Was sind Funktionenscharen?

Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen, die durch einen zusätzlichen Buchstaben – den Parameter (z. B. t , a oder k ) – beschrieben werden. Für jeden Wert, den der Parameter annehmen kann, erhält man eine eigenständige Funktion. Die Kurvendiskussion einer Funktionenschar läuft genauso ab wie bei einer normalen Funktion – der Unterschied ist, dass die Ergebnisse (Nullstellen, Extrema usw.) vom Parameter abhängen können.

Wie bestimmst du den gemeinsamen Punkt einer Funktionenschar?

Du suchst einen x-Wert, der den Einfluss des Parameters eliminiert . Forme die Funktionsgleichung so um, dass der Parameter als Faktor vor einem Term steht – z. B. f t (x) = x² + t(−x+2) . Setze den Term in der Klammer gleich null und löse nach x . Setze dieses x in die Gleichung ein: der Parameter fällt heraus, und du erhältst die y -Koordinate des gemeinsamen Punktes.

Was ist die Ortskurve von Extrempunkten?

Die Ortskurve ist die geometrische Bahn, auf der die Extrempunkte einer Funktionenschar wandern, wenn sich der Parameter ändert. Du bestimmst zuerst die Koordinaten x E (p) und y E (p) des Extrempunkts in Abhängigkeit vom Parameter, löst dann eine der Gleichungen nach dem Parameter auf und setzt ihn in die andere ein – so erhältst du eine Gleichung nur in x und y .

Wie findest du Parameter aus einem gegebenen Extrempunkt?

Du übersetzt die gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen : Ein Extrempunkt bei P(x₀|y₀) liefert zwei Bedingungen – f'(x₀) = 0 (waagerechte Tangente) und f(x₀) = y₀ (Punkt liegt auf dem Graphen). Leite die allgemeine Funktion ab, setze die Werte ein und löse das entstehende Gleichungssystem nach den unbekannten Parametern.

Wann hat eine Funktionenschar keine Extrempunkte?

Eine Funktionenschar hat keine Extrempunkte , wenn die Gleichung f t '(x) = 0 keine reellen Lösungen besitzt. Das tritt z. B. auf, wenn du die Gleichung auf x² = −t² reduzierst – da ein Quadrat nie negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung. Bei quadratischen Gleichungen in x prüfst du die Diskriminante D = b² − 4ac : Ist D < 0 , existieren keine reellen Extremstellen.

Funktionenscharen analysieren erklärt

Funktionenscharen begegnen dir überall dort, wo ein mathematisches Modell nicht nur eine einzige Kurve beschreibt, sondern eine ganze Familie – verbunden durch einen veränderlichen Parameter. Stell dir vor, du bist Ingenieur und entwirfst eine Brücke. Du hast eine Grundformel, aber ein Parameter – sagen wir, die Materialstärke – kann variiert werden. Wie verändert sich die Stabilität der gesamten Brücke, wenn du diesen einen Wert änderst? Funktionenscharen sind genau das: eine Familie von Kurven, die alle einer Grundregel folgen, sich aber durch einen Parameter unterscheiden. Wenn du lernst, sie zu analysieren, kannst du nicht nur eine Lösung für ein Problem finden, sondern das Verhalten des gesamten Systems verstehen. Das ist keine reine Schulmathematik – das ist die Grundlage für jede Art von Optimierung und Design in der echten Welt.

Schnellantwort

Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen, die durch einen zusätzlichen Buchstaben, den Parameter (z. B. $t$ , $a$ oder $k$ ), beschrieben werden. Für jeden Wert, den der Parameter annehmen kann, erhält man eine eigenständige Funktion aus dieser „Familie". Die Kurvendiskussion einer Funktionenschar läuft fast genauso ab wie bei einer normalen Funktion – der einzige Unterschied ist, dass die Ergebnisse (Nullstellen, Extrema usw.) oft vom Parameter abhängen.

Vorwissen

Bevor wir uns mit Funktionenscharen beschäftigen, solltest du diese Grundlagen der Kurvendiskussion sicher beherrschen:

Ableitungsregeln: Du musst wissen, wie man Funktionen ableitet, insbesondere die Quotientenregel.
- Formel: $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \to f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
- Beispiel: Für $f(x) = \frac{x}{x+1}$ ist $f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ .
Bedingungen für Extrema: Du weißt, wie man Hoch- und Tiefpunkte findet.
- Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$
- Hinreichende Bedingung: $f''(x) \neq 0$ ( $f''(x) > 0$ für Tiefpunkt, $f''(x) < 0$ für Hochpunkt)
- Beispiel: Für $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$ . $f'(x)=0$ ergibt $x=0$ . Da $f''(x)=2 > 0$ , liegt bei $x=0$ ein Tiefpunkt.
Asymptoten: Du kannst senkrechte und waagerechte/schiefe Asymptoten bestimmen.
- Senkrechte Asymptote: An den Nullstellen des Nenners (die nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers sind).
- Waagerechte/Schiefe Asymptote: Verhalten für $x \to \pm \infty$ $x \to \pm \infty$ . Vergleich von Zählergrad (ZG) und Nennergrad (NG).
  - ZG < NG: Waagerechte Asymptote $y=0$ .
  - ZG = NG: Waagerechte Asymptote $y = \frac{\text{Leitkoeffizient Zähler}}{\text{Leitkoeffizient Nenner}}$ .
  - ZG = NG + 1: Schiefe Asymptote, die durch Polynomdivision gefunden wird.

Aufgabentyp 1: Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktionenschar

Die vollständige Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktionenschar ist einer der häufigsten Aufgabentypen rund um das Thema Funktionenscharen berechnen. Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen, die durch einen zusätzlichen Buchstaben, den Parameter (z. B. $t$ , $a$ oder $k$ ), beschrieben werden. Für jeden Wert, den der Parameter annehmen kann, erhält man eine eigenständige Funktion aus dieser „Familie".

Die Kurvendiskussion für eine Funktionenschar $f_t(x)$ läuft fast genauso ab wie bei einer normalen Funktion. Der einzige Unterschied ist, dass die Ergebnisse (Nullstellen, Extrema usw.) oft vom Parameter $t$ abhängen.

Beispiel: Die Funktionenschar $f_t(x) = \frac{x^2+t^2}{x}$ mit $t>0$ .

Der Parameter ist hier $t$ .
Für $t=1$ erhalten wir die Funktion $f_1(x) = \frac{x^2+1}{x}$ .
Für $t=2$ erhalten wir die Funktion $f_2(x) = \frac{x^2+4}{x}$ .

Ziel ist es, die Eigenschaften der Funktion allgemein in Abhängigkeit von $t$ zu bestimmen. Man rechnet also mit dem Buchstaben $t$ so, als wäre er eine feste Zahl.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Definitionsbereich und Symmetrie bestimmen: Untersuche, für welche $x$ -Werte die Funktion definiert ist (Nenner $\neq 0$ ). Prüfe dann, ob $f_t(-x) = f_t(x)$ (Achsensymmetrie) oder $f_t(-x) = -f_t(x)$ (Punktsymmetrie) gilt.
Asymptoten finden: Bestimme die senkrechten Asymptoten an den Definitionslücken. Untersuche das Verhalten für $x \to \pm \infty$ , um waagerechte oder schiefe Asymptoten zu finden.
Nullstellen berechnen: Setze den Zähler der Funktion gleich null ( $Z(x) = 0$ ) und löse nach $x$ . Die Lösungen können vom Parameter $t$ abhängen.
Extrema bestimmen: Bilde die erste Ableitung $f_t'(x)$ . Setze $f_t'(x) = 0$ und löse nach $x$ . Setze die gefundenen $x$ -Werte in $f_t''(x)$ und $f_t(x)$ ein.
Wendepunkte bestimmen (falls gefordert): Bilde $f_t''(x)$ , setze sie gleich null und überprüfe mit $f_t'''(x) \neq 0$ .
Graphen für konkrete Parameterwerte zeichnen: Setze die gegebenen Werte für $t$ in deine allgemeinen Ergebnisse ein und zeichne die Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Untersuchen Sie die Funktionenschar $f_t(x) = \frac{2x}{x^2-t^2}$ für $t>0$ auf Definitionsbereich, Symmetrie, Asymptoten, Nullstellen und Extrema.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionsbereich und Symmetrie
Der Nenner wird null, wenn $x^2 - t^2 = 0$ , also $x^2 = t^2$ . Das ergibt $x = t$ und $x = -t$ . Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{-t, t\}$ .

Für die Symmetrie setzen wir $-x$ ein: $f_t(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2-t^2} = \frac{-2x}{x^2-t^2} = -f_t(x)$ Die Funktion ist für jeden Wert von $t$ punktsymmetrisch zum Ursprung.
2
Schritt 2
Asymptoten
- Senkrechte Asymptoten: Bei $x=t$ und $x=-t$ (Polstellen).
- Waagerechte Asymptote: Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2). Daher ist die waagerechte Asymptote die x-Achse, also $y=0$ .
Schritt 3
Nullstellen
Wir setzen den Zähler gleich null: $2x = 0 \implies x=0$ . Die einzige Nullstelle ist bei $N(0|0)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Extrema
Wir bilden die erste Ableitung mit der Quotientenregel: $f_t'(x) = \frac{2(x^2-t^2) - 2x(2x)}{(x^2-t^2)^2} = \frac{2x^2 - 2t^2 - 4x^2}{(x^2-t^2)^2} = \frac{-2x^2 - 2t^2}{(x^2-t^2)^2}$

Wir setzen die Ableitung gleich null: $\frac{-2x^2 - 2t^2}{(x^2-t^2)^2} = 0$ $-2x^2 - 2t^2 = 0$ $-2(x^2 + t^2) = 0$ $x^2 = -t^2$

Da $t>0$ ist, ist $t^2$ positiv und $-t^2$ negativ. Die Gleichung hat keine reelle Lösung. Die Funktionenschar besitzt keine Extrema.

Ergebnis:

Die Funktionenschar $f_t(x) = \frac{2x}{x^2-t^2}$ hat für alle $t>0$ keine Extrema.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Schar $f_a(x) = \frac{x^2-a}{x^2+a}$ mit $a>0$ . Bestimmen Sie die Extrema in Abhängigkeit von $a$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ableitung bilden
Wir verwenden die Quotientenregel: $u(x) = x^2-a \implies u'(x) = 2x$ $v(x) = x^2+a \implies v'(x) = 2x$

$f_a'(x) = \frac{2x(x^2+a) - (x^2-a)(2x)}{(x^2+a)^2}$ $f_a'(x) = \frac{2x^3 + 2ax - 2x^3 + 2ax}{(x^2+a)^2}$ $f_a'(x) = \frac{4ax}{(x^2+a)^2}$
Schritt 2
Ableitung null setzen
$f_a'(x) = 0 \implies \frac{4ax}{(x^2+a)^2} = 0$ Der Zähler muss null sein: $4ax = 0$ . Da $a>0$ , muss $x=0$ sein.
Schritt 3
Art des Extremums prüfen
Wir bilden die zweite Ableitung: $u(x) = 4ax \implies u'(x) = 4a$ $v(x) = (x^2+a)^2 \implies v'(x) = 2(x^2+a) \cdot 2x = 4x(x^2+a)$

$f_a''(x) = \frac{4a(x^2+a)^2 - 4ax \cdot 4x(x^2+a)}{(x^2+a)^4}$ $f_a''(x) = \frac{4a(x^2+a) - 16ax^2}{(x^2+a)^3}$

Wir setzen $x=0$ ein: $f_a''(0) = \frac{4a(0+a) - 0}{(0+a)^3} = \frac{4a^2}{a^3} = \frac{4}{a}$

Da $a>0$ , ist $f_a''(0) = \frac{4}{a} > 0$ . Es liegt also ein Tiefpunkt vor.
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
$f_a(0) = \frac{0^2-a}{0^2+a} = \frac{-a}{a} = -1$

Ergebnis:

Der Tiefpunkt ist für alle $a>0$ bei $T(0|-1)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimmen Sie die schräge Asymptote der Funktionenschar $f_k(x) = \frac{x^2+kx+1}{x-1}$ für $k \in \mathbb{R}$ .

Da der Zählergrad (2) um eins größer ist als der Nennergrad (1), gibt es eine schräge Asymptote. Wir finden sie durch Polynomdivision.

$(x^2 + kx + 1) : (x-1) = x + (k+1) + \frac{k+2}{x-1}$

Rechenweg:

$(x^2 + kx + 1) : (x-1) = x$ $-(x^2 - x)$ $\overline{\quad (k+1)x + 1}$

$((k+1)x + 1) : (x-1) = (k+1)$ $-((k+1)x - (k+1))$ $\overline{\quad k+2}$

Der Funktionsterm lautet also: $f_k(x) = x + (k+1) + \frac{k+2}{x-1}$ .

Für $x \to \pm \infty$ geht der Restterm $\frac{k+2}{x-1}$ gegen 0.

Ergebnis:

Die schräge Asymptote ist die Gerade $y = x + k+1$ . Ihre Steigung ist immer 1, aber ihr y-Achsenabschnitt hängt vom Parameter $k$ ab.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist $f_t(x) = \frac{t}{x^2+1}$ mit $t>0$ . Zeigen Sie, dass der Hochpunkt immer auf der y-Achse liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ableitung bilden
Wir schreiben $f_t(x) = t(x^2+1)^{-1}$ und verwenden die Kettenregel: $f_t'(x) = t \cdot (-1)(x^2+1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2tx}{(x^2+1)^2}$
Schritt 2
Ableitung null setzen
$f_t'(x) = 0 \implies \frac{-2tx}{(x^2+1)^2} = 0$ Der Zähler muss null sein: $-2tx = 0$ . Da $t>0$ , muss $x=0$ sein.

Dies zeigt, dass die einzige mögliche Extremstelle bei $x=0$ liegt. Ein Punkt mit der x-Koordinate 0 liegt immer auf der y-Achse.
Schritt 3 · Ergebnis
Art des Extremums prüfen
Wir bilden die zweite Ableitung (Quotientenregel): $u(x) = -2tx \implies u'(x) = -2t$ $v(x) = (x^2+1)^2 \implies v'(x) = 2(x^2+1) \cdot 2x = 4x(x^2+1)$

$f_t''(x) = \frac{-2t(x^2+1)^2 - (-2tx)(4x(x^2+1))}{(x^2+1)^4}$

Wir setzen $x=0$ ein: $f_t''(0) = \frac{-2t(0+1)^2 - 0}{(0+1)^4} = \frac{-2t}{1} = -2t$

Da $t>0$ , ist $f_t''(0) = -2t < 0$ . Es liegt also immer ein Hochpunkt vor.

Ergebnis:

Für alle $t>0$ hat die Funktion einen Hochpunkt an der Stelle $x=0$ , also auf der y-Achse.

Aufgabentyp 2: Parameter aus einem Extrempunkt bestimmen

Das Bestimmen von Parametern aus gegebenen Eigenschaften – oft als Steckbriefaufgabe bezeichnet – ist ein zentraler Aufgabentyp, wenn du Funktionenscharen einfach lösen möchtest. Du bekommst Informationen über einen Punkt auf dem Graphen und seine Eigenschaften und musst daraus unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung bestimmen.

Der Schlüssel ist, die gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen zu übersetzen:

„Die Funktion hat an der Stelle $x_0$ einen Extrempunkt..." Das bedeutet, die Steigung an dieser Stelle ist null. Die mathematische Gleichung lautet: $f'(x_0) = 0$ .
„...mit dem Wert $y_0$ " oder „Der Extrempunkt ist $P(x_0|y_0)$ " Das bedeutet, der Punkt liegt auf dem Graphen. Die mathematische Gleichung lautet: $f(x_0) = y_0$ .

Für jeden unbekannten Parameter (z. B. $a$ und $b$ ) benötigst du eine unabhängige Gleichung. Zwei Parameter erfordern also zwei Gleichungen, die du dann als Gleichungssystem löst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Bedingungen identifizieren und übersetzen: Lies den Text sorgfältig und schreibe alle Bedingungen als mathematische Gleichungen auf. Extrempunkt bei $(x_0|y_0)$ liefert zwei Bedingungen: $f'(x_0)=0$ und $f(x_0)=y_0$ .
Notwendige Ableitungen bilden: Leite die allgemeine Funktion $f(x)$ so oft ab, wie du es für deine Bedingungen benötigst.
Gleichungssystem aufstellen: Setze die Werte aus den Bedingungen in die Funktions- und Ableitungsgleichungen ein.
Gleichungssystem lösen: Löse das System mit einem Verfahren deiner Wahl (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren).
Art des Extremums prüfen (falls gefordert): Setze die gefundenen Parameter in die zweite Ableitung ein und prüfe das Vorzeichen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass der Graph der Funktion $f(x) = a x + \frac{b}{x}$ im Punkt $P(2|4)$ einen Extrempunkt hat.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Bedingungen übersetzen
Der Punkt $P(2|4)$ ist ein Extrempunkt. Das gibt uns zwei Bedingungen:
1. Der Punkt liegt auf dem Graphen: $f(2) = 4$ .
2. An der Stelle $x=2$ ist die Steigung null: $f'(2) = 0$ .
Schritt 2
Ableitung bilden
$f(x) = ax + bx^{-1}$ $f'(x) = a - bx^{-2} = a - \frac{b}{x^2}$
Schritt 3
Gleichungssystem aufstellen
Aus Bedingung 1: $f(2) = a \cdot 2 + \frac{b}{2} = 4 \implies \text{(I)}: 2a + \frac{b}{2} = 4$ Aus Bedingung 2: $f'(2) = a - \frac{b}{2^2} = 0 \implies \text{(II)}: a - \frac{b}{4} = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichungssystem lösen
Wir lösen Gleichung (II) nach $a$ auf: $a = \frac{b}{4}$

Das setzen wir in Gleichung (I) ein: $2(\frac{b}{4}) + \frac{b}{2} = 4$ $\frac{b}{2} + \frac{b}{2} = 4$ $b = 4$

Jetzt finden wir $a$ : $a = \frac{4}{4} = 1$

Ergebnis:

Die Parameter sind $a=1$ und $b=4$ . Die Funktion lautet $f(x) = x + \frac{4}{x}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2+a}{x+b}$ hat eine Nullstelle bei $x=2$ und eine Polstelle bei $x=1$ . Bestimmen Sie $a$ und $b$ .

Fortschritt

2 / 2

1
Schritt 1
Bedingungen übersetzen
1. Nullstelle bei $x=2$ : Der Zähler muss bei $x=2$ null sein. $\implies 2^2+a = 0$ .
2. Polstelle bei $x=1$ : Der Nenner muss bei $x=1$ null sein. $\implies 1+b = 0$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Gleichungen lösen
Aus Bedingung 1: $4+a=0 \implies a = -4$

Aus Bedingung 2: $1+b=0 \implies b = -1$

Ergebnis:

Die Funktion lautet $f(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = \frac{a}{x} + b$ geht durch den Punkt $P(1|5)$ und hat an der Stelle $x=2$ die Steigung $-2$ . Bestimmen Sie $a$ und $b$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Bedingungen übersetzen
1. Punkt $P(1|5)$ liegt auf dem Graphen: $f(1) = 5$ .
2. Steigung bei $x=2$ ist $-2$ : $f'(2) = -2$ .
Schritt 2
Ableitung bilden
$f(x) = ax^{-1} + b$ $f'(x) = -ax^{-2} = -\frac{a}{x^2}$
Schritt 3
Gleichungssystem aufstellen
Aus Bedingung 1: $f(1) = \frac{a}{1} + b = 5 \implies \text{(I)}: a + b = 5$ Aus Bedingung 2: $f'(2) = -\frac{a}{2^2} = -2 \implies \text{(II)}: -\frac{a}{4} = -2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichungssystem lösen
Wir lösen zuerst Gleichung (II) nach $a$ : $-\frac{a}{4} = -2 \quad | \cdot (-4)$ $a = 8$

Das setzen wir in Gleichung (I) ein: $8 + b = 5 \quad | -8$ $b = -3$

Ergebnis:

Die Parameter sind $a=8$ und $b=-3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Für die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x-a}$ soll der Tiefpunkt an der Stelle $x=4$ liegen. Bestimmen Sie den Parameter $a$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Bedingung übersetzen
Ein Tiefpunkt bei $x=4$ bedeutet, dass die erste Ableitung an dieser Stelle null sein muss: $f'(4) = 0$ .
Schritt 2
Ableitung bilden
Wir verwenden die Quotientenregel: $f'(x) = \frac{2x(x-a) - x^2(1)}{(x-a)^2} = \frac{2x^2 - 2ax - x^2}{(x-a)^2} = \frac{x^2 - 2ax}{(x-a)^2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung aufstellen und lösen
Wir setzen $x=4$ in die Ableitung und das Ergebnis gleich null: $f'(4) = \frac{4^2 - 2a(4)}{(4-a)^2} = 0$

Der Zähler muss null sein: $16 - 8a = 0 \quad | +8a$ $16 = 8a \quad | :8$ $a = 2$

Ergebnis:

Für $a=2$ liegt bei $x=4$ ein Extrempunkt.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2+a}$ hat den y-Wert 0.5 an ihrem Extrempunkt. Bestimmen Sie $a$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Extremstelle finden
Wir leiten ab, um die x-Koordinate des Extrempunkts zu finden: $f(x) = (x^2+a)^{-1}$ $f'(x) = -1(x^2+a)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2+a)^2}$

Wir setzen $f'(x)=0$ : $\frac{-2x}{(x^2+a)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0$ Die Extremstelle ist also immer bei $x=0$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Bedingung verwenden
Wir wissen, dass der Funktionswert an der Extremstelle $0.5$ ist. Also $f(0) = 0.5$ .

Wir setzen $x=0$ in die Funktion ein: $f(0) = \frac{1}{0^2+a} = \frac{1}{a}$

Jetzt setzen wir dies gleich dem gegebenen Wert: $\frac{1}{a} = 0.5$ $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$ $a=2$

Ergebnis:

Der Parameter ist $a=2$ .

Aufgabentyp 3: Gemeinsamen Punkt einer Funktionenschar finden

Manche Funktionenscharen haben einen oder mehrere Punkte, durch die jeder einzelne Graph der Schar verläuft, egal welchen Wert der Parameter hat. Solche Punkte nennt man gemeinsame Punkte oder Fixpunkte der Schar.

Die Logik dahinter ist: Wenn ein Punkt $(x|y)$ für jeden Parameter $t$ auf dem Graphen liegt, dann darf der Wert von $t$ das Ergebnis der Funktionsgleichung an dieser speziellen $x$ -Stelle nicht beeinflussen.

Betrachten wir eine Funktion der Form $g_t(x) = t \cdot h(x) + k(x)$ . Damit der Wert von $t$ keinen Einfluss hat, muss der Term, mit dem $t$ multipliziert wird, null sein. Also muss $h(x) = 0$ gelten. Wenn wir dieses $x$ finden, können wir es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um das zugehörige $y$ zu berechnen: $y = t \cdot 0 + k(x) = k(x)$ .

Der gemeinsame Punkt hat also die Koordinaten $(x | k(x))$ , wobei $x$ die Lösung von $h(x)=0$ ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zwei Funktionen der Schar gleichsetzen: Wähle zwei verschiedene, einfache Werte für den Parameter (z. B. $t_1=1$ und $t_2=2$ ) und setze die zugehörigen Funktionsgleichungen gleich. Alternativ: forme die Funktionsgleichung so um, dass der Parameter isoliert ist oder als Faktor vor einem Term steht.
x-Koordinate(n) berechnen: Löse die aufgestellte Gleichung nach $x$ .
y-Koordinate(n) berechnen: Setze jede gefundene x-Koordinate in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein. Der Parameter sollte herausfallen.
Antwort formulieren: Gib die Koordinaten des gemeinsamen Punktes (oder der Punkte) an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Funktionenschar $f_t(x) = x^2 - tx + 2t$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Term-Analyse
Wir klammern den Parameter $t$ aus: $f_t(x) = x^2 + t(-x+2)$

Damit das Ergebnis von $t$ unabhängig ist, muss der Term in der Klammer null sein: $-x+2 = 0$
Schritt 2
x-Koordinate berechnen
$-x+2 = 0 \quad |+x$ $x=2$
Schritt 3 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x=2$ in die ursprüngliche Gleichung ein: $f_t(2) = 2^2 - t(2) + 2t = 4 - 2t + 2t = 4$

Der Parameter $t$ fällt weg. Die y-Koordinate ist 4.

Ergebnis:

Der gemeinsame Punkt der Schar ist $P(2|4)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Schar $g_a(x) = \frac{ax}{x^2+1}$ . Finden Sie den gemeinsamen Punkt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Term-Analyse
Wir schreiben die Funktion als $g_a(x) = a \cdot \frac{x}{x^2+1}$ . Damit der Parameter $a$ keinen Einfluss hat, muss der Bruchterm null sein: $\frac{x}{x^2+1} = 0$
Schritt 2
x-Koordinate berechnen
Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist: $x=0$
Schritt 3 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x=0$ in die Gleichung ein: $g_a(0) = \frac{a \cdot 0}{0^2+1} = \frac{0}{1} = 0$

Ergebnis:

Der gemeinsame Punkt ist der Ursprung $P(0|0)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Hat die Funktionenschar $f_k(x) = \frac{k}{x-k}$ einen gemeinsamen Punkt?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zwei Funktionen gleichsetzen
Wir wählen $k=1$ und $k=2$ : $f_1(x) = \frac{1}{x-1}$ $f_2(x) = \frac{2}{x-2}$

Wir setzen sie gleich: $\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x-2}$
Schritt 2
x-Koordinate berechnen
Wir multiplizieren über Kreuz: $1 \cdot (x-2) = 2 \cdot (x-1)$ $x-2 = 2x-2 \quad |+2$ $x = 2x \quad |-x$ $0 = x$

Der einzige Kandidat ist $x=0$ .
Schritt 3 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen und prüfen
Wir setzen $x=0$ in die allgemeine Gleichung ein: $f_k(0) = \frac{k}{0-k} = \frac{k}{-k} = -1$

Das Ergebnis ist $-1$ und hängt nicht von $k$ ab.

Ergebnis:

Der gemeinsame Punkt ist $P(0|-1)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finden Sie die gemeinsamen Punkte der Schar $h_t(x) = x^3 - t x^2 - x + t$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Term-Analyse
Wir klammern $t$ aus: $h_t(x) = x^3 - x + t(-x^2+1)$

Der Einfluss von $t$ verschwindet, wenn $-x^2+1 = 0$ .
Schritt 2
x-Koordinaten berechnen
$-x^2+1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$ Es gibt zwei Kandidaten.
Schritt 3 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Für $x_1=1$ : $h_t(1) = 1^3 - t(1)^2 - 1 + t = 1 - t - 1 + t = 0$ Ein gemeinsamer Punkt ist $P_1(1|0)$ .

Für $x_2=-1$ : $h_t(-1) = (-1)^3 - t(-1)^2 - (-1) + t = -1 - t + 1 + t = 0$ Ein zweiter gemeinsamer Punkt ist $P_2(-1|0)$ .

Ergebnis:

Die Schar hat zwei gemeinsame Punkte: $P_1(1|0)$ und $P_2(-1|0)$ .

Aufgabentyp 4: Ortskurve der Extrempunkte bestimmen

Wenn sich der Parameter einer Funktionenschar ändert, wandern die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) oft auf einer bestimmten Bahn. Diese Bahn wird Ortskurve genannt. Das Bestimmen der Ortskurve ist ein klassischer Aufgabentyp bei der Analyse von Funktionenscharen.

Das Vorgehen ist immer gleich:

Koordinaten des Extrempunkts in Abhängigkeit vom Parameter finden: Du berechnest die Koordinaten des Extrempunkts wie bei einer normalen Kurvendiskussion, aber das Ergebnis für $x_E$ und $y_E$ wird den Parameter enthalten. Du erhältst also $E_p(x_E(p) | y_E(p))$ .
Parameter eliminieren: Du hast zwei Gleichungen: $x = x_E(p)$ und $y = y_E(p)$ . Dein Ziel ist es, aus diesen beiden Gleichungen eine einzige Gleichung zu machen, die nur noch $x$ und $y$ enthält. Dazu löst du eine der Gleichungen nach dem Parameter auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erste Ableitung bilden: Leite die Funktionenschar $f_p(x)$ nach $x$ ab. Behandle den Parameter $p$ wie eine Konstante.
x-Koordinate des Extrempunkts bestimmen: Setze die erste Ableitung gleich null und löse nach $x$ . Das Ergebnis ist $x_E$ in Abhängigkeit von $p$ .
y-Koordinate des Extrempunkts bestimmen: Setze den in Schritt 2 gefundenen Ausdruck für $x_E$ in die ursprüngliche Funktion ein.
Parameter eliminieren: Forme eine der beiden Koordinatengleichungen so um, dass $p$ alleine steht.
Ortskurve aufstellen: Setze den Ausdruck für $p$ in die andere Koordinatengleichung ein. Das Ergebnis ist die Gleichung der Ortskurve $y = f(x)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x) = x^2 - 2tx + 1$ . Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrempunkte.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
x-Koordinate des Extrempunkts
$f_t'(x) = 2x - 2t$ $f_t'(x) = 0 \implies 2x - 2t = 0 \implies 2x = 2t \implies x = t$ .
Schritt 3
y-Koordinate des Extrempunkts
Wir setzen $x=t$ in $f_t(x)$ ein: $y = f_t(t) = t^2 - 2t(t) + 1 = t^2 - 2t^2 + 1 = -t^2 + 1$ .

Die Koordinaten des Extrempunkts sind $E_t(t | -t^2+1)$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Parameter eliminieren und Ortskurve aufstellen
Wir haben die Gleichungen: (I): $x = t$ (II): $y = -t^2 + 1$

Aus (I) wissen wir bereits, was $t$ ist. Wir setzen $t=x$ in Gleichung (II) ein: $y = -x^2 + 1$

Ergebnis:

Die Ortskurve der Extrempunkte ist die Parabel mit der Gleichung $y = -x^2+1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrempunkte der Schar $g_a(x) = \frac{a}{x} + x$ mit $a>0$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
x-Koordinate des Extrempunkts
$g_a(x) = ax^{-1} + x$ $g_a'(x) = -ax^{-2} + 1 = -\frac{a}{x^2} + 1$ $g_a'(x) = 0 \implies -\frac{a}{x^2} + 1 = 0 \implies 1 = \frac{a}{x^2} \implies x^2 = a$ Da $a>0$ , sind die Lösungen $x = \pm \sqrt{a}$ .
Schritt 3
y-Koordinate des Extrempunkts
Für $x = \sqrt{a}$ : $y = g_a(\sqrt{a}) = \frac{a}{\sqrt{a}} + \sqrt{a} = \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$ .

Für $x = -\sqrt{a}$ : $y = g_a(-\sqrt{a}) = \frac{a}{-\sqrt{a}} - \sqrt{a} = -\sqrt{a} - \sqrt{a} = -2\sqrt{a}$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Parameter eliminieren
Fall 1: $E_1(\sqrt{a} | 2\sqrt{a})$ (I): $x = \sqrt{a}$ (II): $y = 2\sqrt{a}$ Aus (I) folgt $y = 2x$ . Dies ist eine Ortskurve.

Fall 2: $E_2(-\sqrt{a} | -2\sqrt{a})$ (I): $x = -\sqrt{a}$ (II): $y = -2\sqrt{a}$ Aus (I) folgt $\sqrt{a} = -x$ . Eingesetzt in (II): $y = -2(-x) = 2x$ .

Ergebnis:

Beide Äste der Extrempunkte liegen auf der Geraden $y=2x$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ermitteln Sie die Ortskurve der Wendepunkte der Schar $f_t(x) = x^3 - 3tx^2 + 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zweite Ableitung bilden
$f_t'(x) = 3x^2 - 6tx$ $f_t''(x) = 6x - 6t$
Schritt 2
x-Koordinate des Wendepunkts
$f_t''(x) = 0 \implies 6x - 6t = 0 \implies 6x = 6t \implies x = t$ .
Schritt 3
y-Koordinate des Wendepunkts
Wir setzen $x=t$ in $f_t(x)$ ein: $y = f_t(t) = t^3 - 3t(t^2) + 2 = t^3 - 3t^3 + 2 = -2t^3 + 2$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Parameter eliminieren
(I): $x = t$ (II): $y = -2t^3 + 2$

Wir setzen $t=x$ aus (I) in (II) ein: $y = -2x^3 + 2$

Ergebnis:

Die Ortskurve der Wendepunkte ist die kubische Funktion $y = -2x^3+2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Die Extrempunkte der Schar $f_p(x) = \frac{x^2}{p} - 2x$ liegen auf einer Geraden. Bestimmen Sie deren Gleichung.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
x-Koordinate des Extrempunkts
$f_p'(x) = \frac{2x}{p} - 2$ $f_p'(x) = 0 \implies \frac{2x}{p} - 2 = 0 \implies \frac{2x}{p} = 2 \implies 2x = 2p \implies x = p$ .
Schritt 3
y-Koordinate des Extrempunkts
Wir setzen $x=p$ in $f_p(x)$ ein: $y = f_p(p) = \frac{p^2}{p} - 2p = p - 2p = -p$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Parameter eliminieren
(I): $x = p$ (II): $y = -p$

Wir setzen $p=x$ aus (I) in (II) ein: $y = -x$

Ergebnis:

Die Ortskurve ist die Winkelhalbierende des 2. und 4. Quadranten, $y=-x$ .

Aufgabentyp 5: Bedingungen für die Existenz von Extrempunkten

Nicht jede Funktion einer Schar muss zwangsläufig Extrempunkte haben. Manchmal hängt ihre Existenz vom Wert des Parameters ab. Dieser Aufgabentyp fragt gezielt, für welche Parameterwerte Extrempunkte existieren oder nicht.

Der entscheidende Schritt ist die Analyse der Gleichung $f_t'(x) = 0$ . Deine Aufgabe ist es herauszufinden, für welche Werte des Parameters $t$ diese Gleichung mindestens eine reelle Lösung hat.

Häufige Fälle, die dabei auftreten:

Lineare Gleichung in x: Hat meistens genau eine Lösung, es sei denn, der Koeffizient von x wird null.
Quadratische Gleichung in x: Die Anzahl der Lösungen hängt vom Vorzeichen der Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ ab. Reelle Lösungen existieren nur, wenn $D \ge 0$ .
Gleichungen mit Wurzeln oder Brüchen: Du musst darauf achten, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ wird oder der Nenner nicht null wird.

Nachdem du die Bedingung für die Existenz von Lösungen für $f_t'(x)=0$ gefunden hast, musst du oft noch mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich tatsächlich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erste Ableitung bilden: Berechne die erste Ableitung $f_t'(x)$ der Funktionenschar.
Notwendige Bedingung anwenden: Setze die erste Ableitung gleich null: $f_t'(x) = 0$ .
Gleichung nach x auflösen (versuchen): Forme die Gleichung so um, dass du sie nach $x$ oder einem Term wie $x^2$ auflösen kannst. Das Ergebnis wird in der Regel vom Parameter $t$ abhängen.
Existenzbedingungen für reelle Lösungen analysieren: Wenn du $x^2 = \text{Ausdruck}(t)$ erhältst, musst du fordern: $\text{Ausdruck}(t) \ge 0$ . Bei einer quadratischen Gleichung: Diskriminante $D \ge 0$ . Löse die resultierende Ungleichung nach $t$ .
Hinreichende Bedingung prüfen: Bilde die zweite Ableitung $f_t''(x)$ und setze die gefundenen x-Werte ein. Prüfe, ob $f_t''(x) \neq 0$ ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für welche Werte von $t$ besitzt die Funktion $f_t(x) = x^3 - 3tx$ Extrema?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Ableitung bilden und null setzen
$f_t'(x) = 3x^2 - 3t$ $3x^2 - 3t = 0$
Schritt 3
Nach x auflösen
$3x^2 = 3t$ $x^2 = t$
3
Schritt 4
Existenzbedingungen analysieren
Damit die Gleichung $x^2 = t$ reelle Lösungen für $x$ hat, muss die rechte Seite nicht-negativ sein. Also muss $t \ge 0$ gelten.
- Für $t>0$ gibt es zwei Lösungen: $x = \pm \sqrt{t}$ .
- Für $t=0$ gibt es eine Lösung: $x=0$ .
4
Schritt 5 · Ergebnis
Hinreichende Bedingung prüfen
$f_t''(x) = 6x$
- Für $t>0$ : $f_t''(\sqrt{t}) = 6\sqrt{t} > 0$ (Tiefpunkt) und $f_t''(-\sqrt{t}) = -6\sqrt{t} < 0$ (Hochpunkt). Extrema existieren.
- Für $t=0$ : $f_t''(0) = 0$ . Die zweite Ableitung hilft nicht. $f_0(x)=x^3$ hat bei $x=0$ einen Sattelpunkt, kein Extremum.

Ergebnis:

Die Funktion besitzt Extrema für alle $t > 0$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Untersuchen Sie, für welche Werte von $a$ die Funktion $f_a(x) = \frac{x^2+a}{x-1}$ keine Extrema hat.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Ableitung bilden und null setzen
$f_a'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+a)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-a}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}$

$f_a'(x) = 0 \implies x^2-2x-a = 0$ .
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Existenzbedingungen analysieren
Dies ist eine quadratische Gleichung für $x$ . Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante $D = b^2-4ac$ ab. Hier ist $a=1, b=-2, c=-a$ . $D = (-2)^2 - 4(1)(-a) = 4 + 4a$ .

Extrema existieren, wenn es reelle Lösungen gibt, also wenn $D \ge 0$ . $4 + 4a \ge 0 \implies 4a \ge -4 \implies a \ge -1$ .

Die Frage ist, wann es keine Extrema gibt. Das ist der Fall, wenn $D < 0$ . $4 + 4a < 0 \implies 4a < -4 \implies a < -1$ .

Ergebnis:

Für $a < -1$ besitzt die Funktion keine Extrema.

Beispiel 3

Aufgabe

Kann der Graph von $f_t(x) = e^x - tx$ einen Hochpunkt haben?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Ableitung bilden und null setzen
$f_t'(x) = e^x - t$ $e^x - t = 0$
Schritt 3
Nach x auflösen
$e^x = t$
Schritt 4
Existenzbedingungen analysieren
Die Exponentialfunktion $e^x$ kann nur positive Werte annehmen. Daher existiert eine reelle Lösung für $x$ (nämlich $x = \ln(t)$ ) nur, wenn $t > 0$ ist.
Schritt 5 · Ergebnis
Hinreichende Bedingung prüfen
$f_t''(x) = e^x$

Die zweite Ableitung $e^x$ ist immer positiv für alle reellen Zahlen $x$ . Das bedeutet, wenn ein Extremum existiert, muss es immer ein Tiefpunkt sein.

Ergebnis:

Nein, der Graph kann keinen Hochpunkt haben. Für $t>0$ existiert genau ein Extremum, und das ist immer ein Tiefpunkt.

Aufgabentyp 6: Parameter für Tangentialbedingung bestimmen

Wenn sich zwei Graphen tangieren (berühren), bedeutet das, dass sie an einem bestimmten Punkt nicht nur den gleichen Funktionswert, sondern auch die gleiche Steigung haben. Dieser Aufgabentyp taucht in Klausuren häufig im Zusammenhang mit Funktionenscharen auf.

Für zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ bedeutet das an einer Berührstelle $x_0$ :

Gleicher Ort: $f(x_0) = g(x_0)$
Gleiche Steigung: $f'(x_0) = g'(x_0)$

Man muss also im Allgemeinen ein Gleichungssystem aus diesen beiden Bedingungen lösen.

Ein wichtiger Spezialfall: Manchmal führt die erste Gleichung $f_t(x) = g_t(x)$ zu einer einfachen Form wie $x^2 = \text{Ausdruck}(t)$ . Eine Tangente liegt oft dann vor, wenn diese Gleichung nur genau eine Lösung für $x$ hat. Das ist der Fall, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite null wird, denn $x^2=0$ hat nur die eine (doppelte) Lösung $x=0$ . Dieser Trick vereinfacht die Rechnung oft erheblich, da man die Ableitungen nicht benötigt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichungssystem aufstellen: Stelle die beiden Bedingungen für eine Tangente auf: (I) $f_t(x) = g_t(x)$ und (II) $f_t'(x) = g_t'(x)$ .
Gleichungssystem lösen: Löse dieses System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ( $x$ und $t$ ).
Alternativ (Spezialfall): Setze $f_t(x) = g_t(x)$ und forme so um, dass du nach $x$ oder $x^2$ auflösen kannst. Finde die Bedingung für eine doppelte Lösung (z. B. Diskriminante $D=0$ oder $C(t)=0$ bei $x^2=C(t)$ ). Löse nach $t$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für welche Werte von $t$ tangiert der Graph der Funktion $f_t(x) = x^2+t$ die x-Achse ( $g(x)=0$ )?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionsgleichungen gleichsetzen
$f_t(x) = g(x)$ $x^2+t = 0$
Schritt 2
Bedingung für doppelte Lösung finden
Wir lösen nach $x^2$ auf: $x^2 = -t$

Eine Tangente liegt vor, wenn es genau eine Lösung für $x$ gibt. Das ist der Fall, wenn die rechte Seite null ist: $-t = 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
$-t=0 \implies t=0$

Ergebnis:

Für $t=0$ tangiert die Funktion $f_0(x)=x^2$ die x-Achse im Ursprung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimmen Sie $a$ so, dass sich die Graphen von $f(x) = \frac{1}{x}$ und $g_a(x) = -x+a$ tangieren.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Gleichungssystem aufstellen
$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ und $g_a'(x) = -1$ .

(I): $\frac{1}{x} = -x+a$ (II): $-\frac{1}{x^2} = -1$
Schritt 2 · Ergebnis
Gleichungssystem lösen
Aus Gleichung (II) folgt: $1 = x^2 \implies x_1=1, x_2=-1$ .

Fall 1: $x=1$ . Wir setzen dies in (I) ein: $\frac{1}{1} = -1+a \implies 1 = -1+a \implies a=2$ .

Fall 2: $x=-1$ . Wir setzen dies in (I) ein: $\frac{1}{-1} = -(-1)+a \implies -1 = 1+a \implies a=-2$ .

Ergebnis:

Die Graphen tangieren sich für $a=2$ (im Punkt (1|1)) und für $a=-2$ (im Punkt (-1|-1)).

Beispiel 3

Aufgabe

Für welchen Wert von $c$ tangiert die Gerade $y=x+c$ die Parabel $y=x^2$ ?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Gleichsetzen
$x^2 = x+c$ $x^2 - x - c = 0$
Schritt 2 · Ergebnis
Bedingung für doppelte Lösung
Dies ist eine quadratische Gleichung. Eine Tangente (genau eine Lösung) liegt vor, wenn die Diskriminante $D=b^2-4ac$ null ist. Hier ist $a=1, b=-1, c'=-c$ . $D = (-1)^2 - 4(1)(-c) = 1+4c$

Wir setzen $D=0$ : $1+4c = 0$ $4c = -1$ $c = -\frac{1}{4}$

Ergebnis:

Für $c = -\frac{1}{4}$ tangiert die Gerade die Parabel.

Aufgabentyp 7: Extremwertaufgabe im Sachzusammenhang

Extremwertaufgaben sind Anwendungsprobleme, bei denen eine bestimmte Größe (z. B. Fläche, Volumen, Kosten, Zeit) maximiert oder minimiert werden soll. Das Vorgehen lässt sich in zwei Hauptteile gliedern:

Modellierung: Du stellst zwei Gleichungen auf:
- Die Hauptbedingung (Zielfunktion): Das ist die Formel für die Größe, die extremal werden soll. Sie enthält oft mehrere Variablen. Beispiel: $U(b, h) = 2b+2h$ .
- Die Nebenbedingung: Das ist eine feste Vorgabe aus dem Text, die die Variablen miteinander verknüpft. Beispiel: $A = b \cdot h = 100$ .
Optimierung: Du löst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf, setzt diesen Ausdruck in die Hauptbedingung ein und erhältst eine Zielfunktion in einer Variablen, deren Extremum du mit der Differentialrechnung suchst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Haupt- und Nebenbedingung aufstellen: Was soll maximiert/minimiert werden? Welche feste Vorgabe gibt es?
Zielfunktion in einer Variablen formulieren: Nebenbedingung nach einer Variablen umformen, in die Hauptbedingung einsetzen.
Notwendige Bedingung anwenden: Erste Ableitung bilden, gleich null setzen und Kandidaten finden.
Hinreichende Bedingung prüfen: Zweite Ableitung bilden. $f''(x) < 0$ bedeutet Maximum, $f''(x) > 0$ bedeutet Minimum.
Alle gesuchten Größen berechnen und Antwort formulieren: Aus der gefundenen Variablen alle anderen Maße berechnen und einen Antwortsatz formulieren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Aus einem 80 cm langen Draht soll ein Rechteck gebogen werden. Welche Seitenlängen muss das Rechteck haben, damit seine Fläche maximal wird?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Haupt- und Nebenbedingung
Seien $a$ und $b$ die Seitenlängen des Rechtecks.
- Hauptbedingung (Fläche maximieren): $A(a,b) = a \cdot b$
- Nebenbedingung (Umfang ist fest): $U = 2a + 2b = 80$
Schritt 2
Zielfunktion aufstellen
Wir lösen die Nebenbedingung nach $b$ auf: $2b = 80 - 2a \implies b = 40 - a$

Einsetzen in die Hauptbedingung: $A(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$
Schritt 3
Ableitung null setzen
$A'(a) = 40 - 2a$ $A'(a) = 0 \implies 40 - 2a = 0 \implies 2a = 40 \implies a = 20$
Schritt 4
Hinreichende Bedingung prüfen
$A''(a) = -2$ Da $A''(20) = -2 < 0$ , liegt tatsächlich ein Maximum vor.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort
Für $a=20$ cm ergibt sich $b = 40 - 20 = 20$ cm.

Ergebnis:

Die Fläche wird maximal, wenn das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge 20 cm ist.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine zylinderförmige Konservendose soll ein Volumen von 1 Liter (1000 cm³) haben. Welche Maße (Radius $r$ und Höhe $h$ ) minimieren die Oberfläche?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Haupt- und Nebenbedingung
- Hauptbedingung (Oberfläche minimieren): $O(r,h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
- Nebenbedingung (Volumen ist fest): $V = \pi r^2 h = 1000$
Schritt 2
Zielfunktion aufstellen
Wir lösen die Nebenbedingung nach $h$ auf: $h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Einsetzen in die Hauptbedingung: $O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{1000}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$
Schritt 3
Ableitung null setzen
$O(r) = 2\pi r^2 + 2000r^{-1}$ $O'(r) = 4\pi r - 2000r^{-2} = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}$ $O'(r) = 0 \implies 4\pi r = \frac{2000}{r^2} \implies 4\pi r^3 = 2000 \implies r^3 = \frac{500}{\pi}$ $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42$ cm
Schritt 4
Hinreichende Bedingung prüfen
$O''(r) = 4\pi + 4000r^{-3} = 4\pi + \frac{4000}{r^3}$ Für $r>0$ ist $O''(r)$ immer positiv, also liegt ein Minimum vor.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort
Radius $r \approx 5{,}42$ cm. Höhe $h = \frac{1000}{\pi (5{,}42)^2} \approx 10{,}84$ cm.

Ergebnis:

Die Oberfläche wird minimal, wenn die Höhe dem Durchmesser entspricht ( $h=2r$ ).

Beispiel 3

Aufgabe

Aus einem quadratischen Stück Pappe der Seitenlänge 18 cm sollen an den Ecken Quadrate ausgeschnitten werden, um eine offene Schachtel zu falten. Wie groß müssen die ausgeschnittenen Quadrate sein, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Hauptbedingung (Zielfunktion)
Sei $x$ die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate. Die Höhe der Schachtel ist dann $h=x$ . Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $(18-2x)$ . Das Volumen ist die Hauptbedingung, die maximiert werden soll: $V(x) = (18-2x)^2 \cdot x = (324 - 72x + 4x^2)x = 4x^3 - 72x^2 + 324x$ (Der Definitionsbereich ist $0 < x < 9$ .)
Schritt 3
Ableitung null setzen
$V'(x) = 12x^2 - 144x + 324$ $V'(x) = 0 \implies 12(x^2 - 12x + 27) = 0$ $x^2 - 12x + 27 = 0$ Mit der pq-Formel oder dem Satz von Vieta: $(x-3)(x-9)=0$ . Lösungen sind $x_1=3$ und $x_2=9$ . $x=9$ liegt nicht im Definitionsbereich.
Schritt 4 · Ergebnis
Hinreichende Bedingung prüfen
$V''(x) = 24x - 144$ $V''(3) = 24(3) - 144 = 72 - 144 = -72 < 0$ . Es liegt ein Maximum vor.

Ergebnis:

Die ausgeschnittenen Quadrate müssen eine Seitenlänge von 3 cm haben, um das Volumen zu maximieren.

Beispiel 4

Aufgabe

Finden Sie zwei positive Zahlen, deren Summe 20 ist und deren Produkt maximal ist.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Haupt- und Nebenbedingung
Seien die Zahlen $x$ und $y$ .
- Hauptbedingung (Produkt maximieren): $P(x,y) = x \cdot y$
- Nebenbedingung (Summe ist fest): $x + y = 20$
Schritt 2
Zielfunktion aufstellen
Wir lösen die Nebenbedingung nach $y$ auf: $y = 20 - x$

Einsetzen in die Hauptbedingung: $P(x) = x(20-x) = 20x - x^2$
Schritt 3
Ableitung null setzen
$P'(x) = 20 - 2x$ $P'(x) = 0 \implies 20 - 2x = 0 \implies 2x = 20 \implies x = 10$
Schritt 4
Hinreichende Bedingung prüfen
$P''(x) = -2 < 0$ . Es liegt ein Maximum vor.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort
Wenn $x=10$ , dann ist $y = 20 - 10 = 10$ .

Ergebnis:

Die beiden Zahlen sind 10 und 10.

Wichtige Erkenntnisse

Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen, die von einem Parameter abhängt. Die Kurvendiskussion erfolgt, indem man den Parameter wie eine Konstante behandelt.
Um Parameter zu bestimmen, übersetzt man gegebene Eigenschaften (z. B. Extrempunkt, Steigung) in mathematische Gleichungen ( $f'(x_0)=0$ , $f(x_0)=y_0$ , etc.) und löst das resultierende Gleichungssystem.
Gemeinsame Punkte einer Schar findet man, indem man x-Werte sucht, die den Einfluss des Parameters auf den Funktionswert eliminieren.
Die Ortskurve von Extrempunkten findet man, indem man deren Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter bestimmt und anschließend den Parameter aus den beiden Koordinatengleichungen eliminiert.
Die Existenz von Extrema hängt davon ab, ob die Gleichung $f_t'(x)=0$ reelle Lösungen hat. Dies führt oft auf die Untersuchung einer Diskriminante oder einer Ungleichung für den Parameter.
Tangentenbedingung: Zwei Graphen tangieren sich, wenn sie an einer Stelle den gleichen Funktionswert UND die gleiche Steigung haben. Oft reicht es, die Bedingung für eine doppelte Lösung der Schnittpunktgleichung zu finden.
Extremwertaufgaben löst man, indem man eine Hauptbedingung (was maximiert/minimiert werden soll) und eine Nebenbedingung (feste Vorgabe) aufstellt, eine Zielfunktion in einer Variablen erstellt und deren Extremum sucht.

Funktionenscharen analysieren: Methoden und Beispiele

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktionenschar

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Aufgabentyp 2: Parameter aus einem Extrempunkt bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Gemeinsamen Punkt einer Funktionenschar finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Aufgabentyp 4: Ortskurve der Extrempunkte bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Aufgabentyp 5: Bedingungen für die Existenz von Extrempunkten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 6: Parameter für Tangentialbedingung bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 7: Extremwertaufgabe im Sachzusammenhang

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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