Modellieren mit Inkreisen im Anwendungsbezug einfach erklärt

Stell dir vor, ein runder Saugroboter soll eine enge Zimmerecke reinigen, oder ein kreisförmiges Schwimmbecken soll perfekt in einen dreieckigen Garten passen. Woher wissen wir, ob genug Platz ist und wo genau der Mittelpunkt liegen muss? Das Modellieren mit Inkreisen im Anwendungsbezug hilft dir dabei, genau solche Fragen zu beantworten.

Mit Hilfe der Geometrie können wir solche Alltagsprobleme ganz einfach auf dem Papier lösen! Indem wir reale Situationen als Dreiecke und Kreise zeichnen, helfen uns Winkelhalbierende und Parallelen dabei, den perfekten Platz zu finden. Lass uns herausfinden, wie das funktioniert und wie du Schritt für Schritt vorgehst.

Vorwissen

Bevor wir mit dem Modellieren mit Inkreisen im Anwendungsbezug starten, solltest du diese geometrischen Grundlagen kennen:

• Winkelhalbierende: Eine Linie, die einen Winkel genau in der Mitte teilt. Jeder Punkt auf dieser Linie ist von beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Beispiel: Wenn du die Winkelhalbierende eines $60^\circ$-Winkels zeichnest, entstehen zwei $30^\circ$-Winkel.
• Inkreis: Ein Kreis im Inneren eines Dreiecks, der alle drei Seiten genau berührt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Beispiel: Der Inkreismittelpunkt hat zu allen drei Dreiecksseiten exakt den gleichen Abstand.
• Parallele: Eine gerade Linie, die überall exakt den gleichen Abstand zu einer anderen Linie hat. Beispiel: Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind parallel zueinander.

Aufgabentyp 1: Ein Kreis an zwei Seiten (Gegebener Radius)

Wenn wir beim Modellieren mit Inkreisen im Anwendungsbezug reale Probleme lösen wollen, übersetzen wir sie zuerst in die Sprache der Mathematik. Eine Raumecke wird zu einem Winkel, ein Möbelstück zu einer Linie und ein Saugroboter zu einem Kreis. So können wir mit Zirkel und Lineal arbeiten!

Manchmal soll ein runder Gegenstand (wie ein Saugroboter) in eine Ecke fahren und dabei genau zwei Wände berühren. Wenn wir den Radius des Gegenstands kennen, können wir seinen genauen Mittelpunkt konstruieren.

Da der Kreis beide Wände berühren soll, muss sein Mittelpunkt exakt in der Mitte zwischen den beiden Wänden liegen. Das bedeutet, der Mittelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden der Ecke.

Um herauszufinden, wo genau auf dieser Linie der Mittelpunkt liegt, nutzen wir den Radius. Wir wissen, dass der Abstand zur Wand genau dem Radius entsprechen muss. Wenn wir also eine parallele Hilfslinie zu einer der Wände im Abstand des Radius zeichnen, kreuzt diese die Winkelhalbierende genau im gesuchten Mittelpunkt!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Dreieck und Winkelhalbierende zeichnen Zeichne das Dreieck. Konstruiere dann die Winkelhalbierende des Winkels, dessen Schenkel der Kreis berühren soll.
2. Schritt 2: Parallele Hilfslinie zeichnen Zeichne eine Parallele zu einem der beiden Schenkel. Der Abstand dieser Parallelen zum Schenkel muss exakt dem Radius des Kreises entsprechen. Zeichne sie in das Innere des Dreiecks.
3. Schritt 3: Mittelpunkt markieren Markiere den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der parallelen Hilfslinie. Das ist der Mittelpunkt des Kreises.
4. Schritt 4: Kreis zeichnen und prüfen Stich mit dem Zirkel in den Mittelpunkt ein, stelle den Radius ein und zeichne den Kreis. Nun kannst du prüfen, ob der Kreis die dritte Seite des Dreiecks berührt oder schneidet.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Unterschiedliche Abstände zu den Seiten

Beim Modellieren mit Inkreisen im Anwendungsbezug soll ein Kreis manchmal nicht direkt an den Seiten anliegen, sondern bestimmte Abstände einhalten. Was passiert, wenn diese Abstände unterschiedlich groß sind?

Stell dir vor, ein Beet soll zu einer Seite $12 \text{ m}$ und zur anderen Seite $6 \text{ m}$ Abstand haben. Die normale Winkelhalbierende hilft uns hier nicht direkt, da sie nur Punkte mit gleichem Abstand liefert.

Wir wenden einen Trick an: Wir gleichen den Unterschied aus! Wenn wir eine parallele Hilfslinie zu der Seite mit dem größeren Abstand zeichnen, können wir den Abstandsunterschied überbrücken. Danach konstruieren wir die Winkelhalbierende zwischen dieser neuen Hilfslinie und der anderen Dreiecksseite.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Abstandsunterschied berechnen Berechne die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren geforderten Abstand.
2. Schritt 2: Parallele Hilfslinie zeichnen Zeichne eine Parallele zu der Seite, die den größeren Abstand erfordert. Verschiebe diese Parallele um die berechnete Differenz nach innen.
3. Schritt 3: Neue Winkelhalbierende konstruieren Konstruiere nun die Winkelhalbierende zwischen der neuen Hilfslinie und der anderen Dreiecksseite.
4. Schritt 4: Mittelpunkt und Radius bestimmen Der Schnittpunkt dieser neuen Winkelhalbierenden mit der Symmetrieachse (bei gleichschenkligen Dreiecken) ist der Mittelpunkt. Miss den Abstand zur Seite, rechne ihn mit dem Maßstab um und ziehe den geforderten Abstand ab, um den Radius zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Konstanter Abstand zu allen Seiten

Wenn ein Kreis zu allen drei Seiten eines Dreiecks exakt den gleichen Abstand haben soll, verhält er sich wie ein geschrumpfter Inkreis.

Der Mittelpunkt dieses Kreises ist exakt derselbe wie der Inkreismittelpunkt des Dreiecks. Wir finden ihn, indem wir die Winkelhalbierenden konstruieren.

Um den Radius unseres kleineren Kreises zu finden, bestimmen wir zuerst den Radius des normalen Inkreises (den Abstand vom Mittelpunkt zur Dreiecksseite). Von diesem Inkreisradius ziehen wir dann einfach den gewünschten Abstand ab.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Inkreismittelpunkt konstruieren Konstruiere die Winkelhalbierenden von zwei Innenwinkeln des Dreiecks. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Kreises.
2. Schritt 2: Inkreisradius bestimmen Fälle das Lot vom Mittelpunkt auf eine der Dreiecksseiten (zeichne eine Linie im $90^\circ$-Winkel). Die Länge dieser Strecke ist der Inkreisradius.
3. Schritt 3: Radius berechnen und Kreis zeichnen Ziehe den geforderten konstanten Abstand vom Inkreisradius ab. Stelle den Zirkel auf diesen neuen, kleineren Radius ein und zeichne den Kreis um den Mittelpunkt.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Der Mittelpunkt eines Kreises, der zwei Seiten berührt, liegt immer auf der Winkelhalbierenden dieser Seiten.
• Um einen bestimmten Abstand zu einer Seite einzuhalten, hilft eine parallele Hilfslinie im gewünschten Abstand.
• Soll der Abstand zu allen drei Seiten gleich sein, nutzen wir den Inkreismittelpunkt und ziehen den Abstand vom Inkreisradius ab.
• Fertige bei Anwendungsaufgaben immer zuerst eine maßstabsgetreue Skizze an!