Was sind Rechenregeln für Quadratwurzeln?

Die Rechenregeln für Quadratwurzeln sind vier Grundregeln, mit denen du Terme mit Wurzelzeichen vereinfachen und berechnen kannst. Sie beschreiben, wie man Wurzeln multipliziert , dividiert , addiert bzw. subtrahiert und wie sich eine Wurzel mit einem Quadrat aufhebt. Wer diese Regeln kennt, kann scheinbar komplizierte Ausdrücke wie $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$ schnell auf eine einfache Zahl (hier: 8) zurückführen.

Wie multiplizierst du zwei Quadratwurzeln miteinander?

Du wendest die Produktregel an: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Du schreibst beide Radikanden unter eine gemeinsame Wurzel und multiplizierst sie dort. Ist das Produkt eine Quadratzahl, erhältst du sofort eine ganze Zahl. Beispiel: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$. Die Regel spart Rechenarbeit, weil du die einzelnen Wurzeln nicht separat ausrechnen musst.

Wann kannst du Wurzelterme addieren oder subtrahieren?

Du kannst Wurzelterme nur addieren oder subtrahieren, wenn ihre Radikanden – also die Zahlen unter den Wurzeln – identisch sind. Dann rechnest du nur die Koeffizienten (die Zahlen vor der Wurzel) zusammen: $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$. Haben die Terme verschiedene Radikanden, wie $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$, lassen sie sich nicht direkt zusammenfassen.

Was bedeutet die Regel √(a²) = |a| und warum braucht man Betragsstriche?

Die Regel $\sqrt{a^2} = |a|$ besagt, dass sich Wurzel und Quadrat gegenseitig aufheben – das Ergebnis ist jedoch immer positiv . Ohne Betragsstriche könnte man fälschlicherweise $\sqrt{(-5)^2} = -5$ schreiben, was falsch ist. Die Betragsstriche stellen sicher, dass das Ergebnis korrekt bleibt: $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$. Besonders bei Termen mit Variablen sind die Betragsstriche unverzichtbar.

Was ist der Unterschied zwischen der Produktregel und der Quotientenregel für Wurzeln?

Beide Regeln erlauben es, zwei Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenzufassen. Der Unterschied liegt in der Rechenoperation: Bei der Produktregel ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$) werden die Radikanden multipliziert, bei der Quotientenregel ($\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$) dividiert. Beide Regeln funktionieren nur für nicht-negative Radikanden.

Rechenregeln für Quadratwurzeln

Die Rechenregeln für Quadratwurzeln sind dein Werkzeugkasten, um Terme mit Wurzelzeichen ( $\sqrt{}$ ) sicher zu vereinfachen und zu berechnen. Manche Mathe-Aufgaben sehen auf den ersten Blick super kompliziert aus, besonders wenn überall diese Wurzelzeichen auftauchen. Aber was, wenn es ein paar einfache „Cheat Codes" gäbe, mit denen du diese Aufgaben knacken kannst? Genau das sind die Rechenregeln für Wurzeln! Sie sind wie geheime Abkürzungen, die dir helfen, komplizierte Terme wie $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$ in eine einfache Zahl (nämlich 8) zu verwandeln. Wenn du diese Regeln kennst, sparst du dir nicht nur Zeit, sondern kannst auch Aufgaben lösen, die unmöglich aussahen.

Vorwissen

Bevor wir mit den Regeln starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Quadratwurzel: Die Quadratwurzel einer Zahl ist diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt.
- Beispiel: Die Wurzel aus 9 ist 3, weil $3 \cdot 3 = 9$ ist. Geschrieben: $\sqrt{9} = 3$ .
Quadratzahl: Eine Zahl, die entsteht, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert.
- Beispiel: 25 ist eine Quadratzahl, da $5 \cdot 5 = 25$ .
Betrag: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der Null. Er ist immer positiv oder null.
- Beispiel: Der Betrag von -7 ist 7. Geschrieben: $|-7| = 7$ . Der Betrag von 5 ist 5. Geschrieben: $|5| = 5$ .

Aufgabentyp 1: Wurzeln multiplizieren

Wenn du zwei Quadratwurzeln miteinander multiplizierst, kannst du die Zahlen unter den Wurzeln (die Radikanden) einfach unter einer gemeinsamen Wurzel multiplizieren. Das macht die Rechnung oft viel einfacher!

Die Regel lautet:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

Beispiel: Statt $\sqrt{2}$ und $\sqrt{8}$ einzeln auszurechnen (was krumme Zahlen ergibt), rechnest du einfach $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16}$ , und das ist genau 4. Viel einfacher!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe analysieren: Stelle sicher, dass du zwei Wurzeln hast, die miteinander multipliziert werden, z.B. $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ .
Regel anwenden: Schreibe die Zahlen, die unter den Wurzeln stehen, unter eine einzige, große Wurzel und multipliziere sie. Aus $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ wird $\sqrt{x \cdot y}$ .
Produkt berechnen: Rechne das Produkt unter der neuen Wurzel aus.
Wurzel ziehen: Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis. Wenn das Ergebnis eine Quadratzahl ist, erhältst du eine ganze Zahl.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Term $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Wir haben eine Multiplikation von zwei Wurzeln: $\sqrt{2}$ und $\sqrt{32}$ .
Schritt 2
Regel anwenden
Wir wenden die Regel $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ an und schreiben alles unter eine Wurzel.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32}$
Schritt 3
Produkt berechnen
Wir multiplizieren die Zahlen unter der Wurzel.

$\sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
64 ist eine Quadratzahl, also können wir die Wurzel ziehen.

$\sqrt{64} = 8$

Ergebnis:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 8$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Term $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Wir multiplizieren die beiden Wurzeln $\sqrt{5}$ und $\sqrt{20}$ .
Schritt 2
Regel anwenden
Wir fassen die Zahlen unter einer Wurzel zusammen.

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5 \cdot 20}$
Schritt 3
Produkt berechnen
Wir berechnen das Produkt.

$\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
Die Wurzel aus 100 ist eine ganze Zahl.

$\sqrt{100} = 10$

Ergebnis:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = 10$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Term $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Es handelt sich um eine Multiplikation von $\sqrt{3}$ und $\sqrt{12}$ .
Schritt 2
Regel anwenden
Wir verwenden die Produktregel für Wurzeln.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12}$
Schritt 3
Produkt berechnen
Wir multiplizieren die Zahlen unter der Wurzel.

$\sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
Wir ziehen die Wurzel aus der Quadratzahl 36.

$\sqrt{36} = 6$

Ergebnis:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = 6$

Aufgabentyp 2: Wurzeln dividieren

Ähnlich wie beim Multiplizieren funktioniert es auch beim Dividieren (Teilen) von Wurzeln. Du kannst die Zahlen unter den Wurzeln zuerst dividieren und sie unter einer gemeinsamen Wurzel schreiben.

Die Regel lautet:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ oder $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$

Beispiel: $\sqrt{75} : \sqrt{3}$ sieht kompliziert aus. Aber mit der Regel wird daraus $\sqrt{75:3} = \sqrt{25}$ , und das ist einfach 5.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe analysieren: Stelle sicher, dass du zwei Wurzeln hast, die durcheinander geteilt werden, z.B. $\sqrt{x} : \sqrt{y}$ .
Regel anwenden: Schreibe die Zahlen, die unter den Wurzeln stehen, als Bruch oder Division unter eine einzige, große Wurzel. Aus $\sqrt{x} : \sqrt{y}$ wird $\sqrt{x : y}$ .
Quotient berechnen: Rechne die Division unter der neuen Wurzel aus.
Wurzel ziehen: Ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Term $\sqrt{75} : \sqrt{3}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Wir haben eine Division von zwei Wurzeln: $\sqrt{75}$ und $\sqrt{3}$ .
Schritt 2
Regel anwenden
Wir wenden die Regel $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$ an.

$\sqrt{75} : \sqrt{3} = \sqrt{75 : 3}$
Schritt 3
Quotient berechnen
Wir dividieren die Zahlen unter der Wurzel.

$\sqrt{75 : 3} = \sqrt{25}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
25 ist eine Quadratzahl, also können wir die Wurzel ziehen.

$\sqrt{25} = 5$

Ergebnis:

$\sqrt{75} : \sqrt{3} = 5$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Term $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Die Aufgabe ist eine Division von $\sqrt{48}$ durch $\sqrt{3}$ , geschrieben als Bruch.
Schritt 2
Regel anwenden
Wir schreiben den Bruch unter eine gemeinsame Wurzel.

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}}$
Schritt 3
Quotient berechnen
Wir berechnen den Wert des Bruchs.

$\sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
Wir ziehen die Wurzel aus 16.

$\sqrt{16} = 4$

Ergebnis:

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = 4$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Term $\sqrt{200} : \sqrt{8}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Aufgabe analysieren
Wir sollen $\sqrt{200}$ durch $\sqrt{8}$ teilen.
Schritt 2
Regel anwenden
Wir fassen die Division unter einer Wurzel zusammen.

$\sqrt{200} : \sqrt{8} = \sqrt{200 : 8}$
Schritt 3
Quotient berechnen
Wir führen die Division durch.

$\sqrt{200 : 8} = \sqrt{25}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wurzel ziehen
Wir ziehen die Wurzel aus 25.

$\sqrt{25} = 5$

Ergebnis:

$\sqrt{200} : \sqrt{8} = 5$

Aufgabentyp 3: Gleichartige Wurzeln addieren und subtrahieren

Du kannst Wurzelterme nur dann addieren oder subtrahieren, wenn die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) exakt gleich ist. Stell es dir vor wie bei Variablen: $5x + 3x = 8x$ . Genauso ist $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ .

Die Regel (das Distributivgesetz) lautet:

$a \cdot \sqrt{c} + b \cdot \sqrt{c} = (a + b) \cdot \sqrt{c}$

Du addierst oder subtrahierst also nur die Zahlen vor der Wurzel (die Koeffizienten). Die Wurzel selbst bleibt unverändert.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Radikanden prüfen: Überprüfe, ob bei allen Termen, die du zusammenfassen willst, die Zahl unter der Wurzel dieselbe ist. Zum Beispiel haben $5\sqrt{2}$ und $3\sqrt{2}$ beide die $\sqrt{2}$ .
Koeffizienten zusammenfassen: Schreibe die Zahlen, die vor den Wurzeln stehen, in eine Klammer und addiere bzw. subtrahiere sie. Die gemeinsame Wurzel schreibst du hinter die Klammer.
Klammer berechnen: Rechne den Wert in der Klammer aus.
Ergebnis notieren: Schreibe das Endergebnis als Produkt aus der berechneten Zahl und der gemeinsamen Wurzel.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Fasse den Term $5 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - 9 \cdot \sqrt{2}$ zusammen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Radikanden prüfen
Alle drei Terme haben dieselbe Wurzel: $\sqrt{2}$ . Wir können sie also zusammenfassen.
Schritt 2
Koeffizienten zusammenfassen
Wir wenden die Regel an und klammern die Koeffizienten (5, 3 und -9) aus.

$5 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - 9 \cdot \sqrt{2} = (5 + 3 - 9) \cdot \sqrt{2}$
Schritt 3
Klammer berechnen
Wir berechnen den Wert in der Klammer.

$(5 + 3 - 9) = (8 - 9) = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis ist $-1 \cdot \sqrt{2}$ .

$-1 \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{2}$

Ergebnis:

$5 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - 9 \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{2}$

Beispiel 2

Aufgabe

Fasse den Term $10 \cdot \sqrt{7} - 4 \cdot \sqrt{7}$ zusammen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Radikanden prüfen
Beide Terme enthalten $\sqrt{7}$ . Sie sind also gleichartig.
Schritt 2
Koeffizienten zusammenfassen
Wir klammern die Koeffizienten 10 und -4 aus.

$10 \cdot \sqrt{7} - 4 \cdot \sqrt{7} = (10 - 4) \cdot \sqrt{7}$
Schritt 3
Klammer berechnen
Wir berechnen die Differenz in der Klammer.

$(10 - 4) = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis lautet $6 \cdot \sqrt{7}$ .

Ergebnis:

$10 \cdot \sqrt{7} - 4 \cdot \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

Beispiel 3

Aufgabe

Fasse den Term $2 \cdot \sqrt{5} + 8 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5}$ zusammen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Radikanden prüfen
Alle Terme haben die Wurzel $\sqrt{5}$ . Beachte, dass $-\sqrt{5}$ dasselbe ist wie $-1 \cdot \sqrt{5}$ .
Schritt 2
Koeffizienten zusammenfassen
Die Koeffizienten sind 2, 8 und -1.

$2 \cdot \sqrt{5} + 8 \cdot \sqrt{5} - 1 \cdot \sqrt{5} = (2 + 8 - 1) \cdot \sqrt{5}$
Schritt 3
Klammer berechnen
Wir berechnen den Wert in der Klammer.

$(2 + 8 - 1) = (10 - 1) = 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis ist $9 \cdot \sqrt{5}$ .

Ergebnis:

$2 \cdot \sqrt{5} + 8 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = 9\sqrt{5}$

Aufgabentyp 4: Wurzel aus einem Quadrat ziehen

Wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, die quadriert wurde, heben sich Wurzel und Quadrat gegenseitig auf. Aber Achtung: Das Ergebnis muss immer positiv sein! Deshalb verwendet man Betragsstriche.

Die Regel lautet:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Beispiel: Was ist $\sqrt{(-5)^2}$ ? Zuerst rechnest du $(-5)^2 = 25$ . Dann ist $\sqrt{25} = 5$ . Das ist dasselbe wie der Betrag von -5, also $|-5|=5$ . Die Betragsstriche sorgen dafür, dass das Ergebnis stimmt, egal ob die ursprüngliche Zahl positiv oder negativ war.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Term analysieren: Erkenne die Struktur $\sqrt{(\text{etwas})^2}$ . Das „etwas" kann eine Zahl oder ein Term mit Variablen sein.
Regel anwenden: Wende die Regel $\sqrt{a^2} = |a|$ an. Das bedeutet, du entfernst die Wurzel und das Quadrat und setzt stattdessen Betragsstriche um den inneren Term.
Werte einsetzen (falls gefordert): Wenn in der Aufgabe Werte für Variablen gegeben sind, setze diese nun in den Betragsterm ein.
Betrag berechnen: Rechne den Wert innerhalb der Betragsstriche aus. Ist das Ergebnis negativ, mache es positiv. Ist es positiv oder null, bleibt es so.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\sqrt{(3-x)^2}$ . Setze dann die Werte $x = 4$ , $x=-7$ und $x=3$ ein und berechne die Lösung.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Term analysieren und Regel anwenden
Der Term hat die Form $\sqrt{a^2}$ mit $a = (3-x)$ . Wir wenden die Regel an:

$\sqrt{(3-x)^2} = |3-x|$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und Betrag berechnen
Für $x = 4$ :

$|3 - 4| = |-1| = 1$

Für $x = -7$ :

$|3 - (-7)| = |3 + 7| = |10| = 10$

Für $x = 3$ :

$|3 - 3| = |0| = 0$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $|3-x|$ . Für $x=4$ ist das Ergebnis 1, für $x=-7$ ist es 10 und für $x=3$ ist es 0.

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $\sqrt{(-9)^2}$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Term analysieren und Regel anwenden
Der Term ist von der Form $\sqrt{a^2}$ mit $a = -9$ .

$\sqrt{(-9)^2} = |-9|$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Betrag berechnen
Der Betrag von -9 ist 9.

$|-9| = 9$

Ergebnis:

$\sqrt{(-9)^2} = 9$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache $\sqrt{(y+5)^2}$ und berechne den Wert für $y=-12$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Term analysieren und Regel anwenden
Wir vereinfachen den Term mit der Regel $\sqrt{a^2} = |a|$ .

$\sqrt{(y+5)^2} = |y+5|$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und Betrag berechnen
Wir setzen $y = -12$ ein.

$|-12 + 5| = |-7| = 7$

Ergebnis:

Der vereinfachte Term ist $|y+5|$ . Für $y=-12$ ist der Wert 7.

Wichtige Erkenntnisse

Multiplizieren: Zahlen unter einer Wurzel zusammenfassen und multiplizieren. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
Dividieren: Zahlen unter einer Wurzel zusammenfassen und dividieren. $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$
Addieren/Subtrahieren: Geht nur bei gleicher Wurzel! Dann nur die Zahlen davor (Koeffizienten) verrechnen. $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$
Wurzel aus Quadrat: Hebt sich auf, aber das Ergebnis muss positiv sein (Betragsstriche!). $\sqrt{a^2} = |a|$

Rechenregeln für Quadratwurzeln einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Wurzeln multiplizieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 2: Wurzeln dividieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 3: Gleichartige Wurzeln addieren und subtrahieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 4: Wurzel aus einem Quadrat ziehen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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