Umgang mit Quadratwurzeln in Termen einfach erklärt

Stell dir vor, du hast einen viel zu schweren Rucksack für die Schule gepackt. Was machst du? Du nimmst die schweren Bücher heraus, die du heute gar nicht brauchst, damit der Rucksack leichter wird.

Beim Umgang mit Quadratwurzeln in Termen machen wir in der Mathematik mit großen Zahlen unter einer Quadratwurzel genau das Gleiche! Große Zahlen unter der Wurzel sind oft unhandlich. Unser Ziel ist es, die Zahl unter der Wurzel so klein wie möglich zu machen, indem wir bestimmte Teile „herausziehen“.

Lass uns lernen, wie wir Terme mit Wurzeln vereinfachen und unseren mathematischen Rucksack leichter machen!

Vorwissen

• Quadratzahlen: Zahlen, die entstehen, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert. Diese Zahlen musst du gut kennen: $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$.

  Beispiel: $36$ ist eine Quadratzahl, weil $6 \cdot 6 = 36$.

• Multiplikationsregel für Wurzeln: Eine Wurzel aus einem Produkt darf man in zwei einzelne Wurzeln aufteilen: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

  Beispiel: $\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$.

Aufgabentyp 1: Teilweises Wurzelziehen

Manchmal steht unter einer Wurzel eine Zahl, aus der man nicht direkt eine glatte Wurzel ziehen kann, wie zum Beispiel bei $\sqrt{20}$.

Wir können diese Wurzel aber vereinfachen! Der Trick ist, die Zahl $20$ in eine Malaufgabe (ein Produkt) zu zerlegen. Dabei suchen wir gezielt nach einer Quadratzahl, die in der $20$ steckt.

Wir wissen, dass $20 = 4 \cdot 5$ ist. Die Zahl $\textcolor{#08BFFF}{4}$ ist eine Quadratzahl! Jetzt wenden wir die Multiplikationsregel an:

$\sqrt{20} = \sqrt{\textcolor{#08BFFF}{4} \cdot 5}$

Wir teilen die Wurzel auf:

$= \sqrt{\textcolor{#08BFFF}{4}} \cdot \sqrt{5}$

Da wir die Wurzel aus $\textcolor{#08BFFF}{4}$ im Kopf berechnen können (sie ist $\textcolor{#08BFFF}{2}$), schreiben wir:

$= \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot \sqrt{5}$

Oft lässt man den Malpunkt einfach weg und schreibt kurz $\textcolor{#08BFFF}{2}\sqrt{5}$. Wir haben die Wurzel teilweise gezogen! Die Zahl unter der Wurzel ist jetzt viel kleiner.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde die größte Quadratzahl, durch die sich die Zahl unter der Wurzel teilen lässt, und schreibe sie als Malaufgabe.
2. Nutze die Multiplikationsregel, um aus der einen großen Wurzel zwei kleine Wurzeln zu machen.
3. Berechne die Wurzel aus der Quadratzahl, während die andere Zahl unter ihrer Wurzel stehen bleibt.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Quadratwurzel halbiert die Potenz

Was passiert, wenn unter der Wurzel keine normale Zahl steht, sondern eine Potenz (eine Zahl mit einer Hochzahl)?

Schauen wir uns ein kleines Beispiel an: $\sqrt{3^{\textcolor{#9570FF}{4}}}$.

Wir können das ausrechnen, denn $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Die Aufgabe lautet also eigentlich $\sqrt{81}$. Die Wurzel aus $81$ ist $9$. Und wir wissen, dass $9$ das Gleiche ist wie $3^{\textcolor{#9570FF}{2}}$.

Wenn wir den Anfang und das Ende vergleichen, sehen wir einen tollen Trick: $\sqrt{3^{\textcolor{#9570FF}{4}}} = 3^{\textcolor{#9570FF}{2}}$

Die Hochzahl $\textcolor{#9570FF}{4}$ hat sich einfach halbiert und wurde zur $\textcolor{#9570FF}{2}$! Die Wurzel ist dabei verschwunden. Daraus ergibt sich eine feste Regel:

Wird die Quadratwurzel auf eine Potenz angewendet, dann halbiert sich die Hochzahl.

Für $x \ge 0$ sieht das als Formel so aus: $\sqrt{x^{\textcolor{#9570FF}{a}}} = x^{\textcolor{#9570FF}{a : 2}}$

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Teilweises Wurzelziehen: Zerlege die Zahl unter der Wurzel in eine Malaufgabe. Einer der Faktoren muss eine Quadratzahl ($4, 9, 16, 25, \dots$) sein.
• Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl und schreibe das Ergebnis vor die restliche Wurzel.
• Potenzen unter der Wurzel: Wenn du die Quadratwurzel aus einer Potenz ziehst (für $x \ge 0$), halbiert sich einfach die Hochzahl (z. B. $\sqrt{x^{10}} = x^5$).