Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, wenn bereits bekannt ist, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist. Sie verändert also den Blickwinkel: Statt alle möglichen Ergebnisse zu betrachten, beschränkst du dich auf die Ergebnisse, bei denen B gilt. Dieses Prinzip steckt hinter Wettervorhersagen, medizinischen Tests und Empfehlungsalgorithmen.

Wie berechnest du eine bedingte Wahrscheinlichkeit Schritt für Schritt?

Du gehst in vier Schritten vor: Schreibe die Ereignisse A und B als Mengen auf. Bestimme die Schnittmenge A ∩ B – alle Ergebnisse, die in beiden Mengen liegen. Berechne P(B) und P(A ∩ B) mit der Laplace-Formel. Setze in die Formel P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) ein.

Was bedeutet die Schreibweise P_B(A)?

Die Schreibweise P_B(A) liest du als „die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ". Der kleine Buchstabe im Index (hier B ) ist die Bedingung – die Information, die du bereits kennst. Der Buchstabe in der Klammer (hier A ) ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit du unter dieser Bedingung wissen möchtest.

Wann verwendest du die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit nutzt du immer dann, wenn du eine neue Information hast, die deinen Ergebnisraum einschränkt. Typische Situationen: Ein Arzt kennt das Testergebnis und fragt nach der tatsächlichen Erkrankung, ein Shop-Betreiber weiß, dass ein Kunde den Warenkorb befüllt hat, und will die Kaufwahrscheinlichkeit kennen, oder du kennst bereits das Ergebnis eines ersten Würfelwurfs.

Was ist der Unterschied zwischen P(A) und P_B(A)?

P(A) ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit von A – sie berücksichtigt alle möglichen Ergebnisse. P_B(A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit – sie betrachtet nur noch die Ergebnisse, bei denen B bereits eingetreten ist. Das verändert den Ergebnisraum und damit den Wert der Wahrscheinlichkeit. P_B(A) kann größer, kleiner oder gleich P(A) sein.

Bedingte Wahrscheinlichkeit einfach erklärt

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist überall um uns herum – ob Netflix das nächste Video empfiehlt, eine Wetter-App einen Regenschauer für die nächste Stunde vorhersagt oder ein Arzt einen Test auswertet. Hast du dich jemals gefragt, wie eine App vorhersagt, dass es in deiner Stadt in der nächsten Stunde mit 80 % Wahrscheinlichkeit regnen wird, obwohl der Himmel gerade noch blau ist? Die Antwort ist bedingte Wahrscheinlichkeit. Sie ist die Mathematik des „Wenn-Dann"-Denkens und die geheime Zutat hinter Empfehlungsalgorithmen, medizinischen Diagnosen und sogar in Videospielen, um die Wahrscheinlichkeit für seltene Items zu bestimmen. Wenn du dieses Prinzip verstehst, lernst du, wie man Vorhersagen anpasst, wenn neue Informationen eintreffen – nützlich nicht nur in der Schule, sondern auch im Alltag.

Schnellantwort

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn du bereits weißt, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Man schreibt $P_B(A)$ und liest: „Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B." Der Index B ist die bereits bekannte Information; A ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit dich interessiert. Berechnet wird sie mit der Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Vorwissen

Bevor wir in die bedingten Wahrscheinlichkeiten eintauchen, sollten wir ein paar Grundlagen wiederholen:

Ereignis: Eine Zusammenfassung von einem oder mehreren möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments.
- Beispiel: Beim Würfeln ist „eine gerade Zahl würfeln" ein Ereignis. Es umfasst die Ergebnisse {2, 4, 6}.
Gegenereignis: Das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt. Man schreibt es mit einem Strich darüber: $\bar{E}$ .
- Beispiel: Wenn E = „eine 6 würfeln" ist, dann ist $\bar{E}$ = „keine 6 würfeln".
Schnittmenge von Ereignissen ( $A \cap B$ ): Beschreibt das Eintreten von beiden Ereignissen, A und B.
- Beispiel: Wenn A = „Zahl ist gerade" und B = „Zahl ist größer als 3" ist, dann ist die Schnittmenge $A \cap B$ = „Zahl ist gerade UND größer als 3", also die Ergebnisse {4, 6}.
Laplace-Wahrscheinlichkeit: Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
- Formel: $P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl mit einem normalen Würfel zu würfeln, ist $P(\text{gerade}) = \frac{3}{6} = 0{,}5$ .

Aufgabentyp 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit in Worten erklären

Stell dir vor, die normale Wahrscheinlichkeit, dass es regnet, ist 20 %. Aber was, wenn du aus dem Fenster schaust und dunkle Wolken siehst? Deine Einschätzung ändert sich, oder? Genau das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Sie beantwortet die Frage: „Wie wahrscheinlich ist Ereignis A, WENN wir bereits wissen, dass Ereignis B eingetreten ist?"

Die Schreibweise dafür ist $P_B(A)$ .

Der kleine Buchstabe unten (B) ist die Bedingung. Das ist die Information, die wir schon haben. Es ist unser neues, eingeschränktes Wissen.
Der Buchstabe in der Klammer (A) ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir jetzt wissen wollen.

Man liest es als: „Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B."

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Identifiziere die Bedingung

Schau dir den kleinen Buchstaben unten an (den Index). Das ist die Information, die als bereits geschehen vorausgesetzt wird. Zum Beispiel bei $P_F(E)$ ist F die Bedingung.

Schritt 2: Identifiziere das gesuchte Ereignis

Schau dir den Buchstaben in der Klammer an. Das ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit du unter der neuen Bedingung bestimmen sollst. Bei $P_F(E)$ ist E das gesuchte Ereignis.

Schritt 3: Formuliere den Satz

Setze die beiden Teile in diesen Satzbau ein:

„Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass [gesuchtes Ereignis] eintritt, unter der Bedingung, dass [Bedingung] bereits eingetreten ist."

Oder kürzer: „Wie wahrscheinlich ist [gesuchtes Ereignis], wenn [Bedingung] gilt?"

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einer Schule werden die Ereignisse betrachtet: S: „Ein Schüler treibt regelmäßig Sport." und G: „Ein Schüler hat gute Noten." Was bedeutet $P_S(G)$ in diesem Zusammenhang?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere die Bedingung
Die Bedingung ist der Index, also S: „Ein Schüler treibt regelmäßig Sport."
Schritt 2
Identifiziere das gesuchte Ereignis
Das gesuchte Ereignis steht in der Klammer, also G: „Ein Schüler hat gute Noten."
Schritt 3 · Ergebnis
Formuliere den Satz
$P_S(G)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler gute Noten hat, wenn wir bereits wissen, dass dieser Schüler regelmäßig Sport treibt.

Ergebnis:

$P_S(G)$ gibt an, wie wahrscheinlich gute Noten sind, unter der Bedingung, dass der Schüler regelmäßig Sport treibt.

Beispiel 2

Aufgabe

Bei einer Wettervorhersage gibt es die Ereignisse W: „Es ist windig." und R: „Es regnet." Erkläre die Bedeutung von $P_R(W)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere die Bedingung
Die Bedingung ist R: „Es regnet."
Schritt 2
Identifiziere das gesuchte Ereignis
Das gesuchte Ereignis ist W: „Es ist windig."
Schritt 3 · Ergebnis
Formuliere den Satz
$P_R(W)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass es windig ist, unter der Bedingung, dass es bereits regnet.

Ergebnis:

$P_R(W)$ beschreibt, wie wahrscheinlich Wind ist, wenn Regen bereits eingetreten ist.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Arzt untersucht Patienten. Die Ereignisse sind K: „Ein Patient hat eine bestimmte Krankheit." und T: „Der medizinische Test ist positiv." Was sagt die Wahrscheinlichkeit $P_K(\bar{T})$ aus?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere die Bedingung
Die Bedingung ist K: „Ein Patient hat eine bestimmte Krankheit."
Schritt 2
Identifiziere das gesuchte Ereignis
Das gesuchte Ereignis ist $\bar{T}$ . Das ist das Gegenereignis zu T, also: „Der medizinische Test ist nicht positiv (negativ)."
Schritt 3 · Ergebnis
Formuliere den Satz
$P_K(\bar{T})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Patient die Krankheit tatsächlich hat. (Dies wäre ein sogenannter „falsch-negativer" Test.)

Ergebnis:

$P_K(\bar{T})$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines falsch-negativen Testergebnisses bei tatsächlich erkrankten Patienten.

Beispiel 4

Aufgabe

In einem Online-Shop werden die Ereignisse A: „Ein Kunde legt ein Produkt in den Warenkorb." und B: „Ein Kunde kauft das Produkt." betrachtet. Interpretiere $P_A(B)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere die Bedingung
Die Bedingung ist A: „Ein Kunde legt ein Produkt in den Warenkorb."
Schritt 2
Identifiziere das gesuchte Ereignis
Das gesuchte Ereignis ist B: „Ein Kunde kauft das Produkt."
Schritt 3 · Ergebnis
Formuliere den Satz
$P_A(B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde das Produkt kauft, nachdem er es in den Warenkorb gelegt hat. Diese Kennzahl ist für Shop-Betreiber sehr wichtig.

Ergebnis:

$P_A(B)$ misst die Kaufwahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass das Produkt bereits im Warenkorb liegt.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Versicherung analysiert Unfalldaten. F: „Der Fahrer ist ein Fahranfänger." U: „Der Fahrer verursacht einen Unfall." Was bedeutet $P_{\bar{F}}(U)$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere die Bedingung
Die Bedingung ist $\bar{F}$ . Das ist das Gegenereignis zu F, also: „Der Fahrer ist kein Fahranfänger."
Schritt 2
Identifiziere das gesuchte Ereignis
Das gesuchte Ereignis ist U: „Der Fahrer verursacht einen Unfall."
Schritt 3 · Ergebnis
Formuliere den Satz
$P_{\bar{F}}(U)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrer einen Unfall verursacht, unter der Bedingung, dass es sich um einen erfahrenen Fahrer (keinen Anfänger) handelt.

Ergebnis:

$P_{\bar{F}}(U)$ beschreibt das Unfallrisiko ausschließlich für erfahrene Fahrer, die keine Fahranfänger sind.

Aufgabentyp 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Um eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, benutzen wir eine Formel. Die Idee dahinter ist, dass wir unseren Blickwinkel verändern.

Wir schauen nicht mehr auf alle möglichen Ergebnisse, sondern nur noch auf die Ergebnisse, bei denen unsere Bedingung erfüllt ist. Dieser neue, kleinere „Ergebnisraum" ist die Basis für unsere Berechnung.

Die Formel lautet:

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse (A und B) eintreten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung (B) allein.

Visualisierung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben

Definiere die Ereignisse A und B, indem du alle zugehörigen Ergebnisse aus dem gesamten Ergebnisraum $\Omega$ auflistest.

Schritt 2: Die Schnittmenge finden

Bestimme die Schnittmenge $A \cap B$ . Das sind alle Ergebnisse, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind.

Schritt 3: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Bedingung $P(B)$ und für die Schnittmenge $P(A \cap B)$ mit der Laplace-Formel.

$P(B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in B}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in } A \cap B}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Schritt 4: In die Formel einsetzen

Setze die berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein und berechne das Ergebnis.

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein fairer 6-seitiger Würfel wird geworfen. Wir betrachten die Ereignisse: A: „Die Augenzahl ist ungerade." B: „Die Augenzahl ist kleiner als 5." Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben
Der Ergebnisraum ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

A = „Die Augenzahl ist ungerade." $\to A = \{1, 3, 5\}$

B = „Die Augenzahl ist kleiner als 5." $\to B = \{1, 2, 3, 4\}$
Schritt 2
Die Schnittmenge finden
$A \cap B$ sind die Zahlen, die ungerade UND kleiner als 5 sind.

$A \cap B = \{1, 3\}$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Gesamtzahl der Ergebnisse ist 6.

$P(B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in B}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in } A \cap B}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ein.

$P_B(A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl, wenn sie bereits kleiner als 5 ist, beträgt $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Die Ereignisse sind: A: „Die Karte ist ein König." B: „Die Karte ist eine Herz-Karte." Berechne $P_B(A)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben
Der Ergebnisraum $\Omega$ hat 32 Karten.

A: Es gibt 4 Könige im Spiel.

B: Es gibt 8 Herz-Karten im Spiel.
Schritt 2
Die Schnittmenge finden
$A \cap B$ : Die Karte ist ein König UND eine Herz-Karte. Es gibt nur eine solche Karte: den Herz-König.
Schritt 3
Wahrscheinlichkeiten berechnen
$P(B) = \frac{\text{Anzahl Herz-Karten}}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl Herz-Könige}}{32} = \frac{1}{32}$
Schritt 4 · Ergebnis
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ein.

$P_B(A) = \frac{\frac{1}{32}}{\frac{8}{32}} = \frac{1}{32} \cdot \frac{32}{8} = \frac{1}{8}$

Ergebnis:

Wenn wir wissen, dass die gezogene Karte eine Herz-Karte ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es ein König ist, $\frac{1}{8}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

In einer Klasse mit 30 Schülern sind 18 Mädchen und 12 Jungen. 4 Jungen und 6 Mädchen tragen eine Brille. Es wird zufällig ein Schüler ausgewählt. A: „Der Schüler ist ein Junge." B: „Der Schüler trägt eine Brille." Berechne $P_B(A)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben
Der Ergebnisraum $\Omega$ hat 30 Schüler.

A: Es gibt 12 Jungen.

B: Es gibt $4+6=10$ Brillenträger.
Schritt 2
Die Schnittmenge finden
$A \cap B$ : Der Schüler ist ein Junge UND trägt eine Brille. Das sind 4 Schüler.
Schritt 3
Wahrscheinlichkeiten berechnen
$P(B) = \frac{\text{Anzahl Brillenträger}}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl Jungen mit Brille}}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$
Schritt 4 · Ergebnis
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ein.

$P_B(A) = \frac{\frac{4}{30}}{\frac{10}{30}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Ergebnis:

Wenn wir wissen, dass der ausgewählte Schüler eine Brille trägt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Junge ist, $\frac{2}{5}$ oder 40 %.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Münze wird zweimal geworfen. Die möglichen Ergebnisse sind KK, KZ, ZK, ZZ (K=Kopf, Z=Zahl). A: „Es fällt mindestens einmal Zahl." B: „Der erste Wurf ist Kopf." Berechne $P_B(A)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben
Der Ergebnisraum ist $\Omega = \{\text{KK, KZ, ZK, ZZ}\}$ .

A = „mindestens einmal Zahl" $\to A = \{\text{KZ, ZK, ZZ}\}$

B = „erster Wurf ist Kopf" $\to B = \{\text{KK, KZ}\}$
Schritt 2
Die Schnittmenge finden
$A \cap B$ sind die Ergebnisse, bei denen mindestens einmal Zahl vorkommt UND der erste Wurf Kopf ist.

$A \cap B = \{\text{KZ}\}$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Gesamtzahl der Ergebnisse ist 4.

$P(B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in B}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in } A \cap B}{4} = \frac{1}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ein.

$P_B(A) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Wenn der erste Wurf Kopf war, beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Zahl $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder, nummeriert von 1 bis 8. Es wird einmal gedreht. A: „Die Zahl ist eine Primzahl." (Primzahlen von 1–8 sind 2, 3, 5, 7) B: „Die Zahl ist größer als 4." Berechne $P_B(A)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alle Ereignisse als Mengen aufschreiben
Der Ergebnisraum ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ .

A = „Zahl ist Primzahl" $\to A = \{2, 3, 5, 7\}$

B = „Zahl ist größer als 4" $\to B = \{5, 6, 7, 8\}$
Schritt 2
Die Schnittmenge finden
$A \cap B$ sind die Zahlen, die Primzahlen UND größer als 4 sind.

$A \cap B = \{5, 7\}$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Gesamtzahl der Ergebnisse ist 8.

$P(B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in B}}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in } A \cap B}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ein.

$P_B(A) = \frac{\frac{2}{8}}{\frac{4}{8}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Wenn die gedrehte Zahl größer als 4 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Primzahl ist, $\frac{1}{2}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn du bereits weißt, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist.
Notation $P_B(A)$ : Man liest es als „Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".
Interpretation: Es geht immer um die Frage „Wie wahrscheinlich ist ..., WENN ... schon passiert ist?"
Berechnungsformel: Die goldene Regel lautet: $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ – Wahrscheinlichkeit für BEIDE geteilt durch Wahrscheinlichkeit der BEDINGUNG.

Bedingte Wahrscheinlichkeit einfach erklärt: Formel & Beispiele

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit in Worten erklären

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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