Satz des Pythagoras: Formel einfach erklärt

Der rechte Winkel ist an der Ecke, wo die Seiten x und y aufeinandertreffen.

• Die Seiten, die den rechten Winkel berühren, sind x und y. Das sind die Katheten.
• Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist z. Das ist die Hypotenuse.

Wir setzen die Seiten in die Formel $(\text{Kathete})^2 + (\text{Kathete})^2 = (\text{Hypotenuse})^2$ ein.

$x^2 + y^2 = z^2$

Der rechte Winkel ist an der oberen Spitze des Dreiecks.

• Die Seiten, die den rechten Winkel berühren, sind p und q. Das sind die Katheten.
• Die Seite gegenüber ist r. Das ist die Hypotenuse.

Wir setzen die Seiten in die Formel $(\text{Kathete})^2 + (\text{Kathete})^2 = (\text{Hypotenuse})^2$ ein.

$p^2 + q^2 = r^2$

Der rechte Winkel befindet sich an der Ecke, wo die Seiten m und n zusammentreffen.

• Die Seiten am rechten Winkel sind m und n. Das sind die Katheten.
• Die Seite gegenüber ist k. Das ist die Hypotenuse.

Wir setzen die Seiten in die Formel $(\text{Kathete})^2 + (\text{Kathete})^2 = (\text{Hypotenuse})^2$ ein.

$m^2 + n^2 = k^2$

Der rechte Winkel ist an der Ecke, wo die Seiten f und g aufeinandertreffen.

• Die Seiten am rechten Winkel sind f und g. Das sind die Katheten.
• Die Seite gegenüber ist e. Das ist die Hypotenuse.

Wir setzen die Seiten in die Formel $(\text{Kathete})^2 + (\text{Kathete})^2 = (\text{Hypotenuse})^2$ ein.

$f^2 + g^2 = e^2$

Laut Aufgabenstellung liegt der rechte Winkel zwischen den Seiten a und b.

• Die Seiten am rechten Winkel sind a und b. Das sind die Katheten.
• Die verbleibende Seite c muss die Hypotenuse sein.

Wir setzen die Seiten in die Formel $(\text{Kathete})^2 + (\text{Kathete})^2 = (\text{Hypotenuse})^2$ ein.

$a^2 + b^2 = c^2$

• Die Katheten sind a = 3 cm und b = 4 cm.
• Die gesuchte Hypotenuse ist c.
• Die Formel lautet: $a^2 + b^2 = c^2$.

Wir setzen die Längen für a und b ein:

$(3 \text{ cm})^2 + (4 \text{ cm})^2 = c^2$

$9 \text{ cm}^2 + 16 \text{ cm}^2 = c^2$

$25 \text{ cm}^2 = c^2$

Wir ziehen die Wurzel, um c zu erhalten.

$c = \sqrt{25 \text{ cm}^2}$

$c = 5 \text{ cm}$

• Die Katheten sind 5 cm und 12 cm.
• Die gesuchte Hypotenuse ist x.
• Die Formel lautet: $(\text{Kathete 1})^2 + (\text{Kathete 2})^2 = x^2$.

$(5 \text{ cm})^2 + (12 \text{ cm})^2 = x^2$

$25 \text{ cm}^2 + 144 \text{ cm}^2 = x^2$

$169 \text{ cm}^2 = x^2$

$x = \sqrt{169 \text{ cm}^2}$

$x = 13 \text{ cm}$

• In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten a und b die Katheten.
• Die Diagonale d ist die Hypotenuse.
• Die Formel lautet: $a^2 + b^2 = d^2$.

$(8 \text{ m})^2 + (6 \text{ m})^2 = d^2$

$64 \text{ m}^2 + 36 \text{ m}^2 = d^2$

$100 \text{ m}^2 = d^2$

$d = \sqrt{100 \text{ m}^2}$

$d = 10 \text{ m}$

• Die Katheten sind 10 cm und 7 cm.
• Die gesuchte Hypotenuse ist h.
• Die Formel lautet: $(10)^2 + (7)^2 = h^2$.

$(10 \text{ cm})^2 + (7 \text{ cm})^2 = h^2$

$100 \text{ cm}^2 + 49 \text{ cm}^2 = h^2$

$149 \text{ cm}^2 = h^2$

$h = \sqrt{149 \text{ cm}^2}$

$h \approx 12{,}21 \text{ cm}$

• Die Fahrt nach Osten (5 km) und die Fahrt nach Norden (8 km) bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
• Die direkte Entfernung (Luftlinie) ist die Hypotenuse.
• Formel: $(\text{Strecke Ost})^2 + (\text{Strecke Nord})^2 = (\text{Entfernung})^2$.

$(5 \text{ km})^2 + (8 \text{ km})^2 = (\text{Entfernung})^2$

$25 \text{ km}^2 + 64 \text{ km}^2 = (\text{Entfernung})^2$

$89 \text{ km}^2 = (\text{Entfernung})^2$

$\text{Entfernung} = \sqrt{89 \text{ km}^2}$

$\text{Entfernung} \approx 9{,}4 \text{ km}$

• Die Hypotenuse ist c = 13 cm.
• Eine bekannte Kathete ist b = 12 cm.
• Die gesuchte Kathete ist a.
• Die umgestellte Formel lautet: $a^2 = c^2 - b^2$.

$a^2 = (13 \text{ cm})^2 - (12 \text{ cm})^2$

$a^2 = 169 \text{ cm}^2 - 144 \text{ cm}^2$

$a^2 = 25 \text{ cm}^2$

$a = \sqrt{25 \text{ cm}^2}$

$a = 5 \text{ cm}$

• Die Leiter ist die längste Seite, also die Hypotenuse (10 m).
• Die Höhe an der Wand ist eine Kathete (8 m).
• Der Abstand vom Fuß der Leiter zur Wand ist die gesuchte Kathete (x).
• Formel: $x^2 = (\text{Leiter})^2 - (\text{Höhe})^2$.

$x^2 = (10 \text{ m})^2 - (8 \text{ m})^2$

$x^2 = 100 \text{ m}^2 - 64 \text{ m}^2$

$x^2 = 36 \text{ m}^2$

$x = \sqrt{36 \text{ m}^2}$

$x = 6 \text{ m}$

• Die Hypotenuse ist 15 cm.
• Eine bekannte Kathete ist 9 cm.
• Die gesuchte Kathete ist b.
• Formel: $b^2 = (\text{Hypotenuse})^2 - (\text{Kathete})^2$.

$b^2 = (15 \text{ cm})^2 - (9 \text{ cm})^2$

$b^2 = 225 \text{ cm}^2 - 81 \text{ cm}^2$

$b^2 = 144 \text{ cm}^2$

$b = \sqrt{144 \text{ cm}^2}$

$b = 12 \text{ cm}$

• Die Hypotenuse ist 20 m.
• Eine bekannte Kathete ist 18 m.
• Die gesuchte Kathete ist y.
• Formel: $y^2 = (20)^2 - (18)^2$.

$y^2 = (20 \text{ m})^2 - (18 \text{ m})^2$

$y^2 = 400 \text{ m}^2 - 324 \text{ m}^2$

$y^2 = 76 \text{ m}^2$

$y = \sqrt{76 \text{ m}^2}$

$y \approx 8{,}7 \text{ m}$

• Die Diagonale ist die Hypotenuse (25 Zoll).
• Die Breite ist eine Kathete (20 Zoll).
• Die gesuchte Höhe h ist die andere Kathete.
• Formel: $h^2 = (\text{Diagonale})^2 - (\text{Breite})^2$.

$h^2 = (25 \text{ Zoll})^2 - (20 \text{ Zoll})^2$

$h^2 = 625 \text{ Zoll}^2 - 400 \text{ Zoll}^2$

$h^2 = 225 \text{ Zoll}^2$

$h = \sqrt{225 \text{ Zoll}^2}$

$h = 15 \text{ Zoll}$