Was ist der Kehrsatz des Pythagoras?

Der Kehrsatz des Pythagoras ist die Umkehrung des bekannten Satzes: Wenn bei einem Dreieck mit den Seiten a , b und c die Gleichung a² + b² = c² erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig . Du kannst damit also nicht nur prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, sondern auch eine Seite so anpassen, dass Rechtwinkligkeit entsteht.

Wie erzeugst du Rechtwinkligkeit mit dem Kehrsatz des Pythagoras?

Du gehst in vier Schritten vor: Zuerst prüfst du, ob das Dreieck bereits rechtwinklig ist. Dann unterscheidest du, welche Seite angepasst werden soll. Anschließend stellst du die Pythagoras-Gleichung auf und löst sie nach der gesuchten Seite auf – meistens durch Wurzelziehen . Zum Schluss formulierst du die neue Seitenlänge als Antwort.

Was ist der Unterschied zwischen dem Satz des Pythagoras und seinem Kehrsatz?

Der Satz des Pythagoras geht von einem bekannten rechtwinkligen Dreieck aus und berechnet eine fehlende Seite. Der Kehrsatz dreht das um: Du hast drei beliebige Seitenlängen und prüfst, ob sie ein rechtwinkliges Dreieck bilden – oder du passt eine Seite an, um Rechtwinkligkeit zu erzwingen .

Wie gehst du bei einem gleichschenkligen Dreieck vor, um Rechtwinkligkeit zu erzeugen?

Bei einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck gilt: Die beiden gleich langen Schenkel sind immer die Katheten , die Basis ist immer die Hypotenuse . Du nutzt die vereinfachte Formel 2a² = c² , wenn die Schenkel gesucht sind, oder c² = a² + a² , wenn die Basis berechnet werden soll.

Wann musst du Fall A und wann Fall B anwenden?

Fall A verwendest du, wenn die längste Seite (Hypotenuse) angepasst werden soll: Die Formel lautet c_neu² = a² + b² . Fall B verwendest du, wenn eine der kürzeren Seiten (Kathete) angepasst werden soll: Die Formel lautet b_neu² = c² − a² . Die Aufgabenstellung sagt dir immer, welche Seite verändert werden soll.

Kehrsatz des Pythagoras: Rechtwinkligkeit erzeugen

Schon mal Handwerker beobachtet, die ein Fundament für ein Haus legen? Die haben kein riesiges Geodreieck dabei. Wie stellen sie sicher, dass die Ecken exakt 90 Grad haben? Sie benutzen einen Trick, der über 2000 Jahre alt ist: den Satz des Pythagoras, aber rückwärts! Mit drei simplen Messungen können sie einen perfekten rechten Winkel „erzwingen". Das ist kein Raten, das ist reine Mathematik. Mit dem Kehrsatz des Pythagoras Rechtwinkligkeit erzeugen zu können ist ein echter Alltagsnutzen – nicht nur für die Schule, sondern auch, wenn du mal selbst etwas baust und es stabil und gerade sein soll. Lass uns dieses Geheimnis der Profis lüften!

Schnellantwort

Der Kehrsatz des Pythagoras sagt: Wenn bei einem Dreieck die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Umgekehrt kannst du eine der Seiten so anpassen, dass die Gleichung stimmt – und damit das Dreieck „zwingen", einen rechten Winkel zu bekommen. Das ist das Werkzeug zum Rechtwinkligkeit erzeugen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten (Katheten) gleich dem Quadrat der längsten Seite (Hypotenuse).
- Formel: $a^2 + b^2 = c^2$
- Beispiel: Ein Dreieck mit den Seiten $3 \text{ cm}$ , $4 \text{ cm}$ und $5 \text{ cm}$ ist rechtwinklig, weil $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ und das ist genau $5^2$ .
Hypotenuse und Katheten: Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

Hypotenuse und Katheten im rechtwinkligen Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten (die Schenkel) gleich lang sind. Die dritte Seite heißt Basis.
Wurzelziehen: Die Umkehrung des Quadrierens.
- Beispiel: $\sqrt{49} = 7$ , weil $7^2 = 49$ .

Aufgabentyp 1: Rechtwinkligkeit durch Anpassen einer Seite erzeugen

Der Kehrsatz des Pythagoras sagt uns: Wenn bei einem Dreieck die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüllt ist, DANN ist das Dreieck rechtwinklig.

Was aber, wenn die Gleichung nicht stimmt? Dann ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Die Aufgabe ist es dann, eine der Seitenlängen so zu verändern (anzupassen), dass die Gleichung am Ende stimmt. Damit „zwingen" wir das Dreieck, rechtwinklig zu werden.

Meistens gibt es zwei Möglichkeiten:

Wir behalten die beiden kürzeren Seiten (die Katheten) und berechnen, wie lang die längste Seite (Hypotenuse) sein müsste.
Wir behalten die längste Seite und eine kürzere Seite und berechnen, wie lang die andere kurze Seite sein müsste.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Rechtwinkligkeit prüfen (optional, aber empfohlen)

Identifiziere die längste Seite. Das ist dein Kandidat für die Hypotenuse. Setze die Seitenlängen in den Satz des Pythagoras ein und prüfe, ob die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ stimmt. Wenn nicht, fahre fort.

Schritt 2: Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen

Lies genau, welche Seite angepasst werden soll.

Fall A: Die längste Seite (Hypotenuse) soll angepasst werden. Die beiden kürzeren Seiten bleiben, wie sie sind. Die Gleichung lautet: $c_{neu}^2 = a^2 + b^2$
Fall B: Eine der kürzeren Seiten (Kathete) soll angepasst werden. Die längste Seite und die andere kurze Seite bleiben. Die Gleichung lautet (nach Umstellung): $b_{neu}^2 = c^2 - a^2$

Schritt 3: Neue Seitenlänge berechnen

Setze die bekannten Werte in die aufgestellte Gleichung ein und löse sie nach der neuen, gesuchten Seitenlänge auf. Meistens musst du am Ende die Wurzel ziehen.

Schritt 4: Antwort formulieren

Gib die neue Seitenlänge an, die das Dreieck rechtwinklig macht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $m = 3$ , $k = 4$ und $b = 6$ . Passe die Seite $b$ so an, dass das Dreieck rechtwinklig wird.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Rechtwinkligkeit prüfen
Die längste Seite ist $b=6$ . Wir prüfen, ob $3^2 + 4^2 = 6^2$ gilt.

$9 + 16 = 36$

$25 \neq 36$

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Schritt 2
Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen
Die längste Seite $b$ soll angepasst werden. Das ist Fall A. Die Seiten $m=3$ und $k=4$ sind also die Katheten. Wir suchen die neue Hypotenuse $b_{neu}$ .

Die Formel lautet: $b_{neu}^2 = m^2 + k^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Seitenlänge berechnen
Wir setzen die Werte ein: $b_{neu}^2 = 3^2 + 4^2$

$b_{neu}^2 = 9 + 16$

$b_{neu}^2 = 25$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $b_{neu} = \sqrt{25}$

$b_{neu} = 5$

Ergebnis:

Die Seite $b$ muss auf die Länge 5 verkürzt werden, damit das Dreieck rechtwinklig ist.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seiten $a=5$ , $b=10$ und $c=13$ . Ändere die Seite $b$ , damit ein rechter Winkel entsteht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Rechtwinkligkeit prüfen
Die längste Seite ist $c=13$ . Wir prüfen: $5^2 + 10^2 = 13^2$ .

$25 + 100 = 169$

$125 \neq 169$

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Schritt 2
Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen
Eine der kürzeren Seiten, $b$ , soll angepasst werden. Das ist Fall B. Die Seite $c=13$ bleibt die Hypotenuse und $a=5$ bleibt eine Kathete.

Die Formel lautet: $b_{neu}^2 = c^2 - a^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Seitenlänge berechnen
Wir setzen die Werte ein: $b_{neu}^2 = 13^2 - 5^2$

$b_{neu}^2 = 169 - 25$

$b_{neu}^2 = 144$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $b_{neu} = \sqrt{144}$

$b_{neu} = 12$

Ergebnis:

Die Seite $b$ muss auf die Länge 12 verlängert werden, damit das Dreieck rechtwinklig ist.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind die Seiten $x=8$ , $y=15$ und $z=20$ . Die Seite $z$ soll so verändert werden, dass das Dreieck rechtwinklig wird. Wie lang muss sie sein?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 2
Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen
Die längste Seite, $z$ , soll angepasst werden (Fall A). Die Seiten $x=8$ und $y=15$ sind die Katheten.

Die Formel lautet: $z_{neu}^2 = x^2 + y^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Seitenlänge berechnen
Wir setzen die Werte ein: $z_{neu}^2 = 8^2 + 15^2$

$z_{neu}^2 = 64 + 225$

$z_{neu}^2 = 289$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $z_{neu} = \sqrt{289}$

$z_{neu} = 17$

Ergebnis:

Die Seite $z$ muss auf die Länge 17 verkürzt werden, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seitenlängen 7, 24 und 26. Die kürzeste Seite soll angepasst werden, um einen rechten Winkel zu erzeugen. Bestimme ihre neue Länge.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 2
Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen
Die kürzeste Seite ( $a=7$ ) soll angepasst werden (Fall B). Die längste Seite ( $c=26$ ) ist die Hypotenuse und die mittlere Seite ( $b=24$ ) ist die andere Kathete.

Die Formel lautet: $a_{neu}^2 = c^2 - b^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Seitenlänge berechnen
Wir setzen die Werte ein: $a_{neu}^2 = 26^2 - 24^2$

$a_{neu}^2 = 676 - 576$

$a_{neu}^2 = 100$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $a_{neu} = \sqrt{100}$

$a_{neu} = 10$

Ergebnis:

Die kürzeste Seite muss von 7 auf 10 verlängert werden, damit das Dreieck rechtwinklig wird.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seiten $a=2$ , $b=3$ und $c=4$ . Wie lang muss die Seite $c$ sein, damit das Dreieck rechtwinklig ist?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 2
Fall unterscheiden und Gleichung aufstellen
Die längste Seite, $c$ , soll angepasst werden (Fall A). Die Seiten $a=2$ und $b=3$ sind die Katheten.

Die Formel lautet: $c_{neu}^2 = a^2 + b^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Seitenlänge berechnen
Wir setzen die Werte ein: $c_{neu}^2 = 2^2 + 3^2$

$c_{neu}^2 = 4 + 9$

$c_{neu}^2 = 13$

Jetzt ziehen wir die Wurzel: $c_{neu} = \sqrt{13}$

$c_{neu} \approx 3{,}61$

Ergebnis:

Die Seite $c$ muss auf die Länge $\sqrt{13}$ (ca. 3,61) verkürzt werden, damit das Dreieck rechtwinklig ist.

Aufgabentyp 2: Rechtwinkligkeit bei besonderen Dreiecken erzeugen

Manchmal bekommen wir nicht einfach drei Seitenlängen, sondern eine Bedingung, wie z.B. „das Dreieck ist gleichschenklig". Hier müssen wir die Eigenschaften des Dreiecks nutzen, um herauszufinden, welche Seite welche Rolle im Satz des Pythagoras spielt.

Wichtige Eigenschaft: Bei einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck ist der rechte Winkel immer zwischen den beiden gleich langen Seiten (den Schenkeln). Das bedeutet:

Die beiden Schenkel sind die Katheten.
Die Basis (die ungleiche Seite) ist automatisch die Hypotenuse.

Rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck mit Basis als Hypotenuse

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen

Lies die Aufgabenstellung und nutze die Eigenschaft des besonderen Dreiecks (z.B. gleichschenklig), um die Rollen zu verteilen: Welche Seite ist die Hypotenuse, welche sind die Katheten?

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Setze die Informationen in die Pythagoras-Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ ein. Bei einem gleichschenkligen Dreieck, bei dem die Schenkel gesucht sind, wird daraus oft $a^2 + a^2 = c^2$ , was sich zu $2a^2 = c^2$ vereinfacht.

Schritt 3: Nach der Unbekannten auflösen

Löse die Gleichung durch Umformen nach der gesuchten Seitenlänge auf.

Schritt 4: Antwort formulieren

Gib die berechnete Länge an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist $9 \text{ cm}$ lang. Bestimme, wie lang die Schenkel sein müssen, damit das Dreieck rechtwinklig ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen
In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck ist die Basis die Hypotenuse. Also ist $c = 9$ . Die beiden Schenkel sind die Katheten und gleich lang. Nennen wir sie $a$ .
Schritt 2
Gleichung aufstellen
Wir setzen dies in den Satz des Pythagoras ein: $a^2 + a^2 = c^2$

$2a^2 = 9^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach der Unbekannten auflösen
$2a^2 = 81$

Wir teilen durch 2: $a^2 = \frac{81}{2}$

Wir ziehen die Wurzel: $a = \sqrt{\frac{81}{2}}$

$a = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Ergebnis:

Die Schenkel müssen jeweils $\frac{9}{\sqrt{2}} \text{ cm}$ (ca. 6,36 cm) lang sein.

Beispiel 2

Aufgabe

Die beiden Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind je $5 \text{ cm}$ lang. Wie lang muss die Basis sein, damit das Dreieck rechtwinklig ist?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen
Die beiden gleich langen Schenkel sind die Katheten. Also $a = 5$ und $b = 5$ . Die gesuchte Basis ist die Hypotenuse $c$ .
Schritt 2
Gleichung aufstellen
Wir setzen dies in den Satz des Pythagoras ein: $5^2 + 5^2 = c^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach der Unbekannten auflösen
$25 + 25 = c^2$

$50 = c^2$

Wir ziehen die Wurzel: $c = \sqrt{50}$

Das können wir vereinfachen: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .

Ergebnis:

Die Basis muss $5\sqrt{2} \text{ cm}$ (ca. 7,07 cm) lang sein.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist $10 \text{ m}$ lang. Berechne die Länge der Schenkel, die es zu einem rechtwinkligen Dreieck machen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen
Die Basis ist die Hypotenuse, also $c = 10$ . Die Schenkel sind die gleich langen Katheten $a$ .
Schritt 2
Gleichung aufstellen
$2a^2 = c^2$

$2a^2 = 10^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach der Unbekannten auflösen
$2a^2 = 100$

Wir teilen durch 2: $a^2 = 50$

Wir ziehen die Wurzel: $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Ergebnis:

Die Schenkel müssen jeweils $5\sqrt{2} \text{ m}$ (ca. 7,07 m) lang sein.

Beispiel 4

Aufgabe

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Schenkel $1 \text{ cm}$ lang. Bestimme die Länge der Basis, die das Dreieck rechtwinklig macht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen
Die Schenkel sind die Katheten: $a = 1$ und $b = 1$ . Die Basis ist die Hypotenuse $c$ .
Schritt 2
Gleichung aufstellen
$1^2 + 1^2 = c^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach der Unbekannten auflösen
$1 + 1 = c^2$

$2 = c^2$

Wir ziehen die Wurzel: $c = \sqrt{2}$

Ergebnis:

Die Basis muss $\sqrt{2} \text{ cm}$ (ca. 1,41 cm) lang sein.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von $14 \text{ mm}$ . Wie lang sind die Katheten?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eigenschaften nutzen und Seiten zuordnen
Die Hypotenuse ist gegeben: $c = 14$ . Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die beiden Katheten gleich lang. Nennen wir sie $a$ .
Schritt 2
Gleichung aufstellen
$2a^2 = c^2$

$2a^2 = 14^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach der Unbekannten auflösen
$2a^2 = 196$

Wir teilen durch 2: $a^2 = 98$

Wir ziehen die Wurzel: $a = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$

Ergebnis:

Die Katheten (Schenkel) sind jeweils $7\sqrt{2} \text{ mm}$ (ca. 9,9 mm) lang.

Wichtige Erkenntnisse

Der Kehrsatz des Pythagoras ist dein Werkzeug, um Rechtwinkligkeit zu überprüfen oder zu erzeugen: Gilt $a^2 + b^2 = c^2$ , ist das Dreieck rechtwinklig.
Um ein Dreieck rechtwinklig zu machen, passt du eine Seite so an, dass die Gleichung am Ende stimmt.
Bei einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind die beiden gleich langen Schenkel immer die Katheten und die Basis ist immer die Hypotenuse.

Kehrsatz des Pythagoras: Rechtwinkligkeit erzeugen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Rechtwinkligkeit durch Anpassen einer Seite erzeugen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Rechtwinkligkeit bei besonderen Dreiecken erzeugen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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