Kosinusfunktion einfach erklärt: Werte berechnen & ablesen

Hast du dich schon mal gefragt, wie man die Bewegung eines Pendels oder Ebbe und Flut mathematisch beschreiben kann? Dafür nutzen wir periodische Funktionen. Die Kosinusfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik, um solche Schwankungen darzustellen. Du kennst vielleicht bereits die Sinusfunktion. Jetzt lernen wir ihren „Zwilling“ kennen: die Kosinusfunktion! Sie sieht fast genauso aus wie die Sinusfunktion, startet aber an einer anderen Stelle. Schauen wir uns an, wie wir mit ihr rechnen und Werte aus ihrem Graphen ablesen können.

Vorwissen

Bevor wir uns die Kosinusfunktion genauer ansehen, solltest du diese zwei Grundlagen kennen:

• Bogenmaß: Winkel können als normale Kommazahlen (reelle Zahlen) angegeben werden. Dabei entspricht ein halber Kreis dem Wert $\pi$. Beispiel: $\pi \approx 3{,}14$.
• Koordinaten ablesen: Ein Punkt auf einem Graphen hat immer einen $x$-Wert (links/rechts) und einen $y$-Wert (oben/unten). Beispiel: Der Punkt $P(2|1)$ liegt an der Stelle $x = 2$ und hat die Höhe $y = 1$.

Aufgabentyp 1: Funktionswerte der Kosinusfunktion bestimmen

Der Graph der Kosinusfunktion $f(x) = \cos(x)$ ist eine Welle, die gleichmäßig zwischen den Werten $1$ und $-1$ schwankt. Im Gegensatz zur Sinusfunktion startet die Kosinusfunktion bei $x = 0$ ganz oben auf dem „Berg“ bei $y = 1$.

Wenn wir einen bestimmten x-Wert haben und den dazugehörigen Funktionswert (y-Wert) suchen, können wir diesen einfach am Graphen ablesen. Wir gehen auf der x-Achse zur gesuchten Stelle, wandern senkrecht zum Graphen und lesen dann auf der y-Achse die Höhe ab.

Um den Wert ganz genau zu bestimmen, nutzen wir den Taschenrechner.

Wichtig: Wenn wir normale Zahlen (Bogenmaß) für $x$ einsetzen, muss der Taschenrechner unbedingt auf RAD (Radian) eingestellt sein! Steht er auf DEG (Degree/Gradmaß), bekommst du ein falsches Ergebnis.

Beispiel für $\textcolor{#08BFFF}{x = 2}$: Wir tippen $\cos(\textcolor{#08BFFF}{2})$ in den Taschenrechner ein und erhalten $\textcolor{#9570FF}{y \approx -0{,}42}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Funktionswert der Kosinusfunktion $f(x) = \cos(x)$ an der Stelle $x = 1{,}5$ anhand eines Graphen und überprüfe das Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Wert am Graphen ablesen

   Wir gehen auf der x-Achse zur Stelle $\textcolor{#08BFFF}{1{,}5}$. Von dort gehen wir senkrecht zum Graphen und lesen auf der y-Achse den Wert ab. Wir lesen ab: $y \approx \textcolor{#9570FF}{0{,}1}$.

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Mit dem Taschenrechner überprüfen

   Wir stellen sicher, dass der Taschenrechner auf RAD eingestellt ist und tippen den Wert ein: $f(\textcolor{#08BFFF}{1{,}5}) = \cos(\textcolor{#08BFFF}{1{,}5}) \approx \textcolor{#9570FF}{0{,}07}$

Ergebnis:

Der Funktionswert an der Stelle $x = 1{,}5$ beträgt ungefähr $0{,}07$.

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Aufgabentyp 2: x-Werte zu einem bestimmten Funktionswert finden

Oft ist es bei der Kosinusfunktion genau umgekehrt: Wir kennen den y-Wert und wollen wissen, an welchen x-Stellen der Graph diese Höhe erreicht.

Da der Graph eine unendliche Welle ist, gibt es für einen y-Wert meistens sehr viele x-Werte. Wenn wir zum Beispiel wissen wollen, wann die Funktion den Wert $\textcolor{#9570FF}{0{,}4}$ annimmt, stellen wir uns eine waagerechte Linie auf dieser Höhe vor. Überall, wo diese Linie den Graphen schneidet, ist eine Lösung.

Damit wir nicht unendlich viele Lösungen aufschreiben müssen, wird oft ein Intervall (ein bestimmter Bereich) vorgegeben, in dem wir suchen sollen.

Ein häufiges Intervall ist $[-\pi, \pi]$. Das bedeutet, wir suchen nur x-Werte, die zwischen $-\pi$ und $\pi$ liegen. Da $\pi \approx 3{,}14$ ist, betrachten wir also nur den Bereich von $\textcolor{#08BFFF}{-3{,}14}$ bis $\textcolor{#08BFFF}{3{,}14}$ auf der x-Achse.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Intervallgrenzen als Kommazahlen schreiben: Übersetze Grenzen wie $\pi$ in Kommazahlen (z.B. $\pi \approx 3{,}14$), damit du sie auf der x-Achse leichter finden kannst.
2. Waagerechte Linie ziehen: Suche den gegebenen y-Wert auf der y-Achse und ziehe (gedanklich oder mit dem Stift) eine waagerechte Linie durch den gesamten Graphen.
3. Schnittpunkte ablesen: Markiere alle Punkte, an denen deine waagerechte Linie den Graphen schneidet.
4. Intervall prüfen: Lies die x-Werte dieser Schnittpunkte ab. Behalte nur die x-Werte als Lösung, die innerhalb deines Intervalls aus Schritt 1 liegen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme anhand des Graphen alle Stellen im Intervall $[-\pi, \pi]$, an denen die Kosinusfunktion den Wert $0{,}5$ annimmt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Intervallgrenzen bestimmen

   Das Intervall $[-\pi, \pi]$ bedeutet, wir suchen nur x-Werte zwischen $\approx \textcolor{#08BFFF}{-3{,}14}$ und $\approx \textcolor{#08BFFF}{3{,}14}$.

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   Schritt 2 & 3
   Waagerechte Linie ziehen und Schnittpunkte ablesen

   Wir suchen die Stellen, an denen $y = \textcolor{#9570FF}{0{,}5}$ ist. Dazu betrachten wir eine waagerechte Linie auf der Höhe $0{,}5$. Die Linie schneidet den Graphen bei $x \approx \textcolor{#08BFFF}{-1{,}05}$ und $x \approx \textcolor{#08BFFF}{1{,}05}$.

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Intervall prüfen

   Beide gefundenen Werte liegen zwischen $-3{,}14$ und $3{,}14$.

Ergebnis:

Die Kosinusfunktion nimmt im Intervall $[-\pi, \pi]$ an den Stellen $\textcolor{#08BFFF}{x \approx -1{,}05}$ und $\textcolor{#08BFFF}{x \approx 1{,}05}$ den Wert $0{,}5$ an.

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Wichtige Erkenntnisse

• Der Taschenrechner muss auf RAD (Bogenmaß) stehen, wenn du mit normalen Zahlen für $x$ rechnest.
• Lass dich von $\pi$ nicht verwirren: Es ist einfach nur eine Zahl ($\approx 3{,}14$).
• Um x-Werte zu einem bestimmten y-Wert zu finden, hilft dir eine waagerechte Linie im Graphen. Es gibt oft mehrere Lösungen!