Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Der rechte Winkel ist unten links. Die Seite gegenüber ist c. Also ist c die Hypotenuse.

Wir betrachten den Winkel $\alpha$.

Die Seite gegenüber von $\alpha$ ist a. Also ist a die Gegenkathete von $\alpha$.

Die Seite, die an $\alpha$ anliegt und nicht die Hypotenuse ist, ist b. Also ist b die Ankathete von $\alpha$.

Der rechte Winkel ist oben. Die Seite gegenüber ist z. Also ist z die Hypotenuse.

Wir betrachten den Winkel $\beta$.

Die Seite gegenüber von $\beta$ ist y. Also ist y die Gegenkathete von $\beta$.

Die Seite, die an $\beta$ anliegt und nicht die Hypotenuse ist, ist x. Also ist x die Ankathete von $\beta$.

Der rechte Winkel ist unten rechts. Die Seite gegenüber ist r. Also ist r die Hypotenuse.

Wir betrachten den Winkel $\gamma$.

Die Seite gegenüber von $\gamma$ ist p. Also ist p die Gegenkathete von $\gamma$.

Die Seite, die an $\gamma$ anliegt und nicht die Hypotenuse ist, ist q. Also ist q die Ankathete von $\gamma$.

• Gegeben: Winkel $\alpha = 30°$, Hypotenuse $c = 10$ cm.
• Gesucht: Gegenkathete $a$.

Wir brauchen eine Formel mit Gegenkathete und Hypotenuse. Die Merkhilfe GAGA HühnerHof AG sagt uns: G / H ist der Sinus.

Die Formel lautet: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Wir setzen die Werte ein:

$\sin(30°) = \frac{a}{10}$

Jetzt formen wir nach $a$ um, indem wir mit 10 multiplizieren:

$a = \sin(30°) \cdot 10$

$a = 0{,}5 \cdot 10$

$a = 5$ cm

• Gegeben: Winkel $\beta = 45°$, Ankathete $a = 7$ m.
• Gesucht: Hypotenuse $c$.

Wir brauchen eine Formel mit Ankathete und Hypotenuse. Die Merkhilfe GAGA HühnerHof AG sagt uns: A / H ist der Kosinus.

Die Formel lautet: $\cos(\beta) = \frac{a}{c}$

Wir setzen die Werte ein:

$\cos(45°) = \frac{7}{c}$

Jetzt formen wir nach $c$ um. Zuerst multiplizieren wir mit $c$, dann teilen wir durch $\cos(45°)$:

$c \cdot \cos(45°) = 7$

$c = \frac{7}{\cos(45°)}$

$c \approx \frac{7}{0{,}707}$

$c \approx 9{,}9$ m

• Gegeben: Winkel $\alpha = 60°$, Ankathete $b = 4$ cm.
• Gesucht: Gegenkathete $a$.

Wir brauchen eine Formel mit Gegenkathete und Ankathete. Die Merkhilfe GAGA HühnerHof AG sagt uns: G / A ist der Tangens.

Die Formel lautet: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Wir setzen die Werte ein:

$\tan(60°) = \frac{a}{4}$

Wir formen nach $a$ um, indem wir mit 4 multiplizieren:

$a = \tan(60°) \cdot 4$

$a \approx 1{,}732 \cdot 4$

$a \approx 6{,}93$ cm

• Die Situation bildet ein rechtwinkliges Dreieck.
• Gegeben: Winkel $\alpha = 75°$, Gegenkathete (Höhe) = 8 m.
• Gesucht: Hypotenuse (Länge der Leiter).

Wir haben Gegenkathete und Hypotenuse. Das ist der Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(75°) = \frac{8}{L}$

$L = \frac{8}{\sin(75°)}$

$L \approx \frac{8}{0{,}966}$

$L \approx 8{,}28$ m

• Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel im Dreieck am Schiff ist ebenfalls $10°$ (Wechselwinkel).
• Gegeben: Winkel $\alpha = 10°$, Gegenkathete (Höhe des Leuchtturms) = 50 m.
• Gesucht: Ankathete (horizontale Entfernung).

Wir haben Gegenkathete und Ankathete. Das ist der Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(10°) = \frac{50}{d}$

$d = \frac{50}{\tan(10°)}$

$d \approx \frac{50}{0{,}176}$

$d \approx 284{,}1$ m

• Gesuchter Winkel: $\alpha$
• Aus Sicht von $\alpha$: Gegenkathete $a = 5$ cm, Hypotenuse $c = 10$ cm.

Wir haben Gegenkathete und Hypotenuse. Das ist der Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

$\sin(\alpha) = \frac{5}{10} = 0{,}5$

Um $\alpha$ zu finden, benutzen wir den Arkussinus:

$\alpha = \sin^{-1}(0{,}5)$

$\alpha = 30°$

• Gesuchter Winkel: $\alpha$
• Aus Sicht von $\alpha$: Ankathete $b = 8$ m, Hypotenuse $c = 12$ m.

Wir haben Ankathete und Hypotenuse. Das ist der Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

$\cos(\alpha) = \frac{8}{12} \approx 0{,}667$

$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\frac{8}{12}\right)$

$\alpha \approx 48{,}19°$

• Gesuchter Winkel: $\beta$
• Aus Sicht von $\beta$: Gegenkathete $b = 9$ cm, Ankathete $a = 6$ cm.

Wir haben Gegenkathete und Ankathete. Das ist der Tangens.

$\tan(\beta) = \frac{b}{a}$

$\tan(\beta) = \frac{9}{6} = 1{,}5$

$\beta = \tan^{-1}(1{,}5)$

$\beta \approx 56{,}31°$

• Gesuchter Winkel: Steigungswinkel $\alpha$
• Aus Sicht von $\alpha$: Gegenkathete (Höhe) = 3 m, Hypotenuse (Länge der Rampe) = 15 m.

Wir haben Gegenkathete und Hypotenuse. Das ist der Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{3}{15} = 0{,}2$

$\alpha = \sin^{-1}(0{,}2)$

$\alpha \approx 11{,}54°$

• Gesuchter Winkel: $\alpha$ (Winkel der Sonnenstrahlen mit dem Boden)
• Aus Sicht von $\alpha$: Gegenkathete (Höhe des Baums) = 15 m, Ankathete (Länge des Schattens) = 20 m.

Wir haben Gegenkathete und Ankathete. Das ist der Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{15}{20} = 0{,}75$

$\alpha = \tan^{-1}(0{,}75)$

$\alpha \approx 36{,}87°$

• Gegeben: $a=8$ cm, $b=6$ cm, $\gamma=90°$.
• Gesucht: $c$, $\alpha$, $\beta$.

Wir haben zwei Seiten, also benutzen wir den Satz des Pythagoras, um $c$ zu finden.

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ cm

Wir berechnen $\alpha$. Aus Sicht von $\alpha$ ist $a=8$ die Gegenkathete und $b=6$ die Ankathete. Wir benutzen den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{8}{6}$

$\alpha = \tan^{-1}\!\left(\frac{8}{6}\right) \approx 53{,}13°$

Den letzten Winkel $\beta$ finden wir über die Winkelsumme.

$\beta = 90° - \alpha$

$\beta \approx 90° - 53{,}13° = 36{,}87°$

• Gegeben: $c=15$ m, $\alpha=25°$, $\gamma=90°$.
• Gesucht: $a$, $b$, $\beta$.

Aus Sicht von $\alpha$ ist $a$ die Gegenkathete und $c$ die Hypotenuse. Wir benutzen den Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

$\sin(25°) = \frac{a}{15}$

$a = 15 \cdot \sin(25°) \approx 6{,}34$ m

Aus Sicht von $\alpha$ ist $b$ die Ankathete. Wir benutzen den Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

$\cos(25°) = \frac{b}{15}$

$b = 15 \cdot \cos(25°) \approx 13{,}6$ m

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 25° = 65°$

• Gegeben: $a=5$, $c=13$, $\gamma=90°$.
• Gesucht: $b$, $\alpha$, $\beta$.

Mit dem Satz des Pythagoras:

$a^2 + b^2 = c^2$

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$

Wir berechnen $\alpha$. Aus Sicht von $\alpha$ ist $a=5$ die Gegenkathete und $c=13$ die Hypotenuse. Wir benutzen den Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$

$\alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22{,}62°$

$\beta = 90° - \alpha \approx 90° - 22{,}62° = 67{,}38°$

• Gegeben: $b=10$ cm, $\alpha=40°$, $\gamma=90°$.
• Gesucht: $a$, $c$, $\beta$.

Aus Sicht von $\alpha$ ist $a$ die Gegenkathete und $b$ die Ankathete. Wir benutzen den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

$\tan(40°) = \frac{a}{10}$

$a = 10 \cdot \tan(40°) \approx 8{,}39$ cm

Wir benutzen den Kosinus, um $c$ zu finden.

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

$\cos(40°) = \frac{10}{c}$

$c = \frac{10}{\cos(40°)} \approx 13{,}05$ cm

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 40° = 50°$

• Gegeben: Ankathete = 100 m, Winkel $\alpha = 35°$.
• Gesucht: Gegenkathete (Höhe $h$), Hypotenuse (Distanz $d$).

Wir haben Ankathete und suchen Gegenkathete. Wir benutzen den Tangens.

$\tan(35°) = \frac{h}{100}$

$h = 100 \cdot \tan(35°) \approx 70{,}02$ m

Wir haben Ankathete und suchen Hypotenuse. Wir benutzen den Kosinus.

$\cos(35°) = \frac{100}{d}$

$d = \frac{100}{\cos(35°)} \approx 122{,}08$ m

Die Skizze ist gegeben.

Wir zeichnen die Höhe $h_a$ ein. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck an der linken Seite.

In diesem Dreieck ist:

• Der Winkel: $40°$
• Die Hypotenuse: die Seite $b = 6$ cm
• Die Gegenkathete zum 40°-Winkel: die Höhe $h_a$

Wir haben Gegenkathete und Hypotenuse, also benutzen wir den Sinus.

$\sin(40°) = \frac{h_a}{6}$

$h_a = 6 \cdot \sin(40°) \approx 3{,}86$ cm

Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ist $A = \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.

$A = a \cdot h_a$

$A \approx 10 \text{ cm} \cdot 3{,}86 \text{ cm} = 38{,}6 \text{ cm}^2$

Die Höhe $h_c$ teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

Wir betrachten das rechte Hilfsdreieck:

• Die Hypotenuse ist der Schenkel $a = 10$ cm.
• Eine Kathete ist die Höhe $h_c$.
• Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis: $\frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm.

Zuerst die Höhe mit dem Satz des Pythagoras:

$h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = a^2$

$h_c^2 + 6^2 = 10^2$

$h_c^2 + 36 = 100$

$h_c^2 = 64 \implies h_c = 8$ cm

Jetzt den Winkel $\alpha$. Im Hilfsdreieck ist die Ankathete $\frac{c}{2}=6$ cm und die Hypotenuse $a=10$ cm. Wir benutzen den Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{6}{10} = 0{,}6$

$\alpha = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13°$

Wir zeichnen die beiden Höhen ein. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten.

Betrachten wir das linke Dreieck:

• Die Hypotenuse ist der Schenkel $b = 10$ cm.
• Eine Kathete ist die Höhe $h$.
• Die andere Kathete ist ein kleines Stück der Grundseite $a$. Die Länge dieses Stücks ist $(a-c)/2 = (20-8)/2 = 12/2 = 6$ cm.

Wir benutzen den Satz des Pythagoras:

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ cm

Die Diagonalen einer Raute halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander. Sie teilen die Raute in vier identische rechtwinklige Dreiecke.

Betrachten wir ein Hilfsdreieck:

• Die Hypotenuse ist die Seite der Raute: $15$ cm.
• Die Winkel im Dreieck sind $90°$, die Hälfte des $70°$-Winkels ($35°$) und die Hälfte des anderen Winkels ($110°/2 = 55°$).
• Die Katheten sind die halben Diagonalen: $\frac{e}{2}$ und $\frac{f}{2}$.

Wir berechnen $\frac{e}{2}$ (Gegenkathete zu 55°) und $\frac{f}{2}$ (Gegenkathete zu 35°).

$\sin(55°) = \frac{e/2}{15} \implies \frac{e}{2} = 15 \cdot \sin(55°) \approx 12{,}29$ cm

$\sin(35°) = \frac{f/2}{15} \implies \frac{f}{2} = 15 \cdot \sin(35°) \approx 8{,}60$ cm

Wir verdoppeln die Ergebnisse, um die ganzen Diagonalen zu erhalten.

$e = 2 \cdot 12{,}29 = 24{,}58$ cm

$f = 2 \cdot 8{,}60 = 17{,}20$ cm

Wir verbinden den Mittelpunkt des Kreises mit zwei benachbarten Ecken des Fünfecks. Es entsteht ein gleichschenkliges Dreieck. Der Winkel an der Spitze dieses Dreiecks ist $360° / 5 = 72°$. Wenn wir die Höhe in diesem Dreieck einzeichnen, wird es in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt.

• Die Hypotenuse ist der Radius $r = 5$ cm.
• Der Winkel an der Spitze wird halbiert: $72° / 2 = 36°$.
• Die Gegenkathete zu diesem Winkel ist die halbe Seitenlänge des Fünfecks: $\frac{s}{2}$.

Wir benutzen den Sinus.

$\sin(36°) = \frac{s/2}{5}$

$\frac{s}{2} = 5 \cdot \sin(36°) \approx 2{,}94$ cm

Wir verdoppeln das Ergebnis, um die ganze Seitenlänge $s$ zu erhalten.

$s = 2 \cdot 2{,}94 = 5{,}88$ cm