Quadratwurzel ohne Taschenrechner berechnen einfach erklärt

Stell dir vor, du möchtest den Boden deines quadratischen Zimmers mit einem neuen Teppich auslegen. Du weißt, dass das Zimmer eine Fläche von genau $36 \text{ m}^2$ hat. Aber wie lang ist eigentlich eine Wand des Zimmers?

Bisher hast du gelernt, wie man aus der Seitenlänge die Fläche berechnet (Seitenlänge mal Seitenlänge). Jetzt wollen wir diesen Vorgang umkehren! Genau dafür brauchen wir die Quadratwurzel. Sie ist wie eine Rückgängig-Taste für das Quadrieren. Lass uns anschauen, wie du diese Wurzeln ganz einfach im Kopf berechnen kannst, ohne einen Taschenrechner zu berühren.

Vorwissen

• Quadratzahlen: Eine Zahl, die entsteht, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert (quadriert). Beispiel: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. Die Zahl $25$ ist eine Quadratzahl.
• Brüche: Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Beispiel: Bei dem Bruch $\frac{9}{16}$ ist $9$ der Zähler und $16$ der Nenner.

Aufgabentyp 1: Quadratwurzel aus einer Quadratzahl berechnen

Wenn wir die Quadratwurzel (kurz: Wurzel) aus einer Zahl ziehen, suchen wir nach der nicht-negativen Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau diese Zahl ergibt. Das Symbol für die Wurzel ist $\sqrt{\ }$. Die Zahl, die unter der Wurzel steht, nennt man den Radikanden.

Um eine Wurzel im Kopf zu berechnen, nutzen wir einen einfachen Trick: Wir schreiben die Zahl unter der Wurzel als Quadratzahl (also als "hoch 2").

Die wichtigste Regel lautet: Die Quadratwurzel und das Quadrat (hoch 2) heben sich gegenseitig auf!

Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Wir wollen die Wurzel aus $49$ ziehen:

$\sqrt{49}$

Wir wissen aus dem kleinen Einmaleins, dass $49$ eine Quadratzahl ist, denn $7 \cdot 7 = 49$. Wir können also $49$ als $7^{\textcolor{#08BFFF}{2}}$ schreiben:

$= \sqrt{7^{\textcolor{#08BFFF}{2}}}$

Da sich die Wurzel und die $\textcolor{#08BFFF}{2}$ im Exponenten aufheben, bleibt nur die Basis übrig:

$= 7$

[Real-World Context]: Wenn wir auf unser Zimmer vom Anfang zurückkommen: Da $\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6$ ist, wissen wir nun, dass die Wand des Zimmers genau $6 \text{ m}$ lang ist. Die Quadratwurzel ist per Definition immer eine nicht-negative Zahl (auch wenn die Gleichung $x^2 = 36$ zwei Lösungen, nämlich $6$ und $-6$, hat).

Aufgabentyp 2: Quadratwurzel aus Brüchen ziehen

Manchmal steht ein ganzer Bruch unter der Wurzel. Das sieht kompliziert aus, ist aber ganz einfach zu lösen. Es gilt folgende Regel: Man zieht die Wurzel aus einem Bruch, indem man die Wurzel aus dem Zähler und die Wurzel aus dem Nenner separat zieht.

Wir wollen den Term $\sqrt{\frac{9}{25}}$ berechnen.

Wir teilen die große Wurzel in zwei kleine Wurzeln auf (eine für oben, eine für unten):

$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}$

Jetzt berechnen wir beide Wurzeln einzeln, genau wie wir es im ersten Schritt gelernt haben. Wir erkennen die Quadratzahlen ($9 = 3^2$ und $25 = 5^2$):

$= \frac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{5^2}}$

Die Wurzeln und die Quadrate heben sich auf:

$= \frac{3}{5}$

Tipp für Dezimalzahlen: Wenn du die Wurzel aus einer Kommazahl wie $\sqrt{0{,}81}$ ziehen sollst, wandle sie zuerst in einen Bruch um! $0{,}81$ sind $81$ Hundertstel, also $\sqrt{\frac{81}{100}}$. Danach kannst du die Regel für Brüche anwenden und erhältst $\frac{9}{10}$.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Wurzeln und das Minuszeichen

Was passiert, wenn ein Minuszeichen ins Spiel kommt? Hier musst du ganz genau hinschauen, wo das Minuszeichen steht!

Fall 1: Das Minus steht VOR der Wurzel Wenn das Minuszeichen vor der Wurzel steht, berechnest du einfach ganz normal die Wurzel und schreibst das Minuszeichen am Ende wieder vor das Ergebnis.

Beispiel: $-\sqrt{16}$

Wir berechnen $\sqrt{16} = 4$. Das Minus bleibt vorne stehen. Das Ergebnis ist also $-4$.

Fall 2: Das Minus steht IN der Wurzel Was ist mit $\sqrt{-16}$? Wir suchen eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-16$ ergibt.

Lass uns das testen:

• $4 \cdot 4 = 16$ (nicht $-16$)
• $(-4) \cdot (-4) = 16$ (Minus mal Minus ergibt Plus, also auch nicht $-16$)

Egal welche Zahl wir quadrieren, das Ergebnis ist nie negativ! Es gibt also keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt.

Deshalb gilt die Regel: Man kann aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen! Der Term $\sqrt{-16}$ ist nicht definiert und hat keine Lösung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wenn du einen Term mit einer Quadratwurzel ohne Taschenrechner berechnen sollst, gehe so vor:

1. Prüfe das Vorzeichen: Schaue nach, ob ein Minus in oder vor der Wurzel steht, um die Lösbarkeit zu bestimmen.
2. Teile Brüche auf: Schreibe einen Bruch unter der Wurzel als zwei separate Wurzeln für Zähler und Nenner.
3. Erkenne Quadratzahlen: Schreibe die Zahl unter der Wurzel als Quadratzahl um (z. B. $64$ als $8^2$).
4. Ziehe die Wurzel: Streiche die Wurzel und das Quadrat weg, um dein Ergebnis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Aufheben: Die Quadratwurzel und das Quadrieren ("hoch 2") sind Gegenspieler und heben sich auf: $\sqrt{x^2} = x$ (für $x \ge 0$).
• Brüche: Bei einem Bruch unter der Wurzel ziehst du einfach die Wurzel aus dem Zähler und dem Nenner einzeln: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• Minuszeichen: Ein Minus vor der Wurzel ist erlaubt (das Ergebnis wird negativ). Ein Minus in der Wurzel ist verboten (der Term hat keine Lösung).