Vielfachheit von Nullstellen einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du fährst mit einem Skateboard in einer Halfpipe. Manchmal fährst du mit Schwung über eine Kante hinaus, und manchmal fährst du nur bis zum Rand, berührst ihn kurz und rollst wieder zurück. Genauso verhalten sich mathematische Graphen an der x-Achse! In diesem Artikel zur Vielfachheit der Nullstellen von ganzrationalen Funktionen lernst du, wie du an einer Funktionsgleichung sofort erkennst, ob der Graph die x-Achse durchschneidet oder nur berührt, und wie du aus diesen Informationen eigene Funktionen bastelst.

Vorwissen

• Nullstellen: Die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet ($f(x)=0$). Beispiel: $f(x) = x - 3$ hat die Nullstelle $x = 3$.
• 3. Binomische Formel: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$. Beispiel: $x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$.
• Punktprobe: Einen Punkt in eine Funktion einsetzen, um eine Unbekannte zu berechnen. Beispiel: Liegt $P(0|5)$ auf $f(x) = a \cdot x + 5$? Einsetzen liefert $5 = a \cdot 0 + 5$, was eine wahre Aussage ist.

Aufgabentyp 1: Ablesen der Vielfachheit aus der faktorisierten Form

Um die Vielfachheit der Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu bestimmen, betrachten wir zunächst die faktorisierte Form. Wenn eine Funktion in Faktoren zerlegt ist (die sogenannte faktorisierte Form), steht jede Klammer für eine Nullstelle. Der Exponent (die Hochzahl) dieser Klammer gibt die Vielfachheit der Nullstelle an.

Die allgemeine Form eines Linearfaktors ist $\textcolor{#08BFFF}{(x - x_0)^k}$. Hier ist $x_0$ die Nullstelle und $\textcolor{#08BFFF}{k}$ die Vielfachheit.

Beispiel: $f(x) = (x - 5)^{\textcolor{#08BFFF}{3}}$. Die Nullstelle ist $x = 5$ und sie ist $\textcolor{#08BFFF}{3}$-fach (wegen der Hochzahl $\textcolor{#08BFFF}{3}$). Beachte, dass sich das Vorzeichen in der Klammer umdreht! Aus $(x - 5)$ wird die Nullstelle $+5$.

Wenn die Funktion noch nicht vollständig faktorisiert ist: Manchmal verstecken sich die Nullstellen in Termen wie $(x^2 - 9)$. Hier müssen wir zuerst die 3. Binomische Formel anwenden, bevor wir die Vielfachheit ablesen können:

$g(x) = (x^2 - 9) \cdot (x - 2)$

$g(x) = (x + 3)^1 \cdot (x - 3)^1 \cdot (x - 2)^1$

Jetzt sehen wir: Die Funktion hat die Nullstellen $-3$, $3$ und $2$. Da alle Klammern heimlich eine $1$ als Hochzahl haben, sind alle Nullstellen $1$-fach (einfach).

Aufgabentyp 2: Graphen zuordnen: Schneiden oder Berühren?

Die Vielfachheit verrät uns direkt, wie der Graph an der Nullstelle aussieht. Es gibt zwei wichtige Fälle:

• Ungerade Vielfachheit ($1, 3, 5 \dots$): Der Graph schneidet die x-Achse. Es gibt einen Vorzeichenwechsel (der Graph wechselt von unterhalb zu oberhalb der Achse oder umgekehrt).
• Gerade Vielfachheit ($2, 4, 6 \dots$): Der Graph berührt die x-Achse nur und kehrt um. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.

Was tun, wenn Graphen sehr ähnlich sind? Wenn zwei Funktionen genau die gleichen Nullstellen und Vielfachheiten haben, sehen ihre Graphen an der x-Achse gleich aus. Um sie zu unterscheiden, setzen wir einen Testpunkt (zum Beispiel $x=1$) in die Funktion ein. Der berechnete y-Wert zeigt uns dann, welcher Graph der richtige ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = (x-2)^2 \cdot (x+1)$ und $g(x) = (x-2) \cdot (x+1)^2$. Ordne jede Funktion dem passenden Graphen zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Nullstellen von $f(x)$ analysieren

   $f(x) = (x-2)^{\textcolor{#53E5D6}{2}} \cdot (x+1)^{\textcolor{#9570FF}{1}}$

   Die Nullstelle $x = 2$ hat eine gerade Hochzahl ($\textcolor{#53E5D6}{2}$). Der Graph muss die x-Achse hier berühren.

   Die Nullstelle $x = -1$ hat eine ungerade Hochzahl ($\textcolor{#9570FF}{1}$). Der Graph muss die x-Achse hier schneiden.

   Das passt zu Graph A.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Nullstellen von $g(x)$ analysieren (Antwort)

   $g(x) = (x-2)^{\textcolor{#9570FF}{1}} \cdot (x+1)^{\textcolor{#53E5D6}{2}}$

   Die Nullstelle $x = 2$ hat eine ungerade Hochzahl ($\textcolor{#9570FF}{1}$). Der Graph muss hier schneiden.

   Die Nullstelle $x = -1$ hat eine gerade Hochzahl ($\textcolor{#53E5D6}{2}$). Der Graph muss hier berühren.

   Das passt zu Graph B.

Ergebnis:

Funktion $f(x)$ gehört zu Graph A und Funktion $g(x)$ gehört zu Graph B.

Aufgabentyp 3: Funktion aus einem Text aufstellen

Wenn wir die Nullstellen und ihre Vielfachheiten kennen, können wir die Funktionsgleichung wie ein Puzzle rückwärts zusammenbauen.

Die allgemeine Form lautet:

$f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \dots$

Das $a$ ganz vorne ist ein Streckfaktor, den wir noch berechnen müssen.

Beispiel: Eine Funktion hat eine doppelte (2-fache) Nullstelle bei $x = -3$ und eine einfache (1-fache) bei $x = 2$.

Wir setzen die Werte in die Klammern ein (Vorzeichen umdrehen!) und schreiben die Vielfachheit als Hochzahl:

$f(x) = a \cdot (x + 3)^2 \cdot (x - 2)^1$

Um das $a$ zu finden, brauchen wir einen weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt, zum Beispiel $P(0|7)$. Wir setzen $x=0$ und $f(x)=7$ in unsere Gleichung ein und lösen nach $a$ auf. Wie das genau geht, schauen wir uns gleich im Schritt-für-Schritt-Plan an.

Aufgabentyp 4: Funktion aus einem Graphen aufstellen

Das Gleiche funktioniert auch, wenn wir keinen Text, sondern nur ein Bild des Graphen haben. Wir lesen die Informationen einfach aus der Zeichnung ab:

1. Wir suchen die Nullstellen auf der x-Achse.
2. Wir schauen uns das Verhalten an: Schneidet der Graph die Achse, nehmen wir als Hochzahl eine $1$. Berührt der Graph die Achse, nehmen wir als Hochzahl eine $2$.
3. Wir suchen uns einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen (oft bietet sich der Schnittpunkt mit der y-Achse an), um unser $a$ zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Nullstellen und Vielfachheiten bestimmen: Lies die Nullstellen ab. Bestimme die Vielfachheit (Schneiden $\to$ Hochzahl $1$, Berühren $\to$ Hochzahl $2$).
2. Faktorisierte Form aufstellen: Schreibe den allgemeinen Ansatz auf und setze die Nullstellen sowie die Hochzahlen ein.
3. Punkt ablesen und einsetzen: Finde einen weiteren Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen und setze seine Koordinaten in die Gleichung ein.
4. Nach a auflösen: Rechne die Zahlen auf der rechten Seite zusammen und löse die Gleichung nach $a$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Nullstellen und Vielfachheiten bestimmen

   Wir lesen aus dem Graphen ab:

   Bei $x_1 = -2$ berührt der Graph die Achse $\to$ Hochzahl $2$.

   Bei $x_2 = 3$ schneidet der Graph die Achse $\to$ Hochzahl $1$.

2. 2
   Schritt 2
   Faktorisierte Form aufstellen

   Wir setzen die Werte in den allgemeinen Ansatz ein (Vorzeichen umdrehen!):

   $f(x) = a \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 3)^1$

3. 3
   Schritt 3
   Punkt ablesen und einsetzen

   Wir lesen den y-Achsenabschnitt als Punkt ab: $P(0|-6)$.

   Wir setzen $x = 0$ und $f(x) = -6$ ein:

   $-6 = a \cdot (0 + 2)^2 \cdot (0 - 3)^1$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Nach $a$ auflösen (Antwort)

   Wir rechnen die rechte Seite aus:

   $-6 = a \cdot (2)^2 \cdot (-3)$

   $-6 = a \cdot 4 \cdot (-3)$

   $-6 = -12a$

   Wir teilen durch $-12$:

   $a = \frac{-6}{-12} = 0{,}5$

Ergebnis:

Die fertige Funktionsgleichung lautet: $f(x) = 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 3)$.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Exponent eines Linearfaktors gibt die Vielfachheit der Nullstelle an.
• Ungerade Vielfachheit (z. B. 1): Der Graph schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).
• Gerade Vielfachheit (z. B. 2): Der Graph berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel).
• Um den Streckfaktor $a$ zu berechnen, musst du immer einen weiteren Punkt in die vorläufige Funktionsgleichung einsetzen.