Was ist eine Logarithmusfunktion und wie leitet man sie ab?

Eine Logarithmusfunktion hat die Form f(x) = ln(x) oder allgemeiner f(x) = ln(g(x)) . Die Ableitung der einfachen Form ist f'(x) = 1/x . Ist das Argument selbst eine Funktion von x , brauchst du zusätzlich die Kettenregel . Ist die Logarithmusfunktion außerdem mit einem anderen Term multipliziert, kommt noch die Produktregel dazu. Das klingt viel, folgt aber stets demselben Schema.

Wie erkennst du, ob du die Produktregel oder die Kettenregel brauchst?

Schau zuerst auf die Gesamtstruktur der Funktion. Sind zwei Terme miteinander multipliziert ? Dann brauchst du die Produktregel . Steckt im Argument des Logarithmus ein Ausdruck wie x² , 5x+2 oder t²+1 ? Dann brauchst du für diesen Teil die Kettenregel . Oft sind beide Regeln nötig – erst die Produktregel als Hauptregel, dann die Kettenregel beim Ableiten des ln-Faktors.

Wie lautet die Ableitung von ln(g(x)) mit der Kettenregel?

Die Ableitung von ln(g(x)) ergibt sich direkt aus der Kettenregel: (ln(g(x)))' = g'(x) / g(x) . Du leitest also die innere Funktion g(x) ab und teilst durch eben diese innere Funktion. Zum Beispiel: Die Ableitung von ln(x²) ist 2x / x² = 2/x . Diese Kurzformel spart dir Rechenzeit und Fehler.

Warum schreibt man den Wurzelterm beim Ableiten als Potenz um?

Ein Wurzelterm wie √x lässt sich schwer direkt mit der Kettenregel ableiten. Schreibst du ihn als x^{0.5} um, kannst du die Potenzregel ganz normal anwenden: Die Ableitung von x^{0.5} ist 0.5 · x^{-0.5} = 0.5/√x . Das Ergebnis ist dasselbe, aber der Rechenweg ist deutlich übersichtlicher und weniger fehleranfällig.

Was ist der Unterschied zwischen der einfachen ln-Ableitung und der verketteten Form?

Bei der einfachen Form f(x) = ln(x) gilt direkt f'(x) = 1/x – keine weiteren Schritte nötig. Bei der verketteten Form f(x) = ln(g(x)) musst du zusätzlich die innere Funktion g(x) ableiten und mit 1/g(x) multiplizieren: f'(x) = g'(x) / g(x) . Der entscheidende Unterschied ist also, ob im Argument noch ein Ausdruck in x steckt oder nur das bloße x .

Logarithmusfunktionen analysieren

Logarithmusfunktionen analysieren ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Analysis – und gar nicht so schwer, wenn du weißt, welche Ableitungsregeln du in welcher Reihenfolge anwendest. Stell dir vor, du willst verstehen, wie sich komplexe Systeme verändern – zum Beispiel die Ausbreitung eines viralen Videos oder das Wachstum von Bakterienkulturen. Solche Prozesse folgen oft logarithmischen Mustern. Aber was, wenn mehrere Faktoren gleichzeitig eine Rolle spielen? Genau hier kommt die Kombination von Ableitungsregeln ins Spiel. Das ist kein trockenes Rechnen, sondern das Profi-Werkzeug, um die verborgene Dynamik hinter solchen Prozessen zu entschlüsseln. Wenn du das beherrschst, kannst du nicht nur eine Matheaufgabe lösen, sondern die Veränderungsrate von fast allem berechnen, was dir begegnet.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Werkzeuge, die wir brauchen:

Ableitung der ln-Funktion: Die einfachste Regel für den Logarithmus.
- Formel: $f(x) = \ln(x) \to f'(x) = \frac{1}{x}$
- Beispiel: Die Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$ .
Produktregel: Wird gebraucht, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.
- Formel: $f(x) = u(x) \cdot v(x) \to f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
- Beispiel: Für $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$ ist $u(x)=x^2$ und $v(x)=\sin(x)$ .
Kettenregel: Wird für verkettete (ineinander verschachtelte) Funktionen gebraucht.
- Formel: $f(x) = a(b(x)) \to f'(x) = a'(b(x)) \cdot b'(x)$ (Äußere Ableitung mal innere Ableitung)
- Beispiel: Für $f(x) = (3x+5)^4$ ist die äußere Funktion $a(b)=b^4$ und die innere Funktion $b(x)=3x+5$ .

Aufgabentyp 1: Logarithmusfunktionen mit Produkt- und Kettenregel ableiten

Beim Logarithmusfunktionen analysieren begegnest du häufig Funktionen, die eine Kombination aus verschiedenen Regeln erfordern. Schauen wir uns eine Funktion wie $h(x) = x \cdot \ln(x^2)$ an.

Diese Funktion ist ein Produkt, also brauchen wir die Produktregel. Einer der Faktoren, nämlich $\ln(x^2)$ , ist aber selbst eine verkettete Funktion. Das bedeutet, wir müssen die Kettenregel anwenden, um diesen Teil abzuleiten.

Das Vorgehen ist immer gleich: Zuerst die große Struktur erkennen (hier: Produktregel) und dann die kleineren Teile einzeln ableiten (hier: ein Teil mit der Kettenregel).

$h(x) = x \cdot \ln(x^2)$

Große Struktur: Produkt aus $u(x)=x$ und $v(x)=\ln(x^2)$ . Wir wenden die Produktregel an.
Innere Struktur: Um $v(x)$ abzuleiten, brauchen wir die Kettenregel, da $x^2$ in der $\ln$ -Funktion steckt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erkenne die Hauptstruktur der Funktion. Analysiere die Funktion: Ist es ein Produkt, ein Quotient oder eine Verkettung? Das bestimmt die Hauptregel, die du anwendest.
Definiere die Teile und leite sie einzeln ab. Lege fest, was $u(x)$ und $v(x)$ ist. Leite beide Teile getrennt voneinander ab – bei verketteten Teilen nutzt du zusätzlich die Kettenregel.
Setze alles in die Hauptregel ein. Nimm die vier Bausteine ( $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ ) und setze sie in die Formel der Produktregel ein: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ .
Vereinfache das Ergebnis. Fasse den Term so weit wie möglich zusammen, kürze Brüche und kombiniere Terme.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $h(x) = x \cdot \ln(x^2)$ . Zeigen Sie, dass für die Ableitungsfunktion gilt: $h'(x) = \ln(x^2) + 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Hauptstruktur der Funktion erkennen
Die Funktion $h(x) = x \cdot \ln(x^2)$ ist ein Produkt. Wir verwenden also die Produktregel: $h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ .
2
Schritt 2
Teile der Funktion definieren und einzeln ableiten
Wir definieren die beiden Teile des Produkts:
- $u(x) = x$
- $v(x) = \ln(x^2)$
Jetzt leiten wir beide Teile ab.

Ableitung von $u(x)$ : $u'(x) = 1$

Ableitung von $v(x)$ : Für $v(x) = \ln(x^2)$ benötigen wir die Kettenregel.
- Äußere Funktion: $a(b) = \ln(b) \to a'(b) = \frac{1}{b}$
- Innere Funktion: $b(x) = x^2 \to b'(x) = 2x$
Zusammensetzen nach der Kettenregel $a'(b(x)) \cdot b'(x)$ : $v'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$
3
Schritt 3
Alles in die Hauptregel einsetzen
Wir haben alle vier Bausteine:
- $u(x) = x$
- $u'(x) = 1$
- $v(x) = \ln(x^2)$
- $v'(x) = \frac{2}{x}$
Einsetzen in die Produktregel: $h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$h'(x) = 1 \cdot \ln(x^2) + x \cdot \frac{2}{x}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$h'(x) = \ln(x^2) + \frac{2x}{x}$

$h'(x) = \ln(x^2) + 2$

Ergebnis:

Das entspricht genau dem zu zeigenden Ergebnis.

Beispiel 2

Aufgabe

Leiten Sie die Funktion $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ ab.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Hauptstruktur der Funktion erkennen
Die Funktion ist ein Produkt. Wir verwenden die Produktregel.
2
Schritt 2
Teile der Funktion definieren und einzeln ableiten
- $u(x) = x^4 \to u'(x) = 4x^3$
- $v(x) = \ln(x) \to v'(x) = \frac{1}{x}$
Hier wird keine Kettenregel benötigt, da $v(x)$ die einfache ln-Funktion ist.
Schritt 3
Alles in die Hauptregel einsetzen
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 4x^3 \cdot \ln(x) + x^4 \cdot \frac{1}{x}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$f'(x) = 4x^3 \cdot \ln(x) + \frac{x^4}{x}$

$f'(x) = 4x^3 \cdot \ln(x) + x^3$

Man kann noch $x^3$ ausklammern: $f'(x) = x^3(4\ln(x) + 1)$

Ergebnis:

$f'(x) = x^3(4\ln(x) + 1)$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion $g(x) = 3x^2 \cdot \ln(5x+2)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Hauptstruktur der Funktion erkennen
Die Funktion ist ein Produkt, also verwenden wir die Produktregel.
2
Schritt 2
Teile der Funktion definieren und einzeln ableiten
- $u(x) = 3x^2 \to u'(x) = 6x$
- $v(x) = \ln(5x+2)$
Für $v(x)$ brauchen wir die Kettenregel:
- Äußere Funktion: $a(b) = \ln(b) \to a'(b) = \frac{1}{b}$
- Innere Funktion: $b(x) = 5x+2 \to b'(x) = 5$
Zusammensetzen: $v'(x) = \frac{1}{5x+2} \cdot 5 = \frac{5}{5x+2}$
Schritt 3
Alles in die Hauptregel einsetzen
$g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$g'(x) = 6x \cdot \ln(5x+2) + 3x^2 \cdot \frac{5}{5x+2}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$g'(x) = 6x \cdot \ln(5x+2) + \frac{15x^2}{5x+2}$

Ergebnis:

$g'(x) = 6x \cdot \ln(5x+2) + \frac{15x^2}{5x+2}$ (Dieser Term kann nicht weiter sinnvoll zusammengefasst werden.)

Beispiel 4

Aufgabe

Leiten Sie die Funktion $k(t) = \ln(t^2+1) \cdot t^3$ ab.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Hauptstruktur der Funktion erkennen
Die Funktion ist ein Produkt. Wir verwenden die Produktregel.
2
Schritt 2
Teile der Funktion definieren und einzeln ableiten
- $u(t) = \ln(t^2+1)$
- $v(t) = t^3 \to v'(t) = 3t^2$
Für $u(t)$ brauchen wir die Kettenregel:
- Äußere Funktion: $a(b) = \ln(b) \to a'(b) = \frac{1}{b}$
- Innere Funktion: $b(t) = t^2+1 \to b'(t) = 2t$
Zusammensetzen: $u'(t) = \frac{1}{t^2+1} \cdot 2t = \frac{2t}{t^2+1}$
Schritt 3
Alles in die Hauptregel einsetzen
$k'(t) = u'(t) \cdot v(t) + u(t) \cdot v'(t)$

$k'(t) = \frac{2t}{t^2+1} \cdot t^3 + \ln(t^2+1) \cdot 3t^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$k'(t) = \frac{2t^4}{t^2+1} + 3t^2 \cdot \ln(t^2+1)$

Ergebnis:

$k'(t) = \frac{2t^4}{t^2+1} + 3t^2 \cdot \ln(t^2+1)$

Beispiel 5

Aufgabe

Finden Sie die Ableitung von $f(x) = (x+1) \cdot \ln(\sqrt{x})$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Hauptstruktur der Funktion erkennen
Die Funktion ist ein Produkt, also verwenden wir die Produktregel. Wir schreiben $\sqrt{x}$ als $x^{0.5}$ um, das macht das Ableiten einfacher.

$f(x) = (x+1) \cdot \ln(x^{0.5})$
2
Schritt 2
Teile der Funktion definieren und einzeln ableiten
- $u(x) = x+1 \to u'(x) = 1$
- $v(x) = \ln(x^{0.5})$
Für $v(x)$ brauchen wir die Kettenregel:
- Äußere Funktion: $a(b) = \ln(b) \to a'(b) = \frac{1}{b}$
- Innere Funktion: $b(x) = x^{0.5} \to b'(x) = 0.5x^{-0.5} = \frac{0.5}{\sqrt{x}}$
Zusammensetzen: $v'(x) = \frac{1}{x^{0.5}} \cdot 0.5x^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{0.5}{\sqrt{x}} = \frac{0.5}{x}$
Schritt 3
Alles in die Hauptregel einsetzen
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 1 \cdot \ln(\sqrt{x}) + (x+1) \cdot \frac{0.5}{x}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$f'(x) = \ln(\sqrt{x}) + \frac{0.5(x+1)}{x}$

$f'(x) = \ln(\sqrt{x}) + \frac{0.5x+0.5}{x}$

Ergebnis:

$f'(x) = \ln(\sqrt{x}) + \frac{0.5x+0.5}{x}$

Wichtige Erkenntnisse

Struktur zuerst: Analysiere immer zuerst die Gesamtstruktur der Funktion. Ist es ein Produkt, ein Quotient oder eine Verkettung? Das bestimmt die Hauptregel.
Bausteine ableiten: Leite die einzelnen Teile der Funktion getrennt ab. Halte Ausschau nach inneren Strukturen, die eine weitere Regel (wie die Kettenregel) benötigen.
Ableitung von $\ln(g(x))$ : Die Ableitung einer verketteten ln-Funktion hat eine einfache Form: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ (innere Ableitung geteilt durch innere Funktion).
Sorgfältig einsetzen: Setze die vier Bausteine ( $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ ) korrekt in die Produktregel $u'v + uv'$ ein.
Am Ende vereinfachen: Fasse den resultierenden Term immer so weit wie möglich zusammen.

Logarithmusfunktionen analysieren: Ableitung mit Produkt- und Kettenregel

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Logarithmusfunktionen mit Produkt- und Kettenregel ableiten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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