Vielfachheit der Nullstellen einfach erklärt: Alle Regeln

Stell dir eine Achterbahn vor: Manchmal rast der Wagen tief in einen unterirdischen Tunnel und kommt auf der anderen Seite wieder heraus. Manchmal berührt die Schiene aber auch nur kurz den Erdboden und führt sofort wieder steil nach oben.

In der Mathematik ist der Erdboden unsere x-Achse. Ob der Graph einer Funktion die x-Achse durchschneidet (wie der Tunnel) oder sie nur berührt, hängt von einer einzigen kleinen Zahl ab: der sogenannten Vielfachheit der Nullstellen von ganzrationalen Funktionen. Lass uns herausfinden, wie wir dieses Verhalten ganz einfach an der Funktionsgleichung ablesen können!

Vorwissen

• Nullstellen: Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse trifft. Hier ist der y-Wert immer null ($f(x) = 0$).

  Beispiel: Die Funktion $f(x) = 2x - 4$ hat eine Nullstelle bei $x = 2$, denn $2 \cdot 2 - 4 = 0$.

• 3. Binomische Formel: $a^2 - b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$. Damit kann man Terme mit einem Minuszeichen zwischen zwei Quadraten in Klammern umschreiben (faktorisieren).

  Beispiel: $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4) \cdot (x-4)$.

Aufgabentyp 1: Ablesen aus faktorisierter Funktion

Um die Vielfachheit der Nullstellen leicht zu finden, schreiben wir Funktionen oft in der faktorisierten Form (als Mal-Aufgabe von Klammern). Ein einzelner Baustein sieht so aus: $(x - x_0)^k$.

Aus diesem Baustein können wir zwei Dinge direkt ablesen:

1. Die Nullstelle $\textcolor{#08BFFF}{x_0}$: Das ist die Zahl, die die Klammer zu null macht. Achtung: Das Vorzeichen dreht sich um! Aus $(x - 3)$ wird die Nullstelle $x = 3$.
2. Die Vielfachheit $\textcolor{#9570FF}{k}$: Das ist der Exponent (die Hochzahl) an der Klammer. Er sagt uns, wie oft diese Nullstelle vorkommt.

Schauen wir uns ein Beispiel an: $f(x) = (x \textcolor{#08BFFF}{- 5})^{\textcolor{#9570FF}{3}}$. Diese Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei $\textcolor{#08BFFF}{x = 5}$.

Manchmal ist eine Funktion noch nicht vollständig faktorisiert. Wenn du einen Baustein wie $(x^2 - 9)$ siehst, kannst du die Nullstellen noch nicht direkt ablesen. Hier hilft die 3. Binomische Formel!

Wir wissen, dass $9 = 3^2$ ist. Also können wir umschreiben: $(x^2 - 3^2) = (x + 3) \cdot (x - 3)$

Jetzt können wir die Nullstellen ablesen: $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$. Da beide neuen Klammern keine sichtbare Hochzahl haben, ist es jeweils eine einfache (1-fache) Nullstelle.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Zuordnen des ganzrationalen Graphen

Die Vielfachheit einer Nullstelle verrät uns genau, wie der Graph an dieser Stelle aussieht. Es gibt nur zwei Möglichkeiten:

• Ungerade Vielfachheit (1, 3, 5, ...): Der Graph schneidet die x-Achse. Er wechselt die Seite (z.B. von unten nach oben). Es gibt einen Vorzeichenwechsel.
• Gerade Vielfachheit (2, 4, 6, ...): Der Graph berührt die x-Achse nur und dreht wieder um. Er bleibt auf derselben Seite. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.

Der Testpunkt-Trick: Manchmal haben zwei Funktionen genau die gleichen Nullstellen und Vielfachheiten. Um herauszufinden, welcher Graph zu welcher Funktion gehört, setzen wir einfach einen x-Wert (einen Testpunkt) in die Funktion ein. Der berechnete y-Wert zeigt uns, ob der Graph an dieser Stelle über oder unter der x-Achse verlaufen muss.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = (x + 1)^2 \cdot (x - 2)$ und $g(x) = -(x + 1)^2 \cdot (x - 2)$. Ordne den Graphen A und B die passende Funktion zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Nullstellen und Verhalten analysieren

   Beide Funktionen haben die gleichen Nullstellen:

   • $x_1 = -1$ (gerade Vielfachheit $\to$ Berühren)
   • $x_2 = 2$ (ungerade Vielfachheit $\to$ Schneiden)

   Beide Graphen im Bild zeigen genau dieses Verhalten. Wir können sie also noch nicht unterscheiden.

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   Schritt 2
   Einen Testpunkt einsetzen

   Wir wählen einen einfachen x-Wert, der nicht auf der x-Achse liegt, zum Beispiel $x = 0$. Wir setzen $x = 0$ in die Funktion $f(x)$ ein:

   $f(0) = (0 + 1)^2 \cdot (0 - 2)$

   $f(0) = 1^2 \cdot (-2) = -2$

   Die Funktion $f(x)$ muss also durch den Punkt $(0 | -2)$ verlaufen. Der y-Wert ist negativ.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Wir schauen auf das Bild bei $x = 0$. Graph A verläuft im Positiven, Graph B verläuft im Negativen (durch $-2$).

Ergebnis:

Graph B gehört zur Funktion $f(x)$. Graph A gehört zur Funktion $g(x)$.

Aufgabentyp 3: Aufstellen der Funktion aus einem Text

Oft müssen wir die Funktionsgleichung selbst aufstellen, wenn wir nur einen Text mit Informationen haben. Die allgemeine Formel dafür lautet:

$f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \dots$

Das kleine $a$ ganz vorne ist der Streckfaktor. Er bestimmt, wie steil der Graph verläuft. Wir dürfen ihn niemals vergessen! Um $a$ zu berechnen, brauchen wir immer einen zusätzlichen Punkt, der auf dem Graphen liegt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Klammern aufstellen: Übersetze jede Nullstelle in eine Klammer $(x - \text{Nullstelle})$. Achte darauf, das Vorzeichen zu drehen!
2. Vielfachheiten als Exponenten eintragen: Lies im Text, ob die Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach ist. Schreibe diese Zahl als Hochzahl an die jeweilige Klammer. Setze ein $a \cdot$ ganz an den Anfang.
3. Den Punkt einsetzen: Setze den x-Wert des gegebenen Punktes für jedes $x$ in deine Gleichung ein. Setze den y-Wert des Punktes als Ergebnis auf die andere Seite des Gleichheitszeichens.
4. Nach 'a' auflösen: Rechne die Zahlen auf der Seite mit dem $a$ zusammen und teile das Ergebnis, um $a$ alleine stehen zu haben. Schreibe am Ende die fertige Funktion auf.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 4: Aufstellen der Funktion aus einem Graphen

Das Aufstellen einer Funktion aus einem Graphen funktioniert fast genauso wie aus einem Text. Der einzige Unterschied ist, dass wir die Nullstellen, ihre Vielfachheit und den zusätzlichen Punkt selbst aus dem Bild ablesen müssen.

Erinnere dich an die Regel von vorhin:

• Schneiden der x-Achse bedeutet meistens eine einfache Nullstelle (Hochzahl 1).
• Berühren der x-Achse bedeutet meistens eine doppelte Nullstelle (Hochzahl 2).

Als zusätzlichen Punkt suchen wir uns am besten eine Stelle, die wir ganz exakt ablesen können. Oft ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (wo $x = 0$ ist) eine sehr gute Wahl.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Nullstellen und Verhalten ablesen: Suche alle Stellen, an denen der Graph die x-Achse trifft. Notiere den x-Wert und ob der Graph schneidet (Hochzahl 1) oder berührt (Hochzahl 2).
2. Allgemeine Gleichung aufstellen: Baue die Funktion mit $a$ und den Klammern zusammen: $f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \dots$
3. Einen Punkt ablesen und einsetzen: Suche einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen (z.B. auf der y-Achse). Setze seine x- und y-Werte in deine Gleichung ein.
4. Nach 'a' auflösen: Rechne die Gleichung aus, um $a$ zu finden, und notiere die fertige Funktion.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

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   Schritt 1
   Nullstellen und Verhalten ablesen

   Wir schauen uns die x-Achse an:

   • Bei $x_1 = -2$ schneidet der Graph die Achse $\to$ einfache Nullstelle.
   • Bei $x_2 = 1$ berührt der Graph die Achse $\to$ doppelte Nullstelle.
2. 2
   Schritt 2
   Allgemeine Gleichung aufstellen

   Wir setzen die Nullstellen in die Klammern ein (Vorzeichen drehen!): $f(x) = a \cdot (x + 2)^1 \cdot (x - 1)^2$

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   Schritt 3
   Einen Punkt ablesen und einsetzen

   Wir suchen einen gut lesbaren Punkt. Der Graph schneidet die y-Achse genau bei $-1$. Das ist der Punkt $P(0 | -1)$. Wir setzen $x = 0$ und das Ergebnis $-1$ ein:

   $-1 = a \cdot (0 + 2)^1 \cdot (0 - 1)^2$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Nach 'a' auflösen

   Wir rechnen die Klammern aus:

   $-1 = a \cdot (2) \cdot (-1)^2$

   $-1 = a \cdot 2 \cdot 1$

   $-1 = a \cdot 2 \quad | \div 2$

   $-0{,}5 = a$

Ergebnis:

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = -0{,}5 \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)^2$.

Wichtige Erkenntnisse

• Faktorisierte Form: In $(x - x_0)^k$ ist $x_0$ die Nullstelle (Vorzeichen umdrehen!) und $k$ die Vielfachheit.
• Ungerade Vielfachheit (1, 3, ...): Der Graph schneidet die x-Achse.
• Gerade Vielfachheit (2, 4, ...): Der Graph berührt die x-Achse.
• Funktion aufstellen: Vergiss niemals den Streckfaktor $a$ am Anfang der Gleichung. Du berechnest ihn, indem du einen Punkt einsetzt.