Satz des Pythagoras an Körpern einfach erklärt

Die gesuchte Strecke ist die Bodendiagonale $d_1$. Sie bildet zusammen mit den Kanten $a$ und $b$ ein rechtwinkliges Dreieck auf dem Boden des Quaders.

• Die Katheten sind die Seiten am rechten Winkel: $a = 8$ cm und $b = 6$ cm.
• Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber: $d_1$.

Wir verwenden die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ und setzen unsere Werte ein:

$(8)^2 + (6)^2 = (d_1)^2$

$64 + 36 = (d_1)^2$

$100 = (d_1)^2$

Wir ziehen die Wurzel:

$d_1 = \sqrt{100}$

$d_1 = 10$ cm

Die gesuchte Strecke ist die Diagonale $d$ der Tür. Die Tür ist ein Rechteck, das durch die Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird.

• Die Katheten sind die Höhe und Breite der Tür: $a = 2$ m und $b = 0,8$ m.
• Die Hypotenuse ist die Diagonale $d$.

$(2)^2 + (0,8)^2 = (d)^2$

$4 + 0,64 = d^2$

$4,64 = d^2$

$d = \sqrt{4,64}$

$d \approx 2,15$ m

Gesucht ist die Seitendiagonale $d$. Sie bildet mit zwei Kanten des Würfels ein rechtwinkliges Dreieck.

• Da es ein Würfel ist, sind alle Kanten gleich lang. Die Katheten sind also $a = 5$ cm und $b = 5$ cm.
• Die Hypotenuse ist die Diagonale $d$.

$(5)^2 + (5)^2 = (d)^2$

$25 + 25 = d^2$

$50 = d^2$

$d = \sqrt{50}$

$d \approx 7,07$ cm

Die Wand, der Boden und die Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Gesucht ist die Länge der Leiter.

• Die Katheten sind der Abstand zur Wand ($1,5$ m) und die Höhe an der Wand ($4$ m).
• Die Hypotenuse ist die Leiter selbst.

$(1,5)^2 + (4)^2 = (\text{Leiterlänge})^2$

$2,25 + 16 = (\text{Leiterlänge})^2$

$18,25 = (\text{Leiterlänge})^2$

$\text{Leiterlänge} = \sqrt{18,25}$

$\text{Leiterlänge} \approx 4,27$ m

Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Gesucht ist die Seitenlänge $b$.

• Die Hypotenuse ist die Diagonale mit $13$ cm.
• Eine Kathete ist die gegebene Seite mit $5$ cm.
• Die andere Kathete ist die gesuchte Seite $b$.

$(5)^2 + (b)^2 = (13)^2$

$25 + b^2 = 169$

Wir subtrahieren 25 von beiden Seiten:

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$ cm

Das Hauptdreieck besteht aus der Höhe $h$, der gesuchten Seitenkante $s$ und der halben Bodendiagonale (nennen wir sie $m$).

• Hypotenuse: $s$
• Kathete 1: $h = 12$ cm
• Kathete 2: $m$ (unbekannt)

Wir müssen zuerst $m$ berechnen.

Das Hilfsdreieck liegt auf dem Boden der Pyramide. Es besteht aus zwei Grundkanten ($a=10$ cm) und der ganzen Diagonale $d = 2m$.

• Hypotenuse: $d$
• Katheten: $a=10$ cm und $a=10$ cm

Satz des Pythagoras für das Hilfsdreieck:

$(10)^2 + (10)^2 = (d)^2$

$100 + 100 = d^2$

$d^2 = 200 \to d = \sqrt{200} \approx 14,14$ cm

Die benötigte Seite $m$ ist die Hälfte von $d$: $m = \frac{\sqrt{200}}{2} \approx 7,07$ cm.

Jetzt kennen wir beide Katheten im Hauptdreieck: $h=12$ und $m=\sqrt{50}$ (genauer als 7,07, da $m^2 = d^2/4 = 200/4 = 50$).

Satz des Pythagoras für das Hauptdreieck:

$(12)^2 + (m)^2 = (s)^2$

$12^2 + (\sqrt{50})^2 = s^2$

$144 + 50 = s^2$

$194 = s^2$

$s = \sqrt{194} \approx 13,93$ cm

Das Hauptdreieck steht senkrecht im Quader. Es besteht aus der Höhe $c$, der Bodendiagonale $d_{boden}$ und der gesuchten Raumdiagonale $d_{raum}$.

• Hypotenuse: $d_{raum}$
• Kathete 1: $c = 4$ cm
• Kathete 2: $d_{boden}$ (unbekannt)

Das Hilfsdreieck liegt auf dem Boden. Es besteht aus den Kanten $a=12$ cm, $b=5$ cm und der Diagonale $d_{boden}$.

Satz des Pythagoras für das Hilfsdreieck:

$(12)^2 + (5)^2 = (d_{boden})^2$

$144 + 25 = (d_{boden})^2$

$(d_{boden})^2 = 169 \to d_{boden} = \sqrt{169} = 13$ cm

Jetzt setzen wir $d_{boden} = 13$ cm in das Hauptdreieck ein.

Satz des Pythagoras für das Hauptdreieck:

$(c)^2 + (d_{boden})^2 = (d_{raum})^2$

$4^2 + 13^2 = (d_{raum})^2$

$16 + 169 = (d_{raum})^2$

$185 = (d_{raum})^2$

$d_{raum} = \sqrt{185} \approx 13,6$ cm

Das Hauptdreieck ist die schräge Außenfläche, geteilt durch die Diagonale $s$. Es besteht aus der Höhe $h$ und der Hypotenuse der Grundfläche (nennen wir sie $c_{grund}$).

• Hypotenuse: $s$
• Kathete 1: $h = 12$ cm
• Kathete 2: $c_{grund}$ (unbekannt)

Das Hilfsdreieck ist die dreieckige Grundfläche selbst. Es hat die Katheten $a=3$ cm und $b=4$ cm.

Satz des Pythagoras für das Hilfsdreieck:

$(3)^2 + (4)^2 = (c_{grund})^2$

$9 + 16 = (c_{grund})^2$

$(c_{grund})^2 = 25 \to c_{grund} = \sqrt{25} = 5$ cm

Wir setzen $c_{grund} = 5$ cm in das Hauptdreieck ein.

Satz des Pythagoras für das Hauptdreieck:

$(h)^2 + (c_{grund})^2 = (s)^2$

$12^2 + 5^2 = s^2$

$144 + 25 = s^2$

$169 = s^2$

$s = \sqrt{169} = 13$ cm

Das Hauptdreieck liegt im Inneren der Pyramide. Es besteht aus der Pyramidenhöhe $h$, der gesuchten Seitenhöhe $h_s$ und einer Linie auf dem Boden, die vom Mittelpunkt zur Kante verläuft. Diese Linie ist genau halb so lang wie die Grundkante $a$.

• Hypotenuse: $h_s$
• Kathete 1: $h = 4$ cm
• Kathete 2: $\frac{a}{2}$ (unbekannt, aber leicht zu berechnen)

Wir brauchen kein volles Hilfsdreieck. Wir müssen nur die Länge der zweiten Kathete berechnen. Sie ist die Hälfte der Grundkante $a$.

Länge der Kathete 2: $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Jetzt kennen wir beide Katheten im Hauptdreieck: $h=4$ cm und $\frac{a}{2}=3$ cm.

Satz des Pythagoras für das Hauptdreieck:

$(h)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (h_s)^2$

$4^2 + 3^2 = (h_s)^2$

$16 + 9 = (h_s)^2$

$25 = (h_s)^2$

$h_s = \sqrt{25} = 5$ cm

Das Hauptdreieck steht senkrecht im Prisma. Es besteht aus der Höhe $5$, der gesuchten Strecke $s$ und einer Diagonale $f$ auf der Grundfläche.

• Hypotenuse: $s$
• Kathete 1: $5$
• Kathete 2: $f$ (unbekannt)

Das Hilfsdreieck liegt auf der Grundfläche. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seite $6$ und einer Seite, die von der Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante (Länge 4) verläuft. Die Länge dieser Seite ist $\frac{4}{2} = 2$.

Satz des Pythagoras für das Hilfsdreieck:

$(6)^2 + (2)^2 = (f)^2$

$36 + 4 = f^2$

$f^2 = 40$

Wir setzen $f^2 = 40$ in das Hauptdreieck ein.

Satz des Pythagoras für das Hauptdreieck:

$(5)^2 + (f)^2 = (s)^2$

$25 + 40 = s^2$

$65 = s^2$

$s = \sqrt{65} \approx 8,06$ cm