Wendepunkte aus Graphen ablesen einfach erklärt: So geht's

Wenn du Wendepunkte aus Graphen ablesen möchtest, hilft dir eine einfache Vorstellung: Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine kurvige Straße entlang. Zuerst fährst du eine Linkskurve und lehnst dich nach links. Kurz darauf folgt eine Rechtskurve, für die du dich nach rechts lehnen musst. Genau in dem kurzen Moment zwischen den beiden Kurven, in dem dein Fahrrad für einen Bruchteil einer Sekunde perfekt geradeaus fährt, befindest du dich am Wendepunkt.

In der Mathematik suchen wir genau diesen Punkt auf einem Graphen. Je nachdem, ob wir den normalen Graphen, die erste Ableitung oder die zweite Ableitung vor uns haben, sieht dieser Punkt völlig anders aus. Lass uns lernen, wie du ihn in jedem Bild sofort erkennst!

Vorwissen

Bevor wir Wendepunkte aus Graphen ablesen, solltest du diese zwei Begriffe kennen:

• Extrempunkt: Der höchste Punkt (Hochpunkt) oder tiefste Punkt (Tiefpunkt) eines Graphen in seiner direkten Umgebung. Beispiel: Die Spitze eines Berges auf dem Graphen ist ein Hochpunkt.
• Nullstelle mit Vorzeichenwechsel: Ein Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet und dabei von der negativen in die positive Hälfte wechselt (oder umgekehrt). Beispiel: Der Graph verläuft unterhalb der x-Achse, schneidet sie bei $x = 2$ und verläuft danach oberhalb der x-Achse.

Aufgabentyp 1: Wendepunkte aus verschiedenen Graphen ablesen

Um Wendepunkte aus Graphen ablesen zu können, musst du zuerst prüfen, welche Funktion abgebildet ist. Ein Wendepunkt ist der Punkt auf einem Graphen, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Die Kurve wechselt dort von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung (oder umgekehrt).

1. Wendepunkt am Graphen von f ablesen

Wenn du den normalen Graphen der Funktion $f$ vor dir hast, suchst du genau diesen Übergang. Stell dir wieder vor, du fährst den Graphen von links nach rechts ab. Der Punkt, an dem du das Lenkrad von der einen in die andere Richtung umschlägst, ist die Wendestelle.

In diesem Bild wechselt der Graph bei $x = 2$ von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Die Wendestelle ist also $x = 2$.

2. Wendepunkt am Graphen von f'' ablesen

Oft bekommst du in einer Aufgabe nicht den Graphen von $f$, sondern den Graphen der zweiten Ableitung $f''$. Die zweite Ableitung beschreibt mathematisch die Krümmung der Funktion.

Am Wendepunkt ist die Kurve für einen winzigen Moment gar nicht gekrümmt (sie fährt geradeaus). Das bedeutet, die Krümmung ist dort exakt null. Wenn du also den Graphen von $f''$ ansiehst, musst du nach einer Nullstelle mit Vorzeichenwechsel suchen. Das ist der Punkt, an dem der Graph von $f''$ die x-Achse schneidet und die Seite wechselt.

Hier schneidet der Graph von $f''$ die x-Achse bei $x = 2$ und wechselt vom Negativen ins Positive. Die Wendestelle der ursprünglichen Funktion $f$ liegt also bei $x = 2$.

3. Wendepunkt am Graphen von f' ablesen

Manchmal hast du nur den Graphen der ersten Ableitung $f'$. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion.

Am Wendepunkt ist die ursprüngliche Funktion $f$ am steilsten (stärkstes Gefälle oder stärkste Steigung). Wenn die Steigung am größten oder am kleinsten ist, bedeutet das für den Graphen von $f'$, dass er dort einen Extrempunkt (Hochpunkt oder Tiefpunkt) hat.

In diesem Bild hat der Graph von $f'$ seinen höchsten Punkt (Hochpunkt) bei $x = 2$. Das bedeutet, die Wendestelle der ursprünglichen Funktion $f$ liegt bei $x = 2$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wenn du eine Wendestelle aus einem Graphen ablesen sollst, gehe immer nach diesem Plan vor:

1. Schritt 1: Prüfe, welcher Graph gegeben ist. Lies die Achsenbeschriftung oder den Aufgabentext genau. Hast du den Graphen von $f$, $f'$ oder $f''$ vor dir?
2. Schritt 2: Wende die passende Regel an.
   • Graph von $f$ gegeben: Suche den Punkt, an dem sich die Krümmung ändert (Lenkrad umschlagen).
   • Graph von $f'$ gegeben: Suche die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) des Graphen.
   • Graph von $f''$ gegeben: Suche die Nullstellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet (Vorzeichenwechsel).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Aufgabe A: Gegeben ist der Graph der ersten Ableitung $f'$ einer Funktion $f$. Bestimme die Wendestellen von $f$.

Aufgabe B: Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitung $g''$ einer Funktion $g$. Bestimme die Wendestellen von $g$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Aufgabe A lösen (Graph von f')

   Wir haben den Graphen der ersten Ableitung $f'$ gegeben. Laut unserer Regel müssen wir nach den Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) suchen.

   Wir lesen ab: Der Graph hat einen Hochpunkt bei $x = -1$ und einen Tiefpunkt bei $x = 3$.

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Aufgabe B lösen (Graph von g'')

   Wir haben den Graphen der zweiten Ableitung $g''$ gegeben. Laut unserer Regel müssen wir nach den Nullstellen mit Vorzeichenwechsel suchen (wo der Graph die x-Achse schneidet).

   Wir lesen ab: Der Graph schneidet die x-Achse bei $x = -2$ und bei $x = 4$.

Ergebnis:

Zu A: Die Funktion $f$ hat Wendestellen bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$. Zu B: Die Funktion $g$ hat Wendestellen bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$.

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Wichtige Erkenntnisse

Um die Wendestelle einer Funktion zu finden, achte genau darauf, welcher Graph gegeben ist:

• Graph von $f$: Suche den Krümmungswechsel (Übergang von Links- zu Rechtskurve oder umgekehrt).
• Graph von $f'$: Suche die Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte).
• Graph von $f''$: Suche die Nullstellen mit Vorzeichenwechsel (Schnittpunkte mit der x-Achse).