Was ist die graphische Bestimmung von Näherungswerten?

Die graphische Bestimmung von Näherungswerten ist eine Methode, um Werte für Sinus, Kosinus und Tangens ohne Taschenrechner herauszufinden. Dafür zeichnest du einen Einheitskreis oder ein rechtwinkliges Dreieck und misst die entsprechenden Strecken oder Winkel einfach mit einem Geodreieck ab.

Wie liest man Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab?

Am Einheitskreis (einem Kreis mit Radius 1) entspricht der Kosinus genau der waagrechten Strecke auf der x-Achse. Der Sinus ist die senkrechte Strecke parallel zur y-Achse. Du zeichnest den Winkel ein, fällst das Lot vom Schnittpunkt auf dem Kreis zur x-Achse und misst die Längen.

Wie bestimme ich einen Winkel, wenn der Sinus als Bruch gegeben ist?

Wenn du einen Bruch wie 3/5 gegeben hast, brauchst du keinen Einheitskreis. Du zeichnest direkt ein rechtwinkliges Dreieck . Der Zähler (3) ist die Gegenkathete, der Nenner (5) die Hypotenuse. Konstruiere das Dreieck mit diesen Längen und miss den gesuchten Winkel anschließend mit dem Geodreieck.

Näherungswerte grafisch bestimmen

Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel und musst berechnen, in welchem Winkel eine Figur springt. Der Computer nutzt dafür Sinus und Kosinus. Aber wie haben die Menschen diese Werte bestimmt, bevor es Taschenrechner gab? Sie haben sie einfach gezeichnet und gemessen! In diesem Artikel lernst du, wie du die graphische Bestimmung von Näherungswerten anwendest und mit einem Geodreieck sowie einem Zirkel die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens selbst herausfinden kannst – ganz ohne Elektronik.

Vorwissen

Rechtwinkliges Dreieck:
- $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Beispiel: Wenn die Gegenkathete $3 \text{ cm}$ und die Hypotenuse $5 \text{ cm}$ lang ist, dann ist $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ .
Einheitskreis: Ein Kreis in einem Koordinatensystem mit dem Radius $r = 1 \text{ LE}$ (Längeneinheit, z. B. $1 \text{ dm}$ oder $10 \text{ cm}$ ).

Beispiel: Jeder Punkt auf der Kreislinie ist genau $1 \text{ LE}$ vom Ursprung $(0|0)$ entfernt.

Aufgabentyp 1: Näherungswerte für sin, cos und tan am Einheitskreis ablesen

Um Näherungswerte grafisch zu bestimmen, nutzen wir den Einheitskreis. Im Einheitskreis ist die Hypotenuse immer genau $1 \text{ LE}$ lang. Wenn wir durch $1$ teilen, ändert sich der Wert nicht. Deshalb entsprechen die Seitenlängen im Dreieck direkt den Werten für Sinus und Kosinus! Wenn zum Beispiel die Gegenkathete $0{,}5 \text{ LE}$ lang ist, dann ist $\sin(\alpha) = \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5$ .

Der Kosinus ist die waagrechte Strecke auf der x-Achse.
Der Sinus ist die senkrechte Strecke (parallel zur y-Achse).
Der Tangens wird an einer speziellen Hilfslinie abgelesen: einer senkrechten Linie, die den Kreis bei $x = 1$ berührt (Tangente).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Einheitskreis und Winkel zeichnen: Zeichne ein Koordinatensystem und einen Kreis mit Radius $r = 1 \text{ LE}$ um den Ursprung. Zeichne den gegebenen Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven x-Achse ein. Verlängere die Linie des Winkels, bis sie den Kreis schneidet.
Hilfslinien einzeichnen: Für den Sinus und Kosinus: Zeichne vom Schnittpunkt auf dem Kreis eine senkrechte Linie nach unten zur x-Achse. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Für den Tangens: Zeichne eine senkrechte Linie bei $x = 1$ . Verlängere die Linie des Winkels, bis sie diese senkrechte Linie schneidet.
Strecken messen: Miss die Längen der entstandenen Strecken mit dem Geodreieck. Diese Längen sind deine Näherungswerte.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme grafisch einen Näherungswert für $\sin(40^{\circ})$ , $\cos(40^{\circ})$ und $\tan(40^{\circ})$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Einheitskreis und Winkel zeichnen
Wir zeichnen den Einheitskreis und tragen den Winkel $\alpha = 40^{\circ}$ am Ursprung ein. Die Linie schneidet den Kreis im Punkt $B$ .

Einheitskreis mit Winkel 40 Grad
Schritt 2
Hilfslinien einzeichnen
Wir zeichnen von $B$ eine Senkrechte zur x-Achse. Der Punkt auf der x-Achse ist $A$ . Für den Tangens zeichnen wir eine senkrechte Linie bei $x = 1$ und verlängern den Winkel, bis er diese Linie im Punkt $C$ schneidet.

Einheitskreis mit Hilfslinien für sin cos tan
3
Schritt 3 · Ergebnis
Strecken messen
Wir messen die entstandenen Strecken mit dem Geodreieck.

Geodreieck misst Strecken am Einheitskreis

Wie in der Abbildung zu sehen, ergeben die Messungen folgende Werte:
- $\textcolor{#9570FF}{\sin(40^{\circ})}$ ist die senkrechte Strecke: $\approx \textcolor{#9570FF}{0{,}64}$
- $\textcolor{#1E90FF}{\cos(40^{\circ})}$ ist die waagrechte Strecke: $\approx \textcolor{#1E90FF}{0{,}77}$
- $\textcolor{#53E5D6}{\tan(40^{\circ})}$ ist die Strecke an der Tangente: $\approx \textcolor{#53E5D6}{0{,}84}$

Ergebnis:

Die Näherungswerte betragen $\sin(40^{\circ}) \approx 0{,}64$ , $\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}77$ und $\tan(40^{\circ}) \approx 0{,}84$ .

Quiz zu Näherungswerte grafisch bestimmen: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Näherungswerte grafisch bestimmen

Wie ist der Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck definiert?

Quizfrage 2 zu Näherungswerte grafisch bestimmen

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Welche Strecke am Einheitskreis entspricht dem Wert für den Kosinus eines Winkels?

Übungsaufgabe zu Näherungswerte grafisch bestimmen

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Aufgabentyp 2: Winkel bestimmen, wenn sin, cos oder tan gegeben ist

Manchmal kennen wir nicht den Winkel, sondern das Ergebnis von Sinus, Kosinus oder Tangens (z. B. $\sin(\alpha) = 0{,}7$ ). In diesem Fall gehen wir rückwärts vor. Wir wissen bereits, dass der Sinus der y-Koordinate und der Kosinus der x-Koordinate am Einheitskreis entspricht. Wir zeichnen also zuerst den bekannten Wert als Linie ein, suchen den Schnittpunkt mit dem Kreis und messen dann den Winkel.