Was ist die Intervallschachtelung bei Quadratwurzeln?

Die Intervallschachtelung ist eine Methode, um Quadratwurzeln näherungsweise zu berechnen. Du grenzt die gesuchte Wurzel schrittweise ein: Zuerst findest du die ganze Zahl, dann die erste Nachkommastelle, dann die zweite usw. Dazu quadrierst du systematisch Probewerte und schaust, ob das Ergebnis kleiner oder größer als deine Ausgangszahl ist. So wird das Intervall, in dem die Wurzel liegt, immer enger – daher der Name.

Wie viele Schritte braucht man für eine Nachkommastelle?

Für jede zusätzliche Nachkommastelle brauchst du genau einen weiteren Durchlauf . Im ersten Schritt findest du die Vorkommazahl, im zweiten Schritt die erste Nachkommastelle, im dritten die zweite usw. Die Anzahl der Schritte ist also immer gleich der geforderten Anzahl an Nachkommastellen plus eins für die Vorkommazahl.

Wann stoppe ich beim Quadrieren in der Intervallschachtelung?

Du stoppst genau dann, wenn das quadrierte Ergebnis deines Prüfwerts zum ersten Mal größer ist als deine Ausgangszahl. Die Ziffer, die du davor getestet hast (also die letzte, die noch kleiner war), ist die gesuchte Stelle. Diese bildet zusammen mit dem aktuellen Prüfwert das neue engere Intervall.

Warum kann man manche Quadratwurzeln nicht exakt aufschreiben?

Manche Wurzeln – zum Beispiel $\sqrt{2}$ oder $\sqrt{7}$ – sind sogenannte irrationale Zahlen . Ihre Dezimaldarstellung geht unendlich weiter, ohne sich zu wiederholen. Es ist mathematisch beweisbar, dass sie sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Deshalb können wir sie nur annähern , aber nie exakt aufschreiben.

Wie unterscheidet sich die Intervallschachtelung vom einfachen Raten?

Beim Raten greifst du zufällig eine Zahl und hoffst, dass sie stimmt. Bei der Intervallschachtelung gehst du systematisch vor: Du weißt nach jedem Schritt garantiert, in welchem Bereich die Wurzel liegt, und verkleinerst diesen Bereich gezielt. Das Ergebnis wird mit jedem Schritt nachweislich genauer – du kannst die Genauigkeit also selbst steuern.

Intervallschachtelung: Quadratwurzel berechnen

Hast du dich jemals gefragt, wie dein Taschenrechner die Wurzel aus einer „krummen" Zahl wie 7 oder 13 findet? Er rät nicht einfach – er benutzt eine clevere Detektivmethode, um die Antwort einzukreisen. Genau diese Methode, die Intervallschachtelung, lernst du hier. Es ist wie ein digitales Versteckspiel: Du baust die Mauern (Intervalle) um die gesuchte Zahl immer enger, bis sie keinen Ausweg mehr hat. Das ist nicht nur ein cooler Trick für die nächste Prüfung, sondern du verstehst damit zum ersten Mal, wie die Technik in deiner Hand wirklich „denkt". Die Intervallschachtelung ist eine der grundlegendsten Methoden, um Quadratwurzeln näherungsweise zu berechnen – Ziffer für Ziffer, so genau wie du es brauchst.

Vorwissen

Bevor wir die Wurzeln jagen, hier ein kurzes Warm-up:

Quadratzahl: Eine Zahl, die entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst multiplizierst.
- Beispiel: $4 \cdot 4 = 16$ . Also ist 16 eine Quadratzahl.
Quadratwurzel: Die umgekehrte Operation zum Quadrieren. Die Quadratwurzel aus einer Zahl (z.B. 25) ist diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder 25 ergibt.
- Formel: $\sqrt{x}$
- Beispiel: $\sqrt{25} = 5$ , weil $5 \cdot 5 = 25$ .
Quadrieren: Eine Zahl hoch 2 nehmen, also mit sich selbst multiplizieren.
- Formel: $x^2 = x \cdot x$
- Beispiel: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ .

Aufgabentyp 1: Quadratwurzeln durch Intervallschachtelung annähern

Die Intervallschachtelung ist die systematische Methode, um Quadratwurzeln näherungsweise zu berechnen – selbst dann, wenn das Ergebnis eine unendlich lange Dezimalzahl ist.

Manche Quadratwurzeln, wie $\sqrt{7}$ , sind Dezimalzahlen, die unendlich weitergehen, ohne sich zu wiederholen. Wir können sie also nie exakt aufschreiben. Aber wir können uns ihnen so weit annähern, wie wir wollen!

Die Methode dafür ist die Intervallschachtelung. Die Idee ist simpel: Wir „fangen" die Wurzel in einem immer kleiner werdenden Zahlenbereich (einem Intervall), bis wir die gewünschte Genauigkeit erreicht haben.

Stell es dir wie eine Falle vor:

Wir finden heraus, dass $\sqrt{7}$ zwischen 2 und 3 liegen muss. Unser erstes Intervall ist also $[2; 3]$ .
Dann testen wir Zahlen dazwischen und finden heraus: $\sqrt{7}$ liegt zwischen 2,6 und 2,7. Das Intervall wird enger: $[2,6; 2,7]$ .
Wir machen weiter und finden: $\sqrt{7}$ liegt zwischen 2,64 und 2,65. Das Intervall wird noch enger: $[2,64; 2,65]$ .

Jeder Schritt macht unsere Schätzung eine Nachkommastelle genauer. Wir schachteln die Intervalle ineinander, bis die „Falle" klein genug ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Finde die Zahl vor dem Komma: Suche die zwei Quadratzahlen, zwischen denen deine Zahl liegt. Die Wurzeln dieser Quadratzahlen geben dir die untere und obere Grenze.
Finde die erste Nachkommastelle: Hänge an die untere Grenze Nachkommastellen an (z.B. 2,1; 2,2; 2,3 …) und quadriere sie, bis das Ergebnis zum ersten Mal größer ist als deine Ausgangszahl. Die Ziffer davor ist deine erste Nachkommastelle.
Finde die zweite Nachkommastelle: Nimm die neue untere Grenze (z.B. 2,6) und hänge wieder Ziffern an (2,61; 2,62; 2,63 …). Quadriere, bis das Ergebnis zum ersten Mal größer wird. Die Ziffer davor ist deine zweite Nachkommastelle.
Wiederhole bis zur geforderten Genauigkeit: Führe Schritt 3 so oft durch, bis du die geforderte Anzahl an Nachkommastellen gefunden hast.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Quadratwurzel $\sqrt{7}$ auf 3 Nachkommastellen genau durch das Intervallschachtelungsprinzip.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Die Zahl vor dem Komma finden
Wir suchen die Quadratzahlen um 7 herum. Das sind 4 und 9.

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{9} = 3$

Die gesuchte Zahl liegt also zwischen 2 und 3. Die Ziffer vor dem Komma ist eine 2.
Schritt 2
Die erste Nachkommastelle finden
Wir testen Zahlen zwischen 2 und 3, indem wir sie quadrieren.

$2,1^2 = 4,41$ (kleiner als 7)

$2,2^2 = 4,84$ (kleiner als 7)

$2,3^2 = 5,29$ (kleiner als 7)

$2,4^2 = 5,76$ (kleiner als 7)

$2,5^2 = 6,25$ (kleiner als 7)

$2,6^2 = 6,76$ (kleiner als 7)

$2,7^2 = 7,29$ (größer als 7) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 2,6 und 2,7. Die erste Nachkommastelle ist eine 6.
Schritt 3
Die zweite Nachkommastelle finden
Wir testen jetzt Zahlen zwischen 2,6 und 2,7.

$2,61^2 = 6,8121$ (kleiner als 7)

$2,62^2 = 6,8644$ (kleiner als 7)

$2,63^2 = 6,9169$ (kleiner als 7)

$2,64^2 = 6,9696$ (kleiner als 7)

$2,65^2 = 7,0225$ (größer als 7) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 2,64 und 2,65. Die zweite Nachkommastelle ist eine 4.
Schritt 4 · Ergebnis
Die dritte Nachkommastelle finden
Wir testen jetzt Zahlen zwischen 2,64 und 2,65.

$2,641^2 \approx 6,9749$ (kleiner als 7)

$2,642^2 \approx 6,9802$ (kleiner als 7)

$2,643^2 \approx 6,9854$ (kleiner als 7)

$2,644^2 \approx 6,9907$ (kleiner als 7)

$2,645^2 \approx 6,9960$ (kleiner als 7)

$2,646^2 \approx 7,0013$ (größer als 7) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 2,645 und 2,646. Die dritte Nachkommastelle ist eine 5.

Ergebnis:

Die Quadratwurzel aus 7 ist auf 3 Nachkommastellen genau $2{,}645$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Quadratwurzel $\sqrt{20}$ auf 2 Nachkommastellen genau.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Die Zahl vor dem Komma finden
Die Zahl 20 liegt zwischen den Quadratzahlen 16 und 25.

$\sqrt{16} = 4$

$\sqrt{25} = 5$

Die gesuchte Zahl liegt also zwischen 4 und 5. Die Ziffer vor dem Komma ist eine 4.
Schritt 2
Die erste Nachkommastelle finden
Wir testen Zahlen, die mit 4 beginnen.

$4,1^2 = 16,81$

$4,2^2 = 17,64$

$4,3^2 = 18,49$

$4,4^2 = 19,36$ (kleiner als 20)

$4,5^2 = 20,25$ (größer als 20) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 4,4 und 4,5. Die erste Nachkommastelle ist eine 4.
Schritt 3 · Ergebnis
Die zweite Nachkommastelle finden
Wir testen Zahlen, die mit 4,4 beginnen.

$4,41^2 \approx 19,448$

$4,42^2 \approx 19,536$

$4,43^2 \approx 19,625$

$4,44^2 \approx 19,714$

$4,45^2 \approx 19,803$

$4,46^2 \approx 19,892$

$4,47^2 \approx 19,981$ (kleiner als 20)

$4,48^2 \approx 20,070$ (größer als 20) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 4,47 und 4,48. Die zweite Nachkommastelle ist eine 7.

Ergebnis:

Die Quadratwurzel aus 20 ist auf 2 Nachkommastellen genau $4{,}47$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Quadratwurzel $\sqrt{85}$ auf 1 Nachkommastelle genau.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Die Zahl vor dem Komma finden
Die Zahl 85 liegt zwischen den Quadratzahlen 81 und 100.

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{100} = 10$

Die gesuchte Zahl liegt also zwischen 9 und 10. Die Ziffer vor dem Komma ist eine 9.
Schritt 2 · Ergebnis
Die erste Nachkommastelle finden
Wir testen Zahlen, die mit 9 beginnen.

$9,1^2 = 82,81$ (kleiner als 85)

$9,2^2 = 84,64$ (kleiner als 85)

$9,3^2 = 86,49$ (größer als 85) $\to$ Stopp!

Die Wurzel liegt zwischen 9,2 und 9,3. Die erste Nachkommastelle ist eine 2.

Ergebnis:

Die Quadratwurzel aus 85 ist auf 1 Nachkommastelle genau $9{,}2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Quadratwurzel $\sqrt{2}$ auf 3 Nachkommastellen genau.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Die Zahl vor dem Komma finden
Die Zahl 2 liegt zwischen den Quadratzahlen 1 und 4.

$\sqrt{1} = 1$

$\sqrt{4} = 2$

Die Ziffer vor dem Komma ist eine 1.
Schritt 2
Die erste Nachkommastelle finden
$1,4^2 = 1,96$ (kleiner als 2)

$1,5^2 = 2,25$ (größer als 2) $\to$ Stopp!

Die erste Nachkommastelle ist eine 4.
Schritt 3
Die zweite Nachkommastelle finden
$1,41^2 = 1,9881$ (kleiner als 2)

$1,42^2 = 2,0164$ (größer als 2) $\to$ Stopp!

Die zweite Nachkommastelle ist eine 1.
Schritt 4 · Ergebnis
Die dritte Nachkommastelle finden
$1,411^2 \approx 1,9909$

$1,412^2 \approx 1,9937$

$1,413^2 \approx 1,9966$

$1,414^2 \approx 1,9994$ (kleiner als 2)

$1,415^2 \approx 2,0022$ (größer als 2) $\to$ Stopp!

Die dritte Nachkommastelle ist eine 4.

Ergebnis:

Die Quadratwurzel aus 2 ist auf 3 Nachkommastellen genau $1{,}414$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Quadratwurzel $\sqrt{40{,}5}$ auf 2 Nachkommastellen genau.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Die Zahl vor dem Komma finden
Die Zahl 40,5 liegt zwischen den Quadratzahlen 36 und 49.

$\sqrt{36} = 6$

$\sqrt{49} = 7$

Die Ziffer vor dem Komma ist eine 6.
Schritt 2
Die erste Nachkommastelle finden
$6,1^2 = 37,21$

$6,2^2 = 38,44$

$6,3^2 = 39,69$ (kleiner als 40,5)

$6,4^2 = 40,96$ (größer als 40,5) $\to$ Stopp!

Die erste Nachkommastelle ist eine 3.
Schritt 3 · Ergebnis
Die zweite Nachkommastelle finden
$6,31^2 \approx 39,816$

$6,32^2 \approx 39,942$

$6,33^2 \approx 40,069$

$6,34^2 \approx 40,196$

$6,35^2 \approx 40,323$

$6,36^2 \approx 40,450$ (kleiner als 40,5)

$6,37^2 \approx 40,577$ (größer als 40,5) $\to$ Stopp!

Die zweite Nachkommastelle ist eine 6.

Ergebnis:

Die Quadratwurzel aus 40,5 ist auf 2 Nachkommastellen genau $6{,}36$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die Intervallschachtelung ist eine Methode, um sich einer „krummen" Wurzel Ziffer für Ziffer anzunähern.
Schritt 1 ist immer, die Zahl zwischen zwei Quadratzahlen zu finden, um die ganze Zahl zu bestimmen.
Danach testest du systematisch die Nachkommastellen, indem du sie quadrierst.
Der entscheidende Moment ist immer der, an dem das Quadrat größer wird als deine Ausgangszahl. Die Ziffer davor ist die, die du suchst.

Intervallschachtelung: Quadratwurzel näherungsweise berechnen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Quadratwurzeln durch Intervallschachtelung annähern

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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