Graphen transformieren mit Spiegelung einfach erklärt

Wenn du weißt, wie Spiegelungen und Verschiebungen von Graphen funktionieren, kannst du aus einer einzigen Funktion wie $f(x) = x^2$ unendlich viele neue Graphen erstellen – ohne jeden Punkt neu berechnen zu müssen. Graphen transformieren mit Spiegelung ist nicht nur ein wichtiges Thema in der Schule, sondern auch die Grundlage für Computergrafiken, Animationen und sogar Instagram-Filter. Stell dir vor, du bist Game-Designer: Statt jedes Monster einzeln neu zu zeichnen, nimmst du das Original, kopierst es, verschiebst es, spiegelst es und veränderst seine Größe. Genau das machen wir hier mit Funktionen – lass uns diesen Cheat-Code freischalten!

Schnellantwort

Eine Transformation eines Funktionsgraphen beschreibt, wie ein Graph durch Spiegelung oder Verschiebung aus einem anderen hervorgeht. Die drei wichtigsten Spiegelungen sind: Spiegelung an der x-Achse ($g(x) = -f(x)$), Spiegelung an der y-Achse ($g(x) = f(-x)$) und Spiegelung am Ursprung ($g(x) = -f(-x)$). Verschiebungen entlang der Achsen ergänzen diese Regeln und ermöglichen es dir, jeden transformierten Graphen direkt am Funktionsterm abzulesen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

• Funktionsgraph: Die sichtbare Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem. Jeder Punkt auf dem Graphen erfüllt die Funktionsgleichung.

  • Beispiel: Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

• Koordinatensystem: Ein System mit einer horizontalen x-Achse und einer vertikalen y-Achse, das uns hilft, Punkte zu verorten.

  • Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ liegt 3 Einheiten rechts und 4 Einheiten oben vom Ursprung.

• Funktionsterm: Der mathematische Ausdruck, der die Rechenvorschrift einer Funktion beschreibt.

  • Beispiel: Bei $f(x) = 2x + 5$ ist $2x + 5$ der Funktionsterm.

Aufgabentyp 1: Spiegelungen am Graphen erkennen

Wenn ein Graph gespiegelt wird, ändert sich seine Ausrichtung im Koordinatensystem. Um Spiegelungen am Graphen zu erkennen, unterscheiden wir drei Haupttypen, die man direkt am Graphen ablesen kann.

1. Spiegelung an der x-Achse Der Graph wird quasi „nach oben" oder „nach unten" geklappt. Jeder Punkt $(x|y)$ wird zu $(x|-y)$.

• Regel: $g(x) = -f(x)$
• Merkmal: Das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms ändert sich.

2. Spiegelung an der y-Achse Der Graph wird „seitlich" von links nach rechts (oder umgekehrt) geklappt. Jeder Punkt $(x|y)$ wird zu $(-x|y)$.

• Regel: $g(x) = f(-x)$
• Merkmal: Das Vorzeichen von jedem $x$ im Funktionsterm ändert sich.

3. Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) Dies ist eine Kombination aus beiden Spiegelungen. Der Graph wird diagonal durch den Ursprung geklappt. Jeder Punkt $(x|y)$ wird zu $(-x|-y)$.

• Regel: $g(x) = -f(-x)$
• Merkmal: Beide Vorzeichen (vom ganzen Term und von $x$) ändern sich.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Graphen visuell vergleichen: Schau dir den blauen Graphen ($f$) und den roten Graphen ($g$) an und beurteile, wie sich die Form verändert hat.
2. Einen markanten Punkt prüfen: Wähle einen gut ablesbaren Punkt $P(x_f | y_f)$ auf dem Graphen von $f$ und suche den entsprechenden Punkt $Q(x_g | y_g)$ auf dem Graphen von $g$.
3. Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen: Prüfe, welche Koordinaten gleich geblieben sind und welche ihr Vorzeichen gewechselt haben.
4. Antwort formulieren: Gib die Art der Spiegelung in Worten an und notiere den Funktionsterm von $g$ in Abhängigkeit von $f$.

Beim Koordinatenvergleich gilt:

• Wenn $x_g = x_f$ und $y_g = -y_f$ → Spiegelung an der x-Achse: $g(x) = -f(x)$
• Wenn $x_g = -x_f$ und $y_g = y_f$ → Spiegelung an der y-Achse: $g(x) = f(-x)$
• Wenn $x_g = -x_f$ und $y_g = -y_f$ → Spiegelung am Ursprung: $g(x) = -f(-x)$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der blaue Graph gehört zur Funktion $f$, der rote zur Funktion $g$. Beschreibe, wie $g$ aus $f$ entsteht, und gib den Funktionsterm von $g$ an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Graphen visuell vergleichen

   Der rote Graph $g$ ist eine nach unten geöffnete Parabel, während der blaue Graph $f$ nach oben geöffnet ist. Es sieht aus wie eine Klappung nach unten, also eine Spiegelung an der x-Achse.

2. 2
   Schritt 2
   Einen markanten Punkt prüfen

   Wir wählen den Punkt $P(2|4)$ auf dem Graphen von $f$. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen von $g$ ist $Q(2|-4)$.

3. 3
   Schritt 3
   Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen

   Die x-Koordinate bleibt gleich ($2 \to 2$), die y-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um ($4 \to -4$). Das bestätigt die Spiegelung an der x-Achse.

   Die Regel lautet: $g(x) = -f(x)$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

   Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der x-Achse. Der Funktionsterm lautet $g(x) = -f(x)$.

Ergebnis:

$g(x) = -f(x)$ – Spiegelung an der x-Achse.

Beispiel 2

Aufgabe

Der blaue Graph gehört zur Funktion $f$, der rote zur Funktion $g$. Beschreibe, wie $g$ aus $f$ entsteht, und gib den Funktionsterm von $g$ an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Graphen visuell vergleichen

   Der rote Graph $g$ sieht aus wie der blaue Graph $f$, der seitlich an der y-Achse gespiegelt wurde. Der steigende Ast von $f$ wird zu einem fallenden Ast von $g$.

2. 2
   Schritt 2
   Einen markanten Punkt prüfen

   Wir wählen den Punkt $P(3|4)$ auf dem Graphen von $f$. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen von $g$ ist $Q(-3|4)$.

3. 3
   Schritt 3
   Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen

   Die x-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um ($3 \to -3$), die y-Koordinate bleibt gleich ($4 \to 4$). Das ist eine Spiegelung an der y-Achse.

   Die Regel lautet: $g(x) = f(-x)$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

   Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der y-Achse. Der Funktionsterm lautet $g(x) = f(-x)$.

Ergebnis:

$g(x) = f(-x)$ – Spiegelung an der y-Achse.

Beispiel 3

Aufgabe

Der blaue Graph gehört zur Funktion $f$, der rote zur Funktion $g$. Beschreibe, wie $g$ aus $f$ entsteht, und gib den Funktionsterm von $g$ an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Graphen visuell vergleichen

   Der rote Graph $g$ scheint diagonal durch den Ursprung gespiegelt zu sein. Er liegt im dritten Quadranten, während der blaue Graph $f$ im ersten liegt.

2. 2
   Schritt 2
   Einen markanten Punkt prüfen

   Wir wählen den Endpunkt $P(4|2)$ auf dem Graphen von $f$. Der entsprechende Endpunkt auf dem Graphen von $g$ ist $Q(-4|-2)$.

3. 3
   Schritt 3
   Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen

   Beide Koordinaten kehren ihr Vorzeichen um ($4 \to -4$ und $2 \to -2$). Das ist eine Spiegelung am Ursprung.

   Die Regel lautet: $g(x) = -f(-x)$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

   Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ am Koordinatenursprung. Der Funktionsterm lautet $g(x) = -f(-x)$.

Ergebnis:

$g(x) = -f(-x)$ – Spiegelung am Ursprung.

Beispiel 4

Aufgabe

Der blaue Graph gehört zur Funktion $f$, der rote zur Funktion $g$. Beschreibe, wie $g$ aus $f$ entsteht, und gib den Funktionsterm von $g$ an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Graphen visuell vergleichen

   Der rote Graph $g$ ist die seitlich gespiegelte Version des blauen Graphen $f$. Der Wendepunkt hat sich von der rechten auf die linke Seite der y-Achse bewegt.

2. 2
   Schritt 2
   Einen markanten Punkt prüfen

   Der Wendepunkt von $f$ liegt bei $P(2|0)$. Der Wendepunkt von $g$ liegt bei $Q(-2|0)$.

3. 3
   Schritt 3
   Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen

   Die x-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um ($2 \to -2$), die y-Koordinate bleibt gleich ($0 \to 0$). Dies entspricht einer Spiegelung an der y-Achse.

   Die Regel lautet: $g(x) = f(-x)$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

   Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der y-Achse. Der Funktionsterm lautet $g(x) = f(-x)$.

Ergebnis:

$g(x) = f(-x)$ – Spiegelung an der y-Achse.

Beispiel 5

Aufgabe

Der blaue Graph gehört zur Funktion $f$, der rote zur Funktion $g$. Beschreibe, wie $g$ aus $f$ entsteht, und gib den Funktionsterm von $g$ an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Graphen visuell vergleichen

   Der rote Graph $g$ ist eine exakte Kopie des blauen Graphen $f$, aber nach unten über die x-Achse geklappt.

2. 2
   Schritt 2
   Einen markanten Punkt prüfen

   Wir wählen den Punkt $P(4|3)$ auf dem Graphen von $f$. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen von $g$ ist $Q(4|-3)$.

3. 3
   Schritt 3
   Koordinaten vergleichen und Regel bestimmen

   Die x-Koordinate bleibt gleich ($4 \to 4$), die y-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um ($3 \to -3$). Das ist eine Spiegelung an der x-Achse.

   Die Regel lautet: $g(x) = -f(x)$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

   Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der x-Achse. Der Funktionsterm lautet $g(x) = -f(x)$.

Ergebnis:

$g(x) = -f(x)$ – Spiegelung an der x-Achse.

Aufgabentyp 2: Transformationen aus dem Funktionsterm ableiten

Manchmal hast du nicht die Graphen, sondern die Funktionsterme gegeben und musst die Transformation erkennen. Der Trick ist, den neuen Term $g(x)$ so umzuformen, dass du den alten Term $f(x)$ darin wiederfindest. Diese Methode – Transformationen aus Funktionstermen ableiten – ist besonders prüfungsrelevant.

Hier sind die wichtigsten Regeln im Überblick:

• Spiegelung an der x-Achse: $g(x) = -f(x)$

  • Beispiel: Wenn $f(x) = x^2+3$, dann ist $-f(x) = -(x^2+3) = -x^2-3$.

• Spiegelung an der y-Achse: $g(x) = f(-x)$

  • Beispiel: Wenn $f(x) = x^2+3x$, dann ist $f(-x) = (-x)^2+3(-x) = x^2-3x$.

• Verschiebung nach oben/unten: $g(x) = f(x) + d$

  • Beispiel: Wenn $f(x) = x^2$, dann ist $f(x)+2 = x^2+2$ eine Verschiebung um 2 nach oben.

• Verschiebung nach links/rechts: $g(x) = f(x - c)$

  • Beispiel: Wenn $f(x) = x^2$, dann ist $f(x-3) = (x-3)^2$ eine Verschiebung um 3 nach rechts. Achtung: Minus in der Formel bedeutet Verschiebung nach rechts!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Terme analysieren: Schreibe die Terme von $f(x)$ und $g(x)$ nebeneinander auf und identifiziere die offensichtlichen Unterschiede (z. B. Vorzeichen, zusätzliche Zahlen, Terme in Klammern).
2. Transformationstyp vermuten und algebraisch testen: Stelle eine Vermutung auf und berechne, ob das Ergebnis mit $g(x)$ übereinstimmt.
3. Transformation in Worten beschreiben: Übersetze die gefundene Regel in eine Beschreibung, z. B. „$g(x) = -f(x)$ bedeutet eine Spiegelung an der x-Achse."
4. Passenden Graphen finden: Suche unter den gegebenen Graphen denjenigen, der genau diese visuelle Veränderung im Vergleich zum Graphen von $f$ zeigt.

Beim Testen gilt:

• Sind alle Vorzeichen von $g(x)$ entgegengesetzt zu $f(x)$? Teste, ob $g(x) = -f(x)$ gilt.
• Sind die Vorzeichen der Terme mit $x$ anders? Teste, ob $g(x) = f(-x)$ gilt.
• Ist eine Konstante addiert/subtrahiert? Teste $f(x) + d$.
• Ist $x$ durch $(x-c)$ ersetzt? Teste $f(x-c)$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 2x$. Ordne dem Funktionsterm $g(x) = -x^2 + 2x$ den passenden Graphen (1) oder (2) zu und beschreibe die Transformation.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Terme analysieren

   $f(x) = x^2 - 2x$ $g(x) = -x^2 + 2x$

   Wir sehen, dass jedes Vorzeichen in $g(x)$ das Gegenteil von dem in $f(x)$ ist.

2. 2
   Schritt 2
   Transformation testen

   Wir vermuten eine Spiegelung an der x-Achse, also $g(x) = -f(x)$.

   Testen wir das: $-f(x) = -(x^2 - 2x)$

   $= -x^2 + 2x$

   Das Ergebnis ist exakt der Term von $g(x)$. Unsere Vermutung war richtig.

3. 3
   Schritt 3
   Transformation beschreiben

   Die Regel $g(x) = -f(x)$ bedeutet eine Spiegelung an der x-Achse.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, bei dem die blaue Parabel nach unten geklappt wird. Der Scheitelpunkt von $f$ bei $(1|-1)$ muss bei $g$ zu $(1|1)$ werden. Das ist bei Graph (2) der Fall.

Ergebnis:

Der Term $g(x)$ gehört zu Graph (2). Er entsteht durch eine Spiegelung von $f(x)$ an der x-Achse.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 + 1$. Ordne dem Funktionsterm $g(x) = -x^3 + 1$ den passenden Graphen (1) oder (2) zu und beschreibe die Transformation.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Terme analysieren

   $f(x) = x^3 + 1$ $g(x) = -x^3 + 1$

   Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen vor dem $x^3$. Das deutet auf eine Spiegelung hin, bei der das $x$ betroffen ist.

2. 2
   Schritt 2
   Transformation testen

   Wir vermuten eine Spiegelung an der y-Achse, also $g(x) = f(-x)$.

   Testen wir das: $f(-x) = (-x)^3 + 1$

   $= -x^3 + 1$

   Das Ergebnis ist exakt der Term von $g(x)$.

3. 3
   Schritt 3
   Transformation beschreiben

   Die Regel $g(x) = f(-x)$ bedeutet eine Spiegelung an der y-Achse.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der seitlich gespiegelt ist. Der steigende Verlauf von $f$ muss bei $g$ zu einem fallenden Verlauf werden. Der Punkt $(0|1)$ bleibt bei dieser Spiegelung fest. Das trifft auf Graph (1) zu.

Ergebnis:

Der Term $g(x)$ gehört zu Graph (1). Er entsteht durch eine Spiegelung von $f(x)$ an der y-Achse.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = |x|$. Ordne dem Funktionsterm $g(x) = |x-3|$ den passenden Graphen (1) oder (2) zu und beschreibe die Transformation.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Terme analysieren

   $f(x) = |x|$ $g(x) = |x-3|$

   Das $x$ aus der Funktion $f(x)$ wurde durch den Ausdruck $(x-3)$ ersetzt.

2. 2
   Schritt 2
   Transformation testen

   Wir vermuten eine Verschiebung entlang der x-Achse, also $g(x) = f(x - c)$.

   Wenn wir $c=3$ setzen, erhalten wir: $f(x-3) = |x-3|$

   Das ist genau der Term von $g(x)$.

3. 3
   Schritt 3
   Transformation beschreiben

   Die Regel $g(x) = f(x-3)$ bedeutet eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, bei dem die V-Spitze von $(0|0)$ nach $(3|0)$ verschoben wurde. Das ist bei Graph (2) der Fall.

Ergebnis:

Der Term $g(x)$ gehört zu Graph (2). Er entsteht durch eine Verschiebung von $f(x)$ um 3 Einheiten nach rechts.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2^x$. Ordne dem Funktionsterm $g(x) = -2^x$ den passenden Graphen (1) oder (2) zu und beschreibe die Transformation.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Terme analysieren

   $f(x) = 2^x$ $g(x) = -2^x$

   Der Term von $g(x)$ ist einfach der Term von $f(x)$ mit einem Minus davor.

2. 2
   Schritt 2
   Transformation testen

   Wir vermuten eine Spiegelung an der x-Achse: $g(x) = -f(x)$.

   Test: $-f(x) = -(2^x) = -2^x$

   Das stimmt mit $g(x)$ überein.

3. 3
   Schritt 3
   Transformation beschreiben

   Die Regel $g(x) = -f(x)$ bedeutet eine Spiegelung an der x-Achse.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, bei dem die blaue Kurve nach unten geklappt wird. Der Punkt $(0|1)$ auf $f$ muss zu $(0|-1)$ auf $g$ werden. Das ist bei Graph (1) der Fall.

Ergebnis:

Der Term $g(x)$ gehört zu Graph (1). Er entsteht durch eine Spiegelung von $f(x)$ an der x-Achse.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2$. Ordne dem Funktionsterm $g(x) = (-x)^2 + 1$ den passenden Graphen (1) oder (2) zu und beschreibe die Transformation.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Terme analysieren

   $f(x) = x^2$ $g(x) = (-x)^2 + 1$

   Hier sind zwei Dinge passiert: Das $x$ wurde durch $-x$ ersetzt und eine 1 wurde addiert. Vereinfachen wir zuerst $g(x)$: $g(x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1$

2. 2
   Schritt 2
   Transformation testen

   Der vereinfachte Term $g(x) = x^2 + 1$ sieht aus wie $f(x) + 1$. Wir vermuten eine Verschiebung nach oben.

   Test: $f(x) + 1 = x^2 + 1$

   Das stimmt mit dem vereinfachten $g(x)$ überein. Die Spiegelung an der y-Achse ($f(-x) = (-x)^2 = x^2$) ist bei einer symmetrischen Funktion wie $x^2$ nicht sichtbar.

3. 3
   Schritt 3
   Transformation beschreiben

   Die Regel $g(x) = f(x) + 1$ bedeutet eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, bei dem die blaue Parabel um 1 nach oben verschoben wurde. Der Scheitelpunkt muss von $(0|0)$ zu $(0|1)$ wandern. Das ist bei Graph (1) der Fall.

Ergebnis:

Der Term $g(x)$ gehört zu Graph (1). Er entsteht durch eine Verschiebung von $f(x)$ um 1 Einheit nach oben.

Wichtige Erkenntnisse

• Spiegelung an der x-Achse (klappt hoch/runter): $g(x) = -f(x)$
• Spiegelung an der y-Achse (klappt seitlich): $g(x) = f(-x)$
• Spiegelung am Ursprung (klappt diagonal): $g(x) = -f(-x)$
• Verschiebung nach oben/unten: $g(x) = f(x) + d$ – bei $d > 0$ nach oben, bei $d < 0$ nach unten
• Verschiebung nach links/rechts: $g(x) = f(x - c)$ – bei $c > 0$ nach rechts (z. B. $f(x-2)$), bei $c < 0$ nach links (z. B. $f(x+2)$)