Bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm einfach erklärt

Die bedingte Wahrscheinlichkeit aus einem Baumdiagramm abzulesen ist eine der zentralen Aufgaben in der Stochastik – und mit der richtigen Methode einfacher als es klingt. Die Frage ist nicht nur „Wie wahrscheinlich ist Ereignis A?", sondern „Wie wahrscheinlich ist A, wenn wir schon wissen, dass B eingetreten ist?" Wetten, dass dein Lieblingsteam gewinnt? Kluge Entscheidungen basieren nicht auf Bauchgefühl, sondern auf bedingter Wahrscheinlichkeit. Mit Baumdiagrammen knackst du diesen Code und siehst die wahren Zusammenhänge, die anderen verborgen bleiben – ob im Spiel, in der Schule oder bei wichtigen Alltagsentscheidungen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen von Baumdiagrammen:

• Baumdiagramm: Eine grafische Darstellung, die alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments zeigt. Jeder Pfad von der Wurzel bis zum Ende eines Astes stellt ein mögliches Ergebnis dar.

  • Beispiel: Ein zweimaliger Münzwurf. Das Baumdiagramm hat zwei Stufen mit jeweils den Ästen „Kopf" (K) und „Zahl" (Z).

• 1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis (einen kompletten Pfad) erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multipliziert.

  • Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf" zu werfen, ist $P(KK) = P(K) \cdot P(K) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.

• Ereignis und Gegenereignis: Ein Ereignis ist ein bestimmter Ausgang (z. B. „eine 6 würfeln"). Das Gegenereignis ist alles andere (z. B. „keine 6 würfeln"). Die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist immer 1 (oder 100 %).

  • Formel: $P(E) + P(\overline{E}) = 1$
  • Beispiel: Wenn die Regenwahrscheinlichkeit $P(R) = 0{,}3$ (30 %) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für „kein Regen" $P(\overline{R}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ (70 %).

Aufgabentyp 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten aus einem Baumdiagramm ablesen

Stell dir vor, du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass du einen Sonnenbrand bekommst. Das hängt stark davon ab, ob die Sonne scheint, oder? Genau das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist. Man schreibt das als $P_B(A)$ und liest es als „die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B".

In einem Baumdiagramm findest du diese Wahrscheinlichkeiten immer auf den Ästen der zweiten oder späteren Stufen. Die erste Stufe zeigt die normalen Wahrscheinlichkeiten, wie z. B. $P(B)$. Die Äste danach zeigen die bedingten Wahrscheinlichkeiten, da sie vom vorherigen Ast abhängen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Signalwörter und Frage verstehen: Suche im Aufgabentext nach Signalwörtern wie „wenn", „falls", „unter der Bedingung, dass" oder „von denjenigen, die …". Diese deuten auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit hin.
2. Bedingung und Ereignis identifizieren: Was ist die Bedingung? Das ist die Information, die du bereits hast (z. B. „eine Person hat Grippe"). Was ist das Ereignis? Das ist das, wofür du die Wahrscheinlichkeit suchst (z. B. „die Person hat Husten").
3. Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden: Gehe vom Startpunkt zum Ast, der die Bedingung darstellt (erster Ast). Folge von dort aus dem Ast, der das gesuchte Ereignis darstellt (zweiter Ast).
4. Wahrscheinlichkeit ablesen: Die Zahl, die direkt auf dem zweiten Ast dieses Pfades steht, ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Fußballteam trägt bei 60 % seiner Spiele Stollenschuhe (S). Wenn sie Stollenschuhe tragen, gewinnen (G) sie mit 80 % Wahrscheinlichkeit. Tragen sie keine Stollenschuhe ($\overline{S}$), gewinnen sie nur mit 50 % Wahrscheinlichkeit. Das Baumdiagramm zeigt die Situation. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das Team ein Spiel gewinnt, wenn bekannt ist, dass es Stollenschuhe getragen hat.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Signalwörter und Frage verstehen

   Die Frage lautet: „Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das Team … gewinnt, wenn bekannt ist, dass es Stollenschuhe getragen hat." Das Signalwort „wenn bekannt ist, dass" zeigt uns, dass wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit suchen.

2. 2
   Schritt 2
   Bedingung und Ereignis identifizieren
   • Die Bedingung ist, was wir bereits wissen: Das Team hat Stollenschuhe getragen (S).
   • Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen, ist: Das Team gewinnt (G).

   Wir suchen also $P_S(G)$.

3. 3
   Schritt 3
   Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden
   • Wir starten bei der Wurzel und folgen dem Ast für die Bedingung S.
   • Von dort aus folgen wir dem Ast für das Ereignis G.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit ablesen

   Die Zahl, die auf dem zweiten Ast (von S nach G) steht, ist 0,8.

   $P_S(G) = 0{,}8$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Team gewinnt, wenn es Stollenschuhe trägt, beträgt 80 %.

Beispiel 2

Aufgabe

In einer Klinik haben 10 % der Patienten eine Grippe (F). Von den Grippepatienten haben 70 % auch Husten (C). Von den Patienten ohne Grippe ($\overline{F}$) haben nur 20 % Husten. Das Baumdiagramm stellt dies dar. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient Husten hat, unter der Bedingung, dass er Grippe hat?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Signalwörter und Frage verstehen

   Die Formulierung „unter der Bedingung, dass" signalisiert eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

2. 2
   Schritt 2
   Bedingung und Ereignis identifizieren
   • Die Bedingung: Der Patient hat Grippe (F).
   • Das Ereignis: Der Patient hat Husten (C).

   Gesucht ist $P_F(C)$.

3. 3
   Schritt 3
   Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden
   • Wir folgen dem Pfad für die Bedingung F.
   • Von dort aus folgen wir dem Pfad für das Ereignis C.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit ablesen

   Der Wert auf dem zweiten Ast des gesuchten Pfades ist 0,7.

   $P_F(C) = 0{,}7$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für Husten, wenn der Patient Grippe hat, liegt bei 70 %.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Firma nutzt zwei Maschinen, A und B. 60 % der Produkte werden von Maschine A hergestellt. Maschine A produziert 5 % defekte Teile (D), Maschine B nur 2 %. Das Baumdiagramm zeigt die Situation. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil defekt ist, wenn es von Maschine A stammt?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Signalwörter und Frage verstehen

   Die Frage „…, wenn es von Maschine A stammt?" enthält das Signalwort „wenn" und fragt nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

2. 2
   Schritt 2
   Bedingung und Ereignis identifizieren
   • Die Bedingung: Das Teil stammt von Maschine A.
   • Das Ereignis: Das Teil ist defekt (D).

   Wir suchen also $P_A(D)$.

3. 3
   Schritt 3
   Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden
   • Wir folgen dem Ast für die Bedingung A.
   • Von dort aus folgen wir dem Ast für das Ereignis D.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit ablesen

   Der Wert auf dem zweiten Ast (von A nach D) ist 0,05.

   $P_A(D) = 0{,}05$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein von Maschine A stammendes Teil defekt ist, beträgt 5 %.

Beispiel 4

Aufgabe

In einer Stadt ist an 30 % der Tage der Himmel bewölkt (B). An bewölkten Tagen regnet es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % (R). An nicht bewölkten Tagen ($\overline{B}$) regnet es nur mit 10 % Wahrscheinlichkeit. Siehe Baumdiagramm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Regen, falls der Himmel bewölkt ist.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Signalwörter und Frage verstehen

   Das Wort „falls" signalisiert, dass eine Bedingung gegeben ist.

2. 2
   Schritt 2
   Bedingung und Ereignis identifizieren
   • Die Bedingung: Der Himmel ist bewölkt (B).
   • Das Ereignis: Es regnet (R).

   Gesucht ist $P_B(R)$.

3. 3
   Schritt 3
   Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden
   • Wir gehen den Pfad für die Bedingung B.
   • Von dort aus gehen wir den Pfad für das Ereignis R.

   

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit ablesen

   Die Zahl auf dem zweiten Ast des Pfades B $\to$ R ist 0,6.

   $P_B(R) = 0{,}6$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für Regen an einem bewölkten Tag beträgt 60 %.

Beispiel 5

Aufgabe

An einer Schule wählen 40 % der Schüler den Kunstkurs (K). Von den Kunstkurs-Schülern bestehen 90 % die Abschlussprüfung (P). Von den Schülern, die nicht im Kunstkurs sind ($\overline{K}$), bestehen 75 % die Prüfung. Das Baumdiagramm visualisiert die Daten. Ein zufällig ausgewählter Schüler ist im Kunstkurs. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Prüfung besteht?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Signalwörter und Frage verstehen

   Die Information „Ein zufällig ausgewählter Schüler ist im Kunstkurs" ist eine gegebene Bedingung. Wir sollen die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis nach dieser Information bestimmen.

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   Schritt 2
   Bedingung und Ereignis identifizieren
   • Die Bedingung: Der Schüler ist im Kunstkurs (K).
   • Das Ereignis: Der Schüler besteht die Prüfung (P).

   Wir suchen $P_K(P)$.

3. 3
   Schritt 3
   Den richtigen Pfad im Baumdiagramm finden
   • Wir folgen dem Ast für die Bedingung K.
   • Von dort aus folgen wir dem Ast für das Ereignis P.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit ablesen

   Der Wert auf dem Ast von K nach P ist 0,9.

   $P_K(P) = 0{,}9$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunstkurs-Schüler die Prüfung besteht, ist 90 %.

Wichtige Erkenntnisse

• Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.
• In einem Baumdiagramm findest du die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ immer auf dem Ast der zweiten Stufe, der auf den Ast der Bedingung B folgt.
• Achte auf Signalwörter wie „wenn", „falls" oder „unter der Bedingung, dass".
• Verwechsle die bedingte Wahrscheinlichkeit (auf einem Ast) nicht mit der Gesamtwahrscheinlichkeit eines Pfades (Produkt der Wahrscheinlichkeiten).