Sinusfunktion Eigenschaften einfach erklärt

Die Aussage behauptet, dass die Sinusfunktion die Wertemenge $[-1, 1]$ hat.

Der Graph der Sinusfunktion ist eine Welle, deren höchster Wert 1 und deren niedrigster Wert -1 ist.

Die behauptete Wertemenge $[-1, 1]$ stimmt exakt mit der Definition der Wertemenge der Sinusfunktion überein.

Die Aussage behauptet, dass die Kosinusfunktion die Wertemenge $[0, 1]$ hat.

Der Graph der Kosinusfunktion ist eine Welle, die zwischen -1 und 1 schwingt. Der niedrigste Wert ist -1, nicht 0.

Die behauptete Wertemenge $[0, 1]$ stimmt nicht mit der korrekten Wertemenge $[-1, 1]$ überein.

Gesucht ist die Wertemenge der Kosinusfunktion.

Die Kosinusfunktion nimmt alle Werte zwischen einschließlich -1 und 1 an.

• (A) ist die Menge aller reellen Zahlen, das ist falsch.
• (B) ist das Intervall von -1 bis 1. Das ist korrekt.
• (C) ist ein Intervall auf der x-Achse, das eine Periode beschreibt, aber nicht die Wertemenge (y-Werte).

Die Behauptung ist, dass $\sin(x) = 1{,}5$ unmöglich ist.

Die Wertemenge der Sinusfunktion ist $[-1, 1]$. Das bedeutet, der Funktionswert (y-Wert) kann niemals größer als 1 sein.

Der Wert 1,5 liegt außerhalb des Intervalls $[-1, 1]$.

Wir sollen begründen, warum es kein x gibt, für das $\cos(x) = -2$ gilt.

Die Wertemenge der Kosinusfunktion ist das Intervall $[-1, 1]$. Das bedeutet, die Funktion kann nur Werte annehmen, die in diesem Bereich liegen.

Der Wert -2 liegt außerhalb des Intervalls $[-1, 1]$, da $-2 < -1$.

Funktion: Sinusfunktion. Intervall: $[-\pi, \pi]$.

Die Formel für die Nullstellen der Sinusfunktion lautet: $x = k \cdot \pi$.

• Für $k = -2$: $x = -2 \cdot \pi = -2\pi$
• Für $k = -1$: $x = -1 \cdot \pi = -\pi$
• Für $k = 0$: $x = 0 \cdot \pi = 0$
• Für $k = 1$: $x = 1 \cdot \pi = \pi$
• Für $k = 2$: $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$

Wir prüfen, welche dieser Werte im Intervall $[-\pi, \pi]$ liegen:

• $-2\pi$ ist außerhalb.
• $-\pi$ ist drin (genau am Rand).
• $0$ ist drin.
• $\pi$ ist drin (genau am Rand).
• $2\pi$ ist außerhalb.

Es gibt drei Nullstellen im angegebenen Intervall.

Funktion: Kosinusfunktion. Intervall: $[0, 2\pi]$.

Die Formel für die Nullstellen der Kosinusfunktion lautet: $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$.

• Für $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
• Für $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$
• Für $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2}$
• Für $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \pi = \frac{5\pi}{2}$

Wir prüfen, welche dieser Werte im Intervall $[0, 2\pi]$ liegen:

• $-\frac{\pi}{2}$ ist außerhalb.
• $\frac{\pi}{2}$ ist drin.
• $\frac{3\pi}{2}$ ist drin.
• $\frac{5\pi}{2}$ ist außerhalb.

Es gibt zwei Nullstellen im angegebenen Intervall.

Funktion: Sinusfunktion. Wir prüfen den einzelnen Punkt $x = \frac{3\pi}{2}$.

Die Nullstellen der Sinusfunktion müssen die Formel $x = k \cdot \pi$ erfüllen.

Wir müssen prüfen, ob es eine ganze Zahl $k$ gibt, sodass $k \cdot \pi = \frac{3\pi}{2}$.

$k \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \quad | :\pi$

$k = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Da $k=1{,}5$ keine ganze Zahl ist, kann dies keine Nullstelle der Sinusfunktion sein.

Funktion: Kosinusfunktion. Intervall: $[-2\pi, 2\pi]$.

Formel: $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$.

• $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \approx -7{,}85$
• $k = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4{,}71$
• $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1{,}57$
• $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$
• $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$
• $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}85$

Das Intervall $[-2\pi, 2\pi]$ ist ungefähr $[-6{,}28, 6{,}28]$.

• $-\frac{3\pi}{2}$ ist drin.
• $-\frac{\pi}{2}$ ist drin.
• $\frac{\pi}{2}$ ist drin.
• $\frac{3\pi}{2}$ ist drin.

Funktion: Sinusfunktion. Intervall: $(0, 2\pi)$ (offenes Intervall).

Formel: $x = k \cdot \pi$.

• $k = 0$: $x = 0$
• $k = 1$: $x = \pi$
• $k = 2$: $x = 2\pi$

Wir prüfen, welche Werte echt zwischen 0 und $2\pi$ liegen:

• $0$ ist nicht drin (Intervallgrenze).
• $\pi$ ist drin.
• $2\pi$ ist nicht drin (Intervallgrenze).

Es gibt nur eine Nullstelle im angegebenen Intervall.

Wir vergleichen die x-Positionen von Hochpunkten der Sinusfunktion mit den x-Positionen von Nullstellen der Kosinusfunktion.

• Hochpunkte Sinus: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
• Nullstellen Kosinus: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Jeder x-Wert, der durch die Sinus-Hochpunkt-Formel erzeugt wird, kann auch durch die Kosinus-Nullstellen-Formel erzeugt werden. Zum Beispiel, wenn wir in der ersten Formel $k=1$ setzen, erhalten wir $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Diesen Wert erhalten wir auch in der zweiten Formel, wenn wir $k=2$ setzen: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.

Die Menge der Sinus-Hochpunkte ist eine Teilmenge der Kosinus-Nullstellen.

An jeder Stelle, an der Sinus einen Hochpunkt hat, hat Kosinus eine Nullstelle.

Wir vergleichen die x-Positionen von Nullstellen der Sinusfunktion mit den x-Positionen von Hochpunkten der Kosinusfunktion.

• Nullstellen Sinus: $x = k\pi$
• Hochpunkte Kosinus: $x = 2k\pi$

Betrachten wir die Nullstelle der Sinusfunktion bei $x=\pi$ (für $k=1$). Hat die Kosinusfunktion hier einen Hochpunkt? Die Hochpunkte der Kosinusfunktion liegen bei $0, 2\pi, 4\pi, ...$. Bei $x=\pi$ hat die Kosinusfunktion einen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt.

Da wir ein Gegenbeispiel gefunden haben, ist die Aussage nicht allgemeingültig.

Wir suchen die Eigenschaft der Sinusfunktion an den x-Stellen der Tiefpunkte der Kosinusfunktion.

• Tiefpunkte Kosinus: $x = \pi + 2k\pi$

Nehmen wir den einfachsten Fall für $k=0$: Der Kosinus hat einen Tiefpunkt bei $x=\pi$. Was macht die Sinusfunktion bei $x=\pi$? Wir setzen in die Nullstellen-Formel für Sinus ein: $x = k\pi$. Für $k=1$ erhalten wir $x=\pi$. Also hat die Sinusfunktion dort eine Nullstelle.

An den Stellen, wo die Kosinusfunktion einen Tiefpunkt hat, hat die Sinusfunktion eine Nullstelle.

Wir sollen den Punkt der Sinusfunktion bei $x=0$ bestimmen.

Wir können die Nullstellen-Formel für Sinus verwenden: $x = k\pi$. Für $k=0$ erhalten wir $x=0$. Also hat die Sinusfunktion bei $x=0$ eine Nullstelle. Alternativ können wir einfach den Funktionswert berechnen: $\sin(0) = 0$. Ein Punkt mit y-Wert 0 ist eine Nullstelle.

Die Aussage behauptet, dass an den Nullstellen der Sinusfunktion die Kosinusfunktion immer einen Extremwert hat.

• Nullstellen Sinus: $x = k\pi$
• Extrempunkte Kosinus (Hoch- und Tiefpunkte): $x = 2k\pi$ (Hochpunkte) und $x = \pi + 2k\pi$ (Tiefpunkte). Man kann diese zusammenfassen zu $x = k\pi$.

Die Formel für die Nullstellen der Sinusfunktion ($x=k\pi$) ist identisch mit der Formel, die alle Extrempunkte der Kosinusfunktion beschreibt.

Wenn $\sin(x)=0$ ist, muss $x$ ein Vielfaches von $\pi$ sein. An diesen Stellen hat die Kosinusfunktion immer einen Hochpunkt (Wert 1) oder einen Tiefpunkt (Wert -1).