Beispiel mit der Regel (−x)² = x² . Beispiel: Aus f(x) = (x−2)² wird h(x) = (x+2)² .

Warum ist die Reihenfolge bei kombinierten Transformationen entscheidend?

Die Reihenfolge ist entscheidend , weil jede Transformation auf das Ergebnis der vorherigen aufbaut. Wenn du zum Beispiel erst streckst und dann verschiebst, bleibt die Verschiebung unverändert. Verschiebst du aber zuerst und streckst danach, wird die Verschiebung mitgestreckt – das Ergebnis ist ein anderer Funktionsterm. Arbeite deshalb immer Schritt für Schritt in der vorgegebenen Reihenfolge und schreibe jeden Zwischenschritt sauber auf.

Was ist der Unterschied zwischen Spiegelung an der x-Achse und an der y-Achse?

Bei der Spiegelung an der x-Achse werden alle y-Werte umgekehrt: g(x) = −f(x) . Der Graph wird nach oben oder unten geklappt. Bei der Spiegelung an der y-Achse werden alle x-Werte umgekehrt: h(x) = f(−x) . Der Graph wird nach links oder rechts gespiegelt. Kurz: x-Achse betrifft die y-Werte, y-Achse betrifft die x-Werte.

Funktionsterme anpassen mit Spiegelung

Stell dir vor, du designst ein Videospiel und hast die perfekte Flugbahn für einen Feuerball als Funktion programmiert. Was aber, wenn der Gegner den Feuerball zurückwirft? Musst du alles neu berechnen? Nein! Mit Funktions-Transformationen hast du einen echten „Cheat Code". Du kannst die ursprüngliche Funktion einfach spiegeln, verschieben oder strecken, um die neue Flugbahn zu bekommen – ganz ohne komplizierte Neuberechnung. Das ist wie Photoshop für Graphen: Du nimmst ein Objekt (deine Funktion) und wendest Filter (Transformationen) an. Das spart nicht nur Zeit, sondern gibt dir auch die Macht, komplexe Zusammenhänge blitzschnell zu verstehen und zu verändern. In diesem Artikel lernst du, wie du Funktionsterme anpassen – mit Spiegelung – Schritt für Schritt meisterst.

Vorwissen

Bevor wir Graphen spiegeln, wiederholen wir kurz das Verschieben und Strecken:

Verschiebung in y-Richtung: Hänge eine Zahl an den ganzen Term an.
- Formel: $g(x) = f(x) + d$
- Beispiel: $f(x) = x^2$ wird um $3$ nach oben verschoben zu $g(x) = x^2 + 3$ .
Verschiebung in x-Richtung: Ersetze jedes $x$ durch $(x-c)$ . Achtung bei den Vorzeichen!
- Formel: $g(x) = f(x-c)$
- Beispiel: $f(x) = x^2$ wird um $2$ nach rechts verschoben zu $g(x) = (x-2)^2$ .
Streckung in y-Richtung: Multipliziere den ganzen Term mit einem Faktor.
- Formel: $g(x) = a \cdot f(x)$
- Beispiel: $f(x) = x^2$ wird mit dem Faktor $2$ gestreckt zu $g(x) = 2x^2$ .
Streckung in x-Richtung: Ersetze jedes $x$ durch $(\frac{1}{b} \cdot x)$ .
- Formel: $g(x) = f(\frac{1}{b} \cdot x)$
- Beispiel: $f(x) = x^2$ wird mit dem Faktor $2$ in x-Richtung gestreckt zu $g(x) = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$ .

Aufgabentyp 1: Spiegeln des Terms an den Koordinatenachsen

Einen Funktionsgraphen zu spiegeln bedeutet, ihn an einer Achse wie an einem Spiegel zu „klappen". Dafür gibt es zwei einfache Regeln, die du direkt auf den Funktionsterm anwenden kannst.

1. Spiegelung an der x-Achse

Um einen Graphen an der x-Achse zu spiegeln, wird jeder y-Wert zum Gegenteil (aus 3 wird -3, aus -5 wird 5). Das erreichst du, indem du ein Minuszeichen vor den gesamten Funktionsterm setzt.

Regel: $g(x) = -f(x)$

Beispiel: Die Funktion $f(x) = x^2 - 1$ wird gespiegelt zu: $g(x) = -(x^2 - 1)$ $g(x) = -x^2 + 1$

2. Spiegelung an der y-Achse

Um einen Graphen an der y-Achse zu spiegeln, ersetzt du jedes $x$ im Funktionsterm durch $(-x)$ . Es ist sehr wichtig, dabei Klammern zu verwenden!

Regel: $h(x) = f(-x)$

Beispiel: Die Funktion $f(x) = (x-2)^2$ wird gespiegelt zu: $h(x) = ((-x)-2)^2$ $h(x) = (-(x+2))^2$ $h(x) = (x+2)^2$

Spiegelung eines Funktionsgraphen an x- und y-Achse

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Ziel-Transformation: Lies die Aufgabenstellung genau – soll an der x-Achse oder an der y-Achse gespiegelt werden?
Wähle die passende Regel: Für x-Achse: $g(x) = -f(x)$ . Für y-Achse: $h(x) = f(-x)$ .
Wende die Regel auf den Term an: Bei $-f(x)$ : Klammer um den gesamten Term, Minus davor. Bei $f(-x)$ : Ersetze jedes $x$ durch $(-x)$ mit Klammer.
Vereinfache den Term: Löse Klammern auf, beachte Vorzeichenregeln wie $(-x)^2 = x^2$ oder $\cos(-x) = \cos(x)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^3 - 5x + 2$ . Bestimme die Funktionsterme für $g(x)$ (Spiegelung an der x-Achse) und $h(x)$ (Spiegelung an der y-Achse).

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1 & 2
Spiegelung an der x-Achse ($g(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $g(x) = -f(x)$ .
Schritt 3
Minus vor den gesamten Term setzen
$g(x) = -(3x^3 - 5x + 2)$
Schritt 4
Klammer auflösen
$g(x) = -3x^3 + 5x - 2$
Schritt 1 & 2
Spiegelung an der y-Achse ($h(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $h(x) = f(-x)$ .
Schritt 3
Jedes $x$ durch $(-x)$ ersetzen
$h(x) = 3(-x)^3 - 5(-x) + 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Term vereinfachen – beachte $(-x)^3 = -x^3$
$h(x) = 3(-x^3) - 5(-x) + 2$ $h(x) = -3x^3 + 5x + 2$

Ergebnis:

$g(x) = -3x^3 + 5x - 2$ und $h(x) = -3x^3 + 5x + 2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Bestimme die Funktionsterme für $g(x)$ (Spiegelung an der x-Achse) und $h(x)$ (Spiegelung an der y-Achse).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Spiegelung an der x-Achse ($g(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $g(x) = -f(x)$ .
Schritt 3 & 4
Minus vor den gesamten Term setzen und vereinfachen
$g(x) = -(4 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{2}))$ $g(x) = -4 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{2})$
Schritt 1 & 2
Spiegelung an der y-Achse ($h(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $h(x) = f(-x)$ .
Schritt 3
$x$ durch $(-x)$ ersetzen
$h(x) = 4 \cdot \sin((-x) - \frac{\pi}{2})$
Schritt 4 · Ergebnis
Vereinfachen – ein Minus aus der Klammer im Sinus ausklammern: $-(x + \frac{\pi}{2})$
$h(x) = 4 \cdot \sin(-(x + \frac{\pi}{2}))$

Da $\sin(-a) = -\sin(a)$ gilt: $h(x) = -4 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{2})$

Ergebnis:

$g(x) = -4 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{2})$ und $h(x) = -4 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{2})$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{3x}{x-4}$ . Bestimme die Funktionsterme für $g(x)$ (Spiegelung an der x-Achse) und $h(x)$ (Spiegelung an der y-Achse).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Spiegelung an der x-Achse ($g(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $g(x) = -f(x)$ .
Schritt 3 & 4
Minus vor den Bruch setzen
$g(x) = -\frac{3x}{x-4}$

Man kann das Minus auch in den Zähler ziehen: $g(x) = \frac{-3x}{x-4}$
Schritt 1 & 2
Spiegelung an der y-Achse ($h(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $h(x) = f(-x)$ .
Schritt 3
Jedes $x$ durch $(-x)$ ersetzen
$h(x) = \frac{3(-x)}{(-x)-4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term vereinfachen
$h(x) = \frac{-3x}{-x-4}$

Um die Doppel-Minuszeichen im Nenner zu entfernen, können wir Zähler und Nenner mit $(-1)$ multiplizieren: $h(x) = \frac{-3x \cdot (-1)}{(-x-4) \cdot (-1)} = \frac{3x}{x+4}$

Ergebnis:

$g(x) = \frac{-3x}{x-4}$ und $h(x) = \frac{3x}{x+4}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 5 \cdot e^{2x+1}$ . Bestimme die Funktionsterme für $g(x)$ (Spiegelung an der x-Achse) und $h(x)$ (Spiegelung an der y-Achse).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Spiegelung an der x-Achse ($g(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $g(x) = -f(x)$ .
Schritt 3 & 4
Minus vor den gesamten Term setzen und vereinfachen
$g(x) = -(5 \cdot e^{2x+1})$ $g(x) = -5 \cdot e^{2x+1}$
Schritt 1 & 2
Spiegelung an der y-Achse ($h(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $h(x) = f(-x)$ .
Schritt 3
$x$ im Exponenten durch $(-x)$ ersetzen
$h(x) = 5 \cdot e^{2(-x)+1}$
Schritt 4 · Ergebnis
Exponenten vereinfachen
$h(x) = 5 \cdot e^{-2x+1}$

Ergebnis:

$g(x) = -5 \cdot e^{2x+1}$ und $h(x) = 5 \cdot e^{-2x+1}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = (x+3)(x-1)$ . Bestimme die Funktionsterme für $g(x)$ (Spiegelung an der x-Achse) und $h(x)$ (Spiegelung an der y-Achse).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Spiegelung an der x-Achse ($g(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $g(x) = -f(x)$ .
Schritt 3 & 4
Minus vor das Produkt setzen
$g(x) = -((x+3)(x-1))$ $g(x) = -(x+3)(x-1)$
Schritt 1 & 2
Spiegelung an der y-Achse ($h(x)$) – Regel auswählen
Wir verwenden die Regel $h(x) = f(-x)$ .
Schritt 3
Jedes $x$ durch $(-x)$ ersetzen
$h(x) = ((-x)+3)((-x)-1)$
Schritt 4 · Ergebnis
Term vereinfachen
$h(x) = (-x+3)(-x-1)$

Man kann aus beiden Klammern $(-1)$ ausklammern: $h(x) = [(-1)(x-3)] \cdot [(-1)(x+1)]$ $h(x) = (-1) \cdot (-1) \cdot (x-3)(x+1)$ $h(x) = (x-3)(x+1)$

Ergebnis:

$g(x) = -(x+3)(x-1)$ und $h(x) = (x-3)(x+1)$ .

Aufgabentyp 2: Spiegeln, Verschieben und Strecken kombinieren

Wenn mehrere Transformationen nacheinander ausgeführt werden, ist die Reihenfolge entscheidend. Du musst die Anweisungen Schritt für Schritt abarbeiten, wie in einem Rezept.

Das Grundprinzip lautet: Du nimmst die Ausgangsfunktion, wendest die erste Transformation an und erhältst eine Zwischenfunktion. Dann nimmst du diese Zwischenfunktion und wendest die zweite Transformation darauf an, und so weiter.

Beispiel: $f(x) = x^2$ soll...

an der x-Achse gespiegelt und
dann um 3 nach oben verschoben werden.

Schritt 1: Spiegelung an der x-Achse Wir wenden $g(x) = -f(x)$ an. $f_1(x) = -(x^2) = -x^2$

Schritt 2: Verschiebung nach oben Jetzt nehmen wir das Ergebnis aus Schritt 1, also $f_1(x)$ , und verschieben es. $g(x) = f_1(x) + 3$ $g(x) = -x^2 + 3$

Das Endergebnis ist $g(x) = -x^2 + 3$ . Wenn man die Reihenfolge vertauscht, kommt ein anderes Ergebnis heraus!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Transformations-Liste erstellen: Lies die Aufgabe und schreibe die Transformationen in der richtigen Reihenfolge untereinander auf.
Erste Transformation anwenden: Nimm die ursprüngliche Funktion $f(x)$ und wende die erste Transformation an. Nenne das Ergebnis $f_1(x)$ .
Nächste Transformation anwenden: Nimm $f_1(x)$ und wende die zweite Transformation darauf an. Das neue Ergebnis nennst du $f_2(x)$ .
Wiederholen bis alle Transformationen erledigt sind: Fahre so fort, bis alle Transformationen abgearbeitet sind. Die letzte Funktion ist dein Endergebnis $g(x)$ .

Wichtiger Tipp: Nach jedem Schritt den neuen Term sauber aufschreiben. Das verhindert Fehler und macht den Lösungsweg nachvollziehbar.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ wird an der x-Achse gespiegelt und anschließend um 4 nach unten verschoben. Bestimme den Term der neuen Funktion $g(x)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Transformations-Liste
1. An der x-Achse spiegeln.
2. Um 4 nach unten verschieben.
Schritt 2
Erste Transformation (Spiegelung)
Wir nehmen $f(x) = x^3$ und wenden die Regel $-f(x)$ an. $f_1(x) = -(x^3) = -x^3$
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Transformation (Verschiebung)
Wir nehmen das Ergebnis $f_1(x) = -x^3$ und verschieben es um 4 nach unten (also $-4$ an den Term anhängen). $g(x) = f_1(x) - 4$ $g(x) = -x^3 - 4$

Ergebnis:

Der finale Funktionsterm lautet $g(x) = -x^3 - 4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ wird um 2 nach links verschoben und anschließend an der y-Achse gespiegelt. Bestimme den Term der neuen Funktion $g(x)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Transformations-Liste
1. Um 2 nach links verschieben.
2. An der y-Achse spiegeln.
Schritt 2
Erste Transformation (Verschiebung)
Wir nehmen $f(x) = \sqrt{x}$ und verschieben nach links, indem wir $x$ durch $(x+2)$ ersetzen. $f_1(x) = \sqrt{x + 2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Transformation (Spiegelung)
Wir nehmen das Ergebnis $f_1(x)$ und spiegeln es an der y-Achse, indem wir $x$ durch $(-x)$ ersetzen. $g(x) = f_1(-x)$ $g(x) = \sqrt{(-x) + 2}$

Ergebnis:

Der finale Funktionsterm lautet $g(x) = \sqrt{-x + 2}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = 2^x$ wird in y-Richtung mit Faktor 3 gestreckt, dann an der x-Achse gespiegelt und schließlich um 1 nach rechts verschoben. Bestimme den Term der neuen Funktion $g(x)$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Transformations-Liste
1. Mit Faktor 3 in y-Richtung strecken.
2. An der x-Achse spiegeln.
3. Um 1 nach rechts verschieben.
Schritt 2
Erste Transformation (Streckung)
Wir nehmen $f(x) = 2^x$ und multiplizieren den Term mit 3. $f_1(x) = 3 \cdot 2^x$
Schritt 3
Zweite Transformation (Spiegelung)
Wir nehmen $f_1(x)$ und setzen ein Minus davor. $f_2(x) = -(f_1(x)) = -(3 \cdot 2^x) = -3 \cdot 2^x$
Schritt 4 · Ergebnis
Dritte Transformation (Verschiebung)
Wir nehmen $f_2(x)$ und ersetzen $x$ durch $(x-1)$ . $g(x) = f_2(x-1)$ $g(x) = -3 \cdot 2^{(x-1)}$

Ergebnis:

Der finale Funktionsterm lautet $g(x) = -3 \cdot 2^{x-1}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ wird an der y-Achse gespiegelt und anschließend um 5 nach oben verschoben. Bestimme den Term der neuen Funktion $g(x)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Transformations-Liste
1. An der y-Achse spiegeln.
2. Um 5 nach oben verschieben.
Schritt 2
Erste Transformation (Spiegelung)
Wir nehmen $f(x) = \frac{1}{x}$ und ersetzen $x$ durch $(-x)$ . $f_1(x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Transformation (Verschiebung)
Wir nehmen das Ergebnis $f_1(x) = -\frac{1}{x}$ und addieren 5. $g(x) = f_1(x) + 5$ $g(x) = -\frac{1}{x} + 5$

Ergebnis:

Der finale Funktionsterm lautet $g(x) = -\frac{1}{x} + 5$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = \cos(x)$ wird um $\pi$ nach rechts verschoben und danach an der x-Achse gespiegelt. Bestimme den Term der neuen Funktion $g(x)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Transformations-Liste
1. Um $\pi$ nach rechts verschieben.
2. An der x-Achse spiegeln.
Schritt 2
Erste Transformation (Verschiebung)
Wir nehmen $f(x) = \cos(x)$ und ersetzen $x$ durch $(x-\pi)$ . $f_1(x) = \cos(x - \pi)$
Schritt 3 · Ergebnis
Zweite Transformation (Spiegelung)
Wir nehmen das Ergebnis $f_1(x)$ und setzen ein Minus vor den gesamten Term. $g(x) = -(f_1(x))$ $g(x) = -\cos(x - \pi)$

Ergebnis:

Der finale Funktionsterm lautet $g(x) = -\cos(x - \pi)$ .

Aufgabentyp 3: Die Reihenfolge von Transformationen ist wichtig

Stell dir vor, du ziehst erst deine Socken an und dann deine Schuhe. Das funktioniert. Was passiert, wenn du die Reihenfolge tauschst? Es klappt nicht. In der Mathematik ist es bei Funktionstransformationen oft genauso: Die Reihenfolge ist entscheidend und führt zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Betrachten wir ein einfaches Beispiel mit $f(x) = x$ .

Fall A: Erst strecken, dann verschieben

Strecken mit Faktor 2: $f_1(x) = 2 \cdot x$
Verschieben um 3 nach oben: $g(x) = f_1(x) + 3 = 2x + 3$

Fall B: Erst verschieben, dann strecken

Verschieben um 3 nach oben: $f_1(x) = x + 3$
Strecken mit Faktor 2: $h(x) = 2 \cdot f_1(x) = 2 \cdot (x + 3) = 2x + 6$

Ergebnis: $g(x) = 2x + 3$ $h(x) = 2x + 6$

Die Funktionsterme sind unterschiedlich! Der Grund: Im Fall B wird die Verschiebung $(+3)$ ebenfalls mit dem Faktor 2 gestreckt, was zu $(+6)$ führt. Im Fall A wird erst gestreckt und die Verschiebung $(+3)$ wird danach unverändert hinzugefügt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ausgangsfunktion und Transformationen notieren: Schreibe $f(x)$ auf. Notiere die beiden Transformations-Reihenfolgen (z.B. Fall A und Fall B) klar getrennt voneinander.
Term für Fall A herleiten: Führe die Transformationen für Fall A Schritt für Schritt durch. Wende die erste Transformation auf $f(x)$ an $\to$ erhalte $f_1(x)$ . Wende die zweite Transformation auf $f_1(x)$ an $\to$ erhalte $g(x)$ .
Term für Fall B herleiten: Führe die Transformationen für Fall B Schritt für Schritt durch. Wende die erste Transformation (aus Fall B) auf $f(x)$ an $\to$ erhalte $f_1(x)$ . Wende die zweite Transformation auf $f_1(x)$ an $\to$ erhalte $h(x)$ .
Ergebnisse vergleichen und begründen: Stelle fest, ob $g(x)$ und $h(x)$ identisch sind oder nicht, und erkläre kurz, warum sie sich unterscheiden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = x^2$ . Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Transformations-Reihenfolgen:

A: Erst um 3 nach rechts verschieben, dann an der y-Achse spiegeln. B: Erst an der y-Achse spiegeln, dann um 3 nach rechts verschieben.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 2
Fall A (Verschieben $\to$ Spiegeln)
1. Verschieben um 3 nach rechts: $f_1(x) = (x - 3)^2$
2. Spiegeln an der y-Achse (ersetze $x$ durch $-x$ ): $g(x) = ((-x) - 3)^2 = (-x-3)^2 = (x+3)^2$
2
Schritt 3
Fall B (Spiegeln $\to$ Verschieben)
1. Spiegeln an der y-Achse: $f_1(x) = (-x)^2 = x^2$
2. Verschieben um 3 nach rechts (ersetze $x$ durch $x-3$ ): $h(x) = (x - 3)^2$
3
Schritt 4 · Ergebnis
Vergleich
- $g(x) = (x+3)^2$
- $h(x) = (x-3)^2$

Ergebnis:

Die Terme sind unterschiedlich. Die Reihenfolge ist entscheidend. Im Fall B hat die Spiegelung bei $f(x)=x^2$ keine sichtbare Auswirkung, da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Daher wirkt nur die Verschiebung.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = \sin(x)$ . Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Transformations-Reihenfolgen:

A: Erst in y-Richtung mit Faktor 2 strecken, dann um 1 nach oben verschieben. B: Erst um 1 nach oben verschieben, dann in y-Richtung mit Faktor 2 strecken.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 2
Fall A (Strecken $\to$ Verschieben)
1. Strecken mit Faktor 2: $f_1(x) = 2 \cdot \sin(x)$
2. Verschieben um 1 nach oben: $g(x) = 2\sin(x) + 1$
2
Schritt 3
Fall B (Verschieben $\to$ Strecken)
1. Verschieben um 1 nach oben: $f_1(x) = \sin(x) + 1$
2. Strecken mit Faktor 2 (ganzen Term multiplizieren): $h(x) = 2 \cdot (\sin(x) + 1) = 2\sin(x) + 2$
3
Schritt 4 · Ergebnis
Vergleich
- $g(x) = 2\sin(x) + 1$
- $h(x) = 2\sin(x) + 2$

Ergebnis:

Die Terme sind unterschiedlich. Im Fall B wird die Verschiebung $(+1)$ mit dem Faktor 2 gestreckt, was zu einer Gesamtverschiebung von $+2$ führt.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = 2x-4$ . Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Transformations-Reihenfolgen:

A: Erst an der x-Achse spiegeln, dann um 2 nach links verschieben. B: Erst um 2 nach links verschieben, dann an der x-Achse spiegeln.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 2
Fall A (Spiegeln $\to$ Verschieben)
1. Spiegeln an der x-Achse: $f_1(x) = -(2x-4) = -2x+4$
2. Verschieben um 2 nach links (ersetze $x$ durch $x+2$ ): $g(x) = -2(x+2) + 4 = -2x - 4 + 4 = -2x$
2
Schritt 3
Fall B (Verschieben $\to$ Spiegeln)
1. Verschieben um 2 nach links: $f_1(x) = 2(x+2) - 4 = 2x+4-4 = 2x$
2. Spiegeln an der x-Achse: $h(x) = -(2x) = -2x$
3
Schritt 4 · Ergebnis
Vergleich
- $g(x) = -2x$
- $h(x) = -2x$

Ergebnis:

In diesem speziellen Fall sind die Terme identisch. Das ist eine Ausnahme und nicht die Regel! Es passiert, weil die Verschiebung in Fall B die Funktion zufällig so verändert hat, dass sie durch den Ursprung geht, bevor sie gespiegelt wird.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x}$ . Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Transformations-Reihenfolgen:

A: Erst an der y-Achse spiegeln, dann um 1 nach unten verschieben. B: Erst um 1 nach unten verschieben, dann an der y-Achse spiegeln.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 2
Fall A (Spiegeln $\to$ Verschieben)
1. Spiegeln an der y-Achse: $f_1(x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$
2. Verschieben um 1 nach unten: $g(x) = -\frac{1}{x} - 1$
2
Schritt 3
Fall B (Verschieben $\to$ Spiegeln)
1. Verschieben um 1 nach unten: $f_1(x) = \frac{1}{x} - 1$
2. Spiegeln an der y-Achse (ersetze $x$ durch $-x$ ): $h(x) = \frac{1}{-x} - 1 = -\frac{1}{x} - 1$
3
Schritt 4 · Ergebnis
Vergleich
- $g(x) = -\frac{1}{x} - 1$
- $h(x) = -\frac{1}{x} - 1$

Ergebnis:

Auch hier sind die Ergebnisse zufällig identisch. Eine Spiegelung an der y-Achse ( $x \to -x$ ) hat keinen Einfluss auf eine vertikale Verschiebung (eine Zahl, die addiert/subtrahiert wird), da diese keinen $x$ -Term enthält. Daher ist die Reihenfolge hier egal.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist $f(x) = 3^x$ . Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Transformations-Reihenfolgen:

A: Erst um 2 nach rechts verschieben, dann in y-Richtung mit Faktor 4 strecken. B: Erst in y-Richtung mit Faktor 4 strecken, dann um 2 nach rechts verschieben.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 2
Fall A (Verschieben $\to$ Strecken)
1. Verschieben um 2 nach rechts: $f_1(x) = 3^{(x-2)}$
2. Strecken mit Faktor 4: $g(x) = 4 \cdot 3^{(x-2)}$
2
Schritt 3
Fall B (Strecken $\to$ Verschieben)
1. Strecken mit Faktor 4: $f_1(x) = 4 \cdot 3^x$
2. Verschieben um 2 nach rechts (ersetze $x$ durch $x-2$ ): $h(x) = 4 \cdot 3^{(x-2)}$
3
Schritt 4 · Ergebnis
Vergleich
- $g(x) = 4 \cdot 3^{x-2}$
- $h(x) = 4 \cdot 3^{x-2}$

Ergebnis:

Die Ergebnisse sind identisch. Eine Streckung in y-Richtung (Multiplikation des gesamten Terms) und eine Verschiebung in x-Richtung (Ersetzen von $x$ ) sind voneinander unabhängige Operationen. Man sagt, sie sind „kommutativ". Das Vertauschen der Reihenfolge ändert hier nichts am Ergebnis.

Wichtige Erkenntnisse

Spiegelung an der x-Achse: Setze ein Minus vor den gesamten Funktionsterm. Formel: $g(x) = -f(x)$ .
Spiegelung an der y-Achse: Ersetze jedes $x$ im Term durch $(-x)$ . Formel: $h(x) = f(-x)$ .
Kombinierte Transformationen: Arbeite die Anweisungen Schritt für Schritt in der vorgegebenen Reihenfolge ab. Das Ergebnis eines Schrittes ist die Ausgangsbasis für den nächsten.
Die Reihenfolge ist entscheidend: Meistens führt das Vertauschen von Transformationen zu einem anderen Ergebnis. Besonders bei einer Kombination aus Streckung und Verschiebung in die gleiche Richtung (z.B. beides in y-Richtung).

Funktionsterme anpassen (mit Spiegelung) einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Spiegeln des Terms an den Koordinatenachsen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Spiegeln, Verschieben und Strecken kombinieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Die Reihenfolge von Transformationen ist wichtig

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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