Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Im Baumdiagramm findest du sie auf der zweiten Stufe an den Folge-Ästen. Sie wird oft als P_A(B) geschrieben.

Wie berechne ich die bedingte Wahrscheinlichkeit mit der Formel?

Du teilst die Schnittwahrscheinlichkeit (das Ende des passenden Pfades) durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung . Die Formel lautet P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) . Den Nenner musst du oft berechnen, indem du alle Pfade addierst, die zur Bedingung führen.

Was ist der Unterschied zwischen der 1. und 2. Stufe im Baumdiagramm?

Auf der 1. Stufe stehen die unbedingten Wahrscheinlichkeiten, die von nichts abhängen. Auf der 2. Stufe stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die davon abhängen, welchen Weg du in der ersten Stufe gegangen bist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm

Stell dir vor, du wartest morgens auf den Schulbus. Du weißt aus Erfahrung, dass der Bus an manchen Tagen pünktlich ist und an anderen zu spät kommt. Aber hängt das vielleicht vom Wetter ab? Wenn es regnet, fahren mehr Leute mit dem Auto, es gibt Stau, und der Bus verspätet sich häufiger.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus zu spät kommt, ändert sich also unter der Bedingung, dass es regnet. Genau das nennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um solche Situationen übersichtlich darzustellen und zu berechnen, ist das Baumdiagramm unser bestes Werkzeug. Lass uns ansehen, wie wir die bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm ablesen und berechnen können!

Vorwissen

Pfadregel (Multiplikationsregel): Um die Wahrscheinlichkeit am Ende eines Pfades in einem Baumdiagramm zu berechnen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen $0{,}3$ ist und die Wahrscheinlichkeit für Stau bei Regen $0{,}8$ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für "Regen UND Stau" gleich $0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$ .
Schnittmenge (UND-Ereignis): Das Symbol $\cap$ bedeutet "und". Das Ereignis $A \cap B$ tritt ein, wenn Ereignis $A$ und Ereignis $B$ gleichzeitig eintreten.

Aufgabentyp 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen und berechnen

Ein Baumdiagramm ist wie eine Landkarte für Wahrscheinlichkeiten. Wenn wir ein zweistufiges Zufallsexperiment haben (z. B. erst das Wetter, dann der Bus), hat das Baumdiagramm einen ganz festen Aufbau. Jeder Teil des Baumes verrät uns eine andere Art von Wahrscheinlichkeit:

Baumdiagramm mit unbedingten und bedingten Wahrscheinlichkeiten

Die 1. Stufe (Start-Äste): Hier stehen die unbedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie hängen von nichts ab, was vorher passiert ist.
- Beispiel: $\textcolor{#08BFFF}{P(A)}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ eintritt.
Die 2. Stufe (Folge-Äste): Hier stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie geben an, wie wahrscheinlich das zweite Ereignis ist, unter der Bedingung, dass das erste Ereignis bereits eingetreten ist.
- Beispiel: $\textcolor{#FF7D57}{P_A(B)}$ ist die Wahrscheinlichkeit für $B$ , wenn wir schon wissen, dass $A$ passiert ist.
Die Enden (Ergebnisse): Hier stehen die Schnittwahrscheinlichkeiten. Sie geben an, wie wahrscheinlich es ist, dass beide Ereignisse nacheinander eintreten.
- Beispiel: $\textcolor{#9570FF}{P(A \cap B)}$ ist die Wahrscheinlichkeit für " $A$ und $B$ ".

Wenn du also eine bedingte Wahrscheinlichkeit wie $P_A(B)$ suchst, musst du einfach nur den Wert am entsprechenden Ast in der zweiten Stufe ablesen!

Manchmal können wir die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit nicht direkt ablesen. Das passiert oft, wenn wir die Reihenfolge umdrehen wollen.

Stell dir vor, du stehst an der Haltestelle und der Bus ist zu spät (Ereignis $B$ ). Du fragst dich nun: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es geregnet hat (Ereignis $A$ )? Du suchst also $P_B(A)$ . Im Baumdiagramm steht aber nur $P_A(B)$ auf den Ästen.

Um jede beliebige bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, nutzen wir diese wichtige Formel:

$P_A(B) = \frac{\textcolor{#9570FF}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#08BFFF}{P(A)}}$

In Worten: Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Schnittwahrscheinlichkeit (am Ende des Pfades) geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung (die wir schon kennen).

Wenn wir die Bedingung umdrehen und $P_B(A)$ suchen, passen wir die Formel einfach an:

$P_B(A) = \frac{\textcolor{#9570FF}{P(A \cap B)}}{P(B)}$

Wichtig: Der Zähler $\textcolor{#9570FF}{P(A \cap B)}$ bleibt gleich, denn "Regen und Verspätung" ist dasselbe wie "Verspätung und Regen". Nur der Nenner ändert sich, weil wir jetzt durch die neue Bedingung $P(B)$ teilen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Baumdiagramm erstellen: Finde heraus, welches Ereignis zuerst passiert. Zeichne die Stufen und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
Schnittwahrscheinlichkeiten berechnen: Multipliziere die Äste entlang der Pfade, um die Wahrscheinlichkeiten an den Enden zu berechnen.
Formel anwenden: Stelle die Formel auf. Den Zähler findest du am Pfadende, den Nenner musst du eventuell erst berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

In einer Klasse lernen $60\%$ der Schüler für einen Test (Ereignis $L$ ). Wer gelernt hat, besteht den Test mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ (Ereignis $B$ ). Wer nicht gelernt hat (Ereignis $\overline{L}$ ), besteht nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $20\%$ .

Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. Es stellt sich heraus, dass er den Test bestanden hat.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler für den Test gelernt hat. Berechne also $P_B(L)$ .

Fortschritt

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Schritt 1 & 2
Baumdiagramm erstellen und Enden berechnen
Wir zeichnen das Baumdiagramm. In der ersten Stufe steht das Lernen ( $L$ und $\overline{L}$ ). In der zweiten Stufe steht das Bestehen ( $B$ und $\overline{B}$ ).

Wir tragen die Werte aus dem Text ein und berechnen die Enden mit der Pfadregel:
- $P(L) = 0{,}6$ und $P(\overline{L}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$
- $P_L(B) = 0{,}9$ $\to$ Ende: $0{,}6 \cdot 0{,}9 = 0{,}54$
- $P_{\overline{L}}(B) = 0{,}2$ $\to$ Ende: $0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08$
Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für Test
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Schritt 3 · Ergebnis
Formel anwenden
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler gelernt hat ( $L$ ), unter der Bedingung, dass er bestanden hat ( $B$ ). Die Formel lautet:

$P_B(L) = \frac{P(L \cap B)}{P(B)}$

Wir holen uns die Werte aus dem Baumdiagramm:
- Den Zähler $P(L \cap B)$ lesen wir am Ende des obersten Pfades ab: $0{,}54$ .
- Für den Nenner $P(B)$ müssen wir alle Pfade addieren, die zu einem bestandenen Test ( $B$ ) führen. Das sind der erste und der dritte Pfad: $P(B) = 0{,}54 + 0{,}08 = 0{,}62$
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

$P_B(L) = \frac{0{,}54}{0{,}62}$

$P_B(L) \approx 0{,}871$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler gelernt hat, unter der Bedingung, dass er bestanden hat, beträgt ca. $87{,}1\%$ .

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Quizfrage 1 zu Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm

Was bedeutet das mathematische Symbol $\cap$ zwischen zwei Ereignissen?

Quizfrage 2 zu Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm

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An welcher Stelle im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten?

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Wichtige Erkenntnisse

1. Stufe im Baum: Unbedingte Wahrscheinlichkeiten, z. B. $P(A)$ .
2. Stufe im Baum: Bedingte Wahrscheinlichkeiten, z. B. $P_A(B)$ .
Enden der Pfade: Schnittwahrscheinlichkeiten, z. B. $P(A \cap B)$ .
Die wichtigste Formel: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . Du teilst immer durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm einfach erklärt