Modellieren mit gebrochenrationalen Funktionen: Erklärung

Wir leiten $K(t) = \frac{100t}{t+5}$ mit der Quotientenregel ab. Hier ist $\textcolor{#08BFFF}{u(t) = 100t}$ und $\textcolor{#9570FF}{v(t) = t+5}$. Die Ableitungen sind: $\textcolor{#08BFFF}{u'(t) = 100}$ und $\textcolor{#9570FF}{v'(t) = 1}$.

Einsetzen in die Quotientenregel: $K'(t) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{u'} \cdot \textcolor{#9570FF}{v} - \textcolor{#08BFFF}{u} \cdot \textcolor{#9570FF}{v'}}{\textcolor{#9570FF}{v^2}}$

$K'(t) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{100} \cdot \textcolor{#9570FF}{(t+5)} - \textcolor{#08BFFF}{100t} \cdot \textcolor{#9570FF}{1}}{(\textcolor{#9570FF}{t+5})^2}$

$K'(t) = \frac{100t + 500 - 100t}{(t+5)^2}$

$K'(t) = \frac{500}{(t+5)^2}$

Wir setzen $\textcolor{#53E5D6}{t=0}$ in $K'(t)$ ein:

$r_0 = K'(0) = \frac{500}{(0+5)^2}$

$r_0 = \frac{500}{5^2} = \frac{500}{25}$

$r_0 = 20$

Die anfängliche Zunahmegeschwindigkeit beträgt $20$ mg/L pro Stunde.

Wir suchen die Rate, die $25\%$ von $r_0$ entspricht.

$25\% \text{ von } 20 = 0,25 \cdot 20 = 5$

Die Ziel-Rate ist $5$ mg/L pro Stunde.

Wir setzen $K'(t)$ gleich $5$ und lösen nach $t$ auf:

$\frac{500}{(t+5)^2} = 5$

Wir multiplizieren mit $(t+5)^2$:

$500 = 5 \cdot (t+5)^2$

Wir teilen durch $5$:

$100 = (t+5)^2$

Wir ziehen die Wurzel:

$\pm \sqrt{100} = t+5$

$\pm 10 = t+5$

Das ergibt zwei mögliche Lösungen:

1. $10 = t+5 \implies t_1 = 5$
2. $-10 = t+5 \implies t_2 = -15$

Da die Zeit nicht negativ sein kann, ist nur $t=5$ die richtige Antwort.

Wir leiten $T(t) = \frac{1200t + 600}{t+3}$ mit der Quotientenregel ab. $u(t) = 1200t + 600 \to u'(t) = 1200$ $v(t) = t+3 \to v'(t) = 1$

$T'(t) = \frac{1200(t+3) - (1200t+600) \cdot 1}{(t+3)^2}$

$T'(t) = \frac{1200t + 3600 - 1200t - 600}{(t+3)^2}$

$T'(t) = \frac{3000}{(t+3)^2}$

Wir setzen $t=0$ in $T'(t)$ ein:

$r_0 = T'(0) = \frac{3000}{(0+3)^2} = \frac{3000}{9} \approx 333,33$

Die anfängliche Heizgeschwindigkeit beträgt ca. $333,33$ °C/min.

$10\%$ von $333,33 = 0,10 \cdot \frac{3000}{9} = \frac{300}{9} \approx 33,33$

Wir setzen $T'(t)$ gleich der Ziel-Rate:

$\frac{3000}{(t+3)^2} = \frac{300}{9}$

$\frac{3000}{(t+3)^2} = \frac{100}{3}$

$3000 \cdot 3 = 100 \cdot (t+3)^2$

$9000 = 100 \cdot (t+3)^2$

$90 = (t+3)^2$

$\pm \sqrt{90} = t+3$

$t = -3 \pm \sqrt{90}$

Da $t \ge 0$ sein muss, ist nur die positive Lösung relevant: $t = -3 + \sqrt{90} \approx -3 + 9,49 = 6,49$

Wir leiten $F(t) = \frac{5000t}{t+10}$ mit der Quotientenregel ab. $u(t) = 5000t \to u'(t) = 5000$ $v(t) = t+10 \to v'(t) = 1$

$F'(t) = \frac{5000(t+10) - 5000t \cdot 1}{(t+10)^2}$

$F'(t) = \frac{5000t + 50000 - 5000t}{(t+10)^2}$

$F'(t) = \frac{50000}{(t+10)^2}$

Wir setzen $t=0$ in $F'(t)$ ein:

$r_0 = F'(0) = \frac{50000}{(0+10)^2} = \frac{50000}{100} = 500$

Die anfängliche Wachstumsrate ist $500$ Follower pro Tag.

$49\%$ von $500 = 0,49 \cdot 500 = 245$

Wir setzen $F'(t) = 245$:

$\frac{50000}{(t+10)^2} = 245$

$50000 = 245 \cdot (t+10)^2$

$\frac{50000}{245} = (t+10)^2$

$\frac{10000}{49} = (t+10)^2$

$\pm \sqrt{\frac{10000}{49}} = t+10$

$\pm \frac{100}{7} = t+10$

Wir betrachten die positive Lösung: $t = \frac{100}{7} - 10 = \frac{100}{7} - \frac{70}{7} = \frac{30}{7} \approx 4,29$

Wir leiten $V(t) = \frac{80t+20}{t+1}$ mit der Quotientenregel ab. $u(t) = 80t+20 \to u'(t) = 80$ $v(t) = t+1 \to v'(t) = 1$

$V'(t) = \frac{80(t+1) - (80t+20) \cdot 1}{(t+1)^2}$

$V'(t) = \frac{80t + 80 - 80t - 20}{(t+1)^2}$

$V'(t) = \frac{60}{(t+1)^2}$

Wir setzen $t=0$ in $V'(t)$ ein:

$r_0 = V'(0) = \frac{60}{(0+1)^2} = \frac{60}{1} = 60$

Die anfängliche Zuflussgeschwindigkeit beträgt $60$ L/min.

$20\%$ von $60 = 0,20 \cdot 60 = 12$

Wir setzen $V'(t) = 12$:

$\frac{60}{(t+1)^2} = 12$

$60 = 12 \cdot (t+1)^2$

$5 = (t+1)^2$

$\pm \sqrt{5} = t+1$

Wir betrachten die positive Lösung: $t = \sqrt{5} - 1 \approx 2,24 - 1 = 1,24$

Wir leiten $M(t) = \frac{3t}{t+2}$ mit der Quotientenregel ab. $u(t) = 3t \to u'(t) = 3$ $v(t) = t+2 \to v'(t) = 1$

$M'(t) = \frac{3(t+2) - 3t \cdot 1}{(t+2)^2}$

$M'(t) = \frac{3t + 6 - 3t}{(t+2)^2}$

$M'(t) = \frac{6}{(t+2)^2}$

Wir setzen $t=0$ in $M'(t)$ ein:

$r_0 = M'(0) = \frac{6}{(0+2)^2} = \frac{6}{4} = 1,5$

Die anfängliche Wachstumsrate beträgt $1,5$ g/h.

$1\%$ von $1,5 = 0,01 \cdot 1,5 = 0,015$

Wir setzen $M'(t) = 0,015$:

$\frac{6}{(t+2)^2} = 0,015$

$6 = 0,015 \cdot (t+2)^2$

$\frac{6}{0,015} = (t+2)^2$

$400 = (t+2)^2$

$\pm \sqrt{400} = t+2$

$\pm 20 = t+2$

Wir betrachten die positive Lösung: $t = 20 - 2 = 18$

Wir leiten $W(t) = \frac{20t}{t^2+4}$ mit der Quotientenregel ab. $u(t) = 20t \to u'(t) = 20$ $v(t) = t^2+4 \to v'(t) = 2t$

$W'(t) = \frac{20(t^2+4) - 20t(2t)}{(t^2+4)^2}$

$W'(t) = \frac{20t^2 + 80 - 40t^2}{(t^2+4)^2}$

$W'(t) = \frac{80 - 20t^2}{(t^2+4)^2}$

Wir setzen $W'(t) = 0$. Dazu muss der Zähler null sein:

$80 - 20t^2 = 0$

$80 = 20t^2$

$4 = t^2$

$t = \pm 2$

Da die Zeit nicht negativ sein kann, ist $t=2$ unser Kandidat.

Wir prüfen das Vorzeichen von $W'(t)$ um $t=2$. Der Nenner ist immer positiv, also betrachten wir nur den Zähler $80 - 20t^2$.

• Für $t=1$ (vorher): $80 - 20(1)^2 = 60$ ($\to$ positiv, ansteigend)
• Für $t=3$ (nachher): $80 - 20(3)^2 = 80 - 180 = -100$ ($\to$ negativ, abfallend)

Der Vorzeichenwechsel von + nach - bestätigt ein Maximum bei $t=2$.

Wir setzen $t=2$ in die Originalfunktion $W(t)$ ein:

$W(2) = \frac{20 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{40}{4+4} = \frac{40}{8} = 5$

$S'(t) = \frac{3(t^2+1) - 3t(2t)}{(t^2+1)^2} = \frac{3t^2+3-6t^2}{(t^2+1)^2} = \frac{3-3t^2}{(t^2+1)^2}$

Zähler gleich null setzen: $3-3t^2 = 0 \to 3 = 3t^2 \to t^2 = 1 \to t = \pm 1$. Relevant ist $t=1$.

Vorzeichen von $3-3t^2$ prüfen:

• $t=0,5$: $3-3(0,5)^2 = 2,25$ (positiv)
• $t=2$: $3-3(2)^2 = -9$ (negativ) Vorzeichenwechsel von + nach -, also ein Maximum bei $t=1$.

$S(1) = \frac{3 \cdot 1}{1^2+1} = \frac{3}{2} = 1,5$

Die maximale Konzentration beträgt $1,5$ mg/m$^3$.

a) Zielwert berechnen: $\frac{1}{2} \cdot 1,5 = 0,75 = \frac{3}{4}$.

b) Gleichung aufstellen: $S(t) = \frac{3}{4}$

$\frac{3t}{t^2+1} = \frac{3}{4}$

Wir teilen durch 3: $\frac{t}{t^2+1} = \frac{1}{4}$

$4t = t^2+1$

$t^2 - 4t + 1 = 0$

c) Mitternachtsformel anwenden ($a=1, b=-4, c=1$):

$t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$t_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27$ und $t_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$.

d) Da gefragt ist, wann die Konzentration wieder gesunken ist, suchen wir den Zeitpunkt nach dem Maximum bei $t=1$. Das ist $t_2$.

$V'(t) = \frac{72(t^2+36) - 72t(2t)}{(t^2+36)^2} = \frac{72t^2 + 2592 - 144t^2}{(t^2+36)^2} = \frac{2592 - 72t^2}{(t^2+36)^2}$

$2592 - 72t^2 = 0 \to 2592 = 72t^2 \to t^2 = 36 \to t = \pm 6$. Relevant ist $t=6$.

Vorzeichen von $2592 - 72t^2$ prüfen:

• $t=1$: $2592 - 72 > 0$ (positiv)
• $t=7$: $2592 - 72 \cdot 49 = 2592 - 3528 < 0$ (negativ) Vorzeichenwechsel von + nach -, also ein Maximum bei $t=6$.

$V(6) = \frac{72 \cdot 6}{6^2+36} = \frac{432}{36+36} = \frac{432}{72} = 6$

Die Verkaufszahlen sind in Tausend, also $6 \cdot 1000 = 6000$ Stück.

$B'(t) = \frac{10(t^2+25) - 10t(2t)}{(t^2+25)^2} = \frac{10t^2 + 250 - 20t^2}{(t^2+25)^2} = \frac{250 - 10t^2}{(t^2+25)^2}$

$250 - 10t^2 = 0 \to 250 = 10t^2 \to t^2 = 25 \to t = \pm 5$. Relevant ist $t=5$.

Vorzeichen von $250 - 10t^2$ prüfen:

• $t=1$: $250 - 10 > 0$ (positiv)
• $t=6$: $250 - 10 \cdot 36 = -110 < 0$ (negativ) Vorzeichenwechsel von + nach -, also ein Maximum bei $t=5$.

$B(5) = \frac{10 \cdot 5}{5^2+25} = \frac{50}{25+25} = \frac{50}{50} = 1$

Die Anzahl ist in Hundert, also $1 \cdot 100 = 100$ Bienen.

$N'(t) = \frac{400(t^2+100) - 400t(2t)}{(t^2+100)^2} = \frac{400t^2 + 40000 - 800t^2}{(t^2+100)^2} = \frac{40000 - 400t^2}{(t^2+100)^2}$

$40000 - 400t^2 = 0 \to 40000 = 400t^2 \to t^2 = 100 \to t = \pm 10$. Relevant ist $t=10$.

Vorzeichen von $40000 - 400t^2$ prüfen:

• $t=1$: $40000 - 400 > 0$ (positiv)
• $t=11$: $40000 - 400 \cdot 121 = 40000 - 48400 < 0$ (negativ) Vorzeichenwechsel von + nach -, also ein Maximum bei $t=10$.

$N(10) = \frac{400 \cdot 10}{10^2+100} = \frac{4000}{100+100} = \frac{4000}{200} = 20$

Die Rate ist in Tausend Nutzer/Stunde, also $20 \cdot 1000 = 20000$ Nutzer/Stunde.