Was sind Nullstellen eines Polynoms?

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. An diesem Punkt gilt immer f(x) = 0 . Zum Beispiel hat f(x) = x − 3 ihre Nullstelle bei x = 3 , weil f(3) = 3 − 3 = 0 . Nullstellen spielen in vielen Bereichen eine wichtige Rolle – etwa beim Berechnen von Schnittpunkten, Gewinnschwellen oder physikalischen Treffpunkten.

Wie wendest du die Mitternachtsformel zur Nullstellenberechnung an?

Bringe die Funktion zunächst in die Form ax² + bx + c = 0 . Lies dann die Koeffizienten a , b und c ab und setze sie in die Formel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ein. Berechne zuerst die Diskriminante b² − 4ac : ist sie positiv, gibt es zwei Nullstellen; ist sie null, genau eine; ist sie negativ, keine reelle Nullstelle.

Wann verwendest du den Satz vom Nullprodukt?

Den Satz vom Nullprodukt verwendest du, wenn deine Funktion bereits als Produkt von Faktoren vorliegt, z. B. (x − 2)(x + 5) = 0 . Du setzt dann jeden Faktor einzeln gleich null und löst die einfachen Gleichungen. Diese Methode ist besonders schnell, weil du nichts ausmultiplizieren oder umformen musst.

Was ist der Unterschied zwischen Ausklammern und Substitution bei Nullstellen?

Ausklammern eignet sich, wenn jeder Term der Funktion mindestens ein x enthält – du klammerst die niedrigste Potenz von x aus und erhältst ein Produkt, auf das du den Satz vom Nullprodukt anwendest. Die Substitution nutzt du dagegen, wenn die Exponenten in einem Verhältnis von 2:1 stehen (z. B. x⁴ und x² ): du ersetzt x² durch z und löst eine einfachere quadratische Gleichung.

Wie funktioniert die Resubstitution beim Substitutionsverfahren?

Bei der Resubstitution setzt du die gefundenen z -Werte zurück in die ursprüngliche Substitutionsgleichung ein, z. B. x² = z . Dann ziehst du die Wurzel, um die finalen x -Werte zu berechnen – dabei entstehen immer zwei Lösungen ( +√z und −√z ). Ist ein z -Wert negativ, liefert er keine reelle Lösung für x .

Nullstellen von Polynomen berechnen

Nullstellen von Polynomen zu berechnen ist eines der wichtigsten Themen in der Schulmathematik – und mit den richtigen Methoden gar nicht so schwer, wie es zunächst aussieht. Jede Funktion erzählt eine Geschichte: wann ein Ball den Boden trifft, wann ein Unternehmen Gewinn macht oder wann eine Population ihren Höhepunkt erreicht. Die Nullstellen sind die wichtigsten Momente in dieser Geschichte – die Punkte, an denen sich alles entscheidet. In diesem Artikel lernst du vier grundlegende Methoden, mit denen du jede Aufgabe zur Nullstellenberechnung sicher lösen kannst: die Mitternachtsformel, den Satz vom Nullprodukt, das Ausklammern und die Substitution.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du brauchst:

Nullstelle: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. An diesem Punkt ist der y-Wert immer null.
- Bedingung: $f(x) = 0$
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = x - 3$ hat ihre Nullstelle bei $x=3$ , denn $f(3) = 3 - 3 = 0$ .
Gleichungen umformen: Du solltest eine Gleichung nach x auflösen können, indem du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation anwendest.
- Beispiel: $3x + 5 = 11 \ | -5 \ \to 3x = 6 \ | \div 3 \ \to x = 2$ .
Potenzgesetze: Besonders wichtig ist, wie man Potenzen potenziert.
- Formel: $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$
- Beispiel: $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$ . Dies ist der Schlüssel für das Substitutionsverfahren.

Aufgabentyp 1: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen

Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) ist dein Standardwerkzeug für alle quadratischen Gleichungen. Das sind Gleichungen, bei denen die höchste Potenz von $x$ eine 2 ist.

Eine quadratische Gleichung hat immer die Grundform:

$ax^2 + bx + c = 0$

Um die Nullstellen zu finden, musst du nur die Werte für $a$ , $b$ und $c$ aus deiner Funktion ablesen und in diese Formel einsetzen:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Teil unter der Wurzel, $b^2 - 4ac$ , wird Diskriminante genannt. Sie verrät dir, wie viele Lösungen es gibt:

Diskriminante > 0: Zwei Nullstellen.
Diskriminante = 0: Eine Nullstelle.
Diskriminante < 0: Keine (reelle) Nullstelle.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Gleichung $f(x) = 0$ auf, um die Suche nach den Nullstellen zu beginnen.
Vergleiche deine Gleichung mit $ax^2 + bx + c = 0$ und lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab. Achte auf die Vorzeichen!
Setze die abgelesenen Werte sorgfältig in die Mitternachtsformel ein. Schreibe diesen Schritt explizit auf, um Fehler zu vermeiden.
Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel, ziehe dann die Wurzel und berechne beide Lösungen – einmal mit „+" und einmal mit „–".

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$2x^2 - 12x + 10 = 0$
2
Schritt 2
Koeffizienten a, b und c identifizieren
Aus der Gleichung lesen wir ab:
- $a = 2$
- $b = -12$
- $c = 10$
Schritt 3
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ein:

$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{4}$

Jetzt berechnen wir die beiden Lösungen getrennt:

$x_1 = \frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{12 - 8}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 5$ und $x_2 = 1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Nullstellen von $g(x) = -x^2 + 6x - 9$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$-x^2 + 6x - 9 = 0$
2
Schritt 2
Koeffizienten a, b und c identifizieren
- $a = -1$
- $b = 6$
- $c = -9$
Schritt 3
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
$x_{1,2} = \frac{-(6) \pm \sqrt{(6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-9)}}{2 \cdot (-1)}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{-2}$

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{-2}$

$x_{1,2} = \frac{-6}{-2} = 3$

Ergebnis:

Da die Diskriminante 0 ist, gibt es nur eine Nullstelle bei $x = 3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Hat die Funktion $h(x) = 3x^2 + 2x + 1$ Nullstellen? Berechne sie, falls vorhanden.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$3x^2 + 2x + 1 = 0$
2
Schritt 2
Koeffizienten a, b und c identifizieren
- $a = 3$
- $b = 2$
- $c = 1$
Schritt 3
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
$x_{1,2} = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6}$

Ergebnis:

Da der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) negativ ist, können wir keine reelle Wurzel ziehen. Die Funktion hat keine Nullstellen.

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne die Nullstellen von $f(x) = x^2 - 5x$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$x^2 - 5x = 0$
2
Schritt 2
Koeffizienten a, b und c identifizieren
- $a = 1$
- $b = -5$
- $c = 0$ (Wichtig: Wenn kein Term ohne x da ist, ist c=0)
Schritt 3
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0}}{2 \cdot 1}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 0}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{5 - 5}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 5$ und $x_2 = 0$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Löse die Gleichung $4x^2 - 8 = 0$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung steht bereits
$4x^2 - 8 = 0$
2
Schritt 2
Koeffizienten a, b und c identifizieren
- $a = 4$
- $b = 0$ (Wichtig: Wenn kein Term mit x da ist, ist b=0)
- $c = -8$
Schritt 3
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
$x_{1,2} = \frac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8)}}{2 \cdot 4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$x_{1,2} = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 128}}{8}$

$x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{128}}{8}$

$x_1 = \frac{\sqrt{128}}{8} \approx \frac{11.31}{8} \approx 1.41$

$x_2 = \frac{-\sqrt{128}}{8} \approx \frac{-11.31}{8} \approx -1.41$

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 \approx 1.41$ und $x_2 \approx -1.41$ .

Aufgabentyp 2: Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt finden

Der Satz vom Nullprodukt ist ein genialer Trick, wenn deine Funktion bereits als Produkt von Faktoren geschrieben ist. Ein Faktor ist dabei ein Teil der Rechnung, der mit den anderen Teilen multipliziert wird.

Der Satz besagt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.

Beispiel: $(x-2) \cdot (x+5) = 0$

Anstatt alles auszumultiplizieren, schauen wir uns jeden Faktor einzeln an:

Wann wird der erste Faktor null? $x-2 = 0 \ \to \ x=2$ .
Wann wird der zweite Faktor null? $x+5 = 0 \ \to \ x=-5$ .

Fertig! Die Nullstellen sind $x_1=2$ und $x_2=-5$ . Diese Methode ist extrem schnell und einfach, wenn die Funktion die richtige Form hat.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stelle sicher, dass die Funktion als Produkt von Faktoren vorliegt und gleich null gesetzt ist. Die Form muss so aussehen: $\text{Faktor 1} \cdot \text{Faktor 2} \cdot ... = 0$ .
Nimm jeden Faktor und setze ihn separat gleich null.
Löse jede der neuen, einfacheren Gleichungen nach $x$ auf. Jede Lösung ist eine Nullstelle der ursprünglichen Funktion.
Liste alle gefundenen x-Werte als Ergebnis auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstellen von $f(x) = (x - 7)(x + 3)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion prüfen
Die Funktion ist bereits als Produkt geschrieben und wir setzen sie null: $(x - 7)(x + 3) = 0$ .
2
Schritt 2 & 3
Faktoren einzeln null setzen und lösen
- Erster Faktor: $x - 7 = 0 \ \ | +7$ $x_1 = 7$
- Zweiter Faktor: $x + 3 = 0 \ \ | -3$ $x_2 = -3$
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 7$ und $x_2 = -3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Nullstellen von $g(x) = 5x(x - 4)^2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion prüfen
Wir setzen die Funktion null: $5x(x - 4)^2 = 0$ . Die Faktoren sind $5x$ und $(x-4)^2$ .
2
Schritt 2 & 3
Faktoren einzeln null setzen und lösen
- Erster Faktor: $5x = 0 \ \ | \div 5$ $x_1 = 0$
- Zweiter Faktor: $(x - 4)^2 = 0 \ \ | \sqrt{}$ $x - 4 = 0 \ \ | +4$ $x_2 = 4$
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ . Die Nullstelle bei $x=4$ nennt man eine „doppelte Nullstelle" wegen des Quadrats.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von $h(x) = (x^2 + 9)(2x - 10)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion prüfen
Wir setzen die Funktion null: $(x^2 + 9)(2x - 10) = 0$ .
2
Schritt 2 & 3
Faktoren einzeln null setzen und lösen
- Erster Faktor: $x^2 + 9 = 0 \ \ | -9$ $x^2 = -9$ Dieser Faktor hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ sein kann.
- Zweiter Faktor: $2x - 10 = 0 \ \ | +10$ $2x = 10 \ \ | \div 2$ $x_1 = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die einzige Nullstelle der Funktion ist $x_1 = 5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Löse die Gleichung $-2(x+1)(x-1)(x-5) = 0$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion prüfen
Die Gleichung liegt in der korrekten Form vor. Der Faktor -2 kann nie null werden, also ignorieren wir ihn.
2
Schritt 2 & 3
Faktoren einzeln null setzen und lösen
- Erster Faktor: $x + 1 = 0 \ \ | -1$ $x_1 = -1$
- Zweiter Faktor: $x - 1 = 0 \ \ | +1$ $x_2 = 1$
- Dritter Faktor: $x - 5 = 0 \ \ | +5$ $x_3 = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = -1$ , $x_2 = 1$ und $x_3 = 5$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Nullstellen von $f(x) = x^2(x+6)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktion prüfen
Wir setzen die Funktion null: $x^2(x+6) = 0$ .
2
Schritt 2 & 3
Faktoren einzeln null setzen und lösen
- Erster Faktor: $x^2 = 0 \ \ | \sqrt{}$ $x_1 = 0$
- Zweiter Faktor: $x + 6 = 0 \ \ | -6$ $x_2 = -6$
Schritt 4 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ (eine doppelte Nullstelle) und $x_2 = -6$ .

Aufgabentyp 3: Nullstellen durch Ausklammern finden

Was tust du, wenn eine Funktion nicht quadratisch ist und auch nicht in Faktoren zerlegt ist? Schau genau hin! Wenn jeder Term der Funktion ein $x$ enthält, kannst du die Methode des Ausklammerns verwenden.

Die Idee ist, die Funktion selbst in ein Produkt zu verwandeln, um dann den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können.

Beispiel: $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$

Jeder Teil ( $x^3$ , $-4x^2$ , $3x$ ) enthält mindestens ein $x$ . Wir können also ein $x$ „herausziehen" (ausklammern):

$x \cdot (x^2 - 4x + 3) = 0$

Jetzt haben wir ein Produkt! Der erste Faktor ist $x$ und der zweite ist $(x^2 - 4x + 3)$ . Darauf können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Gleichung $f(x) = 0$ auf.
Prüfe, ob jeder Term der Funktion die Variable $x$ enthält. Finde die niedrigste Potenz von $x$ und klammere sie aus.
Du hast jetzt eine Gleichung der Form $\text{Faktor 1} \cdot \text{Faktor 2} = 0$ . Setze jeden Faktor einzeln gleich null.
Der ausgeklammerte Faktor (z.B. $x$ oder $x^2$ ) ergibt sofort die Nullstelle $x=0$ . Der andere Faktor ist oft eine quadratische Gleichung – löse diese mit der Mitternachtsformel.
Liste alle gefundenen x-Werte als Ergebnis auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$
Schritt 2
Ausklammern
Jeder Term enthält ein $x$ . Wir klammern $x$ aus:

$x(x^2 - 6x + 8) = 0$
3
Schritt 3
Satz vom Nullprodukt anwenden
- Erster Faktor: $x = 0$ . Das ist unsere erste Nullstelle: $x_1 = 0$ .
- Zweiter Faktor: $x^2 - 6x + 8 = 0$ .
Schritt 4
Gleichungen lösen
Wir lösen den zweiten Faktor mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-6, c=8$ ):

$x_{2,3} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

$x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_2 = \frac{6+2}{2} = 4$

$x_3 = \frac{6-2}{2} = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ , $x_2 = 4$ und $x_3 = 2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Nullstellen von $g(x) = 2x^3 - 18x$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$2x^3 - 18x = 0$
Schritt 2
Ausklammern
Beide Terme enthalten $2x$ . Wir klammern $2x$ aus:

$2x(x^2 - 9) = 0$
3
Schritt 3
Satz vom Nullprodukt anwenden
- Erster Faktor: $2x = 0 \ \to \ x_1 = 0$ .
- Zweiter Faktor: $x^2 - 9 = 0$ .
Schritt 4
Gleichungen lösen
Wir lösen den zweiten Faktor:

$x^2 - 9 = 0 \ \ | +9$

$x^2 = 9 \ \ | \sqrt{}$

$x = \pm 3$

Also sind $x_2 = 3$ und $x_3 = -3$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ , $x_2 = 3$ und $x_3 = -3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von $h(x) = -x^4 + 5x^3 - 4x^2$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$-x^4 + 5x^3 - 4x^2 = 0$
Schritt 2
Ausklammern
Die niedrigste Potenz ist $x^2$ . Wir klammern $x^2$ aus:

$x^2(-x^2 + 5x - 4) = 0$
3
Schritt 3
Satz vom Nullprodukt anwenden
- Erster Faktor: $x^2 = 0 \ \to \ x_1 = 0$ (doppelte Nullstelle).
- Zweiter Faktor: $-x^2 + 5x - 4 = 0$ .
Schritt 4
Gleichungen lösen
Wir lösen den zweiten Faktor mit der Mitternachtsformel ( $a=-1, b=5, c=-4$ ):

$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}$

$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{-2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{-2} = \frac{-5 \pm 3}{-2}$

$x_2 = \frac{-5+3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

$x_3 = \frac{-5-3}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$
Schritt 5 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ und $x_3 = 4$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Löse die Gleichung $x^5 + 9x^3 = 0$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung steht bereits
$x^5 + 9x^3 = 0$
Schritt 2
Ausklammern
Die niedrigste Potenz ist $x^3$ . Wir klammern $x^3$ aus:

$x^3(x^2 + 9) = 0$
3
Schritt 3
Satz vom Nullprodukt anwenden
- Erster Faktor: $x^3 = 0 \ \to \ x_1 = 0$ .
- Zweiter Faktor: $x^2 + 9 = 0$ .
Schritt 4
Gleichungen lösen
Wir lösen den zweiten Faktor:

$x^2 + 9 = 0 \ \ | -9$

$x^2 = -9$

Diese Gleichung hat keine reelle Lösung.
Schritt 5 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die einzige Nullstelle ist $x_1 = 0$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne die Nullstellen von $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktion gleich null setzen
$\frac{1}{2}x^3 - 2x^2 = 0$
Schritt 2
Ausklammern
Die niedrigste Potenz ist $x^2$ . Wir klammern $x^2$ aus:

$x^2(\frac{1}{2}x - 2) = 0$
3
Schritt 3
Satz vom Nullprodukt anwenden
- Erster Faktor: $x^2 = 0 \ \to \ x_1 = 0$ .
- Zweiter Faktor: $\frac{1}{2}x - 2 = 0$ .
Schritt 4
Gleichungen lösen
Wir lösen den zweiten Faktor:

$\frac{1}{2}x - 2 = 0 \ \ | +2$

$\frac{1}{2}x = 2 \ \ | \cdot 2$

$x_2 = 4$
Schritt 5 · Ergebnis
Alle Nullstellen sammeln

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ .

Aufgabentyp 4: Nullstellen durch Substitution finden

Manche Funktionen sehen auf den ersten Blick furchtbar kompliziert aus, z.B. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . Hier hilft ein cleverer Trick: die Substitution (Ersetzung).

Dir fällt auf, dass die Exponenten 4 und 2 sind. Der eine ist genau das Doppelte des anderen. Das ist das Signal für die Substitution!

Ersetzen (Substituieren): Wir ersetzen den Term mit dem kleineren Exponenten durch eine neue Variable, meistens $z$ . Wir legen fest: $z = x^2$ .
Neue Gleichung: Da $x^4 = (x^2)^2 = z^2$ ist, wird unsere komplizierte Gleichung zu einer einfachen quadratischen Gleichung: $z^2 - 5z + 4 = 0$
Lösen: Diese Gleichung können wir leicht mit der Mitternachtsformel lösen und erhalten Lösungen für $z$ .
Zurück ersetzen (Resubstituieren): Das ist der wichtigste Schritt! Wir haben $z$ gefunden, wollen aber $x$ . Wir setzen unsere $z$ -Lösungen wieder in die Anfangsbedingung ein: $x^2 = z$ . Daraus berechnen wir dann die finalen $x$ -Werte.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Prüfe, ob die Funktion nur Potenzen enthält, bei denen eine das Doppelte der anderen ist (z.B. $x^4$ und $x^2$ , oder $x^6$ und $x^3$ ). Setze die Funktion gleich null.
Ersetze die kleinere Potenz von $x$ durch $z$ . Schreibe die Substitution auf, z.B. „Setze $z = x^2$ ".
Die neue Gleichung ist quadratisch in $z$ . Löse sie mit der Mitternachtsformel, um die Werte für $z$ zu erhalten.
Setze jede gefundene $z$ -Lösung wieder in die Substitutionsgleichung ein. Wichtig: Wenn ein $z$ -Wert negativ ist, liefert diese Gleichung keine reelle Lösung für $x$ .
Löse die Gleichungen nach $x$ auf, indem du die Wurzel ziehst. Denke daran, dass $\sqrt{z}$ zwei Lösungen hat: $+\sqrt{z}$ und $-\sqrt{z}$ . Liste alle gefundenen $x$ -Werte auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^4 - 13x^2 + 36$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion prüfen und null setzen
Die Exponenten sind 4 und 2. Das ist ein Fall für die Substitution.

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Schritt 2
Substituieren
Wir setzen $z = x^2$ . Damit wird $x^4$ zu $z^2$ . Die Gleichung lautet nun:

$z^2 - 13z + 36 = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung in z lösen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-13, c=36$ ):

$z_{1,2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

$z_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2}$

$z_1 = \frac{13+5}{2} = 9$

$z_2 = \frac{13-5}{2} = 4$
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Resubstituieren und nach x auflösen
Jetzt ersetzen wir $z$ wieder durch $x^2$ :
- Für $z_1 = 9$ : $x^2 = 9 \ \ | \sqrt{}$ $x_{1,2} = \pm 3$
- Für $z_2 = 4$ : $x^2 = 4 \ \ | \sqrt{}$ $x_{3,4} = \pm 2$

Ergebnis:

Die Nullstellen sind -3, -2, 2 und 3.

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Nullstellen von $g(x) = x^4 + 2x^2 - 8$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion null setzen
$x^4 + 2x^2 - 8 = 0$
Schritt 2
Substituieren
Setze $z = x^2$ .

$z^2 + 2z - 8 = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung in z lösen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=2, c=-8$ ):

$z_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$z_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$z_1 = \frac{-2+6}{2} = 2$

$z_2 = \frac{-2-6}{2} = -4$
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Resubstituieren und nach x auflösen
- Für $z_1 = 2$ : $x^2 = 2 \ \ | \sqrt{}$ $x_{1,2} = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1.41$
- Für $z_2 = -4$ : $x^2 = -4$ Diese Gleichung hat keine reelle Lösung.

Ergebnis:

Die Nullstellen sind also nur $x_1 = \sqrt{2}$ und $x_2 = -\sqrt{2}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von $h(x) = x^6 - 7x^3 - 8$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion prüfen und null setzen
Die Exponenten sind 6 und 3. Einer ist das Doppelte des anderen.

$x^6 - 7x^3 - 8 = 0$
Schritt 2
Substituieren
Wir setzen $z = x^3$ . Damit wird $x^6$ zu $z^2$ .

$z^2 - 7z - 8 = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung in z lösen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-7, c=-8$ ):

$z_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$z_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}$

$z_1 = \frac{7+9}{2} = 8$

$z_2 = \frac{7-9}{2} = -1$
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Resubstituieren und nach x auflösen
- Für $z_1 = 8$ : $x^3 = 8 \ \ | \sqrt[3]{}$ $x_1 = 2$
- Für $z_2 = -1$ : $x^3 = -1 \ \ | \sqrt[3]{}$ $x_2 = -1$

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = -1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Löse die Gleichung $4x^4 - 1 = 0$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion null setzen
$4x^4 - 1 = 0$
Schritt 2
Substituieren
Setze $z = x^2$ .

$4z^2 - 1 = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung in z lösen
Diese Gleichung können wir direkt lösen:

$4z^2 = 1 \ \ | \div 4$

$z^2 = \frac{1}{4} \ \ | \sqrt{}$

$z = \pm \frac{1}{2}$

Also $z_1 = \frac{1}{2}$ und $z_2 = -\frac{1}{2}$ .
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Resubstituieren und nach x auflösen
- Für $z_1 = \frac{1}{2}$ : $x^2 = \frac{1}{2} \ \ | \sqrt{}$ $x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.71$
- Für $z_2 = -\frac{1}{2}$ : $x^2 = -\frac{1}{2}$ Keine reelle Lösung.

Ergebnis:

Die Nullstellen sind $x_1 \approx 0.71$ und $x_2 \approx -0.71$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Hat die Funktion $f(x) = x^4 + 5x^2 + 4$ Nullstellen?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion null setzen
$x^4 + 5x^2 + 4 = 0$
Schritt 2
Substituieren
Setze $z = x^2$ .

$z^2 + 5z + 4 = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung in z lösen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=5, c=4$ ):

$z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$

$z_1 = \frac{-5+3}{2} = -1$

$z_2 = \frac{-5-3}{2} = -4$
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Resubstituieren und nach x auflösen
- Für $z_1 = -1$ : $x^2 = -1$ . Keine reelle Lösung.
- Für $z_2 = -4$ : $x^2 = -4$ . Keine reelle Lösung.

Ergebnis:

Die Funktion hat keine Nullstellen.

Wichtige Erkenntnisse

Ziel: Um Nullstellen zu finden, setzt du die Funktion immer gleich null: $f(x) = 0$ .
Mitternachtsformel: Dein Standardwerkzeug für quadratische Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ .
Satz vom Nullprodukt: Die schnellste Methode, wenn die Funktion bereits als Produkt vorliegt (z.B. $(x-1)(x+2)=0$ ). Jeden Faktor einzeln null setzen.
Ausklammern: Wenn jeder Term ein $x$ enthält, klammere die niedrigste Potenz von $x$ aus. Danach den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Substitution: Der Trick für Funktionen mit Potenzen wie $x^4$ und $x^2$ . Ersetze $x^2$ durch $z$ , löse die $z$ -Gleichung und vergiss auf keinen Fall, am Ende wieder zurück zu ersetzen (Resubstitution).

Nullstellen von Polynomen berechnen: 4 Methoden

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Nullstellen durch Ausklammern finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Nullstellen durch Substitution finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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