Trigonometrische Funktionen im Sachkontext einfach erklärt

Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, das von der Leiter, der Wand und dem Boden gebildet wird. Die Leiter ist die Hypotenuse.

Vom gesuchten Winkel $\alpha$ aus gesehen:

• Die Ankathete ist der Abstand zum Haus: $A = 1,5 \text{ m}$.
• Die Hypotenuse ist die Länge der Leiter: $H = 4 \text{ m}$.

Wir kennen die Ankathete und die Hypotenuse (A und H). Also verwenden wir den Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Wir setzen die Werte ein:

$\cos(\alpha) = \frac{1,5}{4}$

Jetzt benutzen wir die Umkehrfunktion $\cos^{-1}$, um $\alpha$ zu finden:

$\alpha = \cos^{-1} \left( \frac{1,5}{4} \right)$

Mit dem Taschenrechner erhalten wir:

$\alpha \approx 67,98°$

Die Rampe bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe und der horizontalen Länge als Katheten.

Vom gesuchten Steigungswinkel $\alpha$ aus:

• Die Gegenkathete ist die Höhe der Rampe: $G = 1,2 \text{ m}$.
• Die Ankathete ist die horizontale Länge: $A = 2,5 \text{ m}$.

Wir kennen die Gegenkathete und die Ankathete (G und A). Also verwenden wir den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Wir setzen die Werte ein:

$\tan(\alpha) = \frac{1,2}{2,5}$

Wir benutzen die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$:

$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{1,2}{2,5} \right)$

Mit dem Taschenrechner erhalten wir:

$\alpha \approx 25,64°$

Die Schnur, der Boden und die Höhe des Drachens bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom gesuchten Winkel $\alpha$ am Boden aus:

• Die Ankathete ist der Abstand am Boden: $A = 30 \text{ m}$.
• Die Hypotenuse ist die Länge der Schnur: $H = 50 \text{ m}$.

Wir kennen Ankathete und Hypotenuse (A und H). Wir benutzen den Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{30}{50}$

Mit der Umkehrfunktion:

$\alpha = \cos^{-1} \left( \frac{30}{50} \right)$

$\alpha \approx 53,13°$

Der Baum, der Boden und die Sichtlinie zur Baumspitze bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom gegebenen Winkel $40°$ aus:

• Die Gegenkathete ist die Höhe des Baumes: $G = 15 \text{ m}$.
• Die Ankathete ist der gesuchte Abstand: $A = x$.

Wir kennen Gegenkathete und suchen die Ankathete (G und A). Wir verwenden den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(40°) = \frac{15}{x}$

Wir müssen nach $x$ umstellen:

$x \cdot \tan(40°) = 15$

$x = \frac{15}{\tan(40°)}$

$x \approx \frac{15}{0,839} \approx 17,88 \text{ m}$

Das Seil, der Höhenunterschied und die horizontale Distanz bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom gesuchten Neigungswinkel $\alpha$ aus:

• Die Gegenkathete ist der Höhenunterschied: $G = 25 \text{ m}$.
• Die Hypotenuse ist die Länge des Seils: $H = 80 \text{ m}$.

Wir kennen Gegenkathete und Hypotenuse (G und H). Wir verwenden den Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(\alpha) = \frac{25}{80}$

Mit der Umkehrfunktion:

$\alpha = \sin^{-1} \left( \frac{25}{80} \right)$

$\alpha \approx 18,21°$

Der Baum, sein Schatten und der Sonnenstrahl zur Baumspitze bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom gegebenen Winkel $35°$ aus:

• Die Gegenkathete ist die gesuchte Höhe des Baumes: $G = h$.
• Die Ankathete ist die Länge des Schattens: $A = 12 \text{ m}$.

Wir haben G und A, also verwenden wir den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(35°) = \frac{h}{12}$

Wir lösen nach $h$ auf, indem wir mit 12 multiplizieren:

$h = 12 \cdot \tan(35°)$

$h \approx 12 \cdot 0,7002 \approx 8,40 \text{ m}$

Die gefahrene Strecke, der Höhenunterschied und die horizontale Distanz bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom gegebenen Winkel $20°$ aus:

• Die Gegenkathete ist der gesuchte Höhenunterschied: $G = h$.
• Die Hypotenuse ist die gefahrene Strecke: $H = 500 \text{ m}$.

Wir haben G und H, also verwenden wir den Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(20°) = \frac{h}{500}$

Wir lösen nach $h$ auf:

$h = 500 \cdot \sin(20°)$

$h \approx 500 \cdot 0,342 \approx 171,01 \text{ m}$

Der Leuchtturm, die Entfernung zum Schiff und die Sichtlinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Tiefenwinkel von $10°$ befindet sich an der Spitze des Leuchtturms (zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie). Wegen der Wechselwinkel ist der Winkel am Schiff (Steigungswinkel) ebenfalls $10°$.

Wir benutzen den Winkel am Schiff, also $10°$:

• Die Gegenkathete ist die Höhe des Leuchtturms: $G = 80 \text{ m}$.
• Die Ankathete ist die gesuchte Entfernung: $A = x$.

Wir haben G und A, also verwenden wir den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(10°) = \frac{80}{x}$

Wir lösen nach $x$ auf:

$x = \frac{80}{\tan(10°)}$

$x \approx \frac{80}{0,176} \approx 453,68 \text{ m}$

Die Rampe, die Höhe und die horizontale Länge bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom Winkel $6°$ aus:

• Die Gegenkathete ist die Höhe: $G = 0,5 \text{ m}$.
• Die Hypotenuse ist die gesuchte Rampenlänge: $H = x$.

Wir haben G und H, also verwenden wir den Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(6°) = \frac{0,5}{x}$

Wir lösen nach $x$ auf:

$x = \frac{0,5}{\sin(6°)}$

$x \approx \frac{0,5}{0,1045} \approx 4,78 \text{ m}$

Die Schussdistanz, die Flughöhe und die Flugbahn des Balls bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Vom Winkel $15°$ aus:

• Die Gegenkathete ist die gesuchte Höhe: $G = h$.
• Die Ankathete ist die Entfernung zum Tor: $A = 11 \text{ m}$.

Wir haben G und A, also verwenden wir den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(15°) = \frac{h}{11}$

Wir lösen nach $h$ auf:

$h = 11 \cdot \tan(15°)$

$h \approx 11 \cdot 0,268 \approx 2,95 \text{ m}$

Wir suchen den Höhenbereich, der sich aus dem Winkelbereich ergibt. Die Länge des Förderbandes ist die Hypotenuse.

Wir berechnen die Höhe $h$ für beide Winkel.

• Gegeben: Hypotenuse $H = 10 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 15°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{min}$.
• Formel: Sinus. $\sin(\alpha) = \frac{G}{H}$

$\sin(15°) = \frac{h_{min}}{10}$

$h_{min} = 10 \cdot \sin(15°) \approx 10 \cdot 0,259 \approx 2,59 \text{ m}$

• Gegeben: Hypotenuse $H = 10 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 25°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{max}$.
• Formel: Sinus.

$\sin(25°) = \frac{h_{max}}{10}$

$h_{max} = 10 \cdot \sin(25°) \approx 10 \cdot 0,423 \approx 4,23 \text{ m}$

Wir suchen den Abstandsbereich am Boden. Die Leiter ist die Hypotenuse.

• Gegeben: Hypotenuse $H = 5 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 70°$.
• Gesucht: Ankathete $A = x_{max}$. (Achtung: größerer Winkel $\to$ kleinerer Abstand!)
• Formel: Kosinus. $\cos(\alpha) = \frac{A}{H}$

$\cos(70°) = \frac{x}{5}$

$x = 5 \cdot \cos(70°) \approx 5 \cdot 0,342 \approx 1,71 \text{ m}$

• Gegeben: Hypotenuse $H = 5 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 80°$.
• Gesucht: Ankathete $A = x_{min}$.
• Formel: Kosinus.

$\cos(80°) = \frac{x}{5}$

$x = 5 \cdot \cos(80°) \approx 5 \cdot 0,174 \approx 0,87 \text{ m}$

Wir suchen den Höhenbereich an der Wand. Die Entfernung zur Wand ist die Ankathete.

• Gegeben: Ankathete $A = 8 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 10°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{min}$.
• Formel: Tangens. $\tan(\alpha) = \frac{G}{A}$

$\tan(10°) = \frac{h_{min}}{8}$

$h_{min} = 8 \cdot \tan(10°) \approx 8 \cdot 0,176 \approx 1,41 \text{ m}$

• Gegeben: Ankathete $A = 8 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 30°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{max}$.
• Formel: Tangens.

$\tan(30°) = \frac{h_{max}}{8}$

$h_{max} = 8 \cdot \tan(30°) \approx 8 \cdot 0,577 \approx 4,62 \text{ m}$

Wir suchen den Höhenbereich. Die Länge des Solarmoduls ist die Hypotenuse.

• Gegeben: Hypotenuse $H = 1,6 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 20°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{min}$.
• Formel: Sinus.

$\sin(20°) = \frac{h_{min}}{1,6}$

$h_{min} = 1,6 \cdot \sin(20°) \approx 1,6 \cdot 0,342 \approx 0,55 \text{ m}$

• Gegeben: Hypotenuse $H = 1,6 \text{ m}$, Winkel $\alpha = 45°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = h_{max}$.
• Formel: Sinus.

$\sin(45°) = \frac{h_{max}}{1,6}$

$h_{max} = 1,6 \cdot \sin(45°) \approx 1,6 \cdot 0,707 \approx 1,13 \text{ m}$

Die gefahrene Strecke ist die Hypotenuse. Der Winkel wird von der Nord-Richtung aus gemessen. Die östliche Entfernung ist die Gegenkathete zu diesem Winkel.

• Gegeben: Hypotenuse $H = 50 \text{ km}$, Winkel $\alpha = 30°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = x_{min}$.
• Formel: Sinus.

$\sin(30°) = \frac{x_{min}}{50}$

$x_{min} = 50 \cdot \sin(30°) = 50 \cdot 0,5 = 25 \text{ km}$

• Gegeben: Hypotenuse $H = 50 \text{ km}$, Winkel $\alpha = 40°$.
• Gesucht: Gegenkathete $G = x_{max}$.
• Formel: Sinus.

$\sin(40°) = \frac{x_{max}}{50}$

$x_{max} = 50 \cdot \sin(40°) \approx 50 \cdot 0,643 \approx 32,15 \text{ km}$