Was sind gebrochenrationale Funktionen und wozu dienen sie beim Modellieren?

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = u(x) / v(x) , wobei Zähler und Nenner Polynome sind. Beim Modellieren beschreiben sie Prozesse, die schnell ansteigen, einen Höhepunkt erreichen und dann wieder abflachen – zum Beispiel die Konzentration eines Medikaments im Blut, den Follower-Zuwachs eines Social-Media-Kanals oder den Schadstoffgehalt in einem See. Sie sind das passende Werkzeug, wenn einfache Geraden oder Parabeln den realen Verlauf nicht gut genug abbilden.

Wie berechnest du die anfängliche Änderungsrate einer gebrochenrationalen Funktion?

Die anfängliche Änderungsrate ist immer der Wert der ersten Ableitung zum Zeitpunkt t = 0 . Du leitest die gegebene Funktion f(t) mit der Quotientenregel ab und setzt anschließend t = 0 ein. Das Ergebnis f'(0) gibt an, wie schnell sich die Größe ganz am Anfang verändert – zum Beispiel in mg/L pro Stunde oder in Followern pro Woche.

Wie findest du das Maximum einer gebrochenrationalen Funktion im Sachzusammenhang?

Um das Maximum zu finden, leitest du f(t) ab und setzt den Zähler der Ableitung gleich null . Die Lösung t* ist der Zeitpunkt des Extremums. Anschließend weist du mit dem Vorzeichenwechselkriterium nach, dass f'(t) vor t* positiv und danach negativ ist – das bestätigt ein Maximum. Den maximalen Wert erhältst du, indem du t* in die Originalfunktion f(t) einsetzt.

Wann nutzt du die Quotientenregel beim Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen?

Die Quotientenregel brauchst du immer dann, wenn die Funktion als Bruch zweier Terme vorliegt: f'(x) = (u'v − uv') / v² . Beim Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen ist das fast immer der Fall, weil Zähler und Nenner beide von t abhängen. Ohne die Quotientenregel kannst du weder die Änderungsrate noch die Extremstellen korrekt berechnen.

Was ist der Unterschied zwischen dem Bestand f(t) und der Änderungsrate f'(t)?

f(t) beschreibt den Bestand – also die aktuelle Menge, Konzentration oder Anzahl zum Zeitpunkt t . f'(t) beschreibt die Änderungsrate – also die Geschwindigkeit, mit der sich dieser Bestand gerade verändert. Ein hoher Wert von f'(t) bedeutet schnelles Wachstum oder schnellen Rückgang, während f'(t) = 0 auf einen Hochpunkt oder Tiefpunkt des Bestands hinweist.

Gebrochenrationale Funktionen modellieren

Schon mal gefragt, wie ein virales Video auf TikTok durch die Decke geht und dann wieder in der Versenkung verschwindet? Oder wie die Wirkung eines Medikaments im Körper erst zunimmt, ein Maximum erreicht und dann langsam wieder nachlässt? Solche Prozesse, die schnell starten, einen Höhepunkt erreichen und dann abflachen oder abfallen, lassen sich oft nicht mit einfachen Geraden oder Parabeln beschreiben. Hier kommt der „Cheat Code": gebrochenrationale Funktionen. Sie sind das perfekte Werkzeug, um solche realen Verläufe mathematisch zu fassen. Wenn du sie beherrschst, kannst du nicht nur den Höhepunkt des Hypes vorhersagen, sondern auch, wie schnell er wieder abklingt. Das ist die Mathematik hinter den Kulissen unserer digitalen Welt und der Natur.

Schnellantwort

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ , wobei Zähler und Nenner Polynome sind. Beim Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen beschreibt $f(t)$ einen Bestand (z. B. Konzentration, Menge, Anzahl) über die Zeit, während die Ableitung $f'(t)$ die zugehörige Änderungsrate angibt. Zwei zentrale Aufgabentypen sind das Berechnen von Änderungsraten und das Bestimmen von Extremwerten im Sachzusammenhang.

Vorwissen

Bevor wir in die Anwendungsaufgaben eintauchen, frischen wir zwei wichtige Werkzeuge auf:

Die Quotientenregel zum Ableiten
- Sie wird gebraucht, um eine Funktion abzuleiten, die ein Bruch aus zwei Teilfunktionen ist.
- Formel: Wenn $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ , dann ist die Ableitung $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$ .
- Beispiel: Für $f(x) = \frac{2x}{x+1}$ ist $u(x)=2x$ und $v(x)=x+1$ . Daraus folgt $u'(x)=2$ und $v'(x)=1$ . Eingesetzt ergibt das: $f'(x) = \frac{2 \cdot (x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ .
Extremstellen finden
- Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkte) sind Punkte, an denen die Steigung des Graphen null ist.
- Bedingung: Die erste Ableitung muss null sein: $f'(x) = 0$ .
- Beispiel: Um den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 4x$ zu finden, bilden wir die Ableitung $f'(x) = 2x - 4$ . Wir setzen sie null: $2x - 4 = 0$ , was zu $x=2$ führt. Dort liegt die Extremstelle.

Aufgabentyp 1: Änderungsraten im Sachzusammenhang berechnen

In vielen realen Prozessen ändert sich eine Größe über die Zeit. Eine Funktion $f(t)$ kann zum Beispiel die Menge einer Substanz zum Zeitpunkt $t$ beschreiben.

Die Änderungsrate (oder Geschwindigkeit) zu einem bestimmten Zeitpunkt ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion an dieser Stelle, also $f'(t)$ .

Die Menge zum Zeitpunkt $t$ wird durch $f(t)$ beschrieben.
Die Geschwindigkeit, mit der sich die Menge ändert, wird durch die Ableitung $f'(t)$ beschrieben.

Eine typische Aufgabe ist es, die anfängliche Änderungsrate zu finden. Das ist immer die Rate zum Zeitpunkt $t=0$ , also $f'(0)$ . Anschließend kann gefragt werden, wann die Rate auf einen bestimmten Wert (z. B. einen Prozentsatz der Anfangsrate) gefallen ist. Dazu setzt man $f'(t)$ gleich diesem Wert und löst nach $t$ auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Leite die gegebene Funktion $f(t)$ mit der Quotientenregel ab, um $f'(t)$ zu erhalten.
Schritt 2: Setze $t=0$ in $f'(t)$ ein, um die anfängliche Rate $r_0$ zu berechnen.
Schritt 3: Berechne den geforderten Zielwert der Änderungsrate (oft ein Prozentsatz von $r_0$ ).
Schritt 4: Setze $f'(t)$ gleich der Ziel-Rate und löse die Gleichung nach $t$ auf.
Schritt 5: Formuliere eine klare Antwort im Sachzusammenhang mit den richtigen Einheiten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg/L) wird durch die Funktion $K(t) = \frac{120t}{t+5}$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist. Bestimmen Sie die anfängliche Zunahmegeschwindigkeit der Konzentration. Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Zunahmegeschwindigkeit nur noch $20\%$ des Anfangswertes?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion für die Änderungsrate bestimmen
Wir leiten $K(t) = \frac{120t}{t+5}$ mit der Quotientenregel ab.
- Zähler: $u(t) = 120t \to u'(t) = 120$
- Nenner: $v(t) = t+5 \to v'(t) = 1$
$K'(t) = \frac{120 \cdot (t+5) - 120t \cdot 1}{(t+5)^2}$

$K'(t) = \frac{120t + 600 - 120t}{(t+5)^2}$

$K'(t) = \frac{600}{(t+5)^2}$
Schritt 2
Anfängliche Änderungsrate berechnen
Wir setzen $t=0$ in $K'(t)$ ein:

$r_0 = K'(0) = \frac{600}{(0+5)^2} = \frac{600}{25} = 24$

Die anfängliche Zunahmegeschwindigkeit beträgt 24 mg/L pro Stunde.
Schritt 3
Ziel-Rate berechnen
Wir berechnen $20\%$ von $r_0$ :

$0{,}20 \cdot 24 = 4{,}8$

Die Ziel-Rate ist 4,8 mg/L pro Stunde.
Schritt 4 · Ergebnis
Zeitpunkt bestimmen
Wir setzen $K'(t) = 4{,}8$ :

$\frac{600}{(t+5)^2} = 4{,}8$

$600 = 4{,}8 \cdot (t+5)^2$

$\frac{600}{4{,}8} = (t+5)^2$

$125 = (t+5)^2$

$\sqrt{125} = t+5$

$t = \sqrt{125} - 5 \approx 11{,}18 - 5 = 6{,}18$

(Die negative Wurzel entfällt, da $t \ge 0$ sein muss.)

Ergebnis:

Nach etwa 6,18 Stunden beträgt die Zunahmegeschwindigkeit der Konzentration nur noch 20% des Anfangswertes.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Wassertank wird gefüllt. Die Wassermenge $V(t)$ in Litern nach $t$ Minuten ist gegeben durch $V(t) = \frac{1000t+500}{t+10}$ . Bestimmen Sie die anfängliche Zuflussgeschwindigkeit. Wann beträgt die Zuflussgeschwindigkeit nur noch $10\%$ der anfänglichen Geschwindigkeit?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion für die Änderungsrate bestimmen
Wir leiten $V(t) = \frac{1000t+500}{t+10}$ mit der Quotientenregel ab.
- Zähler: $u(t) = 1000t+500 \to u'(t) = 1000$
- Nenner: $v(t) = t+10 \to v'(t) = 1$
$V'(t) = \frac{1000 \cdot (t+10) - (1000t+500) \cdot 1}{(t+10)^2}$

$V'(t) = \frac{1000t + 10000 - 1000t - 500}{(t+10)^2}$

$V'(t) = \frac{9500}{(t+10)^2}$
Schritt 2
Anfängliche Änderungsrate berechnen
Wir setzen $t=0$ in $V'(t)$ ein:

$r_0 = V'(0) = \frac{9500}{(0+10)^2} = \frac{9500}{100} = 95$

Die anfängliche Zuflussgeschwindigkeit beträgt 95 L/min.
Schritt 3
Ziel-Rate berechnen
Wir berechnen $10\%$ von $r_0$ :

$0{,}10 \cdot 95 = 9{,}5$

Die Ziel-Rate ist 9,5 L/min.
Schritt 4 · Ergebnis
Zeitpunkt bestimmen
Wir setzen $V'(t) = 9{,}5$ :

$\frac{9500}{(t+10)^2} = 9{,}5$

$9500 = 9{,}5 \cdot (t+10)^2$

$\frac{9500}{9{,}5} = (t+10)^2$

$1000 = (t+10)^2$

$\sqrt{1000} = t+10$

$t = \sqrt{1000} - 10 \approx 31{,}62 - 10 = 21{,}62$

Ergebnis:

Nach etwa 21,62 Minuten beträgt die Zuflussgeschwindigkeit nur noch 10% der anfänglichen Geschwindigkeit.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Anzahl der Follower eines neuen Social-Media-Kanals wird durch $N(t) = \frac{500t}{t+1}$ modelliert, mit $t$ in Wochen. Bestimmen Sie die anfängliche Wachstumsrate der Follower. Wann ist die Wachstumsrate auf 25 Follower pro Woche gesunken?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion für die Änderungsrate bestimmen
Wir leiten $N(t) = \frac{500t}{t+1}$ mit der Quotientenregel ab.
- Zähler: $u(t) = 500t \to u'(t) = 500$
- Nenner: $v(t) = t+1 \to v'(t) = 1$
$N'(t) = \frac{500 \cdot (t+1) - 500t \cdot 1}{(t+1)^2}$

$N'(t) = \frac{500t + 500 - 500t}{(t+1)^2}$

$N'(t) = \frac{500}{(t+1)^2}$
Schritt 2
Anfängliche Änderungsrate berechnen
Wir setzen $t=0$ in $N'(t)$ ein:

$r_0 = N'(0) = \frac{500}{(0+1)^2} = \frac{500}{1} = 500$

Die anfängliche Wachstumsrate beträgt 500 Follower pro Woche.
Schritt 3
Ziel-Rate berechnen
Die Ziel-Rate ist direkt in der Aufgabe gegeben: 25 Follower pro Woche.
Schritt 4 · Ergebnis
Zeitpunkt bestimmen
Wir setzen $N'(t) = 25$ :

$\frac{500}{(t+1)^2} = 25$

$500 = 25 \cdot (t+1)^2$

$\frac{500}{25} = (t+1)^2$

$20 = (t+1)^2$

$\sqrt{20} = t+1$

$t = \sqrt{20} - 1 \approx 4{,}47 - 1 = 3{,}47$

Ergebnis:

Nach etwa 3,47 Wochen ist die Wachstumsrate auf 25 Follower pro Woche gesunken.

Aufgabentyp 2: Extremwerte im Sachzusammenhang bestimmen

Viele Prozesse in der Natur oder Wirtschaft erreichen einen Höhepunkt (Maximum) und fallen danach wieder ab. Beispiele sind die Population einer Tierart, die Wirksamkeit eines Medikaments oder der Gewinn nach einer Produkteinführung.

Um den Zeitpunkt und die Höhe dieses Maximums zu finden, nutzen wir beim Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen die Differentialrechnung:

Zeitpunkt des Maximums finden: Ein Maximum liegt dort vor, wo die Steigung der Funktion null ist. Wir müssen also die Ableitung $f'(t)$ bilden und sie gleich null setzen: $f'(t)=0$ . Die Lösung für $t$ ist der Zeitpunkt des Extremums.
Nachweisen, dass es ein Maximum ist: Wir müssen sicherstellen, dass es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt handelt. Das geht am einfachsten mit dem Vorzeichenwechselkriterium: Die Ableitung $f'(t)$ muss vor der Extremstelle positiv (Graph steigt) und danach negativ (Graph fällt) sein.
Höhe des Maximums berechnen: Um den maximalen Wert zu erhalten, setzen wir den gefundenen Zeitpunkt $t$ in die ursprüngliche Funktion $f(t)$ ein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Bestimme die erste Ableitung $f'(t)$ mit der Quotientenregel.
Schritt 2: Setze die erste Ableitung gleich null ( $f'(t) = 0$ ) und löse den Zähler nach $t$ auf.
Schritt 3: Überprüfe mit dem Vorzeichenwechselkriterium, ob ein Maximum vorliegt (Vorzeichen wechselt von + zu −).
Schritt 4: Setze den gefundenen Zeitpunkt in die Ausgangsfunktion ein, um den maximalen Wert zu berechnen.
Schritt 5: Falls gefragt, berechne den neuen Zielwert (z. B. die Hälfte des Maximums) und löse $f(t) = \text{Zielwert}$ nach $t$ auf.
Schritt 6: Formuliere eine klare Antwort im Sachzusammenhang mit den richtigen Einheiten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Wirksamkeit eines Düngers wird durch die Funktion $W(t) = \frac{20t}{t^2+4}$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Wochen ist. Zu welchem Zeitpunkt ist die Wirksamkeit maximal? Wie hoch ist die maximale Wirksamkeit? Wann ist die Wirksamkeit wieder auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Ableitung der Funktion bilden
Wir leiten $W(t) = \frac{20t}{t^2+4}$ mit der Quotientenregel ab.
- Zähler: $u(t) = 20t \to u'(t) = 20$
- Nenner: $v(t) = t^2+4 \to v'(t) = 2t$
$W'(t) = \frac{20 \cdot (t^2+4) - 20t \cdot (2t)}{(t^2+4)^2}$

$W'(t) = \frac{20t^2 + 80 - 40t^2}{(t^2+4)^2} = \frac{80 - 20t^2}{(t^2+4)^2}$
Schritt 2
Extremstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler der Ableitung gleich null:

$80 - 20t^2 = 0$

$80 = 20t^2$

$4 = t^2$

$t = 2$ (da $t \ge 0$ )
3
Schritt 3
Art der Extremstelle nachweisen
Wir prüfen das Vorzeichen von $W'(t)$ um $t=2$ .
- Für $t=1$ : $W'(1) = \frac{80 - 20(1)^2}{(1^2+4)^2} = \frac{60}{25} > 0$ (steigend)
- Für $t=3$ : $W'(3) = \frac{80 - 20(3)^2}{(3^2+4)^2} = \frac{80 - 180}{169} < 0$ (fallend)
Der Vorzeichenwechsel von + nach − bestätigt ein Maximum bei $t=2$ .
Schritt 4
Maximalen Wert berechnen
Wir setzen $t=2$ in die Originalfunktion $W(t)$ ein:

$W(2) = \frac{20 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{40}{4+4} = \frac{40}{8} = 5$

Die maximale Wirksamkeit beträgt 5.
Schritt 5 · Ergebnis
Zeitpunkt für die Hälfte des Maximums finden
Die Hälfte des Maximums ist $\frac{1}{2} \cdot 5 = 2{,}5$ . Wir setzen $W(t) = 2{,}5$ :

$\frac{20t}{t^2+4} = 2{,}5$

$20t = 2{,}5(t^2+4)$

$20t = 2{,}5t^2 + 10$

$0 = 2{,}5t^2 - 20t + 10$

Wir lösen mit der Mitternachtsformel ( $a=2{,}5,\ b=-20,\ c=10$ ):

$t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 2{,}5 \cdot 10}}{2 \cdot 2{,}5} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 100}}{5} = \frac{20 \pm \sqrt{300}}{5}$

$t_1 = \frac{20 - \sqrt{300}}{5} \approx 0{,}54$ und $t_2 = \frac{20 + \sqrt{300}}{5} \approx 7{,}46$

Da gefragt ist, wann die Wirksamkeit wieder gesunken ist, ist der spätere Zeitpunkt relevant.

Ergebnis:

Die Wirksamkeit ist nach 2 Wochen maximal und beträgt 5 Einheiten. Nach ca. 7,46 Wochen ist sie auf die Hälfte dieses Wertes gesunken.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Konzentration eines Schadstoffs in einem See (in mg/m³) wird durch $S(t) = \frac{3t}{t^2+2{,}25}$ modelliert, mit $t$ in Tagen. Wann erreicht die Schadstoffkonzentration ihr Maximum? Wie hoch ist es? Wann ist die Konzentration auf ein Drittel des Maximalwertes gefallen?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Ableitung der Funktion bilden
Wir leiten $S(t) = \frac{3t}{t^2+2{,}25}$ ab.
- $u(t) = 3t \to u'(t) = 3$
- $v(t) = t^2+2{,}25 \to v'(t) = 2t$
$S'(t) = \frac{3(t^2+2{,}25) - 3t(2t)}{(t^2+2{,}25)^2} = \frac{3t^2 + 6{,}75 - 6t^2}{(t^2+2{,}25)^2} = \frac{6{,}75 - 3t^2}{(t^2+2{,}25)^2}$
Schritt 2
Extremstellen bestimmen
$6{,}75 - 3t^2 = 0$

$6{,}75 = 3t^2$

$2{,}25 = t^2$

$t = 1{,}5$
3
Schritt 3
Art der Extremstelle nachweisen
- Für $t=1$ : $S'(1) = \frac{6{,}75 - 3}{...} > 0$
- Für $t=2$ : $S'(2) = \frac{6{,}75 - 12}{...} < 0$
Es liegt ein Maximum vor.
Schritt 4
Maximalen Wert berechnen
$S(1{,}5) = \frac{3 \cdot 1{,}5}{1{,}5^2+2{,}25} = \frac{4{,}5}{2{,}25+2{,}25} = \frac{4{,}5}{4{,}5} = 1$

Die maximale Konzentration beträgt 1 mg/m³.
Schritt 5 · Ergebnis
Zeitpunkt für ein Drittel des Maximums finden
Ein Drittel des Maximums ist $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3t}{t^2+2{,}25} = \frac{1}{3}$

$9t = t^2+2{,}25$

$t^2 - 9t + 2{,}25 = 0$

Mitternachtsformel ( $a=1,\ b=-9,\ c=2{,}25$ ):

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 2{,}25}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 9}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{72}}{2}$

$t_1 \approx 0{,}26$ , $t_2 \approx 8{,}74$ . Der spätere Zeitpunkt ist gesucht.

Ergebnis:

Die Konzentration ist nach 1,5 Tagen maximal und beträgt 1 mg/m³. Nach ca. 8,74 Tagen ist sie auf ein Drittel dieses Wertes gefallen.

Beispiel 3

Aufgabe

Der tägliche Gewinn eines Unternehmens nach der Einführung eines neuen Produkts wird durch $G(t) = \frac{1000t}{t^2+100}$ in Tausend Euro beschrieben ( $t$ in Tagen). Wann ist der Gewinn maximal und wie hoch ist er? Wann fällt der Gewinn auf 80% des Maximums?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Ableitung der Funktion bilden
Wir leiten $G(t) = \frac{1000t}{t^2+100}$ ab.
- $u(t) = 1000t \to u'(t) = 1000$
- $v(t) = t^2+100 \to v'(t) = 2t$
$G'(t) = \frac{1000(t^2+100) - 1000t(2t)}{(t^2+100)^2} = \frac{1000t^2 + 100000 - 2000t^2}{(t^2+100)^2} = \frac{100000 - 1000t^2}{(t^2+100)^2}$
Schritt 2
Extremstellen bestimmen
$100000 - 1000t^2 = 0$

$100000 = 1000t^2$

$100 = t^2$

$t = 10$
3
Schritt 3
Art der Extremstelle nachweisen
- Für $t=1$ : $G'(1) > 0$
- Für $t=20$ : $G'(20) < 0$
Es liegt ein Maximum vor.
Schritt 4
Maximalen Wert berechnen
$G(10) = \frac{1000 \cdot 10}{10^2+100} = \frac{10000}{100+100} = \frac{10000}{200} = 50$

Der maximale Gewinn beträgt 50 Tausend Euro, also 50.000 €.
Schritt 5 · Ergebnis
Zeitpunkt für 80% des Maximums finden
$80\%$ von 50 ist $0{,}8 \cdot 50 = 40$ .

$\frac{1000t}{t^2+100} = 40$

$1000t = 40(t^2+100)$

$1000t = 40t^2 + 4000$

$40t^2 - 1000t + 4000 = 0$ (geteilt durch 40)

$t^2 - 25t + 100 = 0$

Mitternachtsformel ( $a=1,\ b=-25,\ c=100$ ):

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{25 \pm 15}{2}$

$t_1 = \frac{10}{2} = 5$ , $t_2 = \frac{40}{2} = 20$ . Der spätere Zeitpunkt ist gesucht.

Ergebnis:

Der Gewinn ist nach 10 Tagen maximal (50.000 €). Nach 20 Tagen fällt der Gewinn auf 80% des Maximums (40.000 €).

Wichtige Erkenntnisse

Bestand vs. Rate: Die Funktion $f(t)$ beschreibt den Bestand (Menge, Konzentration, etc.), ihre Ableitung $f'(t)$ beschreibt die Änderungsrate (Geschwindigkeit).
Anfangswert: Die „anfängliche" Rate oder der „anfängliche" Wert ist immer der Funktionswert an der Stelle $t=0$ .
Maximum finden: Um den höchsten Punkt zu finden, setze die erste Ableitung gleich null ( $f'(t)=0$ ) und löse nach $t$ . Den maximalen Wert erhältst du, indem du dieses $t$ in die Originalfunktion $f(t)$ einsetzt.
Quotientenregel: Für gebrochenrationale Funktionen $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ist die Ableitung immer $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Kontext beachten: Lies die Frage genau! Ist nach einem Zeitpunkt, einer Menge oder einer Rate gefragt? Ist der Wert beim Ansteigen oder beim Absinken gesucht?

Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Änderungsraten im Sachzusammenhang berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 2: Extremwerte im Sachzusammenhang bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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