Grenzverhalten von Funktionen einfach erklärt: Grenzwerte berechnen

Wir betrachten $\lim_{x \to 1} (2 - \ln(x-1))$. Wenn $x$ sich von rechts der 1 nähert (z.B. 1,001), nähert sich der Term $(x-1)$ der 0 von rechts.

$f(x) = 2 - \ln(\textcolor{#08BFFF}{x-1})$

Wir wissen aus dem Vorwissen, dass $\ln(y) \to -\infty$, wenn $y \to 0$.

$\lim_{x \to 1} (2 - \underbrace{\ln(x-1)}_{ \to -\infty })$

$= 2 - (-\infty)$

$= 2 + \infty = +\infty$

2. Grenzwert für $x \to +\infty$:

Wir betrachten $\lim_{x \to +\infty} (2 - \ln(x-1))$. Wenn $x$ gegen unendlich geht, geht auch $(x-1)$ gegen unendlich.

$f(x) = 2 - \ln(\textcolor{#53E5D6}{x-1})$

Wir wissen, dass $\ln(y) \to +\infty$, wenn $y \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} (2 - \underbrace{\ln(x-1)}_{ \to +\infty })$

$= 2 - (+\infty) = -\infty$

Wir betrachten $\lim_{x \to \infty} (5e^{-2x} + 3)$. Wir konzentrieren uns auf den Term mit $x$: $\textcolor{#08BFFF}{e^{-2x}}$.

Wenn $x \to \infty$, dann geht $-2x \to -\infty$.

Wir wissen aus dem Vorwissen, dass $e^y \to 0$, wenn $y \to -\infty$.

$\lim_{x \to \infty} (5\underbrace{e^{-2x}}_{ \to 0 } + 3)$

$= 5 \cdot 0 + 3$

$= 3$

Wir betrachten $\lim_{x \to 4} \frac{10}{x-4}$. Wenn wir 4 direkt einsetzen, bekommen wir $\frac{10}{0}$, was nicht definiert ist. Wir müssen genauer hinsehen.

Wenn $x$ sich von rechts der 4 nähert (z.B. 4,001), dann ist der Nenner $(\textcolor{#08BFFF}{x-4})$ eine sehr kleine positive Zahl (z.B. 0,001).

Wir teilen eine positive Zahl (10) durch eine winzige positive Zahl. Das Ergebnis ist eine sehr große positive Zahl.

$\lim_{x \to 4^+} \frac{10}{\underbrace{x-4}_{\to 0^+}} = +\infty$

Wir betrachten $\lim_{t \to \infty} (\cos(\pi \cdot t) - t^2)$. Wir analysieren die beiden Teile getrennt:

• Der Term $\textcolor{#08BFFF}{\cos(\pi \cdot t)}$ schwankt immer zwischen -1 und 1, egal wie groß $t$ wird.
• Der Term $\textcolor{#53E5D6}{t^2}$ wächst gegen unendlich ($t^2 \to \infty$).

$\lim_{t \to \infty} (\underbrace{\cos(\pi \cdot t)}_{ \text{schwankt zw. -1 und 1} } - \underbrace{t^2}_{ \to \infty })$

Wir ziehen von einer kleinen, schwankenden Zahl eine unendlich große Zahl ab. Das Ergebnis geht gegen minus unendlich.

$= (\text{kleine Zahl}) - \infty = -\infty$

Wir teilen den Bruch auf: $f(x) = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$

Jetzt betrachten wir den Grenzwert des umgeformten Terms: $\lim_{x \to \infty} (1 + \textcolor{#08BFFF}{\frac{1}{x}})$

Wir wissen aus dem Vorwissen, dass $\frac{1}{x} \to 0$, wenn $x \to \infty$.

$= 1 + 0$

$= 1$

$\lim_{x \to \infty} \underbrace{x}_{ \to \infty } \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}}_{ \to e^{-\infty} \to 0 }$

Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck "$\infty \cdot 0$".

Die Terme sind $\textcolor{#08BFFF}{x}$ (Polynom, geht gegen $\infty$) und $\textcolor{#53E5D6}{e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}}$ (e-Funktion, geht gegen 0).

Die e-Funktion ist "stärker" als die Polynomfunktion.

Da der stärkere Term ($\textcolor{#53E5D6}{e^{-\dots}}$) gegen 0 geht, zieht er das gesamte Produkt mit sich. Der Grenzwert ist 0.

$\lim_{x \to \infty} (\underbrace{x^2}_{ \to \infty } - \underbrace{e^x}_{ \to \infty })$

Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck "$\infty - \infty$".

Die Terme sind $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$ (Polynom) und $\textcolor{#53E5D6}{e^x}$ (e-Funktion). Beide gehen gegen $\infty$.

Die e-Funktion $\textcolor{#53E5D6}{e^x}$ wächst viel schneller als das Polynom $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$. Sie ist also stärker.

Da der stärkere Term mit einem Minuszeichen abgezogen wird, dominiert er das Ergebnis und zieht es ins Negative.

$\lim_{x \to \infty} (x^2 - e^x) = -\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \underbrace{x^3}_{ \to 0 } \cdot \underbrace{\ln(x)}_{ \to -\infty }$

Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck "$0 \cdot (-\infty)$".

Die Terme sind $\textcolor{#08BFFF}{x^3}$ (Polynom, geht gegen 0) und $\textcolor{#53E5D6}{\ln(x)}$ (ln-Funktion, geht gegen $-\infty$).

Das Polynom $\textcolor{#08BFFF}{x^3}$ ist "stärker" als die ln-Funktion.

Der stärkere Term ($\textcolor{#08BFFF}{x^3}$) geht gegen 0 und dominiert somit das Verhalten. Der Grenzwert ist 0.

$\lim_{x \to \infty} (\underbrace{1000x}_{ \to \infty } - \underbrace{2^x}_{ \to \infty })$

Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck "$\infty - \infty$". (Hinweis: $a^x$ mit $a>1$ verhält sich wie eine e-Funktion).

Die Terme sind $\textcolor{#08BFFF}{1000x}$ (Polynom) und $\textcolor{#53E5D6}{2^x}$ (Exponentialfunktion).

Die Exponentialfunktion $\textcolor{#53E5D6}{2^x}$ ist stärker als das Polynom $\textcolor{#08BFFF}{1000x}$, auch wenn die 1000 am Anfang groß erscheint.

Der stärkere Term $\textcolor{#53E5D6}{2^x}$ wird abgezogen, also dominiert er das Ergebnis und zieht es ins Negative.

$\lim_{x \to \infty} (1000x - 2^x) = -\infty$

$\lim_{x \to \infty} \underbrace{(x-50)}_{ \to \infty } \cdot \underbrace{e^{-x}}_{ \to 0 }$

Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck "$\infty \cdot 0$".

Die Terme sind $\textcolor{#08BFFF}{x-50}$ (Polynom) und $\textcolor{#53E5D6}{e^{-x}}$ (e-Funktion).

Die e-Funktion $\textcolor{#53E5D6}{e^{-x}}$ ist stärker als das Polynom $\textcolor{#08BFFF}{x-50}$.

Da der stärkere Term gegen 0 geht, ist der gesamte Grenzwert 0.

Für $x \to \infty$ geht der Zähler gegen $\infty$ und der Nenner gegen $\infty$. Wir haben "$\frac{\infty}{\infty}$".

Die höchste Potenz im Bruch ist $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$.

Wir klammern $x^2$ im Zähler und Nenner aus:

$f(x) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{x^2}(1 - \frac{1}{x^2})}{\textcolor{#08BFFF}{x^2}(1 + \frac{1}{x^2})}$

Jetzt kürzen wir $x^2$:

$f(x) = \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

Nun setzen wir $x \to \infty$ in den neuen Term ein:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \overbrace{\frac{1}{x^2}}^{\to 0}}{1 + \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\to 0}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

Wir erhalten "$\frac{\infty}{\infty}$".

Die höchste Potenz im Bruch ist $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$.

Wir teilen jeden Term im Zähler und Nenner durch $x^2$:

$g(x) = \frac{\frac{3x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}} = \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{1}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overbrace{\frac{3}{x}}^{\to 0} + \overbrace{\frac{5}{x^2}}^{\to 0}}{2 - \underbrace{\frac{1}{x}}_{\to 0}} = \frac{0+0}{2-0} = \frac{0}{2} = 0$

Wir erhalten "$\frac{\infty}{\infty}$".

Die höchste Potenz im Bruch ist $\textcolor{#08BFFF}{x^3}$.

Wir teilen jeden Term durch $x^3$:

$h(x) = \frac{\frac{4x^3}{x^3} - \frac{2x}{x^3}}{\frac{x^2}{x^3} + \frac{100}{x^3}} = \frac{4 - \frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x} + \frac{100}{x^3}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \overbrace{\frac{2}{x^2}}^{\to 0}}{\underbrace{\frac{1}{x}}_{\to 0} + \underbrace{\frac{100}{x^3}}_{\to 0}} = \frac{4-0}{0+0} = "\frac{4}{0}"$

Eine Division durch 0 bedeutet, dass der Grenzwert $\infty$ oder $-\infty$ ist. Da für große $x$ Zähler (ca. 4) und Nenner (kleine positive Zahl) positiv sind, ist das Ergebnis positiv.

Wir erhalten "$\frac{-\infty}{\infty}$", was ebenfalls unbestimmt ist.

Die höchste Potenz ist $\textcolor{#08BFFF}{x}$ (oder $x^1$).

Wir teilen alles durch $x$:

$k(x) = \frac{\frac{5}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{3}{x}} = \frac{\frac{5}{x} - 1}{2 + \frac{3}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overbrace{\frac{5}{x}}^{\to 0} - 1}{2 + \underbrace{\frac{3}{x}}_{\to 0}} = \frac{0-1}{2+0} = -\frac{1}{2}$

Wir erhalten "$\frac{\infty}{\infty}$".

Der "stärkste" Term ist hier $\textcolor{#08BFFF}{e^x}$.

Wir klammern $e^x$ aus (oder teilen alles durch $e^x$):

$m(x) = \frac{e^x}{e^x(2 + \frac{1}{e^x})} = \frac{1}{2 + \frac{1}{e^x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \underbrace{\frac{1}{e^x}}_{\to 0}} = \frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$

Wir betrachten den Term $e^{-0,2x}$. Für $x \to \infty$ geht $-0,2x \to -\infty$, also geht $\textcolor{#08BFFF}{e^{-0,2x} \to 0}$.

$\lim_{x \to \infty} A(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{1+7\underbrace{e^{-0,2x}}_{\to 0}}$

$= \frac{8}{1+7 \cdot 0}$

$= \frac{8}{1} = 8$

• $x$: Zeit in Tagen
• $A(x)$: Fläche des Algenteppichs in $m^2$

Wir suchen $\lim_{t \to \infty} T(t)$. Für $t \to \infty$ geht $-0,05t \to -\infty$, also geht $\textcolor{#08BFFF}{e^{-0,05t} \to 0}$.

$\lim_{t \to \infty} T(t) = \lim_{t \to \infty} (20 + 70\underbrace{e^{-0,05t}}_{\to 0})$

$= 20 + 70 \cdot 0$

$= 20$

• $t$: Zeit in Minuten
• $T(t)$: Temperatur in °C

Wir suchen $\lim_{t \to \infty} N(t)$. Dies ist ein Bruch mit Zählergrad 2 und Nennergrad 2. Wir können den Trick aus Aufgabentyp 3 anwenden.

$\lim_{t \to \infty} \frac{1000t^2}{t^2+9} = \lim_{t \to \infty} \frac{1000}{1+\frac{9}{t^2}}$

$= \frac{1000}{1+0} = 1000$

• $t$: Zeit in Jahren
• $N(t)$: Anzahl der Tiere

Wir suchen $\lim_{t \to \infty} K(t)$.

$\lim_{t \to \infty} \underbrace{10t}_{ \to \infty } \cdot \underbrace{e^{-0,5t}}_{ \to 0 }$

Wir haben den Fall "$\infty \cdot 0$". Die e-Funktion ist stärker als das Polynom $10t$. Daher gewinnt der Term, der gegen 0 geht.

Der Grenzwert ist 0.

• $t$: Zeit in Stunden
• $K(t)$: Konzentration in mg/l

Wir suchen $\lim_{t \to \infty} h(t)$. Für $t \to \infty$ geht $-0,1t \to -\infty$, also geht $\textcolor{#08BFFF}{e^{-0,1t} \to 0}$.

$\lim_{t \to \infty} h(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{40}{1+100\underbrace{e^{-0,1t}}_{\to 0}}$

$= \frac{40}{1+100 \cdot 0}$

$= \frac{40}{1} = 40$

• $t$: Zeit in Jahren
• $h(t)$: Höhe in Metern