Satz des Pythagoras an Figuren einfach erklärt

Die Diagonale $d$ teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Wir können eines davon für die Berechnung nutzen.

• Die Katheten sind die Seiten des Rechtecks: $a = 8 \text{ cm}$ und $b = 15 \text{ cm}$.
• Die Hypotenuse ist die Diagonale $d$.

Die Formel lautet: $a^2 + b^2 = c^2$. Für unsere Aufgabe: $(8)^2 + (15)^2 = (d)^2$.

Wir setzen die Werte ein:

$d^2 = (8 \text{ cm})^2 + (15 \text{ cm})^2$

$d^2 = 64 \text{ cm}^2 + 225 \text{ cm}^2$

$d^2 = 289 \text{ cm}^2$

Jetzt ziehen wir die Wurzel, um $d$ zu erhalten:

$d = \sqrt{289 \text{ cm}^2}$

$d = 17 \text{ cm}$

Eine Länge von 17 cm ist positiv und damit eine gültige Lösung.

Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind (nennen wir sie $a$). Die Diagonale teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.

• Die Katheten sind die beiden Seiten des Quadrats: $a$ und $a$.
• Die Hypotenuse ist die Diagonale mit $10 \text{ cm}$.

Die Formel lautet: $(a)^2 + (a)^2 = (10)^2$.

Wir fassen die linke Seite zusammen:

$a^2 + a^2 = (10 \text{ cm})^2$

$2a^2 = 100 \text{ cm}^2$

Jetzt teilen wir durch 2:

$a^2 = 50 \text{ cm}^2$

Zum Schluss ziehen wir die Wurzel:

$a = \sqrt{50 \text{ cm}^2}$

$a \approx 7{,}07 \text{ cm}$

Das Ergebnis ist positiv und somit sinnvoll.

Die Höhe $h$, die Breite $5 \text{ m}$ und die Diagonale $13 \text{ m}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

• Die Katheten sind die Höhe $h$ und die Breite $5 \text{ m}$.
• Die Hypotenuse ist die Diagonale mit $13 \text{ m}$.

Die Formel lautet: $(h)^2 + (5)^2 = (13)^2$.

Wir setzen die Werte ein und berechnen die Quadrate:

$h^2 + (5 \text{ m})^2 = (13 \text{ m})^2$

$h^2 + 25 \text{ m}^2 = 169 \text{ m}^2$

Jetzt subtrahieren wir $25 \text{ m}^2$ auf beiden Seiten:

$h^2 = 169 \text{ m}^2 - 25 \text{ m}^2$

$h^2 = 144 \text{ m}^2$

Zum Schluss ziehen wir die Wurzel:

$h = \sqrt{144 \text{ m}^2}$

$h = 12 \text{ m}$

Eine Höhe von 12 m ist eine gültige, positive Länge.

Die Höhe $h$ in einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Basis genau in der Mitte und steht senkrecht darauf. Dadurch entstehen zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

Wir betrachten eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke:

• Die Katheten sind die Höhe $h$ und die halbe Basis ($\frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$).
• Die Hypotenuse ist eine der gleich langen Seiten ($10 \text{ cm}$).

Die Formel lautet: $(h)^2 + (6)^2 = (10)^2$.

$h^2 + (6 \text{ cm})^2 = (10 \text{ cm})^2$

$h^2 + 36 \text{ cm}^2 = 100 \text{ cm}^2$

Wir subtrahieren $36 \text{ cm}^2$:

$h^2 = 100 \text{ cm}^2 - 36 \text{ cm}^2$

$h^2 = 64 \text{ cm}^2$

Wir ziehen die Wurzel:

$h = \sqrt{64 \text{ cm}^2}$

$h = 8 \text{ cm}$

Das Ergebnis ist positiv und damit gültig.

In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig. Dadurch entstehen vier identische rechtwinklige Dreiecke in der Mitte der Raute.

Wir betrachten eines der vier rechtwinkligen Dreiecke:

• Die Hypotenuse ist die Seitenlänge der Raute ($15 \text{ cm}$).
• Die Katheten sind die Hälften der Diagonalen. Eine Kathete ist die Hälfte der bekannten Diagonale ($\frac{24}{2} = 12 \text{ cm}$). Die andere Kathete ist die Hälfte der gesuchten Diagonale (nennen wir sie $x$).

Die Formel lautet: $(12)^2 + (x)^2 = (15)^2$.

$(12 \text{ cm})^2 + x^2 = (15 \text{ cm})^2$

$144 \text{ cm}^2 + x^2 = 225 \text{ cm}^2$

Wir subtrahieren $144 \text{ cm}^2$:

$x^2 = 225 \text{ cm}^2 - 144 \text{ cm}^2$

$x^2 = 81 \text{ cm}^2$

Wir ziehen die Wurzel:

$x = \sqrt{81 \text{ cm}^2}$

$x = 9 \text{ cm}$

$x$ ist nur die halbe Diagonale. Die ganze Diagonale ist $2 \cdot x = 2 \cdot 9 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$. Das Ergebnis ist positiv und sinnvoll.

Wir zeichnen beide Höhen ein. Dadurch entsteht in der Mitte ein Rechteck und an den Seiten zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

Die beiden Abschnitte $x$ sind gleich lang. Ihre Gesamtlänge ist die Differenz der Grundseiten: $20 \text{ cm} - 8 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.

Da es zwei Abschnitte sind, ist jeder:

$x = \frac{12 \text{ cm}}{2} = 6 \text{ cm}$

Für ein Dreieck gilt:

• Katheten: $h$ und $x = 6 \text{ cm}$.
• Hypotenuse: $s = 10 \text{ cm}$.

$h^2 + x^2 = s^2$

$h^2 + (6 \text{ cm})^2 = (10 \text{ cm})^2$

$h^2 + 36 \text{ cm}^2 = 100 \text{ cm}^2$

$h^2 = 100 \text{ cm}^2 - 36 \text{ cm}^2$

$h^2 = 64 \text{ cm}^2$

$h = \sqrt{64 \text{ cm}^2} = 8 \text{ cm}$

Dieses Trapez ist ein rechtwinkliges Trapez. Eine Seite ist bereits die Höhe ($12 \text{ cm}$). Wir zeichnen eine weitere Höhe von der anderen oberen Ecke ein, um ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten.

Der Abschnitt $x$ ist die Differenz der Grundseiten:

$x = 20 \text{ cm} - 15 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$

• Katheten: $h = 12 \text{ cm}$ und $x = 5 \text{ cm}$.
• Hypotenuse: die gesuchte Seite $s$.

$h^2 + x^2 = s^2$

$(12 \text{ cm})^2 + (5 \text{ cm})^2 = s^2$

$144 \text{ cm}^2 + 25 \text{ cm}^2 = s^2$

$169 \text{ cm}^2 = s^2$

$s = \sqrt{169 \text{ cm}^2} = 13 \text{ cm}$

Wir zeichnen die beiden Höhen ein, um die rechtwinkligen Dreiecke an den Seiten zu erzeugen.

Wir kennen die Basis $x$ des Dreiecks noch nicht, können sie aber mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

• Katheten: $h = 9 \text{ m}$ und die unbekannte Basis $x$.
• Hypotenuse: $s = 15 \text{ m}$.

$h^2 + x^2 = s^2$

$(9 \text{ m})^2 + x^2 = (15 \text{ m})^2$

$81 \text{ m}^2 + x^2 = 225 \text{ m}^2$

$x^2 = 225 \text{ m}^2 - 81 \text{ m}^2$

$x^2 = 144 \text{ m}^2$

$x = \sqrt{144 \text{ m}^2} = 12 \text{ m}$

Jetzt können wir die gesamte untere Grundseite $a$ berechnen. Sie besteht aus dem Mittelteil (10 m) und den beiden Abschnitten $x$ (jeweils 12 m).

$a = x + 10 \text{ m} + x$

$a = 12 \text{ m} + 10 \text{ m} + 12 \text{ m} = 34 \text{ m}$

Der symmetrische Querschnitt ist ein gleichschenkliges Trapez. Wir zeichnen die Höhen ein.

Wir berechnen den horizontalen Abschnitt $x$ des rechtwinkligen Dreiecks.

$x = \frac{\text{Sohle} - \text{Krone}}{2} = \frac{18 \text{ m} - 6 \text{ m}}{2} = \frac{12 \text{ m}}{2} = 6 \text{ m}$

• Katheten: $h = 8 \text{ m}$ und $x = 6 \text{ m}$.
• Hypotenuse: die gesuchte Böschungslänge $s$.

$h^2 + x^2 = s^2$

$(8 \text{ m})^2 + (6 \text{ m})^2 = s^2$

$64 \text{ m}^2 + 36 \text{ m}^2 = s^2$

$100 \text{ m}^2 = s^2$

$s = \sqrt{100 \text{ m}^2} = 10 \text{ m}$

Wir zeichnen die Höhe an der schrägen Seite ein. Dadurch entsteht ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Abschnitt $x$ ist die Differenz der Grundseiten:

$x = 11 \text{ cm} - 7 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$

• Katheten: die gesuchte Höhe $h$ und $x = 4 \text{ cm}$.
• Hypotenuse: $s = 5 \text{ cm}$.

$h^2 + x^2 = s^2$

$h^2 + (4 \text{ cm})^2 = (5 \text{ cm})^2$

$h^2 + 16 \text{ cm}^2 = 25 \text{ cm}^2$

$h^2 = 25 \text{ cm}^2 - 16 \text{ cm}^2$

$h^2 = 9 \text{ cm}^2$

$h = \sqrt{9 \text{ cm}^2} = 3 \text{ cm}$

Wir skizzieren den Kreis mit der Sehne, dem Radius zum Endpunkt der Sehne und dem Abstand $d$.

• Hypotenuse: $r = 10 \text{ cm}$.
• Katheten: der gesuchte Abstand $d$ und die halbe Sehne ($\frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$).

$d^2 + (8 \text{ cm})^2 = (10 \text{ cm})^2$

$d^2 + 64 \text{ cm}^2 = 100 \text{ cm}^2$

$d^2 = 100 \text{ cm}^2 - 64 \text{ cm}^2$

$d^2 = 36 \text{ cm}^2$

$d = \sqrt{36 \text{ cm}^2} = 6 \text{ cm}$

Wir skizzieren die Situation. Gesucht ist die ganze Sehne, wir berechnen aber zuerst ihre Hälfte (nennen wir sie $x$).

• Hypotenuse: $r = 13 \text{ cm}$.
• Katheten: $d = 12 \text{ cm}$ und die halbe Sehne $x$.

$(12 \text{ cm})^2 + x^2 = (13 \text{ cm})^2$

$144 \text{ cm}^2 + x^2 = 169 \text{ cm}^2$

$x^2 = 169 \text{ cm}^2 - 144 \text{ cm}^2$

$x^2 = 25 \text{ cm}^2$

$x = \sqrt{25 \text{ cm}^2} = 5 \text{ cm}$

Das ist nur die halbe Sehne. Die ganze Sehne ist $2 \cdot x = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.

Wir skizzieren das Dreieck aus Abstand, halber Sehne und dem gesuchten Radius $r$.

• Hypotenuse: der gesuchte Radius $r$.
• Katheten: $d = 21 \text{ mm}$ und die halbe Sehne ($\frac{40}{2} = 20 \text{ mm}$).

$(21 \text{ mm})^2 + (20 \text{ mm})^2 = r^2$

$441 \text{ mm}^2 + 400 \text{ mm}^2 = r^2$

$841 \text{ mm}^2 = r^2$

$r = \sqrt{841 \text{ mm}^2} = 29 \text{ mm}$

Die Fahrbahn ist eine Sehne im vollständigen Kreis. Die gesuchte Höhe $h$ ist der Abstand vom Mittelpunkt (der auf der Fahrbahn liegt) nach oben zur Tunneldecke an der Kante der Fahrbahn.

• Hypotenuse: Der Radius des Tunnels, $r = 5 \text{ m}$.
• Katheten: Die gesuchte Höhe $h$ und die halbe Fahrbahnbreite ($\frac{8}{2} = 4 \text{ m}$).

$h^2 + (4 \text{ m})^2 = (5 \text{ m})^2$

$h^2 + 16 \text{ m}^2 = 25 \text{ m}^2$

$h^2 = 25 \text{ m}^2 - 16 \text{ m}^2$

$h^2 = 9 \text{ m}^2$

$h = \sqrt{9 \text{ m}^2} = 3 \text{ m}$

Zuerst berechnen wir den Radius: $r = \frac{d}{2} = \frac{34 \text{ cm}}{2} = 17 \text{ cm}$. Wir skizzieren das Dreieck aus Radius, Abstand und halber Sehne ($x$).

• Hypotenuse: $r = 17 \text{ cm}$.
• Katheten: Der Abstand $8 \text{ cm}$ und die halbe Sehne $x$.

$(8 \text{ cm})^2 + x^2 = (17 \text{ cm})^2$

$64 \text{ cm}^2 + x^2 = 289 \text{ cm}^2$

$x^2 = 289 \text{ cm}^2 - 64 \text{ cm}^2$

$x^2 = 225 \text{ cm}^2$

$x = \sqrt{225 \text{ cm}^2} = 15 \text{ cm}$

Die ganze Sehne ist doppelt so lang: $2 \cdot 15 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$.