Was ist das Rationalmachen eines Nenners?

Das Rationalmachen eines Nenners ist eine Methode, mit der du irrationale Zahlen – zum Beispiel Wurzeln – aus dem Nenner eines Bruchs entfernst. Eine Wurzel im Nenner gilt als unfertige Form: Sie macht weitere Rechnungen umständlicher. Durch gezieltes Erweitern des Bruchs erreichst du einen rationalen Nenner, der nur noch ganze Zahlen oder rationale Terme enthält. Das ist die Form, die in Prüfungen erwartet wird.

Wie machst du einen Nenner mit einer einzelnen Wurzel rational?

Steht im Nenner eine einzelne Wurzel, z. B. √a , erweiterst du den Bruch einfach mit genau dieser Wurzel. Du multiplizierst Zähler und Nenner mit √a . Im Nenner entsteht dann √a · √a = a – die Wurzel ist verschwunden. Den Zähler multiplizierst du anschließend aus und vereinfachst, wenn möglich. Beispiel: 4/√3 wird zu 4√3/3 .

Was ist ein konjugierter Term und wann brauchst du ihn?

Der konjugierte Term entsteht, indem du das Vorzeichen in der Mitte eines Ausdrucks umkehrst: aus a + √b wird a − √b und umgekehrt. Du brauchst ihn, wenn der Nenner eine Summe oder Differenz mit einer Wurzel ist. Multiplizierst du Nenner und konjugierten Term, liefert die 3. Binomische Formel (a+b)(a−b) = a² − b² ein wurzelfreies Ergebnis.

Warum darf man einen Bruch mit einer Wurzel erweitern, ohne seinen Wert zu ändern?

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck. Das entspricht einer Multiplikation mit 1 – der Wert des Bruchs ändert sich also nicht. Das ist dasselbe Prinzip wie beim gewöhnlichen Erweitern: 2/3 = 8/12 . Statt einer ganzen Zahl verwendest du hier eine Wurzel oder einen konjugierten Term als Erweiterungsfaktor.

Was ist der Unterschied zwischen den beiden Fällen beim Rationalmachen?

Beim ersten Fall steht nur eine einzelne Wurzel im Nenner (z. B. √a oder 2√6 ). Die Lösung: Erweitern mit √a . Beim zweiten Fall steht eine Summe oder Differenz mit Wurzel im Nenner (z. B. 3√5 + 7 ). Hier reicht einfaches Erweitern nicht aus – du musst mit dem konjugierten Term erweitern und die 3. Binomische Formel anwenden, damit die Wurzel vollständig verschwindet.

Rationalmachen eines Nenners erklärt

Das Rationalmachen eines Nenners gehört zu den wichtigsten Techniken in der Algebra – und es ist genau der Trick, den dein Lehrer sehen will. Hast du dich jemals gefragt, warum Mathematiker manche Dinge tun, die auf den ersten Blick super kompliziert aussehen? Das Rationalmachen des Nenners ist so ein Fall. Es ist wie ein ungeschriebenes Gesetz in der Mathe-Welt, eine Art „Aufräumregel". Stell es dir so vor: Eine Wurzel im Nenner (also unten im Bruch) ist wie Sand in den Schuhen – es geht, aber es ist unschön und unpraktisch. Dieser Trick ist dein „Cheat Code", um Brüche in die Form zu bringen, die dir in späteren Rechnungen das Leben leichter macht. Es ist ein reiner Technik-Skill, der dir sicher Punkte in der nächsten Prüfung einbringt.

Schnellantwort

Beim Rationalmachen eines Nenners entfernst du alle Wurzeln aus dem Nenner eines Bruchs, indem du den Bruch geschickt erweiterst. Bei einer einzelnen Wurzel $\sqrt{a}$ im Nenner erweiterst du einfach mit $\sqrt{a}$ . Bei einer Summe oder Differenz mit Wurzel nutzt du den konjugierten Term und die 3. Binomische Formel. Das Ergebnis ist ein Bruch mit rationalem Nenner.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Rationale vs. Irrationale Zahlen:
- Rational: Zahlen, die als Bruch ganzer Zahlen darstellbar sind (z. B. $5$ , $\frac{2}{3}$ , $-0{,}75$ ).
- Irrational: Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind. Ihre Dezimaldarstellung bricht nie ab und wiederholt sich nicht (z. B. $\pi$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ ). Unser Ziel ist es, diese aus dem Nenner zu entfernen.
Bruch erweitern: Du kannst Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, ohne den Wert des Bruchs zu ändern.
- Beispiel: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Wurzel mal Wurzel: Wenn du eine Quadratwurzel mit sich selbst multiplizierst, löst sich die Wurzel auf.
- Formel: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$
- Beispiel: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$
3. Binomische Formel: Diese Formel ist der Schlüssel für kompliziertere Fälle.
- Formel: $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$
- Beispiel: $(x+3) \cdot (x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Aufgabentyp 1: Nenner mit einzelner Wurzel rational machen

Der einfachste Fall liegt vor, wenn im Nenner nur eine einzelne Wurzel steht (eventuell mit einem Faktor davor), wie zum Beispiel bei $\frac{3}{\sqrt{5}}$ .

Das Problem ist die irrationale Zahl $\sqrt{5}$ im Nenner. Unser Ziel ist es, sie in eine rationale Zahl umzuwandeln.

Der Trick ist ganz einfach: Wir wissen, dass $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ ergibt. Die 5 ist eine rationale Zahl. Um das zu erreichen, müssen wir den gesamten Bruch mit $\sqrt{5}$ erweitern. Das bedeutet, wir multiplizieren sowohl den Zähler als auch den Nenner damit.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Wurzel im Nenner, z. B. $\sqrt{a}$ .
Erweitere den Zähler und den Nenner mit genau dieser Wurzel ( $\sqrt{a}$ ).
Vereinfache den Nenner: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ – die Wurzel verschwindet.
Multipliziere die Terme im Zähler aus und vereinfache, wenn möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Forme den Bruch $\frac{4}{\sqrt{3}}$ so um, dass der Nenner rational ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wurzel im Nenner identifizieren
Die störende Wurzel im Nenner ist $\sqrt{3}$ .
Schritt 2
Bruch mit der Wurzel erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $\sqrt{3}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$
Schritt 3
Nenner vereinfachen
Der Nenner wird zu $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ .

$\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren
Der Zähler ist bereits so einfach wie möglich.

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Mache den Nenner des Bruchs $\frac{x+2}{\sqrt{7}}$ rational.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wurzel im Nenner identifizieren
Die Wurzel im Nenner ist $\sqrt{7}$ .
Schritt 2
Bruch mit der Wurzel erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $\sqrt{7}$ . Wichtig: Der Zähler $(x+2)$ muss in Klammern gesetzt werden.

$\frac{x+2}{\sqrt{7}} = \frac{(x+2) \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}$
Schritt 3
Nenner vereinfachen
Der Nenner wird zu $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$ .

$\frac{(x+2) \cdot \sqrt{7}}{7}$
Schritt 4 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die Klammer im Zähler aus.

$\frac{x \cdot \sqrt{7} + 2 \cdot \sqrt{7}}{7}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{x\sqrt{7} + 2\sqrt{7}}{7}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Forme $\frac{5}{2\sqrt{6}}$ so um, dass der Nenner rational ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wurzel im Nenner identifizieren
Die Wurzel im Nenner ist $\sqrt{6}$ . Der Faktor 2 davor stört uns erstmal nicht.
Schritt 2
Bruch mit der Wurzel erweitern
Wir erweitern den Bruch nur mit der Wurzel, also mit $\sqrt{6}$ .

$\frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{5 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$
Schritt 3
Nenner vereinfachen
Der Nenner wird zu $2 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}) = 2 \cdot 6 = 12$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{6}}{12}$
Schritt 4 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren
Der Zähler ist bereits vereinfacht.

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{5\sqrt{6}}{12}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Mache den Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$ rational und vereinfache so weit wie möglich.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wurzel im Nenner identifizieren
Die Wurzel im Nenner ist $\sqrt{10}$ .
Schritt 2
Bruch mit der Wurzel erweitern
Wir erweitern mit $\sqrt{10}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}$
Schritt 3
Nenner vereinfachen
Der Nenner wird zu $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 10$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{10}$
Schritt 4 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
Im Zähler rechnen wir $\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{20}$ .

$\frac{\sqrt{20}}{10}$

Jetzt können wir $\sqrt{20}$ noch teilweise radizieren: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ .

$\frac{2\sqrt{5}}{10}$

Zum Schluss kürzen wir den Bruch mit 2.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Ergebnis:

Der umgeformte und vereinfachte Bruch lautet $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Forme den Bruch $\frac{3+x}{\sqrt{5}}$ so um, dass der Nenner rational ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wurzel im Nenner identifizieren
Die Wurzel im Nenner ist $\sqrt{5}$ .
Schritt 2
Bruch mit der Wurzel erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $\sqrt{5}$ . Den Zähler setzen wir in Klammern.

$\frac{3+x}{\sqrt{5}} = \frac{(3+x) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
Schritt 3
Nenner vereinfachen
Der Nenner wird zu $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ .

$\frac{(3+x) \cdot \sqrt{5}}{5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die Klammer im Zähler aus.

$\frac{3 \cdot \sqrt{5} + x \cdot \sqrt{5}}{5}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{3\sqrt{5} + x\sqrt{5}}{5}$ .

Aufgabentyp 2: Nenner mit Summe oder Differenz rational machen

Was passiert, wenn im Nenner eine Summe oder Differenz mit einer Wurzel steht, wie bei $\frac{2}{3\sqrt{5}+7}$ ?

Ein einfacher Versuch wäre, wie bisher nur mit $\sqrt{5}$ zu erweitern. Schauen wir, was passiert:

$(3\sqrt{5}+7) \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) + 7 \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 5 + 7\sqrt{5} = 15 + 7\sqrt{5}$

Das Problem: Die Wurzel ist immer noch da! Der einfache Trick funktioniert nicht.

Hier kommt die 3. Binomische Formel ins Spiel: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ . Sie ist perfekt, weil sie beide Teile quadriert und es keinen gemischten Term in der Mitte gibt.

Unser Nenner ist $3\sqrt{5} + 7$ . Das sieht aus wie $(a+b)$ . Um die Formel anzuwenden, müssen wir mit $(a-b)$ erweitern, also mit $(3\sqrt{5} - 7)$ . Diesen Ausdruck nennt man den konjugierten Term.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Nenner: Stelle fest, dass er eine Summe oder Differenz mit einer Wurzel ist, z. B. $a + \sqrt{b}$ oder $a - \sqrt{b}$ .
Finde den konjugierten Term, indem du das Rechenzeichen in der Mitte umkehrst: aus $a + \sqrt{b}$ wird $a - \sqrt{b}$ und umgekehrt.
Erweitere den Zähler und den Nenner mit dem konjugierten Term (Zähler und Nenner in Klammern setzen!).
Vereinfache den Nenner mit der 3. Binomischen Formel $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ – die Wurzel verschwindet.
Multipliziere den Zähler aus und vereinfache das Ergebnis, falls möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Mache den Nenner des Bruchs $\frac{6}{\sqrt{5}+1}$ rational.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist eine Summe: $\sqrt{5}+1$ .
Schritt 2
Konjugierten Term finden
Der konjugierte Term ist $\sqrt{5}-1$ .
Schritt 3
Bruch mit dem konjugierten Term erweitern
$\frac{6}{(\sqrt{5}+1)} = \frac{6 \cdot (\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1) \cdot (\sqrt{5}-1)}$
Schritt 4
Nenner mit der 3. Binomischen Formel vereinfachen
Wir wenden $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ an mit $a=\sqrt{5}$ und $b=1$ .

$(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

Der Bruch lautet jetzt: $\frac{6 \cdot (\sqrt{5}-1)}{4}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
Wir können den Bruch mit 2 kürzen:

$\frac{3 \cdot (\sqrt{5}-1)}{2}$

Jetzt multiplizieren wir den Zähler aus:

$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Forme den Bruch $\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{2}}$ so um, dass der Nenner rational ist.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist eine Differenz: $4-\sqrt{2}$ .
Schritt 2
Konjugierten Term finden
Der konjugierte Term ist $4+\sqrt{2}$ .
Schritt 3
Bruch mit dem konjugierten Term erweitern
$\frac{\sqrt{3}}{(4-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} \cdot (4+\sqrt{2})}{(4-\sqrt{2}) \cdot (4+\sqrt{2})}$
Schritt 4
Nenner mit der 3. Binomischen Formel vereinfachen
Wir wenden $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ an mit $a=4$ und $b=\sqrt{2}$ .

$4^2 - (\sqrt{2})^2 = 16 - 2 = 14$

Der Bruch lautet jetzt: $\frac{\sqrt{3} \cdot (4+\sqrt{2})}{14}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
$\frac{\sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{14} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{6}}{14}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{4\sqrt{3} + \sqrt{6}}{14}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Mache den Nenner von $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ rational.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist eine Differenz aus zwei Wurzeln: $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ .
Schritt 2
Konjugierten Term finden
Der konjugierte Term ist $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ .
Schritt 3
Bruch mit dem konjugierten Term erweitern
$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{3})}$
Schritt 4
Nenner mit der 3. Binomischen Formel vereinfachen
Nenner: $(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
Im Zähler steht $(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{3})$ , was $(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2$ ist. Das lösen wir mit der 1. Binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .

$(\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$ .

Der gesamte Bruch ist also: $\frac{10 + 2\sqrt{21}}{4}$ .

Wir können Zähler und Nenner durch 2 kürzen:

$\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Forme den Bruch $\frac{2x}{3\sqrt{a}+b}$ so um, dass der Nenner rational ist (wobei a keine Quadratzahl ist).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist eine Summe: $3\sqrt{a}+b$ .
Schritt 2
Konjugierten Term finden
Der konjugierte Term ist $3\sqrt{a}-b$ .
Schritt 3
Bruch mit dem konjugierten Term erweitern
$\frac{2x}{(3\sqrt{a}+b)} = \frac{2x \cdot (3\sqrt{a}-b)}{(3\sqrt{a}+b) \cdot (3\sqrt{a}-b)}$
Schritt 4
Nenner mit der 3. Binomischen Formel vereinfachen
$(3\sqrt{a})^2 - b^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{a})^2 - b^2 = 9a - b^2$ .

Der Bruch lautet jetzt: $\frac{2x \cdot (3\sqrt{a}-b)}{9a - b^2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
$\frac{2x \cdot 3\sqrt{a} - 2x \cdot b}{9a - b^2} = \frac{6x\sqrt{a} - 2xb}{9a - b^2}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{6x\sqrt{a} - 2xb}{9a - b^2}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Forme den Bruch $\frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{5}+7}$ so um, dass der Nenner rational ist.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist eine Summe: $3\sqrt{5}+7$ .
Schritt 2
Konjugierten Term finden
Der konjugierte Term ist $3\sqrt{5}-7$ .
Schritt 3
Bruch mit dem konjugierten Term erweitern
$\frac{\sqrt{2}}{(3 \sqrt{5}+7)} = \frac{\sqrt{2} \cdot (3\sqrt{5}-7)}{(3 \sqrt{5}+7) \cdot (3\sqrt{5}-7)}$
Schritt 4
Nenner mit der 3. Binomischen Formel vereinfachen
Wir wenden $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ an mit $a=3\sqrt{5}$ und $b=7$ .

$(3\sqrt{5})^2 - 7^2 = (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) - 49 = (9 \cdot 5) - 49 = 45 - 49 = -4$ .

Der Bruch lautet jetzt: $\frac{\sqrt{2} \cdot (3\sqrt{5}-7)}{-4}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
$\frac{\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} - \sqrt{2} \cdot 7}{-4} = \frac{3\sqrt{10} - 7\sqrt{2}}{-4}$

Das Minuszeichen im Nenner kann man auch vor den Bruch ziehen:

$-\frac{3\sqrt{10} - 7\sqrt{2}}{4}$

Ergebnis:

Der umgeformte Bruch lautet $\frac{3\sqrt{10} - 7\sqrt{2}}{-4}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Ziel: Entferne alle Wurzeln aus dem Nenner eines Bruchs.
Fall 1: Einzelne Wurzel im Nenner (z. B. $\frac{...}{\sqrt{a}}$ ) – Methode: Erweitere den Bruch mit dieser Wurzel ( $\sqrt{a}$ ).
Fall 2: Summe oder Differenz im Nenner (z. B. $\frac{...}{b+\sqrt{c}}$ ) – Methode: Erweitere mit dem konjugierten Term (z. B. $b-\sqrt{c}$ ) und nutze die 3. Binomische Formel.
Bruch erweitern bedeutet: Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck multiplizieren – der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.
Nach dem Rationalmachen immer prüfen, ob sich der Bruch noch kürzen lässt.

Rationalmachen eines Nenners einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Nenner mit einzelner Wurzel rational machen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Nenner mit Summe oder Differenz rational machen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.