Die Quotientenregel beim Ableiten einfach erklärt

Erklärung

Definition

Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, um Brüche ableiten zu können. Sie kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen dargestellt wird. Die Quotientenregel Formel lautet:

\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}

Vorgehen

Schema

Um mit der Quotientenregel ableiten zu können, identifizierst du zuerst die Funktionen u(x) (Zähler) und v(x) (Nenner). Danach bestimmst du deren Ableitungen u'(x) und v'(x). Anschließend setzt du diese in die Quotientenregel Formel ein.

f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}

Beispiele

Leite die Funktion f(x) = \frac{x}{x+1} ab.

1. u(x) = x, v(x) = x+1
2. u'(x) = 1, v'(x) = 1
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:

f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}

Leite die Funktion f(x) = \frac{2x^2}{3x-4} ab.

1. u(x) = 2x^2, v(x) = 3x-4
2. u'(x) = 4x, v'(x) = 3
3. Einsetzen in die Quotientenregel Formel:

f'(x) = \frac{4x(3x-4) - 2x^2 \cdot 3}{(3x-4)^2} = \frac{12x^2 - 16x - 6x^2}{(3x-4)^2} = \frac{6x^2 - 16x}{(3x-4)^2}

Merkkasten

Zusammenfassung

★Die Quotientenregel wird verwendet, um Brüche ableiten zu können.
★Merke dir die Quotientenregel Formel: Zählerableitung mal Nenner minus Zähler mal Nennerableitung, geteilt durch Nenner zum Quadrat.

Aufgaben

1 / 3

Leite die Funktion

f(x) = \frac{3x}{x-2}

2 / 3

Leite die Funktion

f(x) = \frac{x^2+1}{2x+3}

3 / 3

Leite die Funktion

f(x) = \frac{5x^3 - 2x}{x^2 + 4}

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