Punktprobe (Quadratische Funktion) einfach erklärt: So geht's!

Stell dir vor, du baust eine Skateboard-Halfpipe. Die Form der Rampe lässt sich als perfekte Parabel beschreiben. Du möchtest eine Kamera exakt auf der Oberfläche der Rampe montieren.

Woher weißt du, ob eine bestimmte Koordinate genau auf der Rampe liegt oder in der Luft schwebt? Hier hilft uns ein einfacher mathematischer Trick: die Punktprobe bei einer quadratischen Funktion! Damit können wir ganz ohne Zeichnen herausfinden, ob ein Punkt genau auf dem Graphen einer Funktion liegt. Lass uns schauen, wie das funktioniert!

Schnellantwort

Die Punktprobe testet rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt. Dafür setzt du einfach den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein und rechnest das Ergebnis aus. Stimmt das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes überein, liegt der Punkt auf dem Graphen. Wenn nicht, dann liegt er daneben.

Vorwissen

• Koordinaten eines Punktes: Ein Punkt im Koordinatensystem wird immer mit einem x-Wert (links/rechts) und einem y-Wert (oben/unten) angegeben: $P(x|y)$.

  Beispiel: Beim Punkt $P(3|5)$ ist der x-Wert $3$ und der y-Wert $5$.

• Funktionswerte berechnen: Man kann Zahlen für $x$ in eine Funktionsgleichung einsetzen, um das Ergebnis (den y-Wert) auszurechnen.

  Beispiel: Für die Funktion $f(x) = x^2$ setzen wir $x = 4$ ein: $f(4) = 4^2 = 16$.

Aufgabentyp 1: Punktprobe durchführen

Ein Funktionsgraph besteht aus unendlich vielen Punkten. Mit der Punktprobe können wir rechnerisch prüfen, ob ein bestimmter Punkt genau auf dieser Linie liegt.

Erinnerst du dich an die Wertetabelle? Dort hast du auch schon x-Werte in die Funktion eingesetzt, um die passenden y-Werte zu berechnen. Die Punktprobe funktioniert ganz genauso!

Bei der Punktprobe nehmen wir einen Punkt $P(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$ und eine Funktion $f(x)$. Wir setzen einfach den x-Wert des Punktes in die Funktion ein und rechnen das Ergebnis aus.

• Wenn das Ergebnis genau dem y-Wert des Punktes entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

• Wenn ein anderes Ergebnis herauskommt, liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel an: Wir haben die Funktion $f(x) = x^2$ und den Punkt $P(\textcolor{#08BFFF}{2}|\textcolor{#9570FF}{4})$.

Wir setzen den x-Wert ein: $f(\textcolor{#08BFFF}{2}) = \textcolor{#08BFFF}{2}^2 = 4$.

Da unser Ergebnis $4$ genau dem y-Wert des Punktes entspricht ($4 = \textcolor{#9570FF}{4}$), liegt der Punkt auf der Parabel!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: x-Wert einsetzen Nimm den x-Wert des gegebenen Punktes und setze ihn überall dort in die Funktionsgleichung ein, wo ein $x$ steht.

2. Schritt 2: Ausrechnen Berechne das Ergebnis der Gleichung. Achte dabei besonders auf Vorzeichen und Quadrate!

3. Schritt 3: Vergleichen Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.

   • Ergebnis $=$ y-Wert $\to$ Der Punkt liegt auf dem Graphen.
   • Ergebnis $\neq$ y-Wert $\to$ Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x) = 2x^2 - 1$.

Überprüfe mit der Punktprobe, ob die Punkte $A(3|17)$ und $B(-2|9)$ auf dem Graphen der Funktion liegen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Punktprobe für Punkt A

   Wir setzen den x-Wert $x = 3$ in die Funktion ein und rechnen das Ergebnis aus:

   $f(3) = 2 \cdot 3^2 - 1$

   $= 2 \cdot 9 - 1$

   $= 18 - 1$

   $= 17$

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   Schritt 3
   Vergleichen für Punkt A

   Wir vergleichen unser Ergebnis ($17$) mit dem y-Wert von Punkt A ($17$).

   Da $17 = 17$ eine wahre Aussage ist, liegt der Punkt $A$ auf dem Graphen.

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   Schritt 1 & 2
   Punktprobe für Punkt B

   Nun setzen wir den x-Wert $x = -2$ in die Funktion ein. Wichtig: Negative Zahlen müssen beim Quadrieren in Klammern gesetzt werden!

   $f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 1$

   $= 2 \cdot 4 - 1$

   $= 8 - 1$

   $= 7$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Vergleichen für Punkt B

   Wir vergleichen unser Ergebnis ($7$) mit dem y-Wert von Punkt B ($9$).

   Da $7 \neq 9$ ist, liegt der Punkt $B$ nicht auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Punkt $A(3|17)$ liegt auf der Parabel, der Punkt $B(-2|9)$ liegt nicht auf der Parabel.

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Wichtige Erkenntnisse

• Die Punktprobe testet rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt.

• Setze den x-Wert des Punktes in die Funktion ein und rechne das Ergebnis aus.

• Stimmt das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes überein, liegt der Punkt auf dem Graphen. Wenn nicht, dann liegt er daneben.

• Achtung: Wenn du negative Zahlen für $x$ einsetzt, setze sie immer in Klammern (z.B. $(-2)^2 = 4$).