Satz des Pythagoras an Figuren einfach erklärt: Trapez & Kreis

Stell dir vor, du entwirfst das Dach für ein Gartenhaus (ein Trapez) oder ein rundes Fenster mit einer Holzstrebe (ein Kreis). Du brauchst genaue Maße für die Holzbalken, kannst aber nicht alles direkt messen. Wie findest du die fehlenden Längen heraus?

Hier hilft uns ein alter Bekannter: Der Satz des Pythagoras an Figuren! Auch wenn Figuren auf den ersten Blick keine rechten Winkel haben, können wir sie oft in einfache rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Lass uns lernen, wie wir diese versteckten Dreiecke finden und damit jede fehlende Seite berechnen können!

Vorwissen

• Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Katheten $a$ und $b$ sowie die Hypotenuse $c$ (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel): $a^2 + b^2 = c^2$.

  Beispiel: Wenn die Katheten $3 \text{ cm}$ und $4 \text{ cm}$ lang sind, ist die Hypotenuse $5 \text{ cm}$ lang ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$).

• Wurzelziehen bei Längen: Wenn wir eine Gleichung wie $x^2 = 25$ lösen, gibt es mathematisch zwei Lösungen ($5$ und $-5$). Da Längen in der Geometrie aber nie negativ sein können, gilt nur die positive Lösung.

  Beispiel: Aus $x^2 = 25$ folgt $x = 5$.

• Eigenschaften eines Rechtecks: Gegenüberliegende Seiten sind immer exakt gleich lang.

  Beispiel: Wenn die obere Seite eines Rechtecks $10 \text{ cm}$ lang ist, ist die untere Seite ebenfalls $10 \text{ cm}$ lang.

Aufgabentyp 1: Berechnungen im Trapez

Ein gleichschenkliges Trapez sieht aus wie ein Dreieck, dem die Spitze abgeschnitten wurde. Die linke und rechte schräge Seite sind gleich lang. Auf den ersten Blick gibt es hier keine rechten Winkel für den Satz des Pythagoras. Wir können uns aber welche erschaffen!

Wenn wir von den beiden oberen Ecken gerade nach unten zur Grundseite gehen, zeichnen wir die Höhe des Trapezes ein. Dadurch zerlegen wir das Trapez in drei einfache Figuren: Ein Rechteck in der Mitte und zwei exakt gleiche rechtwinklige Dreiecke an den Seiten.

In diesen seitlichen Dreiecken können wir nun den Satz des Pythagoras anwenden. Die schräge Seite des Trapezes ist dabei immer die Hypotenuse, da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Trapez zerlegen: Zeichne die Höhen von den oberen Ecken ein. Das Trapez wird in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt.
2. Grundseite des Dreiecks berechnen: Ziehe die obere Trapezseite von der gesamten unteren Trapezseite ab und teile das Ergebnis durch $2$. So erhältst du die Grundseite eines der kleinen Dreiecke.
3. Pythagoras aufstellen: Betrachte eines der rechtwinkligen Dreiecke. Identifiziere die Hypotenuse (die schräge Seite) und die beiden Katheten (die Höhe und die berechnete Grundseite). Setze die Werte in $a^2 + b^2 = c^2$ ein.
4. Gleichung lösen: Löse die Gleichung nach der gesuchten Seite auf und ziehe am Ende die Wurzel.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein gleichschenkliges Trapez hat eine obere Seite von $10 \text{ cm}$ und eine untere Seite von $20 \text{ cm}$. Die schrägen Seiten sind jeweils $13 \text{ cm}$ lang.

Berechne die Höhe $h$ des Trapezes.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Trapez zerlegen

   Wir zeichnen die beiden Höhen $h$ ein. In der Mitte entsteht ein Rechteck, dessen untere Seite ebenfalls $10 \text{ cm}$ lang ist.

   

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   Schritt 2
   Grundseite des Dreiecks berechnen

   Die gesamte untere Seite ist $20 \text{ cm}$ lang. Wenn wir das mittlere Stück ($10 \text{ cm}$) abziehen, bleiben $10 \text{ cm}$ für die beiden Dreiecke übrig. Da die Dreiecke gleich groß sind, teilen wir durch $2$:

   $10 \text{ cm} \div 2 = 5 \text{ cm}$

   Die Grundseite unseres rechtwinkligen Dreiecks ist also $5 \text{ cm}$ lang.

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   Schritt 3
   Pythagoras aufstellen

   Wir betrachten das rechte kleine Dreieck. Die Katheten sind $5 \text{ cm}$ und $\textcolor{#08BFFF}{h}$. Die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel) ist die schräge Seite mit $13 \text{ cm}$. Wir setzen in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

   $(5 \text{ cm})^2 + \textcolor{#08BFFF}{h}^2 = (13 \text{ cm})^2$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir rechnen die Quadrate aus und lösen nach $\textcolor{#08BFFF}{h}$ auf:

   $25 \text{ cm}^2 + \textcolor{#08BFFF}{h}^2 = 169 \text{ cm}^2$

   Wir ziehen auf beiden Seiten $25 \text{ cm}^2$ ab:

   $\textcolor{#08BFFF}{h}^2 = 144 \text{ cm}^2$

   Nun ziehen wir die Wurzel:

   $\textcolor{#08BFFF}{h} = 12 \text{ cm}$

Ergebnis:

Die Höhe des Trapezes beträgt $12 \text{ cm}$.

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Aufgabentyp 2: Berechnungen im Kreis

Auch in einem Kreis verstecken sich rechtwinklige Dreiecke! Oft geht es dabei um eine sogenannte Sehne. Eine Sehne ist eine gerade Linie, die zwei Punkte auf dem Rand des Kreises verbindet (wie eine Brücke).

Wenn wir den kürzesten Abstand vom Kreismittelpunkt zu dieser Sehne messen, trifft diese Abstandslinie genau im rechten Winkel auf die Sehne und halbiert sie. Um nun ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten, ziehen wir einfach eine Linie vom Mittelpunkt zum Ende der Sehne. Diese Linie ist genau der Radius des Kreises!

In diesem Dreieck ist der Radius immer die Hypotenuse, da er dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die beiden Katheten sind der Abstand zum Mittelpunkt und die halbe Sehne.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Dreieck konstruieren: Zeichne den Radius vom Mittelpunkt zum Ende der Sehne ein. Dies ist deine Hypotenuse.
2. Sehne halbieren: Teile die gesamte Länge der Sehne durch $2$. Das ist eine deiner Katheten. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne ist die andere Kathete.
3. Pythagoras aufstellen: Setze die Werte für die halbe Sehne, den Abstand und den Radius in die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ ein.
4. Gleichung lösen: Löse die Gleichung nach der unbekannten Seite auf und ziehe die Wurzel.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Kreis hat einen Radius von $10 \text{ cm}$. In diesem Kreis liegt eine Sehne mit einer Länge von $16 \text{ cm}$.

Berechne den Abstand $d$ vom Mittelpunkt zur Sehne.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Dreieck konstruieren und Sehne halbieren

   Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck, das aus dem Abstand $d$, dem Radius und der halben Sehne gebildet wird. Die gesamte Sehne ist $16 \text{ cm}$ lang. Die halbe Sehne ist also:

   $16 \text{ cm} \div 2 = \textcolor{#9570FF}{8 \text{ cm}}$.

   

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   Schritt 3
   Pythagoras aufstellen

   In unserem Dreieck sind $d$ und $\textcolor{#9570FF}{8 \text{ cm}}$ die Katheten. Der Radius ($10 \text{ cm}$) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die Hypotenuse. Wir setzen in $a^2 + b^2 = c^2$ ein:

   $d^2 + (\textcolor{#9570FF}{8 \text{ cm}})^2 = (10 \text{ cm})^2$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir rechnen die Quadrate aus:

   $d^2 + 64 \text{ cm}^2 = 100 \text{ cm}^2$

   Wir ziehen auf beiden Seiten $64 \text{ cm}^2$ ab:

   $d^2 = 36 \text{ cm}^2$

   Nun ziehen wir die Wurzel:

   $d = 6 \text{ cm}$

Ergebnis:

Der Abstand $d$ vom Mittelpunkt zur Sehne beträgt $6 \text{ cm}$.

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Wichtige Erkenntnisse

• Trapez: Zeichne die Höhen ein, um ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke zu erhalten. Die schräge Seite ist die Hypotenuse.
• Kreis: Der Radius, der Abstand zur Sehne und die halbe Sehne bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Radius ist immer die Hypotenuse.
• Längen sind positiv: Beim Wurzelziehen in der Geometrie zählt immer nur das positive Ergebnis.