Grenzverhalten von Funktionen einfach erklärt

Wir untersuchen zunächst das Verhalten für $x \to 1$.

Wir betrachten den Term $ln(x-1)$. Wenn sich $x$ der 1 nähert, nähert sich der Ausdruck $(x-1)$ der Null.

Wir wissen, dass der Logarithmus für einen Wert nahe Null gegen $-\infty$ geht.

$ln(x-1) \to ln(1-1) = ln(0) \to -\infty$

Jetzt setzen wir dieses Ergebnis in die gesamte Funktion ein:

$\lim_{x \to 1} (2 - ln(x-1)) = 2 - (-\infty) = 2 + \infty = +\infty$

Nun untersuchen wir das Verhalten für $x \to +\infty$.

Wir betrachten wieder den Term $ln(x-1)$. Wenn $x$ unendlich groß wird, wird auch $(x-1)$ unendlich groß.

Wir wissen, dass der Logarithmus für einen unendlich großen Wert ebenfalls gegen $+\infty$ geht.

$ln(x-1) \to ln(\infty-1) = ln(\infty) \to +\infty$

Jetzt setzen wir dieses Ergebnis in die gesamte Funktion ein:

$\lim_{x \to +\infty} (2 - ln(x-1)) = 2 - (+\infty) = -\infty$

Wir untersuchen das Verhalten für $x \to +\infty$.

Wir betrachten den Term $e^{-x}$. Wenn $x$ gegen $+\infty$ geht, geht der Exponent $-x$ gegen $-\infty$.

Wir wissen, dass die e-Funktion für einen stark negativen Exponenten gegen 0 geht.

$e^{-x} \to e^{-\infty} \to 0$

Jetzt setzen wir dieses Ergebnis in die gesamte Funktion ein:

$\lim_{x \to +\infty} (5 \cdot e^{-x} + 3) = 5 \cdot 0 + 3 = 3$

Wir untersuchen das Verhalten für $x \to +\infty$.

Wir betrachten den Term $\frac{10}{x}$. Wenn wir eine feste Zahl (10) durch eine unendlich große Zahl ($x$) teilen, wird das Ergebnis unendlich klein, also 0.

$\frac{10}{x} \to \frac{10}{\infty} \to 0$

Jetzt setzen wir dieses Ergebnis in die gesamte Funktion ein:

$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{10}{x} - 4\right) = 0 - 4 = -4$

Wir untersuchen das Verhalten für $x \to -\infty$.

Wir betrachten den Term $(x-2)^3$. Wenn $x$ eine sehr große negative Zahl ist, ist $(x-2)$ ebenfalls eine sehr große negative Zahl.

$(x-2) \to (-\infty - 2) \to -\infty$

Wenn wir eine negative Zahl hoch 3 nehmen, bleibt das Ergebnis negativ (z.B. $(-10)^3 = -1000$).

Also geht der gesamte Ausdruck gegen minus unendlich.

$\lim_{x \to -\infty} (x-2)^3 = (-\infty)^3 = -\infty$

Wir untersuchen das Verhalten für $x \to 0$.

Wir betrachten den Term im Logarithmus: $x^2+1$. Wenn wir für $x$ die 0 einsetzen, erhalten wir:

$x^2+1 \to 0^2+1 = 1$

Wir müssen also den Wert von $ln(1)$ bestimmen.

Der Logarithmus von 1 ist exakt 0.

$\lim_{x \to 0} ln(x^2+1) = ln(1) = 0$

Für $x \to \infty$ geht der Zähler $x^2-1$ gegen $\infty$ und der Nenner $x^2+1$ geht ebenfalls gegen $\infty$. Wir haben den Fall $\frac{\infty}{\infty}$.

Die höchste Potenz von $x$ im gesamten Bruch ist $x^2$.

Wir klammern $x^2$ im Zähler und Nenner aus:

$f(x) = \frac{x^2(1 - \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}$

Jetzt kürzen wir $x^2$:

$f(x) = \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

Wir lassen nun $x \to +\infty$ laufen. Dabei geht der Term $\frac{1}{x^2}$ gegen 0.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

Für $x \to \infty$ haben wir den Fall $\frac{\infty}{\infty}$.

Die höchste Potenz von $x$ im gesamten Bruch ist $x^2$.

Wir klammern $x^2$ im Zähler und Nenner aus:

$g(x) = \frac{x^2(\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^2(1 - \frac{5}{x^2})}$

Nach dem Kürzen von $x^2$ bleibt:

$g(x) = \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{5}{x^2}}$

Wir lassen nun $x \to +\infty$ laufen. Alle Terme mit $x$ im Nenner gehen gegen 0.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{5}{x^2}} = \frac{0+0}{1-0} = \frac{0}{1} = 0$

Für $x \to -\infty$ haben wir den Fall $\frac{-\infty}{-\infty}$, also ebenfalls unbestimmt.

Die höchste Potenz von $x$ ist $x^3$.

Wir klammern $x^3$ aus:

$h(x) = \frac{x^3(4 - \frac{1}{x^2})}{x^3(2 + \frac{1}{x})}$

Nach dem Kürzen:

$h(x) = \frac{4 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}}$

Wir lassen $x \to -\infty$ laufen. Die Terme $\frac{1}{x^2}$ und $\frac{1}{x}$ gehen gegen 0.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{4-0}{2+0} = \frac{4}{2} = 2$

Für $x \to \infty$ haben wir den Fall $\frac{\infty}{\infty}$.

Die höchste Potenz von $x$ ist $x^3$.

Wir klammern $x^3$ aus:

$k(x) = \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3})}{x^3(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3})}$

Nach dem Kürzen:

$k(x) = \frac{1 + \frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}}$

Wir lassen $x \to +\infty$ laufen:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \frac{1+0}{0-0} = \frac{1}{0}$

Teilen durch Null ist nicht definiert. In der Grenzwertrechnung bedeutet das, dass der Wert gegen unendlich geht. Da Zähler (1) und Nenner (eine winzige positive Zahl) positiv sind, ist das Ergebnis $+\infty$.

Für $x \to \infty$ haben wir den Fall $\frac{-\infty}{\infty}$.

Die höchste Potenz von $x$ ist $x$ (oder $x^1$).

Wir klammern $x$ aus:

$m(x) = \frac{x(\frac{2}{x} - 1)}{x(\frac{3}{x} + 1)}$

Nach dem Kürzen:

$m(x) = \frac{\frac{2}{x} - 1}{\frac{3}{x} + 1}$

Wir lassen $x \to +\infty$ laufen:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x} - 1}{\frac{3}{x} + 1} = \frac{0-1}{0+1} = \frac{-1}{1} = -1$

Wir untersuchen $x \to 0^+$.

• Der Term $3x$ geht gegen $3 \cdot 0 = 0$.
• Der Term $ln(x)$ geht gegen $-\infty$.

Wir haben den Fall $0 \cdot (-\infty)$.

Die Terme sind eine Potenzfunktion ($3x$) und eine Logarithmusfunktion ($ln(x)$).

Die Potenzfunktion ($x$) ist stärker als die Logarithmusfunktion ($ln(x)$).

Da die stärkere Funktion ($3x$) gegen 0 geht, gewinnt sie. Der Grenzwert des gesamten Produkts ist daher 0.

$\lim_{x \to 0^+} 3x \cdot ln(x) = 0$

Wir untersuchen $x \to +\infty$.

• Der Term $x^2$ geht gegen $+\infty$.
• Der Term $e^{-x}$ geht gegen $e^{-\infty} = 0$.

Wir haben den Fall $\infty \cdot 0$.

Die Terme sind eine Potenzfunktion ($x^2$) und eine Exponentialfunktion ($e^{-x}$).

Die Exponentialfunktion ($e^x$) ist stärker als die Potenzfunktion ($x^2$). Das gilt auch für $e^{-x}$.

Die stärkere Funktion ($e^{-x}$) geht gegen 0. Sie gewinnt und zieht das ganze Produkt auf 0.

$\lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot e^{-x} = 0$

Wir untersuchen $x \to +\infty$.

• Der Term $\frac{1}{x}$ geht gegen $0$.
• Der Term $ln(x)$ geht gegen $+\infty$.

Wir haben den Fall $0 \cdot \infty$.

Die Terme sind eine Potenzfunktion ($x^{-1}$) und eine Logarithmusfunktion ($ln(x)$).

Die Potenzfunktion ($x^{-1}$) ist stärker als die Logarithmusfunktion ($ln(x)$).

Die stärkere Funktion ($\frac{1}{x}$) geht gegen 0. Sie gewinnt.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot ln(x) = 0$

Wir untersuchen $x \to -\infty$.

• Der Term $x$ geht gegen $-\infty$.
• Der Term $e^x$ geht gegen $e^{-\infty} = 0$.

Wir haben den Fall $(-\infty) \cdot 0$.

Die Terme sind eine Potenzfunktion ($x$) und eine Exponentialfunktion ($e^x$).

Die Exponentialfunktion ($e^x$) ist stärker als die Potenzfunktion ($x$).

Die stärkere Funktion ($e^x$) geht gegen 0. Sie gewinnt.

$\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$

Wir untersuchen $x \to 0^+$.

• Der Term $\sqrt{x}$ (was $x^{0,5}$ ist) geht gegen $0$.
• Der Term $ln(x)$ geht gegen $-\infty$.

Wir haben den Fall $0 \cdot (-\infty)$.

Die Terme sind eine Potenzfunktion ($\sqrt{x}$) und eine Logarithmusfunktion ($ln(x)$).

Die Potenzfunktion ist stärker als die Logarithmusfunktion.

Die stärkere Funktion ($\sqrt{x}$) geht gegen 0. Sie gewinnt.

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \cdot ln(x) = 0$

Wir untersuchen den Term $e^{-0,2x}$ für $x \to +\infty$. Der Exponent $-0,2x$ geht gegen $-\infty$, also geht der e-Term gegen 0.

$\lim_{x \to +\infty} A(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{8}{1+7 \cdot e^{-0,2x}} = \frac{8}{1+7 \cdot 0} = \frac{8}{1} = 8$

• $x$: Zeit in Tagen.
• $A(x)$: Fläche des Algenteppichs in $m^2$.

Der Grenzwert von 8 bedeutet, dass sich die Fläche des Algenteppichs für eine sehr große Anzahl an Tagen ($x \to \infty$) dem Wert 8 $m^2$ annähert. Dies ist die Sättigungsfläche.

Wir untersuchen den Term $e^{-0,1t}$ für $t \to +\infty$. Der Exponent geht gegen $-\infty$, also geht der e-Term gegen 0.

$\lim_{t \to +\infty} T(t) = \lim_{t \to +\infty} (20 + 70 \cdot e^{-0,1t}) = 20 + 70 \cdot 0 = 20$

• $t$: Zeit in Minuten.
• $T(t)$: Temperatur des Kaffees in °C.

Der Grenzwert von 20 bedeutet, dass sich die Temperatur des Kaffees nach sehr langer Zeit dem Wert 20°C annähert. Dies ist die Raumtemperatur.

Wir untersuchen den Grenzwert für $t \to +\infty$. Der Term $e^{-t}$ geht dabei gegen 0.

$\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{1000000}{1+500 \cdot e^{-t}} = \frac{1000000}{1+0} = 1000000$

• $t$: Zeit in Wochen.
• $N(t)$: Anzahl der Nutzer.

Der Grenzwert von 1.000.000 bedeutet, dass die Nutzerzahl langfristig auf diesen Wert anwächst und sich dort stabilisiert.

Wir untersuchen den Grenzwert für $t \to +\infty$.

• Der Term $10t$ geht gegen $+\infty$.
• Der Term $e^{-0,5t}$ geht gegen $0$.

Wir haben den Fall $\infty \cdot 0$. Wir nutzen die Hierarchie: Die Exponentialfunktion ist stärker als die Potenzfunktion. Der Term, der gegen 0 geht, gewinnt.

$\lim_{t \to +\infty} 10t \cdot e^{-0,5t} = 0$

• $t$: Zeit in Stunden.
• $K(t)$: Konzentration in mg/l.

Der Grenzwert von 0 bedeutet, dass die Konzentration des Medikaments nach langer Zeit gegen Null geht.

Wir untersuchen den Grenzwert für $t \to +\infty$. Der Term $-5t^2$ dominiert, da er die höchste Potenz hat.

$\lim_{t \to +\infty} (-5t^2 + 20t) = \lim_{t \to +\infty} -5t^2 = -5 \cdot (\infty)^2 = -\infty$

• $t$: Zeit in Sekunden.
• $h(t)$: Höhe in Metern.

Das mathematische Ergebnis ist $-\infty$. Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Höhe unendlich negativ wird. Das ist physikalisch unsinnig, da der Ball auf dem Boden (Höhe 0) aufkommt und nicht unendlich tief fällt. Das Modell ist also nur für einen begrenzten Zeitraum gültig (bis der Ball wieder landet).