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Die Quotientenregel beim Ableiten einfach erklärt
Brüche ableiten bereitet oft Schwierigkeiten in der Schule. Keine Sorge, mit diesem Artikel wirst du die Quotientenregel sicher beherrschen!
Definition
Erklärung
Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, um Brüche ableiten zu können. Sie kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen dargestellt wird. Die Quotientenregel Formel lautet:
Die Quotientenregel Formel lautet:
(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
Schema
Vorgehen
Um mit der Quotientenregel ableiten zu können, identifizierst du zuerst die Funktionen u(x) (Zähler) und v(x) (Nenner). Danach bestimmst du deren Ableitungen u'(x) und v'(x). Anschließend setzt du diese in die Quotientenregel Formel ein.
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
Beispiele
- Leite die Funktion f(x) = \frac{x}{x+1} ab.
1. u(x) = x, v(x) = x+1
2. u'(x) = 1, v'(x) = 1
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:
f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}
- Leite die Funktion f(x) = \frac{2x^2}{3x-4} ab.
1. u(x) = 2x^2, v(x) = 3x-4
2. u'(x) = 4x, v'(x) = 3
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:
f'(x) = \frac{4x \cdot (3x-4) - 2x^2 \cdot 3}{(3x-4)^2} = \frac{12x^2 -16x -6x^2}{(3x-4)^2} = \frac{6x^2 -16x}{(3x-4)^2}
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die Quotientenregel wird verwendet, um Brüche ableiten zu können.
- Merke dir die Quotientenregel Formel: Zählerableitung mal Nenner minus Zähler mal Nennerableitung, geteilt durch Nenner zum Quadrat.
Üben
Aufgaben
- Leite die Funktion f(x) = \frac{3x}{x-2} ab.
1. u(x) = 3x, v(x) = x-2
2. u'(x) = 3, v'(x) = 1
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:
f'(x) = \frac{3 \cdot (x-2) - 3x \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-6}{(x-2)^2}
- Leite die Funktion f(x) = \frac{x^2+1}{2x+3} ab.
1. u(x) = x^2+1, v(x) = 2x+3
2. u'(x) = 2x, v'(x) = 2
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:
f'(x) = \frac{2x \cdot (2x+3) - (x^2+1) \cdot 2}{(2x+3)^2} = \frac{4x^2+6x-2x^2-2}{(2x+3)^2} = \frac{2x^2+6x-2}{(2x+3)^2}
- Leite die Funktion f(x) = \frac{5x^3 - 2x}{x^2 + 4} ab.
1. u(x) = 5x^3 - 2x, v(x) = x^2 + 4
2. u'(x) = 15x^2 - 2, v'(x) = 2x
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:
f'(x) = \frac{(15x^2 - 2)(x^2 + 4) - (5x^3 - 2x)(2x)}{(x^2 + 4)^2}
4. Vereinfachen:
f'(x) = \frac{15x^4 + 60x^2 - 2x^2 - 8 - 10x^4 + 4x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{5x^4 + 62x^2 - 8}{(x^2 + 4)^2}
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