Wie prüfst du mit dem Kehrsatz des Pythagoras, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Gehe in vier Schritten vor: Finde die längste Seite – das ist dein Kandidat für die Hypotenuse c . Setze alle drei Seiten in a² + b² = c² ein. Berechne linke und rechte Seite der Gleichung getrennt . Vergleiche die Ergebnisse: Sind sie gleich, ist das Dreieck rechtwinklig; sind sie ungleich, ist es das nicht.

Was ist der Unterschied zwischen dem Satz des Pythagoras und seinem Kehrsatz?

Der Satz des Pythagoras geht von einem bekannten rechten Winkel aus und berechnet eine fehlende Seitenlänge mit a² + b² = c² . Der Kehrsatz dreht das Prinzip um: Du kennst alle drei Seiten und prüfst, ob die Gleichung a² + b² = c² stimmt – um zu entscheiden, ob überhaupt ein rechter Winkel vorhanden ist. Der Satz rechnet, der Kehrsatz prüft.

Wie gehst du beim Kehrsatz des Pythagoras mit Parametern um?

Du behandelst den Parameter (z. B. k ) wie eine gewöhnliche Zahl. Wichtig ist das korrekte Quadrieren von Termen: (3k)² = 9k² , nicht 3k² . Setze immer Klammern um die Terme beim Einsetzen in die Formel. Nach dem Vereinfachen vergleichst du die Terme auf beiden Seiten – stimmen sie überein, ist das Dreieck für jeden positiven Wert von k rechtwinklig.

Wann ist ein Dreieck laut Kehrsatz des Pythagoras nicht rechtwinklig?

Ein Dreieck ist nicht rechtwinklig , wenn die Gleichung a² + b² = c² nach dem Einsetzen und Ausrechnen nicht aufgeht – also wenn linke und rechte Seite verschiedene Werte ergeben, z. B. 41 ≠ 36 . Das bedeutet: Kein Winkel des Dreiecks beträgt genau 90 Grad. Im Sachkontext heißt das etwa, dass ein Rahmen schief oder ein Grundstück nicht rechtwinklig ist.

Kehrsatz des Pythagoras einfach erklärt

Q: Was ist der Kehrsatz des Pythagoras?

Der Kehrsatz des Pythagoras ist die Umkehrung des bekannten Satzes von Pythagoras. Er besagt: Wenn bei einem Dreieck mit den Seiten a , b und c die Gleichung a² + b² = c² erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Dabei muss c immer die längste der drei Seiten sein. Mit diesem Satz kannst du allein durch Messen der drei Seitenlängen feststellen, ob ein Winkel genau 90 Grad beträgt.

Der Kehrsatz des Pythagoras ist einer der praktischsten Mathe-Tricks, die du in der Schule lernst. Stell dir vor, du baust etwas – ein Regal, ein Baumhaus oder hilfst im Garten. Woher weißt du, dass eine Ecke wirklich exakt 90 Grad hat und nicht schief ist? Du könntest ein teures Werkzeug benutzen ... oder diesen genialen Mathe-Trick! Der Kehrsatz des Pythagoras erlaubt dir, nur mit einem Maßband zu prüfen, ob ein Winkel perfekt rechtwinklig ist. Das ist ein Trick, den Handwerker und Architekten jeden Tag benutzen. Lerne ihn, und du kannst die Welt um dich herum auf eine ganz neue Art vermessen.

Schnellantwort

Der Kehrsatz des Pythagoras dreht den bekannten Satz des Pythagoras um: Wenn bei einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Dabei musst du für $c$ immer die längste der drei Seiten einsetzen. Wenn die Gleichung stimmt, ist der Winkel genau 90 Grad – wenn nicht, dann nicht.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt immer: Die Quadrate der beiden kurzen Seiten (Katheten) sind zusammen so groß wie das Quadrat der längsten Seite (Hypotenuse).
- Formel: $a^2 + b^2 = c^2$
- Beispiel: Ein Dreieck mit den Seiten $a=3$ , $b=4$ und $c=5$ ist rechtwinklig, weil $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ und $5^2 = 25$ ist.
Hypotenuse und Katheten:
- Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
- Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel bilden.

Dreieck mit Hypotenuse und zwei Katheten beschriftet

Potenzieren (Quadrieren): Eine Zahl mit sich selbst multiplizieren.
- Beispiel: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

Aufgabentyp 1: Rechtwinkligkeit mit Zahlen prüfen

Der Kehrsatz des Pythagoras dreht den bekannten Satz einfach um. Er sagt:

Wenn bei einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Das Wichtigste dabei ist, dass du für $c$ immer die längste der drei Seiten einsetzen musst. Die anderen beiden Seiten sind dann automatisch $a$ und $b$ .

Wir prüfen also einfach, ob die Rechnung aufgeht. Wenn ja, haben wir einen rechten Winkel. Wenn nicht, dann nicht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die längste Seite – das ist dein Kandidat für die Hypotenuse $c$ .
Setze die Werte in die Formel ein – längste Seite für $c$ , die anderen für $a$ und $b$ in $a^2 + b^2 = c^2$ .
Rechne beide Seiten der Gleichung aus – linke Seite (Summe der Kathetenquadrate) und rechte Seite (Hypotenusenquadrat) getrennt.
Vergleiche die Ergebnisse und formuliere die Antwort – gleich bedeutet rechtwinklig, ungleich bedeutet nicht rechtwinklig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe, ob das Dreieck mit den Seitenlängen $k = 5\text{ cm}$ , $m = 12\text{ cm}$ und $j = 13\text{ cm}$ rechtwinklig ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die Seitenlängen sind $5$ , $12$ und $13$ . Die längste Seite ist $13 \text{ cm}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen beiden sind $a=5$ und $b=12$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$5^2 + 12^2 = 13^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen
Linke Seite: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Rechte Seite: $13^2 = 169$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
Wir vergleichen die beiden Ergebnisse:

$169 = 169$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm ist rechtwinklig.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist ein Dreieck mit den Seiten $a = 8\text{ m}$ , $b = 15\text{ m}$ und $c = 17\text{ m}$ rechtwinklig?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $17 \text{ m}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen beiden sind $a=8$ und $b=15$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$8^2 + 15^2 = 17^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen
Linke Seite: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

Rechte Seite: $17^2 = 289$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$289 = 289$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten 8 m, 15 m und 17 m ist rechtwinklig.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seitenlängen $4\text{ cm}$ , $5\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$ . Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $6 \text{ cm}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen beiden sind $a=4$ und $b=5$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$4^2 + 5^2 = 6^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen
Linke Seite: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$

Rechte Seite: $6^2 = 36$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$41 \neq 36$

Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm ist nicht rechtwinklig.

Beispiel 4

Aufgabe

Überprüfe, ob das Dreieck mit den Seitenlängen $a=9$ , $b=40$ und $c=41$ rechtwinklig ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $41$ . Das ist unser $c$ . Die anderen beiden sind $a=9$ und $b=40$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$9^2 + 40^2 = 41^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen
Linke Seite: $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$

Rechte Seite: $41^2 = 1681$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$1681 = 1681$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten 9, 40 und 41 ist rechtwinklig.

Beispiel 5

Aufgabe

Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $1{,}5\text{ cm}$ , $2\text{ cm}$ und $2{,}5\text{ cm}$ rechtwinklig?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $2{,}5 \text{ cm}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen beiden sind $a=1{,}5$ und $b=2$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$(1{,}5)^2 + 2^2 = (2{,}5)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen
Linke Seite: $(1{,}5)^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25$

Rechte Seite: $(2{,}5)^2 = 6{,}25$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$6{,}25 = 6{,}25$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten 1,5 cm, 2 cm und 2,5 cm ist rechtwinklig.

Aufgabentyp 2: Rechtwinkligkeit mit Parametern prüfen

Manchmal sind die Seitenlängen nicht als feste Zahlen, sondern mit einem Parameter (z. B. $k$ ) angegeben. Das sieht komplizierter aus, ist es aber nicht! Du behandelst den Parameter einfach wie eine Zahl.

Die wichtigste Regel dabei ist das Potenzieren von Termen. Wenn du einen Term wie $(3k)$ quadrierst, musst du beide Teile quadrieren:

$(3k)^2 = 3^2 \cdot k^2 = 9k^2$

Ansonsten bleibt das Vorgehen genau gleich: längste Seite finden, einsetzen, ausrechnen und vergleichen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die längste Seite – wenn $k$ eine positive Länge darstellt, ist die Seite mit dem größten Faktor vor $k$ die längste. Das ist dein Kandidat für die Hypotenuse $c$ .
Setze die Werte in die Formel ein – setze Klammern um die Terme, z. B. $(3k)^2$ .
Rechne beide Seiten aus und vereinfache – quadriere jeden Term (Zahl und Parameter), fasse dann die Terme auf der linken Seite zusammen.
Vergleiche die vereinfachten Terme und formuliere die Antwort – wenn sie identisch sind, ist das Dreieck für jeden Wert von $k > 0$ rechtwinklig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seitenlängen $u = 3k$ , $v = 4k$ und $p = 5k$ . Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Da $5 > 4 > 3$ , ist die längste Seite $p = 5k$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=3k$ und $b=4k$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Terme in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

$(3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vereinfachen
Linke Seite: $(3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$

Rechte Seite: $(5k)^2 = 25k^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$25k^2 = 25k^2$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten $3k$ , $4k$ und $5k$ ist für jeden Wert $k > 0$ rechtwinklig.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $5x$ , $12x$ und $13x$ rechtwinklig?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $13x$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=5x$ und $b=12x$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$(5x)^2 + (12x)^2 = (13x)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vereinfachen
Linke Seite: $(5x)^2 + (12x)^2 = 25x^2 + 144x^2 = 169x^2$

Rechte Seite: $(13x)^2 = 169x^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$169x^2 = 169x^2$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten $5x$ , $12x$ und $13x$ ist rechtwinklig.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seiten $a=k$ , $b=2k$ und $c=3k$ . Überprüfe auf Rechtwinkligkeit.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $3k$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=k$ und $b=2k$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$(k)^2 + (2k)^2 = (3k)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vereinfachen
Linke Seite: $k^2 + (2k)^2 = k^2 + 4k^2 = 5k^2$

Rechte Seite: $(3k)^2 = 9k^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$5k^2 \neq 9k^2$

Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten $k$ , $2k$ und $3k$ ist nicht rechtwinklig.

Beispiel 4

Aufgabe

Prüfe, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen $a=8m$ , $b=15m$ und $c=17m$ rechtwinklig ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $17m$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=8m$ und $b=15m$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$(8m)^2 + (15m)^2 = (17m)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vereinfachen
Linke Seite: $(8m)^2 + (15m)^2 = 64m^2 + 225m^2 = 289m^2$

Rechte Seite: $(17m)^2 = 289m^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$289m^2 = 289m^2$

Die Aussage ist wahr. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten $8m$ , $15m$ und $17m$ ist rechtwinklig.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seiten $u=k$ , $v=k$ und $w=2k$ . Ist es rechtwinklig?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $w=2k$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=k$ und $b=k$ .
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$(k)^2 + (k)^2 = (2k)^2$
Schritt 3
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vereinfachen
Linke Seite: $k^2 + k^2 = 2k^2$

Rechte Seite: $(2k)^2 = 4k^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen und Antwort formulieren
$2k^2 \neq 4k^2$

Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Dreieck mit den Seiten $k$ , $k$ und $2k$ ist nicht rechtwinklig.

Aufgabentyp 3: Rechtwinkligkeit im Sachkontext prüfen

Bei Textaufgaben (Sachkontext) ist der erste und wichtigste Schritt, die Situation zu verstehen und die relevanten Informationen herauszufiltern. Meistens wird eine Situation beschrieben, die sich als Dreieck darstellen lässt.

Deine Aufgabe ist es, die drei Seitenlängen des Dreiecks aus dem Text zu extrahieren. Sobald du diese drei Zahlen hast, ist das Vorgehen exakt dasselbe wie bei Aufgabentyp 1. Am Ende musst du deine mathematische Antwort wieder in den Kontext der Frage übersetzen und einen Antwortsatz formulieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verstehe den Sachverhalt und entnehme die Seitenlängen – lies die Textaufgabe sorgfältig durch, mache dir eventuell eine Skizze und finde die drei Längen, die die Seiten eines Dreiecks bilden.
Identifiziere die längste Seite – das ist dein Kandidat für die Hypotenuse $c$ .
Setze die Werte in die Formel ein – längste Seite für $c$ , die anderen für $a$ und $b$ in $a^2 + b^2 = c^2$ .
Rechne beide Seiten aus und vergleiche – prüfe, ob die Ergebnisse gleich sind.
Formuliere die Antwort im Sachkontext – beziehe dich auf die ursprüngliche Frage, z. B. „Ja, das Grundstück hat einen rechten Winkel." oder „Nein, der Bilderrahmen ist nicht rechtwinklig."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Landvermesser misst ein dreieckiges Grundstück. Der Abstand zwischen Punkt A und B beträgt $7\text{ m}$ , zwischen B und C $24\text{ m}$ und zwischen A und C $25\text{ m}$ . Hat das Grundstück einen rechten Winkel?

Dreieckiges Grundstück mit Punkten A, B und C

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Sachverhalt verstehen und Seitenlängen entnehmen
Die Seitenlängen des dreieckigen Grundstücks sind $7\text{ m}$ , $24\text{ m}$ und $25\text{ m}$ .
Schritt 2
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $25 \text{ m}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=7$ und $b=24$ .
Schritt 3
Werte in die Formel einsetzen
$7^2 + 24^2 = 25^2$
Schritt 4
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vergleichen
Linke Seite: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

Rechte Seite: $25^2 = 625$

$625 = 625$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort im Sachkontext formulieren
Ja, das Grundstück hat einen rechten Winkel (bei Punkt B).

Ergebnis:

Das dreieckige Grundstück hat einen rechten Winkel bei Punkt B.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Zimmermann baut einen Türrahmen. Die Höhe beträgt $200\text{ cm}$ , die Breite $80\text{ cm}$ . Er misst die Diagonale und erhält $215\text{ cm}$ . Ist der Rahmen rechtwinklig?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Sachverhalt verstehen und Seitenlängen entnehmen
Die Höhe und Breite des Rahmens bilden die Katheten eines Dreiecks, die Diagonale ist die Hypotenuse. Die Seitenlängen sind $80\text{ cm}$ , $200\text{ cm}$ und $215\text{ cm}$ .
Schritt 2
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist die Diagonale mit $215 \text{ cm}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=80$ und $b=200$ .
Schritt 3
Werte in die Formel einsetzen
$80^2 + 200^2 = 215^2$
Schritt 4
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vergleichen
Linke Seite: $80^2 + 200^2 = 6400 + 40000 = 46400$

Rechte Seite: $215^2 = 46225$

$46400 \neq 46225$ . Die Aussage ist falsch.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort im Sachkontext formulieren
Nein, der Türrahmen ist nicht exakt rechtwinklig.

Ergebnis:

Der Türrahmen ist nicht rechtwinklig, da $46400 \neq 46225$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Gärtnerin möchte ein rechteckiges Beet anlegen. Sie steckt zwei Seiten mit Längen von $3\text{ m}$ und $4\text{ m}$ ab. Damit der Winkel dazwischen genau 90 Grad beträgt, misst sie den Abstand zwischen den Endpunkten. Dieser soll $5\text{ m}$ betragen. Hat sie richtig geplant?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Sachverhalt verstehen und Seitenlängen entnehmen
Die Seiten des Beets und der Abstand der Endpunkte bilden ein Dreieck mit den Seitenlängen $3\text{ m}$ , $4\text{ m}$ und $5\text{ m}$ .
Schritt 2
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist $5 \text{ m}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=3$ und $b=4$ .
Schritt 3
Werte in die Formel einsetzen
$3^2 + 4^2 = 5^2$
Schritt 4
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vergleichen
Linke Seite: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Rechte Seite: $5^2 = 25$

$25 = 25$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort im Sachkontext formulieren
Ja, die Gärtnerin hat richtig geplant. Wenn die Diagonale 5 m beträgt, ist der Winkel rechtwinklig.

Ergebnis:

Das Beet hat einen rechten Winkel – die Planung ist korrekt.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Leiter ist $4\text{ m}$ lang. Sie lehnt so an einer Wand, dass ihr unteres Ende $1{,}5\text{ m}$ von der Wand entfernt ist. Die Stelle, an der sie die Wand berührt, ist $3{,}5\text{ m}$ über dem Boden. Bilden Wand, Boden und Leiter ein rechtwinkliges Dreieck?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Sachverhalt verstehen und Seitenlängen entnehmen
Die Leiter, der Boden und die Wand bilden ein Dreieck. Die Seitenlängen sind $1{,}5\text{ m}$ (Boden), $3{,}5\text{ m}$ (Wand) und $4\text{ m}$ (Leiter).
Schritt 2
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist die Leiter mit $4 \text{ m}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=1{,}5$ und $b=3{,}5$ .
Schritt 3
Werte in die Formel einsetzen
$(1{,}5)^2 + (3{,}5)^2 = 4^2$
Schritt 4
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vergleichen
Linke Seite: $(1{,}5)^2 + (3{,}5)^2 = 2{,}25 + 12{,}25 = 14{,}5$

Rechte Seite: $4^2 = 16$

$14{,}5 \neq 16$ . Die Aussage ist falsch.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort im Sachkontext formulieren
Nein, die Anordnung bildet kein rechtwinkliges Dreieck. Das bedeutet, dass die Wand nicht exakt senkrecht zum Boden steht.

Ergebnis:

Wand, Boden und Leiter bilden kein rechtwinkliges Dreieck.

Beispiel 5

Aufgabe

Zwei Freunde starten am selben Punkt. Einer geht $12\text{ km}$ nach Osten, der andere $16\text{ km}$ nach Norden. Ihr Abstand voneinander beträgt nun $20\text{ km}$ . Bilden ihre Wege einen rechten Winkel?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Sachverhalt verstehen und Seitenlängen entnehmen
Die Wege nach Osten und Norden sowie der direkte Abstand bilden ein Dreieck mit den Seitenlängen $12\text{ km}$ , $16\text{ km}$ und $20\text{ km}$ .
Schritt 2
Längste Seite identifizieren
Die längste Seite ist der Abstand mit $20 \text{ km}$ . Das ist unser $c$ . Die anderen sind $a=12$ und $b=16$ .
Schritt 3
Werte in die Formel einsetzen
$12^2 + 16^2 = 20^2$
Schritt 4
Beide Seiten der Gleichung ausrechnen und vergleichen
Linke Seite: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

Rechte Seite: $20^2 = 400$

$400 = 400$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort im Sachkontext formulieren
Ja, ihre Wege bilden einen rechten Winkel, da die Himmelsrichtungen Nord und Ost senkrecht aufeinander stehen.

Ergebnis:

Die Wege der beiden Freunde bilden einen rechten Winkel.

Wichtige Erkenntnisse

Der Kehrsatz des Pythagoras prüft, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Die Formel lautet: $a^2 + b^2 = c^2$ .
Für $c$ musst du immer die längste Seite des Dreiecks einsetzen.
Wenn die Gleichung am Ende stimmt (z. B. $100=100$ ), ist das Dreieck rechtwinklig.
Wenn die Gleichung nicht stimmt (z. B. $99 \neq 100$ ), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Kehrsatz des Pythagoras: Rechtwinkligkeit einfach prüfen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Rechtwinkligkeit mit Zahlen prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Rechtwinkligkeit mit Parametern prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Rechtwinkligkeit im Sachkontext prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.